?
?
o
( ) ( )
( ) ( )
?
RESUMEN
El conjunto de números reales está formando por los números racionales e
irracionales se designa por . El conjunto de los números reales contiene todos los
números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; El presente trabajo trata
sobre los diferentes teoremas y aplicaciones de la matemática en ejercicios aplicados
a un tema específico como se señalara más adelante
DESIGUALDADES:
Se conoce con el nombre desigualdades a toda proporción que tiene una
relación < > = = que.
INECUACION LINEALES: Una inecuación lineal o de primer grado en una
variable x, es una desigualdad de la forma:
P(x): ax + b >0 o
P(x):ax + b 0
P(x):
+ bx +c < 0
Donde a, b, c son números reales y a?0
INECUACIONES RACIONALES: Una inecuación racional es una desigualdad
condicional que reducida a su más simple expresión tiene la forma :
> 0 o = =
que.
1)
2)
3)
4)
a < b
a > b
a = b
a=b
b–a > 0
a–b > 0
a < b , a = b
a > b , a = b
a < b ^ a > b, se llaman desigualdades estrictas.
a = b ^ a = b , se les llama desigualdades no estrictas.
Para un mejor desarrollo de citan los siguientes teoremas ya que dichos teoremas iniciara
con una enumeración que continua de temas anteriores que son de capítulo de sistema
de numero reales.
Teorema 19: si a <b 1 3 8 ^ c -b
-b < -a
Demostración
Si a < b ? a < b
a + (-a) + (-b) < b + (-a) + (-b)
[a + (-a)] + (-b) < [b + (-b)] + (-a)
0 + (-b) < 0 + (-a)
-b < -a
-a > -b
Teorema 21: Si a < b ^ c < o ? ac > bc
Demostración
a < b ^ c < 0 ? a < b
a < b ^ -c > 0 ? a(-c) < b(-c)
(-ac) < (-bc)
[-(-ac)] > [-(-bc)]
Ac > bc
A5, A3
A4
T3
T20
T4
Teorema 22:
Si a < b ^ c > o ? ac < bc
Demostración
a < b ^ c > 0 ? a < b
a < b ^ -c < 0 ? a(-c) > b(-c)
9
(-ac) > (-bc)
[-(-ac)] < [-(-bc)]
ac < bc
Teorema 23: si a ? 0 ? a2 > 0
Demostración
1. Si a < 0
2. Si a > 0
Si a < 0 ^ -a > 0 ? a < 0
a(-a) < 0(-a)
-(a.a) < 0
-(a2) < 0
-(-a2) > 0
a2 > 0
Si a > 0 ^ -a < 0 ? a>0
a(-a) > 0(-a)
-(a.a) > 0
-(a2) > 0
-(-a2) < 0
a2 < 0
T3
T20
T4
O3
T3, T1
potenciación
T20
T4
O3
T3, T1
potenciación
T20
T4
Teorema 24: i) Si a > 0 ? a-1 >0
ii) Si a < 0 ? a-1 < 0
Demostración
10
i)
O3
O3
O3
O3
-1
O3
a > 0 ?
1.
2.
3.
a-1 > 0
a-1 < 0
a-1 = 0
a-1 > 0
1. a > 0 ^ a-1 < 0 ? a > 0
aa-1 < 0a-1
1 < 0
2. a > 0 ^ a-1 = 0 ? a > 0
aa-1 > 0a-1
1 > 0
3. a > 0 ^ a-1 > 0 ? a > 0
aa-1 > 0a-1
1 > 0
M5 T1
M5 T1
M5 T1
ii)
a < 0 ? a-1 < 0
1. a < 0 ^ a-1 < 0 ? a < 0
aa-1 > 0a-1
1 > 0
2. a < 0 ^ a = 0 ? a < 0
aa-1 < 0a-1
M5 T1
O3
1
< 0
M5 T1
3. a < 0 ^ a-1 > 0 ? a < 0
a-1 < 0a-1
1 < 0
M5 T1
Teorema 25: Si a y b tiene el mismo signo y si a < b ? a-1 < b-1
Demostración
1° Si de que ay b sean positivos a > 0 y b > 0
2° Si es que a y b sean negativos a < 0 y b < 0
1. a < b ? a < b
11
O3
O3
ii)
a > 0 ^ a-1 > 0 ? aa-1 < ba-1
b > 0 ^ b-1 > 0 ? aa-1b-1 < ba-1b-1
(aa-1)b-1 < (bb-1)a-1
1b-1 < 1a-1
b-1 < a-1
2. a < b ? a < b
a < 0 ^ a-1 < 0 ? aa-1 > ba-1
b < 0 ^ b-1 < 0 ? aa-1b-1 < ba-1b-1
(aa-1)b-1 < (bb-1)a-1
1b-1 < 1a-1
b-1 < a-1
Teorema 26: i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0)
ii) ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0)
Demostración
i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0)
Si a > 0 ^ b > 0 ? ab > 0
a > 0 ^ -b < 0 ? a(-b) < 0(-b)
T24
T24
M3, M2
M5
M4
T24
T24
M3, M2
M5
M4
-(ab) < 0
-[-(ab)] > 0
ab > 0
Si a < 0 ^ b < 0 ? ab > 0
a < 0 ^ -b > 0 ? a(-b) < 0(-b)
-(ab) < 0
-[-(ab)] > 0
ab > 0
T3
T20
T4
T3
T20
T4
ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0)
12
O3
O3
O3
O3
O3
Si a > 0 ^ b < 0 ? ab > 0
a > 0 ^ -b > 0 ? a(-b) > 0(-b)
-(ab) > 0
-[-(ab)] < 0
ab < 0
Si a < 0 ^ b > 0 ? ab > 0
a < 0 ^ -b > 0 ? a(-b) > 0(-b)
-(ab) > 0
-[-(ab)] < 0
ab < 0
i) ab > 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0)
