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Factorización de polinomios






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1.1 Este es un programa basado en resolver problemas de diversos tipos de operaciones algebrai- ca. Pulsa e introduce la expresión (3x^3-14x^2+4x+3)/(3x+1). Confirma pulsando Sí. Mientras el cociente de polinomios permanece resaltado en pantalla, pulsa para simplifi- Pulsa e introduce la expresión x^3-9x^2+26x-24. Confirma pulsando Sí y, a continua- ción (con el polinomio resaltado), abre el menú Simplificar y elige la opción Factorizar. Finali- za pulsando en el botón Factorizar (o pulsa Sí y luego simplificar con el icono de la barra de herramientas). También puedes hacerlo directamente pulsando CTRL+F mientras aparece resaltado el polinomio. Acabas de factorizar el polinomio. Practica 1. Factoriza los siguientes polinomios: 3x^2+3x-36 x^6-15x^ 4-42x^3-40x^2 3x^4+3x^3-33x^2+3x-36 x^6-9x^5+24x^4-20x^3 x^6-3x^5-3x^4-5x^3+2x^2+8xx^4+4x^3+8x^2+7x+4 6x^4+7x^3+6x^2-1 6x^2+x-1 Compara los resultados con los de los ejercicios resueltos y propuestos en la página 71 del libro. 2. Factoriza la expresión x^2-(a+b)x+ab. Interpreta el resultado recordando la relación entre la suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado y el coeficiente de x y el término independiente, respectivamente. Introduce la expresión (x-3)(x+1)(x-1)(x-5). A continuación, abre el menú Simplificar y elige la opción Expandir. Obtendrás un polinomio de cuarto grado. Factorízalo. Deberías obtener los factores iniciales. Repite la práctica con otros factores de la forma (x ? a). 3. Siguiendo el modelo anterior, halla polinomios que presenten las siguientes raíces: car. Verás que se realiza la división. Compara el cociente con el que aparece en la página 70 del libro. Repite la práctica anterior con la fracción algebraica (3x^3-13x^2+8x+19)/(3x+2). Ahora no consigues el cociente porque la división no es exacta (los polinomios no son divisibles). Sin embargo, puedes abrir el menú Simplificar de la barra de herramientas y elegir la opción Ex- pandir (confirma con el botón Expandir de la parte inferior). Obtendrás x2-5x+6 como cocien- te y 7 como resto. Recuerda que: Dividendo / divisor = Cociente + Resto / divisor Repite el ejercicio con otros polinomios. 1 ÁLGEBRA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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a) x = 1, x = 5 y x = 3 d) x = 1 y x = 3/2 b) x = –1 y x = 2 e) x = ?2 y x = 0 c) x = 2, x = 7 y x = 0 f) x = –2, x = 4, x = –3 y x = 5 Introduce el polinomio x^2-4 y factorízalo. Observa que sus raíces son racionales (en realidad enteras). Introduce el polinomio x^2-3 y factorízalo. Al abrir la ventana correspondiente a Simplifi- car/Factorizar marca en la parte derecha, Forma, la opción Racionales. Comprueba que no obtienes lo deseado porque las raíces no son racionales. Repite la operación pero ahora marca la opción Radicales y comprueba el resultado. 4. Factoriza los siguientes polinomios: x^3-2x^2+x x^3-7x^2+3x x^2-3x-4 x^3-3x^2+2x x^3-2x^2+x-2 3x^2-5x+7 x^4-8x^3+18x^2-11x x^3-2x^2-9x+18 5. Resuelve los ejercicios 1, 2 y 13 de la página 92 del libro. Para el ejercicio 2 deberás facto- rizar previamente cada polinomio. 1.2 FRACCIONES ALGEBRAICAS Introduce la expresión (3x^3-2x^2+5x)/(x^2-3x) y confirma con Sí. Verás en pantalla una fracción algebraica. Si simplificas con , obtendrás la fracción irreducible resultante. Ob- serva que se han dividido numerador y denominador por x. Practica 6. Comprueba, simplificando, que las fracciones (x-2)/(x^2+x-6) y x/(x^2+3x) son ambas equi- valentes a 1/(x+3). 