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Explorando la relatividad especial (página 2)




Enviado por Carlos Chiappini



Partes: 1, 2

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. 2 C C C C l´ o a o 2 C 2 C C C En el miembro derecho
multiplicamos y dividimos por 1+ 1 – v2 C 2 Despu´s
operamos. T = m 1 – v2 1 – C 2 1+ 1+ v 1 – 2 1 – v2 C 2 C 2 (5)
Aplicamos propiedad distributiva. Despu´s simpli?camos. T =
m 1+ v2 v2 1 – 2 (6) En (1) despejamos m y aplicamos eso en (6).
T = m0 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 (7) v Los estudiantes comprueban
que en el imite para ? 0 el denominador C tiende a 2,
coincidiendo con la f´rmula cl´sica. Eso los
tranquiliza. 2. Semejanza con la derivada de un logaritmo
Simbolicemos u a la funci´n siguiente. u = v . ln 1 + 1 –
v2 C 2 (8) Derivamos. du dv = ln 1 + 1 – v2 C 2 + v . 1+ 1 v 1 –
2 1 2 1 v 1 – 2 (-2v) C 2 (9) Simpli?camos y ordenamos. du dv =
ln 1 + 1 – v2 C 2 – 1 C 2 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 (10) 2

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e 2 C 2 C C C C C du dv o e ia e u o o a f´ o i? Hacemos
pasaje de t´rminos. 1 C 2 1+ v2 v 1 – 2 v 1 – 2 = ln 1 + 1
– v2 C 2 – du dv (11) En (8) dividimos ambos miembros por v . u v
= ln 1 + 1 – v2 C 2 (12) En (11) aplicamos (12) . 1 C 2 1+ v2 v2
1 – 2 v2 1 – 2 = u du – v dv (13) Multiplicamos por m0 C 2 ambos
miembros m0 1+ v2 v2 1 – 2 v2 1 – 2 = m0 C 2 u du – v dv (14)
Reemplazamos el miembro izquierdo de (14) por T , como indica
(7). T = m0 C 2 Siendo T funci´n de v solamente,
incremental. u du – v dv es simplemente el cociente (15)
Expresada en t´rminos de u , la energ´ cin´tica
existe cuando el cociente com´n u v y el cociente
incremental du dv di?eren. 3. Propiedades de la funci´n u
La funci´n u tiene dimensiones de velocidad. Es la
velocidad observable multiplicada por el logaritmo de 1 m´s
la contracci´n relativista, como vemos en (8).
¿Podemos atribuirle signi?cado isico a una funci´n
as´ 3

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a C C o o (e – 1 ) o o o o f´ M´s que discutir ideas,
intentemos en primera instancia examinar propiedades
matem´ticas. Por ejemplo buscar los extremos de u poniendo
en (10) du dv =0 . 0 = ln 1 + 1 – v2 C 2 – 1 C 2 1+ v2 v2 1 – 2
v2 1 – 2 (16) Podemos darle a (16) una forma compacta utilizando
el s´imbolo siguiente. d = ln 1 + 1 – v2 C 2 (17) Expresada
en funci´n de d la ecuaci´n (16) toma la forma
siguiente. De (17) despejamos v2 C 2 0= d – 1 v2 C 2 e d (e d – 1
) (18) v2 C 2 = e d 2 – e d (19) Aplicamos a (18) lo indicado en
(19). Despu´s simpli?camos. 2 – e d 0= d – d (20)
Multiplicamos ambos miembros por e d – 1 Despejamos e d 0 = d e d
– 1 – 2 – e d (21) e d = 2 + d 1 + d (22) Resolver la
ecuaci´n (22) es condici´n previa para calcular los
valores de v asociados con los extremos de la funci´n u .
La de?nici´n (8) muestra que para v = 0 y para v = C , en
ambos casos, resulta u = 0 . Es decir tenemos u = 0 en los topes
del intervalo de velocidad permitido para m0 = 0 . Los ceros de
la funci´n u delimitan condiciones isicas
espec´i?cas. 4

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f´ a o ia o a e o u a ia n e o ia e ia ia a n a ia e o e u
C v o a ia o Entre medio de los topes resulta u > 0 . Los
conceptos isicos permiten esperar que u tenga un m´ximo en
esa regi´n. Esto deber´ veri?carse resolviendo a (22)
. 4. Mejor que conclusi´n, invitaci´n El m´ximo
de u corresponde a una velocidad determinada, cuyo valor se
calcula resolviendo a (22). Simbolicemos vq a esa velocidad.
¿Qu´ se puede opinar de lo hecho despu´s de la
de?nici´n (8) ? ¿Complica in´tilmente los
c´lculos o es el primer paso de algo interesante? Me
gustar´ calcular vq y despu´s hacer experimentos
acelerando part´iculas hasta esa velocidad precisa, para
observar detalles del comportamiento. So˜emos un poco.
¿Qu´ ocurrir´ia en caso de estar u relacionada
con el grado de saturaci´n para interactuar con el entorno?
Una part´icula completamente saturada estar´ia
inhibida para interactuar. Atravesar´ el medio por donde
transita sin intercambiar nada con ´l. El medio no
actuar´ sobre la part´icula, ni la part´icula
sobre el medio. Ser´ un tr´nsito perfectamente
inercial, sin oposici´n del medio, a velocidad constante y
en forma indetectable. So˜emos m´s. Un conjunto de
part´iculas en esa condici´n permanecer´ dentro
del universo como materia indetectable. Materia normal en un
estado especial, que no permite detectarla por medios
convencionales. Ideas de ese estilo ejempli?can las razones para
sentir curiosidad respecto al signi?cado de u y al comportamiento
de la materia en el estado vq . Iterando num´ricamente, con
la ecuaci´n (22) obtuve un valor d exacto hasta 15
decimales. El d´cimosexto decimal (´ltimo de la cifra
mostrada) es levemente impreciso. dq = 0, 508554724060375(5)
Aplicando ese valor a (19) obtenemos con la calculadora (23) v2 C
2 = 0, 56058198122474604851481204822425 (24) Radicando tenemos =
0, 7487202289405… (25) Esto signi?ca que la funci´n u
adquiere su valor m´ximo cerca de 3 v = C . ¿Hay
evidencia emp´irica de algo interesante que ocurra en esa 4
condici´n ? Ese tipo de evidencia, en caso de existir,
ser´ otro motivo para investigar el desarrollo iniciado en
la de?nici´n (8). 5

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a ia o o He dado a este art´iculo un estilo distendido,
acorde con la sencillez del tema. Por eso evitar´ agregar
en el ?nal referencias bibliogr´?cas, citas, lecturas
recomendadas, etc. Simplemente me gustar´ recibir noticias
de alguien que resuelva formalmente la ecuaci´n (22). Mi
correo electr´nico es carloschiappini@hotmail.com Gracias.
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