RESUMEN
En este artículo se sugiere una
demostración directa de la Conjetura Fuerte de Goldbach
titulada Binaria, fundamentada en las razones y argumentos
lógico-matemáticos que conlleva a probar mediante
una serie de razonamientos bajo la regla de inferencia
clásica (Modus Ponens), la prueba de la
concatenación de hipótesis válidas, implica
una conclusión verdadera. Es extremadamente importante
este tipo de demostraciones para el desarrollo de las
teorías de conjunto y numérica.
PALABRAS CLAVES: Conjetura,
demostración directa, par, primo, divisores,
ecuación, teorema.
ABSTRACT
This article suggests a direct demonstration titled
Goldbach Conjecture Strong Binary, based on reason and
logical-mathematical arguments leading to prove by a
series of arguments under classical inference rule
(Modus Ponens), proof of the concatenation of valid hypothesis
implies a true conclusion. It is extremely important to this type
of demonstrations to develop theories and numerical
set.
KEYWORDS: Conjecture, direct
demonstration, even number, cousin number, dividers, equation,
theorem.
1.
INTRODUCCIÓN
La trascendencia de la ciencias matemáticas con
el irreversible caudal de información que viaja al segundo
dentro de las potencialidades de la red, convergen para conseguir
avances con celeridad en los grandes adelantos y, aportes para
otras ramas del saber; desde las nanotecnologías hasta la
robóticas e ingenierías más avanzadas,
requieren del conocimiento con la aprobación de lo
más cercano a la verdad, que pueda remontar la
cúspide de las velocidades asombrosas de la creatividad
indispensable para la vida diaria; un algoritmo, un número
como un dato en su justo instante puede generar la
paz suficiente para mantener los sistemas que hacen más
dinámica y comprensible el trajinar de este
mundo.
La actual exposición ambiciona generar dentro de
la comunidad científica la oportuna curiosidad con
tendencia práctica al estudio del conjunto de los
números primos. Un conjunto de números naturales
que sólo poseen dos divisores, la unidad y el mismo
número; sujetos a infinidad de leyes dentro de las
estructuras algebraicas y aritméticas posibles que
conducen a la formación de un mundo diverso de opciones y
creaciones dentro de la hermosura y sencillez de las expresiones
hechas con guarismos, de la invención cultural y
humana.
La demostración formal, general o rigurosa de una
conjetura o paradoja es un reto. Expuesta por el
matemático prusiano o ruso (de Konigsberg o Kaliningrado)
Christian Goldbach en una misiva enviada el 7 de junio de
1742 a su homólogo suizo Leonhard Euler, esta
conjetura sostiene que "todo número par mayor que 2 puede
escribirse como suma de dos números primos".
Es realmente digno, exponer con suma naturalidad los
planteamientos que por largo rato se mantienen en el oscuro
laberinto de las suposiciones, profanar con el bisturí de
la razón y cortar finamente los tejidos que concatenan el
mundo asombroso de los números.
Simplicidad para comprender, la grandeza inscrita en la
humildad más diáfana de los grandes
matemáticos que precedieron, aportando tan asombrosas
ideas al campo infinito de la investigación
2. MATERIALES Y
METODOS
Observación y estricta consideración a los
principios de la Teoría de Números o
Aritmética y a los fundamentos teórico
prácticos esenciales en la demostraciones
matemáticas directas.
3.
RESULTADOS
Enunciado1(Goldbach). Sean p1 y
p2 , números primos mayores que 2,
p1 ≤ p2;
n un número natural
cualquiera, tal que p2 = p1 + 2n,
Entonces p1 + p2 es par.
Demostración:
Hipótesis:
H: Sean p1 y p2 , números primos
mayores que 2,
p1 ≤ p2 ;
n un número
natural cualquiera, tal que
p2 = p1 + 2n
Conclusión:
Q: p1 + p2 es par.
Secuencia de la demostración:
· Por identidad o propiedad de
idempotencia de los números naturales:
p1 = p1
· Sumamos 2n a ambos lados de la
ecuación. Ecuación A :
p1 + 2n = p1 + 2n
· Sustituimos, por hipótesis
H,
p1 + 2n = p2 en el primer miembro
de la ecuación A:
p2 = p1 +2n
· Sumamos p1 a ambos lados de la
ecuación: p2 + p1 = p1 + 2n + p1
· Agrupamos, por propiedad conmutativa y
asociativa de la adición de números
naturales: p1 + p2 = 2 p1 +
2n
· Por factor común:
p1 + p2 = 2 ( p1 +
n)
Expresión matemática que nos indica que
la suma de dos primos mayores que 2, es par; quedando
formalmente demostrado el
Enunciado1(Goldbach).
