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Desigualdades. Inecuaciones e Intervalos

Enviado por homero bardales





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? ? o ( ) ( ) ( ) ( ) ? RESUMEN El conjunto de números reales está formando por los números racionales e irracionales se designa por . El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; El presente trabajo trata sobre los diferentes teoremas y aplicaciones de la matemática en ejercicios aplicados a un tema específico como se señalara más adelante DESIGUALDADES: Se conoce con el nombre desigualdades a toda proporción que tiene una relación < > = = que. INECUACION LINEALES: Una inecuación lineal o de primer grado en una variable x, es una desigualdad de la forma: P(x): ax + b >0 o P(x):ax + b 0 P(x): + bx +c < 0 Donde a, b, c son números reales y a?0 INECUACIONES RACIONALES: Una inecuación racional es una desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma : > 0 o = = que. 1) 2) 3) 4) a < b a > b a = b a=b b–a > 0 a–b > 0 a < b , a = b a > b , a = b a < b ^ a > b, se llaman desigualdades estrictas. a = b ^ a = b , se les llama desigualdades no estrictas. Para un mejor desarrollo de citan los siguientes teoremas ya que dichos teoremas iniciara con una enumeración que continua de temas anteriores que son de capítulo de sistema de numero reales. Teorema 19: si a -b -b < -a Demostración Si a < b ? a < b a + (-a) + (-b) < b + (-a) + (-b) [a + (-a)] + (-b) < [b + (-b)] + (-a) 0 + (-b) < 0 + (-a) -b < -a -a > -b Teorema 21: Si a < b ^ c < o ? ac > bc Demostración a < b ^ c < 0 ? a < b a < b ^ -c > 0 ? a(-c) < b(-c) (-ac) < (-bc) [-(-ac)] > [-(-bc)] Ac > bc A5, A3 A4 T3 T20 T4 Teorema 22: Si a < b ^ c > o ? ac < bc Demostración a < b ^ c > 0 ? a < b a < b ^ -c < 0 ? a(-c) > b(-c) 9

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(-ac) > (-bc) [-(-ac)] < [-(-bc)] ac < bc Teorema 23: si a ? 0 ? a2 > 0 Demostración 1. Si a < 0 2. Si a > 0 Si a < 0 ^ -a > 0 ? a < 0 a(-a) < 0(-a) -(a.a) < 0 -(a2) < 0 -(-a2) > 0 a2 > 0 Si a > 0 ^ -a < 0 ? a>0 a(-a) > 0(-a) -(a.a) > 0 -(a2) > 0 -(-a2) < 0 a2 < 0 T3 T20 T4 O3 T3, T1 potenciación T20 T4 O3 T3, T1 potenciación T20 T4 Teorema 24: i) Si a > 0 ? a-1 >0 ii) Si a < 0 ? a-1 < 0 Demostración 10

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i) O3 O3 O3 O3 -1 O3 a > 0 ? 1. 2. 3. a-1 > 0 a-1 < 0 a-1 = 0 a-1 > 0 1. a > 0 ^ a-1 < 0 ? a > 0 aa-1 < 0a-1 1 < 0 2. a > 0 ^ a-1 = 0 ? a > 0 aa-1 > 0a-1 1 > 0 3. a > 0 ^ a-1 > 0 ? a > 0 aa-1 > 0a-1 1 > 0 M5 T1 M5 T1 M5 T1 ii) a < 0 ? a-1 < 0 1. a < 0 ^ a-1 < 0 ? a < 0 aa-1 > 0a-1 1 > 0 2. a < 0 ^ a = 0 ? a < 0 aa-1 < 0a-1 M5 T1 O3 1 < 0 M5 T1 3. a < 0 ^ a-1 > 0 ? a < 0 a-1 < 0a-1 1 < 0 M5 T1 Teorema 25: Si a y b tiene el mismo signo y si a < b ? a-1 < b-1 Demostración 1° Si de que ay b sean positivos a > 0 y b > 0 2° Si es que a y b sean negativos a < 0 y b < 0 1. a < b ? a < b 11

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O3 O3 ii) a > 0 ^ a-1 > 0 ? aa-1 < ba-1 b > 0 ^ b-1 > 0 ? aa-1b-1 < ba-1b-1 (aa-1)b-1 < (bb-1)a-1 1b-1 < 1a-1 b-1 < a-1 2. a < b ? a < b a < 0 ^ a-1 < 0 ? aa-1 > ba-1 b < 0 ^ b-1 < 0 ? aa-1b-1 < ba-1b-1 (aa-1)b-1 < (bb-1)a-1 1b-1 < 1a-1 b-1 < a-1 Teorema 26: i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) ii) ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0) Demostración i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) Si a > 0 ^ b > 0 ? ab > 0 a > 0 ^ -b < 0 ? a(-b) < 0(-b) T24 T24 M3, M2 M5 M4 T24 T24 M3, M2 M5 M4 -(ab) < 0 -[-(ab)] > 0 ab > 0 Si a < 0 ^ b < 0 ? ab > 0 a < 0 ^ -b > 0 ? a(-b) < 0(-b) -(ab) < 0 -[-(ab)] > 0 ab > 0 T3 T20 T4 T3 T20 T4 ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0) 12