7. Comprueba el ejercicio 2 de la página 88 del libro. 8. Introduce la expresión 4/(x-4)+5/(x+4)+3/(x^2-16) y confirma con Sí. Verás en pantalla una suma de fracciones algebraicas. Si simplificas con , obtendrás la fracción resultante. Observa que el denominador es el mínimo común denominador de las fracciones iniciales (y aparece factorizado). 9. Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: (x+7)/x+(x-2)/(x^2+x) -(2x-1)/(x+1) (3x+1)/(x-1) x/(x+1) 1/(x^2-1)+2x/(x+1)-x/(x-1) (2x/(x+1))/((x-1)/x^2) Compara lo introducido con los ejemplos de las páginas 73 y 74 del libro. Tras introducir cada expresión, confirma con Sí para observar en pantalla que no nos hemos equivocado. A conti- nuación, efectúa la operación pulsando . 10. Comprueba con DERIVE los ejercicios resueltos en la página 74 del libro y resuelve los propuestos. 11. Si introduces en DERIVE una fracción algebraica y simplificas, verás que, efectivamente, se obtiene la fracción simplificada. Compruébalo con los ejercicios 4, 5 y 6 de la página 92 del libro.

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1.3 RESOLUCIÓN AUTOMÁTICA DE ECUACIONES , escribe la ecuación y pulsa Introduce la ecuación x^2-5x+6=0. Para ello, pulsa el icono Sí para confirmar. A continuación, mientras la ecuación anterior permanece resaltada, pulsa el icono y apa- recerá una ventana donde se indica la variable que queremos obtener (x). Pulsa en Simplificar y hallarás su valor. . También puedes pulsar Sí y, a continuación, el icono simplificar, Practica 12. Resuelve las siguientes ecuaciones: 3.456x-7.254=0 x^4-13x^2+36=0 3x-6=0 x^2+7x+12=0 x^2-3=0 3x-7=0 x^2-9=0 x^2-x+13=0 3x/5+2/3=0 x^2-5x=0 x^3-3x^2+2x=0 x^4-8x^3+18x^2-11x=0 13. Resuelve con DERIVE las ecuaciones bicuadradas que aparecen en la página 75 del libro. 14. Resuelve con la ecuación (x-3)(x+1)(x-7)=0. ¡Evidente! 15. Resuelve la ecuación x^3-9x^2+26x-24=0. Compara el resultado con la factorización realizada al principio de esta unidad. Introduce la ecuación (x-1)(x-2)(x-3)=0. Mientras está resaltada, abre el menú Simplificar y elige la opción Expandir. Al completar el proceso obtendrás la ecuación equivalente sin parén- tesis. Al resolverla puedes comprobar que sus soluciones son x = 1, x = 2 y x = 3. 16. Siguiendo el modelo anterior busca ecuaciones que presenten las siguientes raíces: a) x = 1, x = 5 y x = 3 d) x = 1 y x = 3/2 b) x = –1 y x = 2 e) x = ?2 y x = 0 c) x = 2, x = 7 y x = 0 f) x = –2, x = 4, x = –3 y x = 5 Compara este ejercicio con el ejercicio 3. Introduce la ecuación x^4-2x^3-16x^2+2x+15=0 y resuélvela con . A continuación, vuelve a situar el cursor sobre la ecuación, haz click para seleccionarla y pulsa CTRL+F para factorizarla. Relaciona la factorización con las soluciones halladas. Factoriza con CTRL+F o con la opción de menú Simplificar/Factorizar algunas ecuaciones del ejercicio 12. Compara las factorizaciones con las soluciones ya obtenidas. 17. Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes literales y compara los resultados con las “fórmulas” que conoces. No olvides que la variable a resolver o “despejar” es x: ax=b ax^2+bx+c=0 ax^4+bx^2+c=0 ax^2-b=0 18. Resuelve la ecuación ax^3+bx^2+cx+d=0. ¡No te asustes! Es una “fórmula” para resolver las ecuaciones de tercer grado.