Probando si a > 0 ? b > 0
a < 0 ? b < 0
1. a > 0 ? 1/a > 0
ab > 0 ? 1/a(ab) > 1/a(0)
b > 0
2. si a < 0 ? b < 0
a < 0 ? 1/a < 0
ab > 0 ? 1/a(ab) < 1/a(0)
b < 0
ii) ab < 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0)
Probando si a > 0 ? b < 0
a < 0 ? b > 0
1. a > 0 ? 1/a > 0
T3
T20
T4
T3
T20
T4
T24
T24
T24
ab < 0 ? 1/a(ab) < 1/a(0)
b < 0
2. si a < 0 ? b > 0
13
O3
i)
i)
O3
M5
a < 0 ? 1/a < 0
T24
ab < 0 ? 1/a(ab) > 1/a(0)
b > 0
Teorema 27: i) a/b > 0 ^ b ? 0 ? (a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0)
ii) a/b < 0 ^ b ? 0 ? (a > 0 ^ b < 0) v (a < 0 ^ b > 0)
Demostración
(a > 0 ^ b > 0) v (a < 0 ^ b < 0) ? a/b > 0, b ? 0
Si a > 0 ^ b > 0 ? a/b
a > 0 ^ b-1 > 0 ? a(b-1) > 0(b-1)
a/b > 0
Si a/b > 0 ? (a < 0 ^ b < 0) v (a > 0 ^ b > 0) , b ? 0
a > 0 ? b > 0
a > 0 ? a-1 > 0
a/b > 0 ? a/b(a-1) > 0(a-1)
1/b > 0
Si b > 0 ? b-1 > 0
Teorema 28: Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2 ? a > b
Demostración
I Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2
a > 0 ^ b = 0 ? a2 + (-b2) > b2+ (-b2)
(a – b)(a + b) > 0
(a – b)(a + b)(a + b)-1 > 0(a + b)-1
T24, O3
T24
(a – b)[(a + b)(a + b)-1] > 0
M3, T1
14
A5
II
O3
O3
I
II
b = 0 ? a2 = b ? a = vb
a = – vb
a > vb
-a > vb
(a – b)1 > 0
a–b >
a +(-b) + [-(-b)] > 0 + [-(-b)]
a + (-b) + b > b
a > b
Si a = 0 ^ b = 0 ? a > b ? a2 > b2
1. Si a > 0 ^ b = 0 ? aa > ba
a2 > ab
2. Si a = 0 ^ b > 0 ? ab > bb
ab > b2
3. De 1 y 2 se tiene ? a2 > b2
a2 > ab ^ ab > b2
Si a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2? a > b
Si a = 0 ^ b = 0 ? a > b ? a2 > b2
a = 0 ^ b = 0 ? a2 > b2 ? a > b
M4
definición de sustracción
Teorema 29: si b = 0 ? a2 > b ? a > vb
Demostración
a < – vb
i)
Consideramos los casos a > 0 y a < 0
1. Si a > 0 , b = 0 ? a2 > b
a2 >( vb)2
2. Si a < 0 , b = 0 ? (-a)2 > b
(-a)2 > ( vb)2
T32
T32
15
a b ? a > vb v a < – vb
Teorema 30: Si i) b > 0 ? a2 > b ?- vb < a < vb
La demostración de este teorema es similar a la demostración del teorema 29 por lo que
ya no de redactar en este informe.
ii) si a = 0 ^ b > 0 ? ( va < vb ? 0 = a < b)
Demostración
1. Si va = vb ?( va)b = ( vb)2
Pero si a = 0 ^ b = 0 ? 0 = a = b
B. INECUACIONES
Matemática Básica / A. Venero B. / 2 Edición 2012, menciona:
Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades desconocidas
llamadas variables y que solo son verdaderas para determinados valores de dichas
variables.
Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma
Po la solución de una inecuación entendemos al conjunto de todos los números, cada
uno de los cuales, al reemplazar la variable x, hace verdadera la desigualdad.
16
?
-3 – [ , + 8 )
A continuación veremos las técnicas para resolver diversos tipos de inecuaciones de una
variable en R.
INECUACION LINEALES
Una inecuación lineal o de primer grado en una variable x, es una desigualdad de la
forma: P(x): ax + b >0 o
P(x): ax + b 0 ? [( > 0 > 0) ( ? >v < -v
Si
Si
??) . < 0 ? [( > 0 < 0) ( 0
+ bx + c < 0
Donde a, b, c son números reales y a?0.
Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones (1) y (2) existen dos
métodos:
a) Método de factorización
b) Método de completar el cuadrados
a) Método de factorización: se utiliza cuando el trinomio
+ bx
+c
es
factorizable y su resolución se basa en la aplicación del teorema 30 (se aplica
regla de los signos para la multiplicación).
??) . < 0 ? [( > 0 < 0) ( 0)]
b) Método de completar el cuadrado: este método consiste en transformar el
trinomio P(x):
teoremas:
Ejemlos: >0 ? < ? -v < 2
= 3)
( 0 o
0 o ( + )( + )
?( > -1 > 2) ( < -1 < 2)
Ejemplo 2 S= [ € ¦ < -1 > 2]
– 2 < 0)
Resolver
Solución
=3
-3 =0 ? = 0? =0
Inecuación equivalente ( – 2)( – 3) =0 , x ?2
? ( >2 = 3) (
<b 1 3 8 ^ c