Teoría de Conjuntos y Funciones
Lic. Eleazar J. García
2
2
? ?
?3 ? ?3 ?
1.27. Teorema 1.4
La unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Ejemplos 1.14.
1) La unión de los conjuntos cerrados N y Z es un conjunto cerrado, en
efecto, N?Z = Z y Z es un conjunto cerrado.
2) Sean los conjuntos A ={x/ x?R? 3 = x =9} y B ={x/ x?R?5= x =11},
entonces, A? B ={x/ x?R? 3 = x =11} el cual es un conjunto cerrado
3) La unión de los conjuntos R y Ø es un conjunto cerrado pues R?Ø = R y R
es cerrado.
4) Dados los conjuntos C ={x/ x?R?-3= x = 7} y D ={x/ x?R?8= x =10},
entonces,C ?D ={x/ x?R ? (-3= x = 7 ? 8= x =10)}.
Una consecuencia del teorema 1.4 es: “la unión de dos intervalos cerrados es un
conjunto cerrado”. Más aún, la unión de más de dos intervalos cerrados es un conjunto
cerrado. En efecto, los conjuntos A y B del los ejemplos anteriores se pueden expresar en
natación de intervalo de las siguientes maneras: A =?23;9? y B =[5;11], entonces,
A? B =?2;9??[5;11]=?2;11? y éste último es un conjunto cerrado.
1.28. Conjunto compacto.
Un conjunto es compacto, si y sólo si, es un conjunto cerrado y acotado.
Ejemplos 1.15.
? ?
1)
2)
3)
4)
El intervalo ?0; 83? es un conjunto compacto, pues es un conjunto cerrado y
acotado.
El conjunto R de los números reales no es compacto, porque, no está acotado.
El conjunto Nde los números naturales no es compacto por la misma razón
que el ejemplo anterior.
El conjunto U ={x/ x?Z? x = -7}es un conjunto compacto, ya que, es un
conjunto cerrado y acotado.
1.29. Conjunto denso en sí.
Un conjunto es denso en sí, si y sólo si, todos sus puntos son de acumulación.
Ejemplos 1.16.
1) Como todos los puntos del conjunto R son puntos de acumulación,
R es
denso en sí.
2) El conjunto Q de los números racionales es denso en sí, pues todos sus puntos
son de acumulación.
3) Los conjuntos N y Z no son conjuntos denso en sí, porque, ninguno de sus
puntos son de acumulación.
1.30. Conjunto perfecto.
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Teoría de Conjuntos y Funciones
5
5
Un conjunto es perfecto, si y sólo si, es cerrado y denso en sí. Si un conjunto es
igual a su conjunto derivado, entonces, es un conjunto perfecto.
Ejemplos 1.17.
1) El conjunto R es perfecto pues R' = R.
2) Cualquier intervalo cerrado es un conjunto perfecto pues [a;b]' =[a;b].
3) El conjunto Q no es perfecto, pues es denso en sí pero no cerrado.
1.31. Punto interior: Un punto a?C , es un punto interior de C, si y sólo si, existe un
entorno de a totalmente incluido en C.
Ejemplos 1.18.
1) Con respecto al conjunto R,cualquier número real es interior a R.
2) Un número racional no es interior a Q, porque, todo entorno de un número
racional contiene números irracionales que no pertenecen a Q.
1.32. Conjunto abierto.
Un conjunto C es abierto, si y sólo si, todos sus puntos son interiores.
Ejemplos 1.19.
1) El conjunto R es abierto pues todos sus puntos son interiores.
2) El intervalo abierto (- 9;1) es un conjunto abierto, porque, todos los puntos de
dicho intervalo son interiores. Recuerde que los números – 9 y 1 no pertenecen
al conjunto.
3) El intervalo [4;7) no es abierto, ya que, cualquier entorno de 4 no está
totalmente incluido en [4;7).
Es de observar que el conjunto R de los números reales es un conjunto abierto y
cerrado. Igualmente el conjunto vacío Ø es un conjunto abierto y cerrado. Los intervalos
[a;b) y (a;b] no son conjuntos ni abiertos ni cerrados.
1.33. Teorema 1.5
La unión de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
Ejemplos 1.20.
1) Sean los conjuntos R y Ø. Entonces, R?Ø = R y R es un conjunto abierto.
2) Consideremos los intervalos: (2;4) y (3;7), luego, (2;4)?(3;7) =(2;7) y éste
último es un conjunto abierto.
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1.34. Teorema 1.6
Si un conjunto es abierto, su complemento es cerrado.
