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Explorando la relatividad especial

Enviado por Tanya Lewin





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T m o n o ia e o ia e o a a a a ia e C v io u Cuando ansiamos respuestas l´gicas observamos se˜ales. Cada hecho indica algo preciso para iluminar nuestro itinerario. Explorando la Relatividad Especial 1. Expresi´n transformada de la energ´ cin´tica Tradicionalmente se recurre al desarrollo en serie para comparar la f´rmula relativista de la energ´ cin´tica con la f´rmula cl´sica. Hay un modo m´s directo y m´s did´ctico, que a los estudiantes de todos los niveles les resulta convincente. S´imbolos energ´ cin´tica masa en movimiento m0 masa en reposo velocidad de la luz en el vac´ velocidad del objeto Transformaci´n Escribamos las ecuaciones de partida. m0 = m 1 - v2 C 2 (1) T = (m - m0 )C 2 En (2) reemplazamos m0 como indica (1). (2) T = m - m 1 - v2 C 2 C 2 (3) Extraemos factor com´n m . T = m 1 - 1 - v2 C 2 C 2 (4) 1

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. 2 C C C C l´ o a o 2 C 2 C C C En el miembro derecho multiplicamos y dividimos por 1+ 1 - v2 C 2 Despu´s operamos. T = m 1 - v2 1 - C 2 1+ 1+ v 1 - 2 1 - v2 C 2 C 2 (5) Aplicamos propiedad distributiva. Despu´s simpli?camos. T = m 1+ v2 v2 1 - 2 (6) En (1) despejamos m y aplicamos eso en (6). T = m0 1+ v2 v2 1 - 2 v2 1 - 2 (7) v Los estudiantes comprueban que en el imite para ? 0 el denominador C tiende a 2, coincidiendo con la f´rmula cl´sica. Eso los tranquiliza. 2. Semejanza con la derivada de un logaritmo Simbolicemos u a la funci´n siguiente. u = v . ln 1 + 1 - v2 C 2 (8) Derivamos. du dv = ln 1 + 1 - v2 C 2 + v . 1+ 1 v 1 - 2 1 2 1 v 1 - 2 (-2v) C 2 (9) Simpli?camos y ordenamos. du dv = ln 1 + 1 - v2 C 2 - 1 C 2 1+ v2 v2 1 - 2 v2 1 - 2 (10) 2

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e 2 C 2 C C C C C du dv o e ia e u o o a f´ o i? Hacemos pasaje de t´rminos. 1 C 2 1+ v2 v 1 - 2 v 1 - 2 = ln 1 + 1 - v2 C 2 - du dv (11) En (8) dividimos ambos miembros por v . u v = ln 1 + 1 - v2 C 2 (12) En (11) aplicamos (12) . 1 C 2 1+ v2 v2 1 - 2 v2 1 - 2 = u du - v dv (13) Multiplicamos por m0 C 2 ambos miembros m0 1+ v2 v2 1 - 2 v2 1 - 2 = m0 C 2 u du - v dv (14) Reemplazamos el miembro izquierdo de (14) por T , como indica (7). T = m0 C 2 Siendo T funci´n de v solamente, incremental. u du - v dv es simplemente el cociente (15) Expresada en t´rminos de u , la energ´ cin´tica existe cuando el cociente com´n u v y el cociente incremental du dv di?eren. 3. Propiedades de la funci´n u La funci´n u tiene dimensiones de velocidad. Es la velocidad observable multiplicada por el logaritmo de 1 m´s la contracci´n relativista, como vemos en (8). ¿Podemos atribuirle signi?cado isico a una funci´n as´ 3

