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El espacio vectorial y anillo de los polinomios con elementos de geometría analítica






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A 1 2 3 INTRODUCCION Un anillo intuitivamente es un conjunto de números reales en el que podemos sumar, restar y multiplicar con las propiedades habituales1. En el conjunto de los polinomios es similar el concepto de anillo, interesa la suma de polinomios y sus propiedades de grupo abeliano (conmutativo), interesa la multiplicación de un numero por un polinomio y sus propiedades, en conclusión las propiedades anteriores forman un espacio vectorial en el conjunto de los polinomios, y en ese sentido todo polinomio es un vector. También es de gran importancia la multiplicación de polinomios y sus propiedades. Si al espacio vectorial de los polinomios le añadimos las propiedades de la multiplicación sobre el conjunto de los Reales decimos que tal conjunto de los polinomios forma un anillo conmutativo con unidad. El algebra de los polinomios se desarrolla en la estructura de espacio vectorial y de anillo. De esta manera se estudian los ceros o raíces de un polinomio, concepto que nos lleva a los principios básicos de la factorización y a la divisibilidad de polinomios. De lo anterior cubrimos el binomio de Newton, la formula cuadrática, la diferencia de cuadrados, la suma y diferencia de cubos y sus consecuencias en la factorización de relaciones algebraicas (división de polinomios). Recordando que los coeficientes del binomio de newton son las bases del análisis combinatorio que conduce a la teoría de la probabilidad y además del binomio de Newton se obtiene la función de probabilidad Binomial que es una fuente importante en la teoría de los grande números2 y de el estudio de las series. El presente libro analiza los principales teoremas de la factorización tales como el “Teorema fundamental del algebra” el Lema de Gauss, la regla de Ruffini (división sintetica)”. Seguidamente analizamos las funciones polinomiales cuadráticas y sus gráficos mediante el software “Equation Grapher” y el “MathCad”, el concepto de distancia entre dos puntos y la circunferencia y las figuras cónicas ( elipse, hipérbola y parábola)3 Un objetivo del libro es que los alumnos sean capaces de: Distinguir cada caso de factores. Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente, cuál es el caso de Consultar el libro anterior “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS” III Edición del IICES y el CIMES. Del mismo Autor. Ediciones 2007. El Lector puede consultar los libros de estadística del IICES e CIMES: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CON EL EXCELL Y SPSS” “LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD CON APLICACIONES DEL SPSS Y EL STATISTICA”, “ELEMENTOS DEL MUESTREO”, “ESTADÍSTICA APLICADA AL CONTROL DE CALIDAD CON APLICACIONES DEL MINITAB”, “LAS BASES DE LA ECONOMETRIA CON EL SPSS”, “ESTADÍSTICA ECONÓMICA CON MODELOS DE ECONOMETRIA” y “MODELOS DE ECONOMETRIA Y PROPGRAMACION LINEAL. Los libros anteriores disponibles en el CD que contiene 35 libros de matemática, estadística, finanzas, econometría, economía etcétera. El Lector puede consultar los libros del IICES y el CIMES “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA” , “EL ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS LIMITES” , “EL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” EL ALGEBRA LINEAL CON EL MATHCAD Y EL EXCELL” Y ELEMENTOS DE LA PROGRAMACION LINEAL Y SUS APLICACIONES A LA MACROECONOMIA DE HONDURAS. Estos libros disponibles en el CD antes comentado.