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19. Resuelve la ecuación: (x-1)/(x^2+2x)-2/(x^2-2x)+(-x)/(x^2-4)=0 Tras introducir la ecuación y simplificar, observarás que, efectivamente, se ha simplificado co- mo una sola fracción algebraica. A continuación, resuélvela con . Tras resolverla verás aparecer x=? y x=-? como soluciones. No las tengas en cuenta. Signi- fica que si x es muy grande, el denominador es muy grande y el cociente se hace casi 0. 20. Resuelve con DERIVE las siguientes ecuaciones: ?(2x-3)+1 = x ?(2x-3)+?(x+7)=4 Compara los resultados con los que aparecen en la página 76 del libro. 21. Resuelve las siguientes ecuaciones: -?(2x-3)+1=x ?(2x-3)-?(x+7)=4 2+?x=x 2-?x=x ?(x^2-5x+4)+1=x-3 ?(x-2)+ 2+?(x+1) =3 ?3x-?2=3x-1 ?2x-5=0 Introduce la ecuación 6/x+(x+1)/(x-2)=6 y resuélvela con . Resuelve también la ecua- ción (2x-3)/(x^2-5x)+(x+4)/x=3/4. Compara los resultados con los de la página 77 del libro. 22. Resuelve los ejercicios 5 y 6 propuestos en la página 77 del libro. 23. Introduce la ecuación 3^(1-x^2)=1/27 y resuélvela con . Compara los resultados con los de la página 78 del libro. Resuelve también las demás ecuaciones que aparecen en la página 78 del libro: 5^(x^2-5x+6)=1 3^(1-x^2)=2 2^x+2^(x+1)=12 24. Resuelve las ecuaciones exponenciales que aparecen en los ejercicios propuestos en la página 79 del libro. 25. Introduce la ecuación LOG(x,10)+LOG(50,10)=3 y resuélvela con . Compara el resultados con el que aparece en la página 79 del libro. LOG(x,10) significa logaritmo de x en base 10. Si se introduce LOG(x) sin especificar la base, DERIVE interpreta que es el número e (logarítmo neperiano). Comprueba también las demás ecuaciones logarítmicas que apare- cen en la página 79 del libro: 5 LOG(x+3,2)=LOG(32,2) 2LOG(x,10)-LOG(x+6,10)=3 LOG(2,10) 2LOG(x)-LOG(x+6)=3 LOG(2) 2 LOG(x,10)=LOG(10-3x,10) 4 LOG(x^2+1,2)=LOG(625,2) 4 LOG(x^2+1)=LOG(625) Las dos últimas ecuaciones se han repetido sin especificar la base (por defecto el número e) y el resultado no ha cambiado. Repítelo especificando otra base como 2LOG(x,5). ¿En qué ca- sos será indiferente la base? Resuelve LOG(x,2)=8 y LOG(x,10)=8 para matizarlo. 26. Resuelve las ecuaciones de los ejercicios 3, 4 y 5 de las páginas 88 y 89 del libro. La barra del valor absoluto está en la tecla del 1 en el teclado (AltGr + 1). 27. Resuelve los ejercicios 7 y 8 de la página 92, y 9, 10 y 12 de la página 93.

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28. Resuelve los ejercicios 15 a 19 de las páginas 93 y 94 del libro. 1.4 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES Vamos a representar la función y=x^2-5x+6 para observar sus raíces. Para ello, introduce la expresión x^2-5x+6 y resáltala colocando el cursor sobre ella. A continuación, pulsa el icono para abrir la ventana de gráficos 2D. Una vez abierta, es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2D-plot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se redibuja la función activa en un nuevo color. Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar la gráfica y hacer zoom. En la parte inferior izquierda aparecen las coordenadas de la posición del cursor. Sitúa el cur- sor (aproximadamente) sobre los puntos en que la gráfica corta al eje OX y anota el valor de la abscisa que aparece abajo. Regresa a la pantalla de expresiones y resuelve la ecuación. Basta resaltar la expresión y pulsar el icono Resolver (si se omite “=0” se asume por defecto). Com- para las raíces con las abscisas obtenidas. Representa y estima las raíces de los polinomios que aparecen en el ejercicio 1. No es preciso volver a introducirlos. Sitúa el cursor sobre el primer polinomio y haz click para resaltarlo. A continuación, representa la función con . DERIVE asume la función y = P(x). Repite el proceso con el resto de polinomios y después con los del ejercicio 4. 29. Representa y estima las soluciones de las ecuaciones que aparecen en el ejercicio 12. No es preciso volver a introducirlas. Sitúa el cursor sobre la primera ecuación para resaltarla, abre la ventana de introducción de datos y pulsa F3. Esto copiará la expresión resaltada. Elimina la parte final, =0, y confirma con Sí. A continuación, representa la función resultante. Repite el proceso con el resto de ecuaciones y después con alguna de las que aparecen en los ejercicios 20 a 39. Es esencial que elabores y desarrolles estrategias de resolución de problemas. Para ello debes practicar. Lee atentamente los enunciados, asigna variables (x, y...) a las incógnitas que se pretende calcular y plantea las ecuaciones correspondientes. A partir de ahí, puedes utilizar DERIVE para la resolución mecánica de las ecuaciones. Resuelve de esta forma los problemas 32 a 42 que aparecen en las páginas 95 y 96 del libro. 1.5 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES GENERADAS ALEATORIAMENTE La función RANDOM(n) genera un número entero entre 0 y n. Introduce y simplifica la expre- sión RANDOM(5)x+RANDOM(5)=0. Resuelve la ecuación generada y compruébalo.

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?x ? y ? xy ? Introduce la expresión RANDOM(4)x^2+RANDOM(8)x-RANDOM(8)=0 y pulsa Sí. Mientras la expresión anterior está resaltada, pulsa Simplificar. Resuelve tú la ecuación gene- rada y luego comprueba resolviéndola automáticamente. Interprétalo gráficamente represen- tando la parábola generada. Vuelve a situar el cursor sobre la expresión de RANDOM y pulsa otra vez Simplificar. Repite la práctica con la nueva ecuación. Reitera el proceso varias veces previendo en cada caso la existencia y el número de solucio- nes de la ecuación. 1.6 SISTEMAS DE ECUACIONES. INTERPRETACIÓN GRÁFICA Abre el menú Resolver de la barra de herramientas. Elige la opción Sistema de ecuaciones, especifica 2 ecuaciones e introduce el siguiente sistema: 3x+2y-16=0 x- y + 3=0 Haz clic sobre el campo Variables y asegúrate de que aparecen las variables (normalmente x, y). Pulsa Sí y, a continuación, simplifica con el icono . Obtendrás las soluciones del sis- tema. Representa las dos rectas sucesivamente (tienes que despejar y) y comprueba que las coor- denadas del punto de intersección coinciden con la solución obtenida. Se puede despejar la y resolviendo con la ecuación en la variable y. También puedes representarlas simultáneamente introduciendo entre corchetes sus expresio- nes [(-3x+16)/2,x+3,0]. (El 0 se incluye porque si hay solo dos funciones, DERIVE interpreta una sola función en ecuaciones paramétricas). 30. Resuelve e interpreta gráficamente los sistemas: 3x-2y-5=0; x+y-8=0 (¿Puedes explicarlo?) 3x-2y+6=0; 3x-2y-2=0 x+y=50; 5.4x+6.4y=294 Si el sistema no es lineal, debes utilizar para “despejar” una de las variables de una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. No emplees la opción Re- solver sistemas. Resuelve el sistema: 91 9 ? ? 2 2 ? ?xy?1? 0 Para ello, introduce 2x-y=9 y pulsa . Si en el apartado Variable figura x, obtendrás x en función de y; pero si especificas y como variable, obtendrás y en función de x. Tras pulsar el botón Simplificar obtendrás la variable despejada. A continuación, introduce la otra ecuación, pero sustituyendo la variable despejada por la expresión recién obtenida. En este

