COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
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COMO GRAFICAR UNA FUNCION
DE SEGUNDO GRADO
Lo primero que debemos hacer para empezar a graficar
una función de segundo grado es ordenarla en forma
descendente de manera que quede expresada como :
f(x) =
aX2+ bX + c
EJERCICIO 1 :
Graficar
f(x) = X2 2X
3
Solución :
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a=1
;
b= 2
;
c= 3
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
X=
;
X=
;
X=
;
X=1
Esto significa que por X = 1 pasará una recta perpendicular al eje X que
representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 2X 3 para
determinar el vértice de la parábola.
f(1) = (1)2 2(1) 3
= 1 2 3 = 4
;
f(1) = 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 1, 4 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 4ac ).
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
? Si b2 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
? Si b2 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
? Si b2 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2 4ac
=
(- 2)2 4(1)(-3)
= 4 + 12
=
16
Como
b2 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
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=
=
X1 =
=
X1 = 3
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(3,0)
X2 =
=
X2 = 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (1,0)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
EJERCICIO 2 :
Graficar
f(x) = X2+ 4
Solución :
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a=1
;
b=0
;
c=4
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
Vértice (1,-4)
Eje de
simetría
(-1, 0)
(3,0)
(1,-4)
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
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X=
;
X=
;
X=
;
X=0
Esto significa que por X = 0 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola (en este caso el eje de
simetría será el eje Y del sistema de coordenadas).
Se introduce este valor en la función f(x) = X2+ 4 para determinar el
vértice de la parábola.
f(0) = (0)2 + 4
= 0+4 = 4
;
f(0) = 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 0 , 4 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 4ac ).
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
? Si b2 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
? Si b2 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
? Si b2 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2 4ac
=
(0)2 4(1)(4)
= 0 16 = 16
Como b2 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje
X ).
Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función
se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado
izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará
visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando
X = 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2+ 4
Para X = 1 ;
f(-1) = (-1)2+ 4 = 1 + 4 = 5
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
Para X = 1 ;
f(1) = (1)2+ 4 = 1 + 4 = 5
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
(-1,5)
(1,5)
(0,4)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Y
X
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EJERCICIO 3 :
Graficar
f(x) = X2+ 5X
4
Solución :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a = 1
;
b=5
;
c= 4
Cuando a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
X=
;
X=
;
X=
;
X = 2,5
Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
f(x) = X2 + 5X 4 para
Se introduce este valor en la función
determinar el vértice de la parábola.
f(2,5) = (2,5)2+ 5(2,5) 4
= 6,25+ 12,5 4 = 2,25
f(2,5) = 2,25
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 4ac ).
b2 4ac
=
(5)2 4(-1)(-4)
= 25 16 =
9
Como
b2 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
=
Vértice (0,4)
Eje de
simetría
X
Y
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X1 =
=
X1 = 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(1,0)
X2 =
=
X2 = 4
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
EJERCICIO 4 :
Graficar
f(x) =
X2 8X + 16
Solución :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a=1
;
b=-8
;
c = 16
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
X=
;
X=
;
X=
;
X=4
Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
f(x) = X2 8X + 16 para
Se introduce este valor en la función
determinar el vértice de la parábola.
f(4) =(4)2 8(4) + 16
= 16 32 + 16
= 0
;
f(4) = 0
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 4ac ).
b2 4ac
=
(8)2 4(1)(16)
= 64 64 = 0
Como
b2 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice
en un punto contenido en el eje X).
Eje de
simetría
Vértice (2.5,2.25)
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Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea
igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X
es el mismo vértice.
Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si
no existieran raíces reales.
Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno
ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho,
esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando
X= 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 8X + 16
Para X = 3 ;
f(3) = (3)2 8(3) + 16 = 9 24 + 16 = 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (3,1)
Para X = 5 ;
f(5) = (5)2 8(5) + 16 = 25 40 + 16 = 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (5,1)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
EJERCICIO 5 :
Graficar
f(x) =
X2 + 4X
Solución :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a=1
;
b=4
;
c=0
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
Vértice (4,0)
Eje de
simetría
X
(5,1)
(3,1)
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X=
;
X=
;
X=
;
X = -2
Esto significa que por X = – 2 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4X para determinar el
vértice de la parábola.
f(-2) = (-2)2 + 4(-2) = 4 8
= 4
;
f(-2) = 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( -2 ,-4 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 4ac ).
b2 4ac
=
(4)2 4(1)(0)
= 16 0 = 16
Como
b2 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
=
X1 =
=
X1 = 0
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(0,0)
X2 =
=
X2 = 4
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
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EJERCICIO 6 :
Graficar
f(x) = 8X2
+ 24X 16
EJERCICIO 7 :
Graficar
Vértice (1.5,2)
Vértice (1,-4)
COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO
f(x) = X2 2X 3
Eje de
simetría