5
5
Ejemplos 1.21.
1) El intervalo (- 8;6) es
(-8;- 8???[6;+8)el cual
un conjunto abierto, porque, su complemento es
es un conjunto cerrado pues todos sus puntos de
acumulación le pertenecen.
2) El conjunto R es abierto pues su complemente es Ø y éste es un conjunto
cerrado.
3) El conjunto Ø es abierto pues su complemento es R el cual es un conjunto
cerrado.
1.35. Punto aislado: Un punto a, que pertenece a un conjunto C, es un punto aislado, si y
sólo si, existe un entorno reducido de a, al cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Ejemplos 1.22.
1) Todos los números naturales son puntos aislados en el conjunto N.
2) Los números enteros son puntos aislados en el conjunto Z.
3) En el conjunto C ={x/ x?R?(x > 4? x = 2)},2 es un punto aislado.
4) En el conjunto D ={x/ x?Z?(x = -1? x =3)},-1 y 3 son puntos aislados.
1.36. Punto adherente: Un punto a es un punto adherente al conjunto C, si y sólo si, a
cualquier entorno de a pertenece por lo menos un punto de C.
Hay que destacar que si un punto pertenece al conjunto, aunque éste sea aislado, es
un punto adherente; la definición solamente exige que en todo entorno haya un punto del
conjunto que puede ser el centro del mismo.
1.37. Adherencia: La adherencia de un conjunto C, es el conjunto formado por todos los
puntos de adherencia a C, y se designa C.
Ejemplos 1.23.
1) Consideremos el conjunto C ={x/ x?R?2 < x < 9}.Todos los puntos del
intervalo cerrado [2;9] son puntos adherentes al conjunto A, por lo tanto, se
tiene que: C ={x/ x?R?2 = x =9}.
2)
Sea el conjunto B ={x/ x?R?(3= x = 7? x = 0)}. En este caso B = B.
1.38. Punto exterior: Un punto a es exterior a un conjunto C, si y sólo si, existe un
entorno del mismo al cual no pertenece ningún punto del conjunto C.
Ejemplos 1.24.
1) El punto -3 es exterior al conjunto de los números reales positivos.
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2) El punto 0 es exterior al segmento (-4;-2).
3) Consideremos el conjunto D ={x/ x?R?3< x < 20}. Los puntos -10, -5, -1,
0, 21, 50, son exteriores a D.
1.39. Punto frontera: Un punto a es punto frontera del conjunto C, si y sólo si, en todo
entorno del punto a hay algún punto que pertenece al conjunto C y hay algún punto
que pertenece a su complemento.
Ejemplos 1.25.
1) El 0 es frontera para el conjunto de los números positivos y también es frontera
para el conjunto de los números negativos.
2) En el conjunto A={x/ x?R?(2 = x < 5? x =9)}, 2, 5 y 9 son puntos frontera.
2 y 9 pertenecen al conjunto mientras que 5 no pertenece al conjunto.
3) Cualquier punto aislado es un punto frontera.
4) Dado el conjunto B ={x/ x?R? x = 7}, el 7 es un punto frontera de B, porque,
cualquier entorno de a contiene puntos de B y del conjunto
R-B ={x/ x?R? x > 7}, el cual es el complemento de B respecto de R.
1.40. Ejercicios propuestos.
1) Dar el conjunto de los puntos interiores de cada conjunto.
A=(-8;0). B=[1;8]. C=(-3;5]. D={x/ x?R ? | x-6|< 9}. E={x/ x?R ? | x-3|=7}.
2) Indicar cuáles de los conjuntos anteriores son cerrados.
3) Indicar cuáles de los conjuntos anteriores son abiertos.
4) Dar el conjunto adherente de los conjuntos anteriores.
En muchas ocasiones debemos representar gráficamente las curvas que se obtienen
del estudio y observación de algunos fenómenos naturales, como por ejemplo el
crecimiento de una colonia de bacterias, el aumento de temperatura al calentar un cuerpo,
etc., también para graficar funciones o curvas de ecuaciones.
Para realizar tales gráficas nos valemos del sistema de coordenadas cartesianas o
plano cartesiano.
1.41. Plano cartesiano
El plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas está determinado por dos
rectas reales, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes de coordenadas y se cortan entre
sí formando cuatro ángulos de 90º cada uno.
El eje horizontal recibe el nombre de eje x o eje de las abscisas y el eje vertical
recibe el nombre de eje y o eje de las ordenadas.
El punto donde se cortan ambos ejes recibe el nombre de origen y le corresponde el
par ordenado(0;0).