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a C C o o (e - 1 ) o o o o f´ M´s que discutir ideas, intentemos en primera instancia examinar propiedades matem´ticas. Por ejemplo buscar los extremos de u poniendo en (10) du dv =0 . 0 = ln 1 + 1 - v2 C 2 - 1 C 2 1+ v2 v2 1 - 2 v2 1 - 2 (16) Podemos darle a (16) una forma compacta utilizando el s´imbolo siguiente. d = ln 1 + 1 - v2 C 2 (17) Expresada en funci´n de d la ecuaci´n (16) toma la forma siguiente. De (17) despejamos v2 C 2 0= d - 1 v2 C 2 e d (e d - 1 ) (18) v2 C 2 = e d 2 - e d (19) Aplicamos a (18) lo indicado en (19). Despu´s simpli?camos. 2 - e d 0= d - d (20) Multiplicamos ambos miembros por e d - 1 Despejamos e d 0 = d e d - 1 - 2 - e d (21) e d = 2 + d 1 + d (22) Resolver la ecuaci´n (22) es condici´n previa para calcular los valores de v asociados con los extremos de la funci´n u . La de?nici´n (8) muestra que para v = 0 y para v = C , en ambos casos, resulta u = 0 . Es decir tenemos u = 0 en los topes del intervalo de velocidad permitido para m0 = 0 . Los ceros de la funci´n u delimitan condiciones isicas espec´i?cas. 4

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f´ a o ia o a e o u a ia ia o o e ´ o e ia o n a ia a n a e o e u C v Entre medio de los topes resulta u > 0 . Los conceptos isicos permiten esperar que u tenga un m´ximo en esa regi´n. Esto deber´ veri?carse resolviendo a (22) . 4. Mejor que conclusi´n, invitaci´n El m´ximo de u corresponde a una velocidad determinada, cuyo valor se calcula resolviendo a (22). Simbolicemos vq a esa velocidad. ¿Qu´ se puede opinar de lo hecho despu´s de la de?nici´n (8) ? ¿Complica in´tilmente los c´lculos o es el primer paso de algo interesante? Me gustar´ calcular vq y despu´s hacer experimentos acelerando part´iculas hasta esa velocidad precisa, para observar detalles del comportamiento. ¿Podr´ u ser una medida de algo que antes nunca fue tenido en cuenta? Vista por primera vez, la funci´n u no exhibe un signi?cado evidente. Lo mismo sucede la primera vez que vemos la de?nici´n de entrop´ia. Sin la entrop´ia no sabr´iamos, por ejemplo, qu´ proporci´n de un monto de energ´ia es util para realizar trabajo. Tal vez una part´icula en movimiento est´ sujeta a limitaciones en su interacci´n con el medio circundante. ¿Qu´ ocurrir´ en el caso de existir una velocidad que imposibilita la interacci´n con el entorno? So˜emos un poco, imaginando que eso existe y que se produce cuando u tiene su m´ximo. El medio no actuar´ sobre la part´icula, ni la part´icula sobre el medio. Ser´ia un tr´nsito perfectamente inercial, sin oposici´n, a velocidad constante y en forma indetectable. So˜emos m´s. Un conjunto de part´iculas en esa condici´n permanecer´ia dentro del universo como materia indetectable. Materia normal en un estado especial, que no permite detectarla por medios convencionales. Ideas de ese estilo ejempli?can las razones para sentir curiosidad respecto al signi?cado de u y al comportamiento de la materia en el estado vq . Iterando num´ricamente, con la ecuaci´n (22) obtuve un valor d exacto hasta 15 decimales. El d´cimosexto decimal (´ltimo de la cifra mostrada) es levemente impreciso. dq = 0, 508554724060375(5) Aplicando ese valor a (19) obtenemos con la calculadora (23) v2 C 2 = 0, 56058198122474604851481204822425 (24) Radicando tenemos = 0, 7487202289405... 5 (25)

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o a ia o a ia o o Esto signi?ca que la funci´n u adquiere su valor m´ximo cerca de 3 v = C . ¿Hay evidencia emp´irica de algo interesante que ocurra en esa 4 condici´n ? Ese tipo de evidencia, en caso de existir, ser´ otro motivo para investigar el desarrollo iniciado en la de?nici´n (8). He dado a este art´iculo un estilo distendido, acorde con la sencillez del tema. Por eso evitar´ agregar en el ?nal referencias bibliogr´?cas, citas, lecturas recomendadas, etc. Simplemente me gustar´ recibir noticias de alguien que resuelva formalmente la ecuaci´n (22). Mi correo electr´nico es carloschiappini@hotmail.com Gracias. 6

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