COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
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COMO GRAFICAR UNA FUNCION
RACIONAL
Graficar este tipo de función requiere mayor atención
que las otras, sobre todo por la presencia de las
ASÍNTOTAS y HUECOS.
Una ASÍNTOTA es una recta a la cual se aproxima la gráfica, al
crecer indefinidamente X o Y, pero nunca la toca.
La figura muestra la gráfica de la función
y podemos
observar la presencia de una asíntota vertical en X = 3.
Un HUECO representa el valor que no se le puede asignar a la
función por presentar una indeterminación al sustituir la variable X en la
misma. Recuerde que
es una indeterminación.
podemos observar un hueco
Así, en la gráfica de
cuando X = 1.
Tipos de asíntotas :
ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función
1) n > m
2) n = m
f(x) NO posee asíntota horizontal
f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta
3) n < m
f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
Asíntota
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
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Ejemplo del caso 1 :
n>m
f(x) NO posee asíntota vertical.
n=2
;
m=1
n=m
f(x) SI posee asíntota horizontal y es
Ejemplo del caso 2 :
la recta
n=1
;
m=1
Como a = 4 y b = 2 la asíntota horizontal será la recta
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL
n< m
f(x) SI posee asíntota horizontal y es
Ejemplo del caso 3 :
el eje X.
;
n=0
;
m=1
y = 2 (Asíntota horizontal)
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-3-
ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
Ejemplo 1 :
Cuando X 3 = 0 ; X = 3 ; nos indica que por X=3 pasará una
asíntota vertical (perpendicular al eje X) :
Una función puede tener más de una asíntota vertical, todo depende
de las raíces que posee el denominador. Sin embargo, algunas
veces, una de las raíces del denominado indica la presencia de un
hueco de la función (este caso será explicado más adelante con
un ejemplo).
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Ejemplo 2 :
Como el denominador posee dos raíces : X = 4 y X = – 4, nos indica la
presencia de dos asíntotas verticales (una en cada raíz).
Una función puede poseer asíntotas horizontales y verticales a la vez.
Asíntota vertical
en X=3
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Una función puede poseer asíntotas oblicuas y verticales a la vez.
Observe bien la gráfica anterior y notará que además de la asíntota
oblicua señalada también hay una asíntota vertical en X = 2. Aspecto
que resulta lógico ya que el denominador de la función es X – 2
Tomando en cuenta los aspectos señalados
anteriormente se sugieren los siguientes pasos para
graficar una función racional :
1) Identificar y graficar en líneas punteadas las posibles
asíntotas que pueda tener la función.
2) Determinar si existen cortes con el eje X (Esto se obtiene
igualando el numerador a cero).
3) Determinar si existen cortes con el eje Y (Esto se obtiene
haciendo X=0 en la función). En otras palabras calculando
f(0).
4) Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de
los intervalos en que quedó dividido el sistema de
coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales.
Con la finalidad de fijar bien los pasos indicados anteriormente se
procederá a resolver varios ejercicios de menor a mayor grado de
dificultad.
Ejercicio 1 :
Graficar la función
Primero : Identificar y graficar en líneas punteadas
las posibles asíntotas que pueda tener la función.
ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función
ASÍNTOTA OBLICUA :
La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical.
¿Cómo identificar una asíntota oblicua en una función?
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Ejemplo :
Asíntota oblicua
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1) n > m
2) n = m
3) n < m
f(x) NO posee asíntota horizontal
f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta
f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la
recta Y = 1
(
)
ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
Cuando X 3 = 0
;
X = 3
X = 3
pasará una asíntota vertical
Esto nos indica que por
(perpendicular al eje X) :
ASÍNTOTA OBLICUA :
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua.
Segundo : Determinar si existen cortes con el eje X
(Esto se obtiene igualando el numerador a cero).
X+2=0
;
X= 2
Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto ( 2,0)
Tercero : Determinar si existen cortes con el eje Y
(Esto se obtiene haciendo X=0 en la función). En
otras palabras calculando f(0).
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;
;
= -0,67
Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , 0.67)
Graficando estos puntos de corte en el plano se nos va facilitando la
visualización de la futura gráfica :
Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en
cada uno de los intervalos en que quedó dividido el
sistema de coordenadas una vez graficadas las
asíntotas verticales.
Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 3.
En el intervalo de la izquierda ya están graficados dos puntos (los cortes
con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más.
Para X = 1
;
;
= -1,5
Esto nos indica que la función pasa por el punto (1 , -1.5)
Para X = 2
;
;
= -4
Esto nos indica que la función pasa por el punto (2 , -4)
Dando valores a la derecha de la asíntota vertical :
Para X = 4
;
;
=6
Esto nos indica que la función pasa por el punto (4,6)
Para X = 5
;
;
= 3,5
Esto nos indica que la función pasa por el punto (5 , 3.5)
Para X = 6
;
;
= 2,67
Esto nos indica que la función pasa por el punto (6 , 2.67)
Para X = 7
;
;
= 2,25
Esto nos indica que la función pasa por el punto (7 , 2.25)
Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas
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Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la
gráfica quedará expresada así :
Este ejercicio está explicado de manera excelente y paso a paso en el
video 2 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE
FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página
web :
www.lamatematicadefidel.com
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Ejercicio 2 :
Graficar la función
Primero : Identificar y graficar en líneas punteadas
las posibles asíntotas que pueda tener la función.
ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función
1) n > m
2) n = m
3) n < m
f(x) NO posee asíntota horizontal
f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta
f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la
recta Y =
= 0,5
ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
Cuando 2X + 3 = 0
;
2X = 3
;
Esto nos indica que por X = -1,5 pasará una asíntota vertical
(perpendicular al eje X) :
ASÍNTOTA OBLICUA :
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua.
Segundo : Determinar si existen cortes con el eje X
(Esto se obtiene igualando el numerador a cero).
X 1=0
;
X= 1
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL
Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto ( 1,0 )
Tercero : Determinar si existen cortes con el eje Y
(Esto se obtiene haciendo X=0 en la función). En
otras palabras calculando f(0).
;
;
= -0,33
Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , 0.33)
Graficando estos puntos de corte en el plano se nos va facilitando la
visualización de la futura gráfica :
Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en
cada uno de los intervalos en que quedó dividido el
sistema de coordenadas una vez graficadas las
asíntotas verticales.
Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = -1,5.
En el intervalo de la derecha ya están graficados dos puntos (los cortes
con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más.
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Para X = -1
;
;
= -2
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-1 , -2)
Para X = 2
;
;
= 0,14
Esto nos indica que la función pasa por el punto (2 , 0.14)
Dando valores a la izquierda de la asíntota vertical :
Para X = -2
;
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-2,3)
Para X = -3
;
=3
= 1,33
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-3 , 1.33)
Para X = -4
;
=1
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-4 , 1)
Para X = -5
;
= 0,86
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-5 , 0.86)
Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas.
Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la
gráfica quedará expresada así :
Este ejercicio está explicado de manera excelente y paso a paso en el
video 3 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE
FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página
web :
www.lamatematicadefidel.com
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Ejercicio 3 :
Graficar la función
Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o
mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es
recomendable efectuar su factorización.
Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador
y denominador.
Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno
o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo
cero entre cero . Esta raíz representará la presencia de un
hueco y no de asíntotas.
En la función que queremos graficar observamos que el numerador es
un polinomio de segundo grado. Al factorizarlo (diferencia de cuadrados)
obtendremos :
X2 1 = (X +1).(X 1)
Luego la función quedará expresada como :
El factor X 1 se encuentra tanto en el numerador como en el
denominador. Cuando este factor se haga igual a cero es evidente que
se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero.
Para que X 1 = 0 ; X = 1
; entonces X = 1 es una raíz común
del numerador y denominador.
Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X 1) tanto en el
numerador como en el denominador notaremos que surge una función
equivalente a la estudiada :
El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para
graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es
más fácil calcular sus puntos.
Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el hueco
que generará la raíz que es común al numerador y el denominador.
En este ejercicio ese valor está representado por X = 1. Introduciendo
este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del hueco.
;
Esto nos indica que la función tiene un hueco en (1 , 2)
e indico la
Ahora grafico la función equivalente
presencia del hueco.
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Ejercicio 4 :
Graficar la función
Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o
mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es
recomendable efectuar su factorización.
Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador
y denominador.
Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno
o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo
cero entre cero . Esta raíz representará la presencia de un
hueco y no de asíntotas.
En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador
como el denominador son polinomios de segundo grado. Al factorizarlos
obtendremos :
;
El factor X + 1 se encuentra tanto en el numerador como en el
denominador. Cuando este factor se haga igual a cero es evidente que
se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero.
Para que X + 1 = 0 ; X = 1
; entonces X = 1 es una raíz
común del numerador y denominador.
Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X + 1) tanto en el
numerador como en el denominador notaremos que surge una función
equivalente a la estudiada :
;
El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para
graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es
más fácil calcular sus puntos.
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL
Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el hueco
que generará la raíz que es común al numerador y el denominador.
En este ejercicio ese valor está representado por X = 1. Introduciendo
este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del hueco.
;
Esto nos indica que la función tiene un hueco en (-1 , -0.25)
e indico la
Ahora grafico la función equivalente
presencia del hueco.
La gráfica de esta función equivalente está explicada en el ejercicio 1 de
esta guía.
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Ejercicio 5 :
Graficar la función
Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o
mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es
recomendable efectuar su factorización.
Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador
y denominador.
Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno
o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo
cero entre cero
. Esta raíz representará la presencia de un
hueco y no de asíntotas.
En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador
como el denominador son polinomios de segundo grado.
Al tratar de factorizar el numerador (4X2 + 4) notaremos que es un
polinomio NO FACTORIZABLE (al aplicar la formula general de
segundo grado o resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada
se presentará un número negativo y éstos generan una raíz imaginaria).
Esto nos indica que no existen huecos en la función ni cortes con el eje
X.
Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta
guía.
Primero : Identificar y graficar en líneas punteadas
las posibles asíntotas que pueda tener la función.
ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función
1) n > m
2) n = m
f(x) NO posee asíntota horizontal
f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta
3) n < m
f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la
recta Y =
ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
Las raíces del polinomio 2X2 8 son :
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