Para un punto P(x; y), x e y se llaman las coordenadas del punto P.
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Teoría de Conjuntos y Funciones
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-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
2
1
7
6
5
4
3
x
La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia
respecto de los ejes x e y. Por ejemplo el primer número del par ordenado (-3;1) determina
el desplazamiento horizontal respecto del origen: positivo para los puntos ubicados a la
derecha del origen y negativo para los puntos ubicados a la izquierda; el segundo número
del par ordenado determina el desplazamiento vertical respecto del origen: positivo para
puntos ubicados por encima del origen y negativos para puntos ubicados por debajo.
Plano cartesiano
y
(-1,3)
Figura 1.1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
En nuestro quehacer matemático, nos encontramos con fenómenos que relacionan
dos variables, como es el caso del área de un círculo que puede ser calculado mediante la
ecuación A =pr2 que relaciona el área con el radio. En el caso descrito el área A depende
de la medida del radio r, y decimos entonces que A es una variable dependiente y r es una
variable independiente.
En nuestro quehacer matemático, nos encontramos con fenómenos que relacionan
dos variables, como es el caso del área de un círculo que puede ser calculado mediante la
ecuación A =pr2 que relaciona el área con el radio. En el caso descrito el área A depende
de la medida del radio r, y decimos entonces que A es una variable dependiente y r es una
variable independiente.
Las relaciones que nos interesan estudiar en éste módulo son las denominadas
funciones.
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Teoría de Conjuntos y Funciones
1.42. Función.
Una función f de un conjunto X en otro conjunto Y es una correspondencia que
asocia a cada elemento x? X un único elemento y?Y.
La imagen de x mediante f es denotada y = f (x). El dominio de f es el conjunto X y
el rango es el conjunto de todas las imágenes f (x) de los elementos x? X.
Al elemento “x” se le llama variable independiente y al elemento “y” variable
dependiente.
Nosotros consideraremos funciones cuyo dominio y
rango son conjuntos de
números reales, las cuales reciben el nombre de funciones reales de una variable real.
1.43. Función real de una variable real.
Una función real de una variable real, es una función de un conjunto A? R en otro
conjunto B ? R, lo que se escribe f :A ?B definida por y= f (x). A la variable
independiente “x” se le llama también abscisa, y a la variable dependiente “y” ordenada.
Una función real de una variable real se puede considerar como un conjunto f de
pares ordenados (x; y) de números reales, en el que no pueden existir dos pares distintos
con igual abscisa.
Ejemplos 1.26.
1) f ={(-2,4),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}, este conjunto es una función, puesto
que, no existen pares distintos con igual abscisa.
2) g ={(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(3,15)},este conjunto no es una función, porque,
existen dos pares con igual abscisa:(3,9) y (3,15).
1.44. Gráfica de una función.
La gráfica de una función f, es la representación en el plano cartesiano de todos los
puntos (x;y)?R2 para los cuales (x; y) es un par ordenado de f.
1.45. Dominio, rango y gráfica de algunas funciones.
Sean A ? R y B ? R. El dominio de una función f :A ? B, esta formado por los
valores que pueda tomar la variable independiente x?A, de manera tal que y = f (x)?R.
El rango es el conjunto formado por todas las imágenes y = f (x) de x? A.
Geométricamente, el dominio de una función es la proyección de su gráfica sobre el eje x o
eje de las abscisas y el rango es la proyección sobre el eje y o eje de las ordenadas.
A continuación se presentan algunas funciones elementales con sus respectivos
dominios y rangos, y un ejemplo específico con su gráfica para comprobarlos. Todos los
ejemplos son relacionados con la función que se esté presentando; se recomiendo tratar de
entender las gráficas de todas las funciones porque la compresión de los dominios
mediante ese recurso facilitará la determinación de los dominios de funciones compuestas
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Teoría de Conjuntos y Funciones
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-3
-2
-1
1
2
3
2
1
x
f
( x) = 34 x -1
complejas. Trate de memorizar los dominios y los rangos de las funciones presentadas a
continuación.
1) f (x)=ax + b, a?R ? b?R.
Dom f ={x/ x?R}=(-8;+8) , Rgo f ={x/ x?R}=(-8;+8)
Ejemplo 1.27. Consideremos la función f (x)= 34 x – 1; su gráfica es mostrada en la figura
1.2; podemos verificar que el dominio es el señalado por definición.
y
Figura 1.2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
2
1
x
f
(x) = x3 +2×2 – x-2
Dom f =(-8,+8)
Rgo f =(-8,+8)
-1
-2
-3
2) f (x)=anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, n=1
Dom f ={x/ x?R}=(-8;+8), el rango6 depende de n,an,an-1,…,a1 y an
Ejemplo 1.28. Un ejemplo de este caso, es la función f (x)=x3 +2×2 – x -2 cuya
gráfica es mostrada en la figura 1.3.
y
Figura 1.3
3
6
Si n es un número positivo impar: Rgo f =R.
Rgo f = ??-16,+8)
,- 49
Teoría de Conjuntos y Funciones
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Ejemplo 1.29. Otro ejemplo se muestra a continuación.
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
8
6
4
2
x
y
Dom f =(-8,+8)
49
f
(x) = x2 – 12 x-3
(
)
1
4 16
Figura 1.4
-1
1
2
3
4
5
6
-1
2
1
3
x
x
f
( x) =
3) f (x)= n x.
Si n?N es par f esta definida para toda x = 0,
Dom f ={x?R/ x =0}=[0;+8); Rgo f ={x?R/ x=0}=[0;+8)
Ejemplo 1.30. Dada la función f (x)= x su dominio y su rango son verificados por la
figura 1.5, donde se observa que ambos son el conjunto de números reales mayores o
iguales que cero.
y
Figura 1.5
( )( )(x+1)
2 x+
x-1
Teoría de Conjuntos y Funciones
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Si la función es f (x) = n g(x), n?N y n es par, la función está definida si se
cumple la condición g(x) = 0, que debe considerarse cuando se determine el dominio de
una función en cuya estructura aparece una raíz n-ésima par.
Ejemplo 1.31. Sea f (x) = 6 2×3 + x2 -2x -1.
La condición que debe cumplir ésta función para que sea real es:
2×3 + x2 -2x -1= 0 ? 2(x + 12)(x -1)(x +1) = 0
Debemos determinar el conjunto solución de ésta inecuación, el cual será el dominio de la
función.
x + 12
x -1
x +1
1
2
(-8,-1)
–
–
–
–
-1
–
–
0
0
(-1,- 12)
–
–
+
+
– 12
0
–
+
0
(- 12,1)
+
–
+
–
1
+
0
+
0
(1,+8)
+
+
+
+
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
12
10
8
6
4
2
14
x
6
f (x) =
2×3 + x2 – 2x -1.
Por lo tanto, Dom f =[-1,- 12]?[1,+ 8). Véase la figura 1.6.
y
Figura 1.6
18
16
Es evidente, de acuerdo a las figuras 1.5 y 1.6, que el rango de cualquier función
raíz n-ésima de índice par (n?N, n >1) es: [0,+8).
Ahora, si n?N es impar f esta definida para toda x?R :
21
g( ) =? ?
?
Lic. Eleazar J. García
Teoría de Conjuntos y Funciones
22
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
x
f (x)= 3 x
Dom f = (-8;+8); Rgo f =(-8;+8)
Ejemplo 1.32. El dominio y el rango de las funciones g(x) = 5 x3 + 2x +9 f (x)= 3 x y se
pueden verificar en la figura 1.8.
y
Figura 1.8
3
g(x) = 5 x3+2x+9
4) f (x)=ax,
a>0
-1
-2
-3
Domf=(-8;+8); Rgo f =(0;+8)
-3
-2
-1
1
2
3
-1
5
4
3
2
1
8
7
6
x
x
en la figura 1.9 podemos comprobar el dominio y el rango de las funciones exponenciales.
y
f
( x) = 2x
x
x
1 ?
? 2 ?
Figura 1.9
Teoría de Conjuntos y Funciones
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23
-1
1
2
3
4
5
1
2
x
5) f (x)=ln x
Dom f =(0;+8); Rgo f =R
Ejemplo 1.34. En la figura 1.10 se presenta grafica de la función f (x)=ln x. De la figura
podemos afirmar que el dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de los
números reales mayores que cero y el rango el conjunto de los números reales.
y
f ( x) =ln x
(e,1)
Figura 1.10
? ?
-1
1
2
3
4
5
-2
-1
1
x
(4,1)
f
( x) = log4 x
(4,-1)
g( x) = log1 x
4
-1
-2
-3
-4
-5
6) f (x) = logb ?g(x)?, b?(0,1)?(1,+8).
Dom f =(0;+8); Rgo f =R
Ejemplo 1.35. Las gráficas de las funciones f (x)=log4 x y g(x)=log14 x, nos indican
que el dominio de cualquier función logarítmica es el conjunto de los números reales
mayores que cero y el rango R. Esta afirmación la podemos confirmar observando la
figura 1.11.
y
Figura 1.11
2
Lic. Eleazar J. García
Teoría de Conjuntos y Funciones
24
? ?
En general, la función f (x) = logb ?g(x)?, b?(0,1)?(1,+8),es real para toda x?R tal
que g(x) > 0.
Ejemplo 1.36.
Sea f (x) = log5(x4 + 2×3 -19×2 -8x +60); esta función está definida para todo
número real x que verifica la siguiente inecuación:
?
I
Determinemos el conjunto solución de ésta inecuación.
x +5
x + 2
x – 2
x +3
I
(-8,-5)
–
–
–
–
+
-5
0
–
–
–
0
(-5,- 2)
+
–
–
–
–
-2
+
0
–
–
0
(-2,2)
+
+
–
–
+
2
+
+
0
–
0
(2,3)
+
+
+
–
–
3
+
+
+
0
0
(3,+ 8)
+
+
+
+
+
Entonces, Dom f =(-8;-5)?(-2,2)?(3,+8). Además, Rgo f =R.
Véase la siguiente gráfica.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3
2
1
5
4
x
y
)
f (x)=log5(x4+2×3-19×2-8x+60
Figura 1.12
Teoría de Conjuntos y Funciones
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25
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
-1
1
2
x
y =1
y =-1
f (x)=senx
7) f (x)=sen x
Dom f =(-8;+8); Rgo f =[-1;1]
Ejemplo 1.38. El dominio y el rango de la función f (x)=sen x se pueden verificar
observando la figura siguiente:
y
Figura 1.13
-2
8) f (x)=cosx
Dom f =(-8;+8); Rgo f =[-1;1]
Ejemplo 1.39. En la figura 1.14 se observa que el dominio de f (x)=cosx es el conjunto
de todos los números reales y el rango el intervalo [-1;1].
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
-1
1
x
y
y =1
y =-1
f ( x)=cosx
Figura 1.14
Dom f = ?x?R/ x ? ? ?p, k ?Z?;
Dom f =?x?R/ x ? ? ?p, k ?Z?,
Teoría de Conjuntos y Funciones
26
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9) f (x)=tgx
? ? 2k +1? ?
? ? 2 ? ?
Rgo f =R
Ejemplo 1.40. El dominio y el rango de la función f (x)=tg x, los podemos verificar
mediante la figura siguiente:
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
x
y
f ( x)= tgx
Figura 1.15
10) f (x)=secx
Rgo f =(-8;-1]?[1;+8)
? ? 2k +1? ?
? ? 2 ? ?
Ejemplo 1.41. A partir de la figura 1.16, podemos verificar el dominio y el rango de
f (x)=secx.
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
x
y
f ( x) =secx
Figura 1.16
Teoría de Conjuntos y Funciones
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27
11) f (x)=cscx
Dom f ={x?R/ x ?(k +1)p, k ?Z}, Rgo f =(-8;-1]?[1;+8)
Ejemplo 1.42. El dominio de la función f (x)=cscx lo podemos comprobar en la figura
1.17.
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
4
3
2
1
x
y
f (x) =cscx
Figura 1.17
-1
-2
-3
-4
12) f (x)=cotg x
Dom f ={x?R/ x ?(k +1)p, k ?Z}, Rgo f =R
Ejemplo 1.43. La gráfica de la función f (x)=cotg x se muestra en la figura 1.18. En
dicha gráfica se observa el dominio señalado para ésta función.
-3p
-5p/2
-2p
-3p/2
-p
-p/2
p/2
p
3p/2
2p
5p/2
3p
-1
-2
-3
-4
4
3
2
1
x
y
f (x) =cotg x
Figura 1.18
1,1p
-1,- 1p
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13) f (x)=arcsen x
2 2
Teoría de Conjuntos y Funciones
Dom f =[-1;1]; Rgo f =[- 1p; 1p]
-2
-1
1
2
-p/2
p/2
x
f (x) =arcsen x
2
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
Ejemplo 1.44. El dominio y el rango de la función f (x)=arcsen x son verificados por la
gráfica, mostrada en la figura siguiente:
y
Figura 1.19
-2
-1
1
2
-p/2
p
p/2
x
(-1,p )
f (x) =arccosx
14) f (x)=arccosx
Dom f =[-1;1]; Rgo f =[0; p]
Ejemplo 1.45. La gráfica de la función f (x)=arccosx verificamos que el dominio y el
rango son los intervalos señalados.