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caso deberás introducir ?(x+2x-9)+2x-9=x. Por último, debes resolver esta ecuación. Compa- ra este procedimiento con el “método de sustitución” que te han explicado. En este ejemplo trivial no merece la pena usar DERIVE para despejar y de la primera ecua- ción, pero en otros casos puede ser aconsejable. Prueba a despejar y de la segunda ecua- ción. 31. Resuelve el sistema 2 LOG(x,10)+LOG(y,10)=5; LOG(xy,10)=4 de forma análoga a la del ejemplo anterior. Prueba primero despejando x de la primera ecuación. Si despejas y, obtie- nes una expresión extraña. ¿Sabrías interpretarla? 32. Resuelve e interpreta gráficamente los sistemas: y=x^2-5x+4; 2x+y=8 y=x^2-4x+4; x+y=1 (¿Puedes explicarlo?? y=x^2-x-6; 2x-y-6=0 33. Resuelve e interpreta gráficamente los sistemas de ecuaciones que aparecen en la página 81 del libro. 1.7 SISTEMAS DE 3 ECUACIONES Introduce la expresión [[3x-5y-10z=-15],[2y+5z=4],[3z=-6]] sin olvidar corchetes ni comas, y resuélvela con como en los apartados anteriores. Observa que al pulsar aparecen tres incógnitas en la ventana de variables. Compara los resultados que obtienes al simplificar con los de la página 82 del libro. 34. Resuelve el sistema [[5x-4y+3z=9],[2x+y-2z=5],[4x+3y+4z=7]]. En el sistema del ejercicio anterior lo importante son los coeficientes y no las incógnitas (sería igual denominarlas a, b, c o i, j, k). Introduce la siguiente expresión fijándote en los corchetes y las comas: m:=[[5,-4,3,9],[2,1,-2,5],[4,3,4,7]] Ahora, escribe ROW_REDUCE(m) y simplifica. Compara la última columna con los resultados obtenidos en el ejercicio anterior. En realidad, DERIVE ha utilizado el método de Gauss, pero hasta el final. Tras eliminar x de la segunda y la tercera ecuación e y de la tercera, ha seguido utilizando el mismo proceso hacia arriba para eliminar la z de la segunda y la primera ecuación, y por último la y de la primera ecuación. También ha dividido cada ecuación para que el coeficiente de cada incógnita sea 1. De esta forma, en la última columna aparecen directamente los valores de las incógnitas. 35. Resuelve los sistemas propuestos en las páginas 82 y 83 del libro y comprueba los resuel- tos. 36. Comprueba el ejercicio 7 de la página 90 del libro y resuelve los ejercicios 24 a 27 de las páginas 94 y 95. 1.8 INECUACIONES Introduce la expresión 3x-6< 0 y resuélvela como en prácticas anteriores. Verás que obtienes como resultado [x< 2] en vez de [x=2] que se obtendría al resolver 3x – 6 = 0. Se trata de una inecuación.

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Introduce y resuelve 3x-6?0. Observa cómo ahora se incluye la solución x=2. 37. Introduce y resuelve las siguientes inecuaciones: x^2-5x+6< 0 x^3-4x>0 x^2-9>0 x^2+9< 0 (¿Qué significa?) 38. Introduce y resuelve las siguientes inecuaciones: 2x+1 < 7 ?(x+3) ? 5 -2x+1 < 7 3x-9 < 0 x^2-5x+4 ? 0 2x+4 ? 0 Para resolver un sistema de inecuaciones, resuelve cada una de ellas por separado. Las solu- ciones serán las comunes a las dos inecuaciones. 39. Resuelve las inecuaciones que aparecen en la página 86 del libro: x^2-5x+4 ? 0 x^2-5x+4 > 0 x^2-5x+4 < 0 x^2-5x+7 ? 0 x^2-5x+4 ? 0 x^2-5x+7 ? 0 40. Comprueba el ejercicio 8 de la página 90 del libro y resuelve los ejercicios 28, 29, 30 y 31 de la página 95. 41. Introduce la siguiente inecuación: 3x-2y?-6 Resuélvela especificando la variable x. Interpreta el resultado (x> significa “x a la derecha de”). Vuelve a resolverla especificando la variable y. Interpreta el resultado (y> significa “y por encima de”). 42. Resuelve las inecuaciones: x+y>6 x-y+1>0

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