Factorial, permutaciones y combinaciones con Excel y GeoGebra

FACTORIAL, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES CON EXCEL Y GEOGEGRA
A) FACTORIAL
La factorial está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede
arreglarse en orden.
El número de maneras en el que las n cosas pueden arreglarse en orden es:
??! = ??(?? – ??)(?? – ??) … … . . ??
Donde n! se llama el factorial de n y 0! se define como 1
Ejemplos ilustrativos
1) Calcular 7!
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
7! = 7(7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5)1
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
7! = 5040
En Excel se calcula de la siguiente manera:
a) Insertar función. Seleccionar la categoría Matemáticas y trigonométricas. Seleccionar la función
FACT

b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro correspondiente
a Número seleccionar la celda correspondiente al factorial a calcular (A2).
c) Clic en Aceptar
2) Calcular 3!4!
Solución:
3! 4! = (3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1) = 144
En Excel se calcula como indica la siguiente figura:
3) Si un conjunto de 6 libros se colocan en un estante. ¿De cuántas formas es posible ordenar estos libros?
Solución:
??! = ??(?? – 1)(?? – 2) … … . .1
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
6! = 720

=
??
B) PERMUTACIONES

En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo
de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es
suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones.

El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, es decir, el
número de diferentes ordenamientos de n elementos tomados r a la vez es:
??????
= ??(?? – ??)(?? – ??) … (?? – ?? + ??) =
??!
(?? – ??)!
Notas:

Si ?? = ??, entonces la permutación se tranforma en factorial, es decir:
?????? =
??! ??!
= = ??!
(?? – ??)! 0!
Cuando los elementos se ordenan alrededor de un objeto formando una cerrada, se llama permutación
circular, y su ecuación es:

????(??) = (?? – ??)!

Si el número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, de los cuales
algunos r objetos se repiten, se llama permutación con elementos repetidos, y su ecuación es:
????????;… ????
??!
(???? )! (???? )! … (???? )!
Ejemplos ilustrativos:

1) Calcular 7P3

Solución:

n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene:
???? =
??!
(?? – ??)!
? 7??3 =
7! 7! 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= =
(7 – 3)! 4! 4·3·2·1
= 7 · 6 · 5 = 210
En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Estadísticas. En función seleccionar la opción
PERMUTACIONES.

??
b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número
seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda
correspondiente a r (B2).

c) Clic en Aceptar

Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguientes figuras: En programa GeoGebra, en Entrada: se
escribe nPr y aparece nPr[ < Número>, < Número> ]. Se escribe los números 7 y 3, quedando nPr[ 7,3].
Enter

2) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 7 personas alrededor de una mesa circular?

Solución: Se trata de una permutación circular

????(??) = (?? – 1)! = ????(7) = (7 – 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

3) ¿Cuántos arreglos literales pueden obtenerse con las letras de la palabra AEREOLINEA?

Solución: Como se pide calcular una permutación con elementos repetidos. Los elementos ordenados en
orden alfabético son: A A E E E I L N O R, donde la A se repite dos veces y la E tres veces, entonces:
???? 1;… ????
=
??!
(??1 )! (??2 )! … (???? )!
?
10??2;3
=
10!
(2)! (3)!
=
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
2·1·3·2·1
= 302400

??
C) COMBINACIONES

En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que
r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjntos se
consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata
de combinaciones.

El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el orden,
es decir, el número de agrupamientos de n elementos tomados r a la vez es:
??????
??
=( )=
??(?? – ??)(?? – ??) … (?? – ?? + ??)
??!
=
??!
??! (?? – ??)!
Ejemplos ilustrativos:

1) Calcular 7C3

Solución:

n = 7 y r = 3, entonces aplicando la fórmula se obtiene:
??????
=
??!
??! (?? – ??)!
? 7??3 =
7! 7!
=
3! (7 – 3)! 3! 4!
7??3
=
7·6·5·4·3·2·1
(3 · 2 · 1)(4 · 3 · 2 · 1)
= 7 · 5 = 35
En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Insertar función. Seleccionar la categoría de Matemáticas y trigonométricas. En función seleccionar la
opción COMBINAT

?????? = ? 6??3 = = =
b) Clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo de Argumentos de la función, en el recuadro Número
seleccionar la celda correspondiente a n (B1), en el recuadro de Tamaño seleccionar la celda
correspondiente a r (B2).

c) Clic en Aceptar

2) Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero sólo hay espacio para 3 libros. Calcular el número de
resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden.

Solución:
Como se pide calcular 6C3 , entonces,
??! 6! 6! 6·5·4·3·2·1
??! (?? – ??)! 3! (6 – 3)! 3! 3! (3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1)
= 5 · 4 = 20
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:

Se escribe en Entrada: Número y aparece NúmeroCombinatorio[ < Número n (o valor numérico)>,
< Número r (o valor numérico)> ]. Digitar el 6 y el 3, y queda NúmeroCombinatorio[ 6,3]. Enter

5 5 6 5 5
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico (mapa conceptual, organigrama, mentefacto, etc.) sobre el análisis
combinatorio.

2) Resuelva de manera manual, empleando Excel y GeoGebra

2.1) 8!
40320
2.2) 10!
3628800
2.3) 8P3
336
2.4) 10P3
720
2.5) 8C3
56
2.6) (
10
3
)
120

3) En la fórmula de la permutación, ¿qué valor debe tener r para que la permutación sea igual a la
factorial?. Ilustre su respuesta con un ejemplo
n

4) Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel para que compruebe las siguientes
igualdades:
4.1) 5! = 5??5
4.2) ( ) = ( ) 4.3) ( ) – ( ) = ( )
0 5 3 3 2
5) Don Albertito desea parquear 3 automóviles en su garaje. Calcular el número de resultados posibles
de parquear dichos automóviles. Realice los cálculos de manera manual y empleando GeoGebra
6

6) Se desea ordenar 4 libros en un estante. Calcular el número de resultados posibles de ordenar los
mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel
24

7) Se desea ordenar 4 libros en un estante, pero solo hay espacio para 2 libros. Calcular el número de
resultados posibles de ordenar los mencionados libros. Realice los cálculos de manera manual y
empleando GeoGebra
12

8) ¿De cuántas maneras posibles se puede formar con 8 personas una comisión de 3 miembros?. Realice
los cálculos de manera manual y empleando Excel
56
Fuente:
Suárez, Mario. (2014). Probabilidades y Estadística empleando las TIC, Ecuador: Imprenta
GRAFICOLOR

Nota: Libros y artículos del Mgs. Mario Suárez sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Lógica Matemática, Probabilidades, Estadística
Descriptiva, Estadística Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Los Poliprismas, y Planificaciones Didácticas se encuentran publicados en:
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24
http://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591
http://es.scribd.com/mariosuarezibujes
http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias