TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO
Llamaremos transformación geométrica a una operación u operaciones geométricas que
permiten deducir una nueva figura de la primitivamente dada. El transformado se llama
Homólogo del original.
Tenemos un primera clasificación inicial de las transformaciones:
– Directa, cuando conservan el sentido en el plano orientado,
– Inversa, cuando los sentidos del original y homólogo son contrarios.
Tenemos otra clasificación en función del aspecto de figura homóloga respecto a la
original:
– Isométricas, cuando conservan las dimensiones y ángulos; se denominan también
movimientos, y veremos las simetrías axial y central, la traslación y el giro.
– Isomórficas, cuando conservan la forma de la figura original (los ángulos). Existe
proporcionalidad entre las dimensiones de la figura original y homóloga;
veremos la homotecia.
-Anamórficas, cuando cambia la forma de la figura original; veremos la inversión.
Los Elementos Característicos son los que definen las correspondencias entre las
figuras original y homóloga en una transformación.
Denominaremos Elementos Dobles a los homólogos de sí mismos en una
transformación.
Llamaremos producto de transformaciones a la que se obtiene por la aplicación
sucesiva de dos o más transformaciones parciales en un determinado orden.
Las transformaciones son herramientas que se utilizan para resolver ejercicios que
originalmente por su disposición eran de resolución complicada.
1.- TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS —> MOVIMIENTOS
Estas transformaciones se suponen conocidas por los alumnos, aunque se va a hacer un
repaso muy breve de sus características principales.
1.1.- Simetría Central.
Como podemos ver en la figura, para obtener el homólogo de un punto en Simetría
Central, trazaremos el segmento que une dicho punto con el Centro de Simetría (C.S.), y a
continuación lo prolongaremos una longitud igual a la existente entre dicho punto y el C.S.
El elemento característico de esta transformación es el Centro de Simetría (C.S.).
Tiene como propiedades ser involutivo (la aplicación sucesiva de dos simetrías con el
mismo centro de simetría obtiene el elemento original) y ser directo (conserva la relación de
ordenación en el plano como puede verse en la figura de ejemplo)
Los elementos dobles son: el propio Centro de Simetría, las rectas que pasan por él, y
las circunferencias que tienen como centro el Centro de Simetría (en este último caso es doble
la entidad, pero no los puntos de la misma).
1.2.- Simetría Axial.
Como podemos ver en la figura, para obtener el homólogo de un punto en la Simetría
Axial, se traza una perpendicular desde dicho punto al eje de simetría (e.s.), y a continuación
se prolonga la misma distancia que existe desde dicho punto al eje.
El elemento característico de esta transformación es el eje de simetría.
Tiene com propiedades ser involutivo, y es inverso (no conserva la relación de
ordenación del plano, como puede verse en la figura de ejemplo).
Los elementos dobles son: el propio eje de simetría, las rectas perpendiculares al eje,
y las circunferencias cuyo centro están situadas en el eje de simetría (en estos dos últimos
casos es doble la entidad, pero no los puntos de que está compuesta).
1.3.- Traslación.
Como podemos ver en la figura, para obtener el homólogo de un punto en la
Traslación, situaremos el extremo de un segmento equivalente al vector de traslación (v.t.)
sobre el punto, y el homólogo estará situado en el otro extremo.
Su elemento característico es un vector que nos define una dirección, un módulo y un
sentido.
Es una transformación directa (como puede verse en la figura de ejemplo) pero no
involutiva. Si existe por el contrario la traslación recíproca definida por el vector opuesto.
Sólo podemos considerar como elementos dobles las rectas cuya dirección sea la de
traslación, teniendo en cuenta que no son dobles los puntos de que están compuestas.
1.4.- Giro.
Como podemos ver en la figura, para obtener el homólogo de un punto en el Giro,
trazaremos por el punto un arco con centro en el Centro de Giro (C.G.) que abarque el ángulo
de giro indicado.
Sus elementos característicos son el Centro de Giro y el Ángulo de Giro. Se considera
positivo el sentido contrario a las agujas del reloj.
Es una transformación directa (como puede verse en la figura de ejemplo)
.
Los elementos dobles serían el Centro de Giro y las circunferencias cuyo centro es el
Centro de Giro ( en este último caso es doble la entidad, aunque no los puntos de que está
compuesta).
2.- TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS —> HOMOTECIA
Como podemos ver en la figura, para obtener el homólogo de un punto en la
Homotecia, se traza la recta que contiene al punto y al Centro de Homotecia (C.H.), y a
continuación se lleva sobre dicha recta, y a partir del Centro de Homotecia, la distancia
correspondiente de multiplicar la Razón de Homotecia por la longitud que hay entre el Centro
de Homotecia y el punto original.
A la vista del ejemplo anterior, podemos comprobar que los elementos característicos
de la Homotecia serán su Centro de Homotecia y la Razón de Homotecia, que cumplirá:
k =
CH A'
CH A
Para aquellos valores de k>0, los elementos homotéticos estarán a un mismo lado del Centro
de Homotecia, mientras que para valores inferiores a 0 estarán a distinto lado. Si *k*>1 la
figura homóloga será mayor, mientras que si es inferior a 1 será de menor tamaño.
Como vimos en la definición de Transformación Isomórfica, se conservan los ángulos,
y las distancias serán proporcionales a k. Es una transformación directa.
Los elementos dobles serán el Centro de Homotecia y las rectas que pasen por él,
teniendo en cuenta en este último caso que
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