4.
DISCUSION
El Conjunto de los Números Naturales N=
{0,1,2,3,4,5…} encierra importantes características
en torno a las diferentes operaciones que con sus elementos
infinitos se puedan realizar, de acuerdo a ciertas leyes que le
otorgan organicidad. Como consecuencia de la aplicación de
estos fundamentos surgen relevantes clasificaciones; como por
ejemplo, el uso del Teorema Fundamental de la
Aritmética que afirma : "que cualquier Número
Natural puede representarse como producto de Números
Primos y su factorización, en cada caso es única"
nos conduce a utilizar un subconjunto de los Naturales llamado
Números Primos P={2,3,5,7…} y por consiguiente toda
una infinidad de conocimientos alrededor de este inquietante
motor de la investigación.
Un ejemplo didáctico de este planteamiento
demostrativo se puede citar:
Sea p1 = 11 y p2 17 por formulación
probada
p1 + p2 = 2 ( p1 + n), se tiene
11 + 17 = 2 (11 + 3)
= 2 * 14
= 28
Se observa que el número natural n
satisface la ecuación en cada caso que pueda exponerse y
debe buscarse por n = (p2
– p1 )/2
Como consecuencia de este planteamiento y
comparándolo con la propuesta clásica de la
Conjetura de Goldbach ( p1 + p2 = 2
n)
Se aprecia lo siguiente:
Si p1 y p2 son primos, n1 y
n2 son números naturales,
entonces:
p1 + p2 = 2 n1 (propuesta
clásica)
p1 +p2 = 2 (p1 + n2 )
(propuesta planteada)
(se suma miembro a miembro y se
simplifica)
2 p1 +2 p2 = 2 n1 + 2 ( p1 +
n2 )
p1 + p2 = n1 + p1 +
n2
p2 = n1 + n2
Expresión última que comprueba que
no existe contradicción entre los dos
planteamientos.
Volviendo a la fórmula de la propuesta
clásica y sustituyendo a p2 ,
se tiene:
p1 + ( n1 + n2 ) = 2 n1
p1 + n2 = n1
p1 = n1 – n2
En el ejemplo numérico citado, con
fines didácticos, si se sustituye:
p2 = n1 + n2
p2 = 14 + 3
p2 = 17
p1 = n1 – n2
p1 = 14 – 3
p1 = 11
Los nuevos modelos o prototipos que se han
presentado a nivel tecnológico demuestran el avance
indescriptible de las ciencias con miras a profundizar el trabajo
útil generador y hacer más viable la
resolución de problemas prácticos sobre lo que gira
la vida moderna de la sociedad.
La distribución de los
Números Primos constituye uno de los enigmas,
quizás de mayor relevancia, donde matemáticos y
aficionados proponen una diversidad de criterios de
múltiple interés que fortalecen y acercan
más los planteamientos teóricos hacia soluciones
realmente sencillas.
Ideas acompañadas de fórmulas contribuyen
y conducen al desarrollo de modelos que permitan la
resolución de preguntas que se encuentran en espera,
alternativas que proponen horizontes de verdaderas
potencialidades donde antes reinaba la incertidumbre.
La fuerza de las matemáticas está en la
demostración, constituyéndose en un eslabón
de amplia estima para todas las ciencias. El proceso
diáfano de la demostración directa, es un
procedimiento, en el cual se parte de al menos una
hipótesis, siguiendo una estructura secuencial y
lógica con argumentos matemáticos plenamente
válidos, consiguiendo finalmente la conclusión
deseada.
5.
REFERENCIAS
[1] Clawson, Calvin . "Misterios
Matemáticos" Ed. Diana. México,
1999.
[2] Hardy, Wright. "An introduction to the Theory of
Numbers", Oxford at the Clarendom Press (1997).
[3] http://mathworld.wolfram.com/Goldbac
hConjecture.html
[4]
http://www.dpmms.cam.ac.uk/Number-
Theory-Web/web.html
Autor:
Ramon Freytez Oliveros
Ingeniero de Sistemas
Sanare. Estado Lara. Venezuela.