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O3 O3 O3 O3 O3 Si a > 0 ^ b < 0 ? ab > 0 a > 0 ^ -b > 0 ? a(-b) > 0(-b) -(ab) > 0 -[-(ab)] < 0 ab < 0 Si a < 0 ^ b > 0 ? ab > 0 a < 0 ^ -b > 0 ? a(-b) > 0(-b) -(ab) > 0 -[-(ab)] < 0 ab < 0 i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) Probando si a > 0 ? b > 0 a < 0 ? b < 0 1. a > 0 ? 1/a > 0 ab > 0 ? 1/a(ab) > 1/a(0) b > 0 2. si a < 0 ? b < 0 a < 0 ? 1/a < 0 ab > 0 ? 1/a(ab) < 1/a(0) b < 0 ii) ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0) Probando si a > 0 ? b < 0 a < 0 ? b > 0 1. a > 0 ? 1/a > 0 T3 T20 T4 T3 T20 T4 T24 T24 T24 ab < 0 ? 1/a(ab) < 1/a(0) b < 0 2. si a < 0 ? b > 0 13

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O3 i) i) O3 M5 a < 0 ? 1/a < 0 T24 ab < 0 ? 1/a(ab) > 1/a(0) b > 0 Teorema 27: i) a/b > 0 ^ b ? 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) ii) a/b < 0 ^ b ? 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0) Demostración (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) ? a/b > 0, b ? 0 Si a > 0 ^ b > 0 ? a/b a > 0 ^ b-1 > 0 ? a(b-1) > 0(b-1) a/b > 0 Si a/b > 0 ? (a < 0 ^ b < 0) v (a > 0 ^ b > 0) , b ? 0 a > 0 ? b > 0 a > 0 ? a-1 > 0 a/b > 0 ? a/b(a-1) > 0(a-1) 1/b > 0 Si b > 0 ? b-1 > 0 Teorema 28: Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2 ? a > b Demostración I Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2 a > 0 ^ b = 0 ? a2 + (-b2) > b2+ (-b2) (a – b)(a + b) > 0 (a – b)(a + b)(a + b)-1 > 0(a + b)-1 T24, O3 T24 (a – b)[(a + b)(a + b)-1] > 0 M3, T1 14

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A5 II O3 O3 I II b = 0 ? a2 = b ? a = vb a = - vb a > vb -a > vb (a – b)1 > 0 a–b > a +(-b) + [-(-b)] > 0 + [-(-b)] a + (-b) + b > b a > b Si a = 0 ^ b = 0 ? a > b ? a2 > b2 1. Si a > 0 ^ b = 0 ? aa > ba a2 > ab 2. Si a = 0 ^ b > 0 ? ab > bb ab > b2 3. De 1 y 2 se tiene ? a2 > b2 a2 > ab ^ ab > b2 Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2? a > b Si a = 0 ^ b = 0 ? a > b ? a2 > b2 a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2 ? a > b M4 definición de sustracción Teorema 29: si b = 0 ? a2 > b ? a > vb Demostración a < - vb i) Consideramos los casos a > 0 y a < 0 1. Si a > 0 , b = 0 ? a2 > b a2 >( vb)2 2. Si a < 0 , b = 0 ? (-a)2 > b (-a)2 > ( vb)2 T32 T32 15

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a b ? a > vb v a < - vb Teorema 30: Si i) b > 0 ? a2 > b ?- vb < a < vb La demostración de este teorema es similar a la demostración del teorema 29 por lo que ya no de redactar en este informe. ii) si a = 0 ^ b > 0 ? ( va < vb ? 0 = a < b) Demostración 1. Si va = vb ?( va)b = ( vb)2 Pero si a = 0 ^ b = 0 ? 0 = a = b B. INECUACIONES Matemática Básica / A. Venero B. / 2 Edición 2012, menciona: Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas variables y que solo son verdaderas para determinados valores de dichas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma Po la solución de una inecuación entendemos al conjunto de todos los números, cada uno de los cuales, al reemplazar la variable x, hace verdadera la desigualdad. 16

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? -3 - [ , + 8 ) A continuación veremos las técnicas para resolver diversos tipos de inecuaciones de una variable en R. INECUACION LINEALES Una inecuación lineal o de primer grado en una variable x, es una desigualdad de la forma: P(x): ax + b >0 o P(x): ax + b 0 ? [( > 0 > 0) ( ? >v < -v Si Si ??) . < 0 ? [( > 0 < 0) ( 0 + bx + c < 0 Donde a, b, c son números reales y a?0. Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones (1) y (2) existen dos métodos: a) Método de factorización b) Método de completar el cuadrados a) Método de factorización: se utiliza cuando el trinomio + bx +c es factorizable y su resolución se basa en la aplicación del teorema 30 (se aplica regla de los signos para la multiplicación). ??) . < 0 ? [( > 0 < 0) ( 0)] b) Método de completar el cuadrado: este método consiste en transformar el trinomio P(x): teoremas: Ejemlos: >0 ? < ? -v < 2 = 3) ( 0 o 0 o ( + )( + ) ?( > -1 > 2) ( < -1 < 2) Ejemplo 2 S= [ € ¦ < -1 > 2] - 2 < 0) Resolver Solución =3 -3 =0 ? = 0? =0 Inecuación equivalente ( - 2)( - 3) =0 , x ?2 ? ( >2 = 3) (

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