y
Figura 1.20
Teoría de Conjuntos y Funciones
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29
2 2
2 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
p
p/2
x
f (x) =arctg x
15) f (x)=arctg x
Dom f =(-8;+8); Rgo f =(- 1p; 1p)
Ejemplo 1.46. En figura 1.21 podemos verificar que el dominio de f (x)=arctgx es R y
el rango el intervalo (- 1p; 1p),
y
Figura 1.21
2 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-p/2
p
p/2
3p/2
x
(-1,p )
f ( x) =arcsecx
-p/2
-p
16) f (x)=arcsecx
Dom f =(-8;-1]?[1;+8); Rgo f =[0; 1p)?( 1p;p]
Ejemplo 1.47. La figura 1.22 muestra la gráfica de la función f (x)=arcsecx. Obsérvese
que el dominio y el rango son los señalados.
y
Figura 1.22
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Teoría de Conjuntos y Funciones
30
2 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
17) f (x)=arccscx
Dom f =(-8;-1]?[1;+8); Rgo f =[- 1p;0)?(0; 1p]
Ejemplo 1.48. La gráfica de la función f (x)=arccscx se muestra en la figura siguiente y
se verifican el dominio y el rango señalado.
y
Figura 1.23
f ( x) =arccscx
p
? 1
?1, ?
? 2 ?
p/2
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-p/2
p/2
x
f (x) =arccotgx
-p/2
? 1
? ?
? 2 ?
-p
18) f (x)=arccotgx
Dom f =(-8;+8); Rgo f =(0;p)
Ejemplo 1.49. El dominio y el rango de f (x)=arccotgx se pueden verificarse a través de
la siguiente figura:
y
Figura 1.24
y= p
p
?
?
?
?
((4x+5) )
+1 y como g(x)=(4x+5) ,
g( ) ( ) =(4 x2 +1+5
f (x) = 4 f (x)+5
Teoría de Conjuntos y Funciones
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g
f
Con éstas nociones, podemos determinar el dominio de funciones en las que en su
estructura se encuentren involucradas funciones como las expuestas anteriormente, como es
el caso de las funciones compuestas.
1.49. Función Compuesta.
Sean f y g dos funciones tales que el rango de g está en el dominio de f. Entonces, la
función dada por ( f g)(x)= f (g(x)) se llama función compuesta de f con g.
Figura 1.25
x'
x
x''
g(x')
g(x)
f
g
f (x'')
f (g(x'))
f (g(x))
?
Ejemplo 1.28.
2
Solución: como f (x)= x2 +1, tenemos que
2
2 2
4
(g(x))
f (g(x))=
+1=
+1=
(4x+5)
2
resulta,
)
2
2
=16(x2 +1)+40 x2 +1+25
g( f (x)) =16×2 +40 x2 +1+41.
Nótese que f (g(x))? g( f (x)). Esto es, la composición de funciones no es conmutativa
Ejemplos 1.50.
1) Sea la función f :R ? Rdefinida por f (x)=x2. El dominio de f es el conjunto
R y el rango es el conjunto[0;+8).La gráfica de ésta función es mostrada en la figura 1.25.
Se han trazado tres rectas, y todas cortan la gráfica en un sólo punto, y esto sucede
únicamente cuando la curva es representativa de una función.
Es de observar que a cada número del dominio de f le corresponde solamente un
número del rango, esto es cumpliendo la definición de función.
31
Lic. Eleazar J. García
Teoría de Conjuntos y Funciones
Además, de la gráfica se puede observar que a cada elemento del rango de la
función le corresponden más de un elemento del dominio; éste es el caso de las funciones
sobreyectivas, concepto que estudiaremos más adelante.
Entonces, se puede afirmar que la función f :R ? R definida por f (x)=x2, es
una función sobreyectiva.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
17
x
y
f ( x) = x2
Figura 1.25
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
2
1
x
f ( x) =
x – 4
La función f es el conjunto de pares ordenados (x; y) para los cuales y=x2;es decir,
2;2 .
2) Sea la función g :[4;+8) ?[0;+8)definida por g(x)= x-4.
Para que la función g tenga imagen real, se debe verificar: x – 4 = 0 ? x = 4. Por lo
tanto, el dominio de g es el conjunto [4;+8) y el rango el conjunto [0;+8).La gráfica de g
se muestra en la figura 1.26. También, se han trazado tres rectas verticales y como podemos
ver cada una interfecta a la curva solamente en un punto.
y
Figura 1.26
-1
La función g consta de todos los pares ordenados (x; y) donde y= x-4;esto es,
g(x)={(x; y)/ y= x-4}. Algunos puntos que pertenecen a g son: (4;0);(5;1);(10; 6).