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factores que deben aplicar; y que lo sepan aplicar. Identificar si un polinomio es primo o compuesto. Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de un caso de factores y análisis funcional simple. El objetivo general es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema de los polinomios de una o más variables, saber por donde empezar, qué propiedad aplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio del análisis factorial y divisibilidad de polinomios. Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo más completos posibles, en sus cuadernos de trabajo, la corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en el pizarra u otras herramientas de enseñanza. En esta oportunidad haríamos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qué propiedades aplicaron en cada uno de ellos. De esta manera lograríamos que los alumnos participen de la clase, y además también puede surgir que para un mismo ejercicio hayan alumnos que lo resuelvan manera distintas pero correctas. Y en este sentido estimular la creatividad algebraica de los Estudiantes o Lectores. En resumen el libro cubre en la parte B un análisis del espacio vectorial y anillo de los polinomios respaldado con teoremas demostrados sobre las propiedades de la suma de polinomios y producto de un numero con un polinomio reforzado con ejercicios resueltos y propuestos, seguidamente estudiamos la multiplicación de los polinomios haciendo un enfoque formal de la definición, las propiedades de la multiplicación de polinomios no se demuestran pero se respaldan con ejercicios resueltos y propuestos. En la parte C del libro presentamos la factorización de los polinomios como un proceso inverso de la multiplicación antes comentada, de esta manera desarrollamos el trinomio cuadrado perfecto, la factorización por complementación del trinomio cuadrado perfecto, el factor común por agrupación, la diferencia de cuadrados perfectos, factorización del binomio al cubo, el binomio de newton y sus propiedades, la factorización de suma de cubos y diferencia de cubos. Todo lo anterior respaldada con ejercicios resueltos y propuestos. En la parte D estudiamos el valor numérico, los ceros de un polinomio y los factores de un polinomio por medio de los ceros o raíces, estudiamos y deducimos la formula cuadrática para encontrar ceros o raíces de un polinomio de grado 2 . En la parte E estudiamos la factorización, divisibilidad y las ecuaciones racionales o división de polinomios y las diversas técnicas de simplificación de esta relaciones, cubrimos el algoritmo de la división de polinomios y la división sintética o método de Ruffini. Presentamos los principales teoremas para factorizar, los ceros de un polinomio, el teorema fundamental del algebra, los teoremas de Descartes, el producto cartesiano y el sistema de coordenadas cartesianas. En la parte F estudiamos las relaciones y funciones, la distancia entre dos puntos, las ecuaciones lineales en su forma estandar, forma pendiente intercepto y la forma pendiente punto, se demuestran algunos teoremas entre ellos el de la rectas paralelas. Se estudian las rectas perpendiculares. Y las funciones cuadráticas. En La parte G presentamos las relaciones conicas: la circunferencia, la elipses, la parábola y la hipérbola. Agradecemos a Dios Padre nuestro creador por habernos dado la oportunidad de escribir los 35 libros del IICES y del IIMES.

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B I 1. ? 4 EL ESPACIO VECTORIAL DEL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS EL GRUPO ABELIANO DEL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS DEFINICIÓN DE POLINOMIO Dados los siguientes polinomios, observar que todos los exponentes son positivos o cero. P(x) = 3*x5 + 2*x4 + 1*x3 – 10*x2 - 5*x + 10 P(x) = 10*x9 + 5*x4 – 3*x3 – 1*x + 1 P(x) = -5*x3 + 2*x2 –x + 2 P(x) = 5*x30 + 2*x20 -7*x10 + 4 De manera formal definimos un polinomio de la forma siguiente: Sea ? el conjunto de los números reales4 Llamaremos polinomio y lo denotaremos por P(x) a las expresiones formales de la forma P(x) = an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + … + a2*x2 + a1*x1 + a0 Donde los coeficientes ai ?? , i ??* ; esto es, a0, a1, a2, ... , an son coeficientes reales El símbolo * representa la multiplicación. Donde n ??* (número natural) ?* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} Sabemos que x1 = x y que 1*x = x, 1*x1 = x P(x) podemos escribirlo con lo exponentes de menor a mayor (forma ascendente), y todos los exponentes de las “x” son números naturales o cero.: P(x) = a0 + a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + ... + an-1*xn-1 + an*xn Llamaremos al coeficiente an coeficiente líder, "x" se denomina coeficiente indeterminado. El elemento ai se denomina el coeficiente de xi en P(X) Ejemplos: Q(x) = 3*x10,000 + 2*x5,000 + 4 P(x) = 7*x10 - 10*x9 + 9*x8 – 3*x7 – 2*x6 + 5*x5 + 3*x4 – 1*x3 + 2*x2 – 5*x + 10 2. LA NOTACION SUMATORIA El conjunto R y sus propiedades de sus operación es las hemos estudiado en el libro anterior “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS” Escrito por el IICES y el CIMES.

