1 r r r r r r r r r r r a A b c r r r r FÍSICA PARA TODOS
CARLOS JIMENEZ HUARANGA VECTORES EN TRES DIMENSIONES Los vectores
pueden expresarse en función de SUMA DE VECTORES
coordenadas, de la siguiente manera: r A = (a; b; c) Si se tiene:
r A = (a1 ; b1 ; c1 ) B = (a2 ; b2 ; c2 ) r r r o de otra forma:
A = a i + b j + c k r r r donde: i , j , k , son vectores
denominados, vectores unitarios que indican la dirección
de los ejes “x”, “y”, “z”
respectivamente. z c ? A ? a ß y b x a r El módulo
del vector A es igual: A = a 2 + b2 + c 2 Ejemplo: El
módulo del vector: r A = i + 2 j + 2k Es igual a: A = 12 +
22 + 22 ? A = 3 COSENOS DIRECTORES: cos2 a + cos2 ß + cos2
? = 1 r r Entonces: A + B = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 )
Ejemplo: calcular el módulo del vector resultante de los
siguientes vectores: A = (2; 1; – 2) r B = (1; – 3; 1) r C = (-1;
1; – 1) La resultante de estos vectores es: R = A + B + C R = (2
+ 1 – 1; 1 – 3 + 1; – 2 + 1 – 1) r R = (2; – 1; – 2) r r r r
También se expresa: R = 2 i – j – 2k El módulo de
la resultante es: R = (2)2 + (-1)2 + (-2)2 = 9 R = 3 RESTA DE
VECTORES r Si se tiene: A = (a1 ; b1 ; c1 ) B = (a2 ; b2 ; c2 ) r
r Entonces: A – B = (a1 – a2 ; b1 – b2 ; c1 – c2 ) r r Ejemplo:
Calcular: A – B cosa = ? a = A cosa r Si se tiene: A = (4; – 8;
6) r B = (1; 4; 2) cos ß = ? b = A cosß A cos? = ? c
= A cos? A a: ángulo que forma el vector ß:
ángulo que forma el vector ?: ángulo que forma el
vector r A con el eje x A con el eje y A con el eje z La resta de
los vectores es: A – B = (4 – 1; – 8 – 4; 6 – 2) r r A – B = (3;
– 12; 4) r r r r r También se expresa: A – B = 3 i – 12 j
+ 4k El módulo del vector resta es: r r A – B = (3)2 +
(-12)2 + (4)2 r r A – B = 169 r r A – B =13
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2 r r ? r r r r r r 1 2 3 r r FÍSICA PARA TODOS PRODUCTO
DE VECTORES r r Producto escalar ( A · B ) Al multiplicar
escalarmente dos vectores, se obtiene como resultado “un
número”. Dicho número se obtiene
multiplicando los módulos de los vectores y por el coseno
del ángulo que forman dichos vectores. ? B ? A r r A
· B = A B cos ? r Ejemplo: Si los módulos de los
vectores A y B son A= 12, B=6 y el ángulo que forman
dichos vectores es 60º. Calcular el producto escalar de
ellos. A · B = A B cos? = (12)(6) cos60º r r r r A
· B = (72)(0,5) ? A · B = 36 Ejemplo: Si se tiene
los vectores: A = (1; 2; – 2) r B = (3; – 1; 2) r r Calcular el
producto escalar A · B r r A · B = (1)(3) + (2)(-1)
+ (-2)(2) r r A · B = 3 -1 -4 r r A · B = -2 Caso
particular: Cuando dos vectores son perpendiculares entre
sí, el producto escalar de ellos es “CERO” r r
A · B = 0 r r Ejemplo: Si los vectores A y B son
perpendiculares entre si, hallar el valor de “a” A =
(a; 2; – 2) y B = (3; – 1; a) r r Si son perpendiculares, se
cumple: A · B = 0 Osea: (a)(3) + (2)(-1) + (-2)(a) = 0 3a
– 2 – 2a = 0 ? a = 2 CARLOS JIMENEZ HUARANGA r r
Producto vectorial ( A × B ) Al multiplicar vectorialmente
dos vectores se obtiene como resultado a otro vector. El
módulo de ese vector es igual al producto de los
módulos de los vectores a multiplicar y por seno del
ángulo que forman entre sí. r r A × B = A B
sen? La dirección de dicho vector es perpendicular al