Hay que destacar que en toda función existe un sólo valor de la variable
dependiente para cada valor de la variable independiente del dominio de la función.
32
x2 + =1
i) x2 -16 = 0 (x + 4)(x – 4) = 0,
Teoría de Conjuntos y Funciones
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33
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2
1
x
y2
64 9
2
Consideremos el conjunto ? + =1?,cuya gráfica es una elipse de centro en el
? 64 9 ?
origen, mostrada en la figura 1.27.
y
Figura 1.27
4
-1
-2
-3
-4
Observe, que la elipse es intersectada por cualquier recta vertical en dos puntos
distintos, por lo tanto, cualquier elipse no es la gráfica de función alguna.
Geométricamente, esto significa que:
“Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más en un punto”.
Observe que en las figuras 1.25 y 1.26, cualquier recta vertical intersecta a cada
gráfica a lo sumo en un sólo punto.
1.46. Determinando dominios.
.
a) Halle el dominio de f (x) =
x2 -16
ln(x +10)
Solución: f debe verificar las siguientes condiciones,
i) x2 -16 = 0
ii) x +10 > 0
iii) ln(x +10) ? 0
Determinemos el conjunto solución de cada condición:
?
(-8,-4) -4
(-4,4)
4
(4,+ 8)
x + 4
x – 4
(x + 4)(x – 4)
–
–
+
0
–
0
+
–
–
+
0
0
+
+
+
Entonces, S1 =(-8,- 4]?[4,+ 8)
x +10 > 0
?
x > -10
ii)
ln(x +10) ? 0
? e0
?
ln(x+10)
?????????????•????????????•????
???? ?????????????????????-????
??????- ???????-???????????-????
= 0
x -3
Teoría de Conjuntos y Funciones
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Consecuentemente, S2 =(-10,+ 8)
? x +10 ?1 ?
x ? -9
iii) e
Lo que implica que, S3 =(-8,-9)?(-9,+ 8)
Ahora, el dominio es:
Dom f = S1 nS2 nS3
– 4 4
– 10
– 9
???? ?? ??????•????????????•????
– 10 – 9 – 4 4
S1 :
S2 :
S3 :
Dom f :
Por lo tanto, Dom f =(-10,-9)?(-9,- 4)?(4,+ 8).
.
b) Determine el dominio de g(x) =
1- x
x -3
Solución: las condiciones que g debe cumplir son:
1- x
i)
ii) x -3 ? 0
Hallemos los conjuntos solución:
1- x
i)
(-8,1)
1
(1,3)
3
(3,+ 8)
1- x
x -3
1-x
x-3
+
–
–
0
–
0
–
–
+
–
0
?
–
+
–
Entonces, S1 =[1,3)
ii) x -3 ? 0 ? x ? 3
Luego, S2 =(-8,3)?(3,+ 8)
El dominio se determina mediante: Dom f = S1 nS2
1
?????????•???-???????? ?????????
1 3
??-????-?????????–???? ?????????
3
?????????•???-????????3?????????
S1 :
S2 :
Dom f :
Por lo tanto, Domg =[1,3)
34
??-(x – 4) < 5
????????? ???-????????•?????????
????????? ???-???????? ?????????
? x ? ? ?p + 4,
Teoría de Conjuntos y Funciones
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.
c) Encuentre el dominio de h(x) =
x +1
x -4 -5
Solución: para cualquier x?R, (x +1)?R. Para que h(x)?R,debe satisfacer las
siguientes condiciones,
x – 4 -5 = 0
x – 4 -5 ? 0
i)
ii)
Determinemos el conjunto solución de cada condición:
x – 4 -5 = 0
?
x – 4 = 5
??x – 4 = 5 ?
??
x = 9
? – x + 4 < 5
? -1< x
i)
Por consiguiente, S1 =(-8,-1)?[9,+ 8).
x – 4 -5 ? 0 ?
x – 4 -5 ? 0
?
x – 4 ? 5
ii)
??x – 4 ? 5 ? x ? 9
?
Luego, S2 =(-8,-1)?(-1,9)?(9,+ 8).
El dominio de h se determina así: Domh = S1 nS2
–
– 1 9
– 1 9
????????? 1???-???????? 9?????????
S1 :
S2 :
Dom f :
Por lo tanto, Dom f =(-8,-1)?(9,+ 8).
d) Halle el dominio de f (x) = tg(x – 4).
? 2k +1?
? 2 ?
? 2k +1?
? 2 ?
?k ?Z.
? ? 2k +1? ?