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9 i 0 1 2 3 4 i 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 i 0 1 2 3 2 0 1 3 4 1 i ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 3 ? 1 ? 4 2 3 4 i ?1 ? ? Explicaremos este tipo de notación mediante ejemplos: Ejemplo 1 n ? wi ? w1 ? w2 ? w3 ? ... ? wn i ?1 Ejemplo 2 5 ? wi ? w0 ? w1 ? w3 ? w4 ? w5 i ?0 para todo wi ?? i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Ejemplo 3 9 ? zi ? z3 ? z4 ? z5 ? z6 ? z7 ? z8 ? z i ?3 ?zi ??, i = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ejemplo 4 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 31 i ?0 Ejemplo 5 4 ? 3 * 2 ? 3 * 2 i ?0 Ejemplo 6 ? 3 * 2 ? 3 * 2 ? 3 * 2 ? 3 * 2 ? 3 * (2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ) ? 3 * 31 ? 93 3 ? (1?i) ? (1?0) ? (1?1) ? (1?2) ? (1?3) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 i ?0 ? 1 ? 2 ? 9 ? 64 ? 76 Ejemplo 7 i 1 2 3 4 2 3 4 ??1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? ?1? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? i ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? Por lo tanto: i ? ?1? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? i ? 2 3 4 ? 2 ? 9 64 625 4 27 256 ? 2 ? 2.25 ? 2.37 ? 2.44 ? 9.06

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a) ? ? ? i c) i ?1 3 i 3 LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA ( ? ) n ? k ? n * k i ?1 siendo k una constante. k?? Ejemplos 8 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 8 * 3 ? 24 i ?1 10 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 10 * 4 ? 40 i ?1 11 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 11* 2 ? 22 i ?1 b) n ? k * t i ?1 n ? k * ?ti i ?1 Observar que n n ? k * ti ? k * t1 ? k * t2 ? k * t3 .....k * tn ? k * (t1 ? t2 ? t3 ? ... ? tn) ? k * ? ti i ?1 i ?1 n n n ? ( zi ? wi ) ? ? zi ? ? wi i ?1 i ?1 i ?1 (la sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias Observar que n ? ( zi ? wi ) ? ( z1 ? w1) ? ( z2 ? w2) ? ( z3 ? w3) ? ... ? ( zn ? wn) i ?1 Por la propiedad conmutativa y asociativa de la suma agrupamos de la manera siguiente: n ? ( zi ? w ) ? ( z1 ? z2 ? z Por lo tanto: n n n ? ( zi ? wi ) ? ? zi ? ? wi i ?1 i ?1 i ?1 ? ... ? zn) ? (w1 ? w2 ? w3 ? ... ? wn)

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4. , i , i 5. i , i i i * y LOS POLINOMIOS CON LA NOTACION DE SUMATORIA ( ? ) Sean los polinomios P(x) y Q(x), podemos escribirlos como P(x) = a0 + a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + ... + an-1*xn-1 + an*xn ?ai ??, i = 0, 1, 2, 3, … n P( x) ? ? ai * x i ?0 ?ai ??, i = 0, 1, 2, 3, Otro polinomio Q(x) podemos escribirlo como: Q(x) = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + ... + bn-1*xn-1 + bn*xn para todo bi??, n Q( x) ? ?bi * x i ?0 ?bi??, LA IGUALDAD DE POLINOMIOS Dados dos polinomios P(x) y Q(x) diremos que son iguales y lo representamos mediante P(x) = Q(x) n P( x) ? ? ai * x i ?0 ?ai ??, i = 0, 1, 2, 3, n Q( x) ? ?bi * x i ?0 ?bi??, diremos que dos polinomios son iguales n n P( x) ? Q( x) ? ? ai * x ? ?bi * x ? ai ? bi , i ? 0 i ? 0 ?i ? N Es decir, dos polinomios se consideran iguales si para todo i??* los coeficientes de xi son iguales. Esto es, ai = bi ?i ??* Ejemplo. dado los polinomios P(x) = 3*x + 5*x2 – 2*x + 10 Q(x) = 3*x + 5*x2 – 2*x + 10 Tenemos que P(x) = Q(x) porque sus respectivos coeficientes son iguales. Definición 6 GRADO DE UN POLINOMIO P(x)

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está 7. 5 El grado de P(x) es el mayor n tal que an es no nulo (an ?0), es decir, determinado por el término que posee la potencia o exponente más alto. Si el grado del polinomio es n escribiremos P(x) = an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + … + a2*x2 + a1*x + a0 Ejemplo: P(x) = x2 + 3*x – 4 es un polinomio de grado 2 R(x) = 3*x0 Polinomio de grado 0 R(x) = 3 dado que x0 = 1 con x?0 En este sentido todo numero real es un polinomio de grado cero. Q(x) = x5 + 7*x3 – 2 Polinomio de grado 5 Definición: El conjunto de todos los polinomios lo denotaremos por ?n y lo definimos por : ?n = { P(x)/P(x) = an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + … + a1*x1 + a0*x0 , n??* , (n-m)??*, n=m} Recordando que ?* = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } consultar5 EJEMPLOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS a) ¿Cuál es el grado de P(x) = 6x4 + 1 b) ¿Cuál es el grado de M(x) = 3x2 - 1 c) ¿Cuál es el grado de R(x) = 5*a2*x10 + x d) ¿Cuál es el grado del polinomio N(x) = 7x3 – 4x2 + 10x – 2 e) ¿Cuál es el grado del polinomio L(x) = 5x4 – 10x3 + 6x2 – 3x – 1 El Lector o estudiante deberá repasar el libro anterior del IICES CIMES “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS” contiene las propiedades de las operaciones de los diversos conjuntos numericos : ?*, ?, ?, ?, ? y ? . Ademas comprende el sistema binario y decimal y sistemas numericos antiguos. ?= Conjunto de los números Naturales = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } ?* = ? ? { 0 } ?= Conjunto de los números Enteros ?= Conjunto de los números Racionales (decimales periódicos ) ?= Conjunto de los números Irracionales (decimales no periódicos ) ?= Conjunto de los números Reales ? = Conjunto de los números complejos ? = ??? Observar que ?? ?*? ?? ?? ?

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a) b) c) d) 8. i i y De acuerdo a su grado clasificamos los polinomios en: a) Polinomio lineal si su grado es 1 b) Polinomio cuadrático si su grado es 2 c) Polinomio cúbico si su grado es 3 Ejemplos: a) P(x) = 4x – 2 Es un polinomio lineal; su grado es 1 b) R(x) = 5x2 – 10x + 3 Es un polinomio cuadrático; su grado es 2 c) M(x) = 6x3 – 10x2 + 8x – 3 Es un polinomio cúbico; su grado es 3 Si su polinomio está escrito de la forma P(x) = an*xn + an-1*xn-1 + … a1x + a0 decimos que está en orden descendente ya que los exponentes en la variable x van de más a menos. Cuando el exponente de la variable va de menos a más decimos que el polinomio está en orden ascendente. Ejemplos: a) P(x) = 12x4 – 10x3 + 6x2 – x + 3 b) Q(x) = 6x + 9x2 – 10x3 + 4x4 Es un polinomio de orden descendente Es un polinomio de orden ascendente Ejercicios propuestos Identifique el orden (ascendente y descendente) de los siguientes polinomios. P(x) = 13x2 – 10x + 4 Q(x) = 9x + 14x2 – 10x3 L(x) = 16x4 - 3x3 + 8x2 – 3x + 2 M(x) = 4 – 9x + 6x2 – 3x3 SUMA DE POLINOMIOS Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado. Se agrupan y se suman los coeficientes que acompañan a la variable con su exponente o variable de igual grado. de la manera siguiente: Sea n P( x) ? ? ai * x i ?0 n Q( x) ? ?bi * x i ?0

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