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Como graficar una función racional




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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -1- COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Graficar este tipo de función requiere mayor atención que las otras, sobre todo por la presencia de las “ASÍNTOTAS” y “HUECOS”. Una ASÍNTOTA es una recta a la cual se aproxima la gráfica, al crecer indefinidamente “X” o “Y”, pero nunca la toca. La figura muestra la gráfica de la función y podemos observar la presencia de una “asíntota vertical” en X = 3. Un HUECO representa el valor que no se le puede asignar a la función por presentar una indeterminación al sustituir la variable “X en la misma. Recuerde que es una indeterminación. podemos observar un “hueco” Así, en la gráfica de cuando X = 1. Tipos de asíntotas : ASÍNTOTA HORIZONTAL : Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador. Si en la función 1) n > m 2) n = m f(x) NO posee asíntota horizontal f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta 3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. Asíntota

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Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -2- Ejemplo del caso 1 : n>m f(x) NO posee asíntota vertical. n=2 ; m=1 n=m f(x) SI posee asíntota horizontal y es Ejemplo del caso 2 : la recta n=1 ; m=1 Como a = 4 y b = 2 la asíntota horizontal será la recta COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL n< m f(x) SI posee asíntota horizontal y es Ejemplo del caso 3 : el eje X. ; n=0 ; m=1 y = 2 (Asíntota horizontal)

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Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -3- ASÍNTOTA VERTICAL : Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X). Ejemplo 1 : Cuando X – 3 = 0 ; X = 3 ; nos indica que por X=3 pasará una asíntota vertical (perpendicular al eje X) : Una función puede tener más de una asíntota vertical, todo depende de las raíces que posee el denominador. Sin embargo, algunas veces, una de las raíces del denominado indica la presencia de un “hueco” de la función (este caso será explicado más adelante con un ejemplo). COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ejemplo 2 : Como el denominador posee dos raíces : X = 4 y X = - 4, nos indica la presencia de dos asíntotas verticales (una en cada raíz). Una función puede poseer asíntotas horizontales y verticales a la vez. Asíntota vertical en X=3

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -4- Una función puede poseer asíntotas oblicuas y verticales a la vez. Observe bien la gráfica anterior y notará que además de la asíntota oblicua señalada también hay una asíntota vertical en X = 2. Aspecto que resulta lógico ya que el denominador de la función es X - 2 Tomando en cuenta los aspectos señalados anteriormente se sugieren los siguientes pasos para graficar una función racional : 1) Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. 2) Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero). 3) Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0). 4) Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales. Con la finalidad de fijar bien los pasos indicados anteriormente se procederá a resolver varios ejercicios de menor a mayor grado de dificultad. Ejercicio 1 : Graficar la función Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. ASÍNTOTA HORIZONTAL : Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador. Si en la función ASÍNTOTA OBLICUA : La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical. ¿Cómo identificar una asíntota oblicua en una función? Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua. Ejemplo : Asíntota oblicua

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -5- 1) n > m 2) n = m 3) n < m f(x) NO posee asíntota horizontal f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la recta “Y = 1” ( ) ASÍNTOTA VERTICAL : Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X). Cuando X – 3 = 0 ; X = 3 “X = 3” pasará una asíntota vertical Esto nos indica que por (perpendicular al eje X) : ASÍNTOTA OBLICUA : Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua. Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua. Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero). X+2=0 ; X= – 2 Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto (– 2,0) Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0).

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -6- ; ; = -0,67 Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.67) Graficando estos “puntos de corte” en el plano se nos va facilitando la visualización de la futura gráfica : Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales. Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 3. En el intervalo de la izquierda ya están graficados dos puntos (los cortes con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más. Para X = 1 ; ; = -1,5 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (1 , -1.5) Para X = 2 ; ; = -4 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (2 , -4) Dando valores a la derecha de la asíntota vertical : Para X = 4 ; ; =6 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (4,6) Para X = 5 ; ; = 3,5 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (5 , 3.5) Para X = 6 ; ; = 2,67 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (6 , 2.67) Para X = 7 ; ; = 2,25 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (7 , 2.25) Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas

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Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -7- Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la gráfica quedará expresada así : Este ejercicio está explicado de manera excelente y “paso a paso” en el video 2 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página web : www.lamatematicadefidel.com COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ejercicio 2 : Graficar la función Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. ASÍNTOTA HORIZONTAL : Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador. Si en la función 1) n > m 2) n = m 3) n < m f(x) NO posee asíntota horizontal f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la recta Y = = 0,5