? ? 2 ? ?
1.47. Ejercicios propuestos.
Determine el dominio de las siguientes funciones:
35
x -5x + 6
ln? ?-1
4) F( ) = sen x + ln? ?
? 3x – 2 ?
5) G( ) = log? ?
? 2+secx?
Lic. Eleazar J. García
Teoría de Conjuntos y Funciones
2
4
x
x
2x – 2
1) f (x) =
+ ln(x + 4)- x2 +3x + 2
2) g(x) = log?2ln2(x)+3ln(x)-1?
? ?
? 2x + 6?
? 2 ?
3) h(x) =
? x +1?
? x – 2?
.
1.48. Criterios de simetría.
La gráfica de una función f es:
i) Simétrica con respecto al eje y si y sólo si se obtiene una función equivalente al
sustituir x por – x en la función f.
ii) Simétrica con respecto al origen si y sólo si se obtiene una función equivalente
cuando se sustituye x por – x y y por – y en la función f.
Ejemplos 1.27.
1) La función
f (x) = x6 – x4 + x2,es simétrica con respecto al eje y, pues
-2
-1
1
2
5
4
3
2
1
9
8
7
6
x
f (-x)= f (x).
6 4 2
la función f es simétrica con respecto al eje y.
La gráfica de f (x) = x6 – x4 + x2, es mostrada en la figura siguiente:
y
f (x) = x6 – x4 + x2
Figura 1.28
-1
2) La función g(x) = x3 – x5, es simétrica con respecto al origen, puesto que
g(-x)=- g(x).
3 5
la función g es simétrica con respecto al origen.
36
-2
-1
1
2
Lic. Eleazar J. García
g (x) = x3 – x5
x
Teoría de Conjuntos y Funciones
La gráfica de g es presentada en la figura 1.26.
y
Figura 1.29
3
2
1
-1
-2
-3
No hemos considerado la simetría con respecto el eje x, sencillamente, porque
estamos estudiando solamente las simetrías de las gráficas de funciones.
1.50. Criterio para funciones pares e impares.
La función y= f (x) es par si f (-x)= f (x).
La función y= f (x) es impar si f (-x)=- f (x).
Toda función par es simétrica con respecto al eje y, y toda función simétrica con
respecto al eje y es par. Así mismo, toda función impar es simétrica con respecto al origen,
y toda función simétrica con respecto al origen es impar.
Refiérase a las figuras 1.25 y 1.26. La figura 1.25 es la gráfica de la función
f (x) = x6 – x4 + x2, la cual es simétrica con respecto al eje y, por ende, dicha función es
par. La figura 1.26 es la gráfica de la función g(x) = x3 – x5,la cual es simétrica con
respecto al origen, y así podemos asegurar que g es una función impar. A continuación se
proporcionan otros ejemplos.
Ejemplos 1.29.
2
3
1.51. Función inyectiva.
Una función f es inyectiva si a elementos diferentes del dominio de f le
corresponden elementos diferentes del rango.
f es inyectiva ? f (a)= f (b) ? a=b.
37
38
Lic. Eleazar J. García
Ejemplo 1.30.
La función f :R?R
definida por
Teoría de Conjuntos y Funciones
f (x)=2x-1 es inyectiva, puesto que
f (a)= f (b) ? 2a-1=2b-1 ? 2a=2b ? a =b.
1.52. Función sobreyectiva.
Una función f es sobreyectiva cuando los elementos del rango tienen una o varias
contraimágenes del dominio de f.
Ejemplo 1.31.
La función g :R?[0;+8) definida por g(x)=x2 es sobreyectiva, pues a cada
elemento del intervalo [0;+8) le corresponden dos contraimágenes con excepción del 0
que le corresponde una sola contraimagen.
1.53. Función biyectiva.
Una función f es biyectiva, si y sólo si, es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 1.32.
La función del ejemplo 1.30 es biyectiva, pues es inyectiva y sobreyectiva.
1.54. Ejercicios propuestos.
Dadas las siguientes funciones:
a) f :R?R definida por f (x)=x3. b) g :R?R definida por g(x)= x3 -8.
3
2×2 + x-3
x2 -16
. d) r :R?R definida por
c) h:R?R-{4} definida por h(x)=
x4 -36
r(x)=
.
2x
1)
2)
3)
4)
Determine cuál de las funciones anteriores es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Determine cuál o cuales de las funciones anteriores son pares o impares.
Determine la simetría de las funciones anteriores.
Determine:
4.1) ( f g)(x). 4.2) h(r(x)). 4.3) (g r)(x).
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