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ASÍNTOTA VERTICAL : Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X). Cuando 2X + 3 = 0 ; 2X = –3 ; Esto nos indica que por “X = -1,5” pasará una asíntota vertical (perpendicular al eje X) : ASÍNTOTA OBLICUA : Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua. Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua. Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero). X – 1=0 ; X= 1 COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto ( 1,0 ) Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0). ; ; = -0,33 Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.33) Graficando estos “puntos de corte” en el plano se nos va facilitando la visualización de la futura gráfica : Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales. Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = -1,5. En el intervalo de la derecha ya están graficados dos puntos (los cortes con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más. Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -8-

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -9- Para X = -1 ; ; = -2 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-1 , -2) Para X = 2 ; ; = 0,14 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (2 , 0.14) Dando valores a la izquierda de la asíntota vertical : Para X = -2 ; Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-2,3) Para X = -3 ; =3 = 1,33 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-3 , 1.33) Para X = -4 ; =1 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-4 , 1) Para X = -5 ; = 0,86 Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-5 , 0.86) Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas. Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la gráfica quedará expresada así : Este ejercicio está explicado de manera excelente y “paso a paso” en el video 3 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página web : www.lamatematicadefidel.com

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar - 10 - Ejercicio 3 : Graficar la función Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es recomendable efectuar su factorización. Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador y denominador. Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo “cero entre cero” . Esta raíz representará la presencia de un “hueco” y no de asíntotas. En la función que queremos graficar observamos que el numerador es un polinomio de segundo grado. Al factorizarlo (diferencia de cuadrados) obtendremos : X2– 1 = (X +1).(X – 1) Luego la función quedará expresada como : El factor “X – 1” se encuentra tanto en el numerador como en el denominador. Cuando este factor se “haga” igual a cero es evidente que se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero. Para que X – 1 = 0 ; X = 1 ; entonces X = 1 es una raíz común del numerador y denominador. Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X – 1) tanto en el numerador como en el denominador notaremos que surge una función equivalente a la estudiada : El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es más fácil calcular sus puntos. Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el “hueco” que generará la raíz que es común al numerador y el denominador. En este ejercicio ese valor está representado por “X = 1”. Introduciendo este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del “hueco”. ; Esto nos indica que la función tiene un “hueco” en (1 , 2) e indico la Ahora grafico la función equivalente presencia del “hueco”.

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Ing.JoséLuisAlbornozSalazar - 11 - Ejercicio 4 : Graficar la función Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es recomendable efectuar su factorización. Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador y denominador. Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo “cero entre cero” . Esta raíz representará la presencia de un “hueco” y no de asíntotas. En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador como el denominador son polinomios de segundo grado. Al factorizarlos obtendremos : ; El factor “X + 1” se encuentra tanto en el numerador como en el denominador. Cuando este factor se “haga” igual a cero es evidente que se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero. Para que X + 1 = 0 ; X = –1 ; entonces X = –1 es una raíz común del numerador y denominador. Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X + 1) tanto en el numerador como en el denominador notaremos que surge una función equivalente a la estudiada : ; El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es más fácil calcular sus puntos. COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el “hueco” que generará la raíz que es común al numerador y el denominador. En este ejercicio ese valor está representado por “X = –1”. Introduciendo este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del “hueco”. ; Esto nos indica que la función tiene un “hueco” en (-1 , -0.25) e indico la Ahora grafico la función equivalente presencia del “hueco”. La gráfica de esta función equivalente está explicada en el ejercicio 1 de esta guía.

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COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar - 12 - Ejercicio 5 : Graficar la función Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es recomendable efectuar su factorización. Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador y denominador. Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo “cero entre cero” . Esta raíz representará la presencia de un “hueco” y no de asíntotas. En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador como el denominador son polinomios de segundo grado. Al tratar de factorizar el numerador (4X2 + 4) notaremos que es un polinomio “NO FACTORIZABLE” (al aplicar la formula general de segundo grado o resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada se presentará un número negativo y éstos generan una raíz imaginaria). Esto nos indica que no existen “huecos” en la función ni cortes con el eje X. Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta guía. Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. ASÍNTOTA HORIZONTAL : Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador. Si en la función 1) n > m 2) n = m f(x) NO posee asíntota horizontal f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta 3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la recta “ Y = ” ASÍNTOTA VERTICAL : Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X). Las raíces del polinomio 2X2 – 8 son :

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