plano que contiene a los vectores A y B ? ? A×B ? B 2 ? A r
r Si los vectores A y B son dados de la siguiente forma: A = (1;
2; 3) y B = (4; 5; 6) Su productor vectorial se determina
así: i j k ? ? A×B= 4 5 6 r r r r r A× B = (2
× 6 – 5 × 3)i – (1× 6 – 4 × 3) j +
(1× 5 – 4 × 2)k r r r r r A× B = (12 – 15)i –
(6 – 12) j + (5 – 8)k r r r r r A × B = -3i + 6 j – 3k Si
se desea calcular el módulo del producto vectorial se
procede a efectuar así: r r r r r A × B = -3i + 6 j
– 3k r r A× B = (-3)2 + (6) 2 + (3) 2 r r A× B = 9 +
36 + 9 = 54 r r A× B = 3 6
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3 r r r A r r r r Entonces: u = = A r r r r r r r r u = + + r r r
y r r r r r r r FÍSICA PARA TODOS ¿Cómo se
determina el vector unitario de CARLOS JIMENEZ HUARANGA PROBLEMAS
PROPUESTOS un vector? 1. Calcular la resultante (R) de los
siguientes El vector unitario de cualquier vector A r Se expresa
de la siguiente manera: u = A Ejemplo: Para determinar el vector
unitario r r del vector: A = 2i + j + 2k , se determina en primer
lugar, su módulo: A = 22 + 12 + 22 ? A = 9 ? A = 3 r r r r
r A 2i + j + 2k 3 r El vector unitario del vector A , es igual a:
3 vectores: r r A = 2i + j – 3k r r r r B = i + 3 j + 2k r r r r
C = -4i – j + 2k r r r r r r r r A) R = i + 3 j + 3k B) R = -i +
3 j + k r r r r r r r r C) R = -i + 3 j – k D) R = i + 3 j + k r
r r r E) R = -i + 5 j + k r 2.- Determine el módulo del
vector F , si: F = 2 A – B + 3C A = 2i + j + k r r r r B = i – j
+ 2k r r r r C = -i + 3 j – 2k r 2i j 2k 3 3 3 r r r A) 6 B) 6 2
D) 6 5 E) 12 C) 6 3 r ¿Cómo se determina la
ecuación vectorial de un vector? z (6; 3; 5) ? A (2; 4; 1)
x r El vector A está entre los puntos: (2; 4; 1) y (6; 3;
5) Su ecuación vectorial se obtiene restando el punto del
extremo del vector menos el punto del origen del vector: A = (6;
3; 5) – (2; 4; 1) A = (6 – 2; 3 – 4; 5 – 1) A = (4; -1; 4)
r r r r A = 4i – j + 4k 3. Si el módulo del vector A es
igual a 3, calcular el módulo del vector B : A = (1; a; a)
; B = (2a; a; 4) A) 4 B) 4 2 C) 6 D) 6 2 E) 10 4. Determine los
valores de m y n si se cumple la siguiente relación: A =
mB + nC r r r r r r r A = i – j ; B = 2i + j + 3k ; r r r r C = i
+ j + 2k Dar como respuesta: m+ n A) 0 B) -1 C) +1 D) +2 E) -2 r
5. Un vector A tiene su origen en el punto (2; -1; -2) y su
extremo (flecha) en un punto “P”; un segundo vector B
se inicia en el punto “P” y termina en el punto (-3;
1; 3). Calcular el módulo del vector resultante de estos
dos vectores. A) 2 6 B) 3 6 D) 5 6 E) 6 6
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4 r r z r r y 1 r 2 r 2 r 1 r 1 r 1 r r r r A) 1 r 2 r 2 r 1 r 2
r 2 r 1 r 2 r 2 r r x FÍSICA PARA TODOS 6. Dos vectores
parten de un mismo punto “P” y uno de ellos termina
en el punto (3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2).
Calcular el módulo de la resta de estos vectores. CARLOS
JIMENEZ HUARANGA r a = (m; n; – 4) ; b = (n; – 1; p) y r c = (3;
p; m) A) 0 B) +1 C) -1 D) +2 E) -2 A) 6 D) 5 B) 2 E) 2 6 C) 3 r
10. Si se tiene: a = (3; 1; – 4) y b = (-2; 3; 1) . r r Calcular:
a · b r 7. Calcular el vector unitario del vector A . A)
+7 D) +1 B) -7 E) 0 C) -1 ? A (2; 1; 3) r r 11. Si los vectores A
y B son perpendiculares entre sí, determine el valor de
“a”. A = (a; – 2; 3) y B = (2; 1; – a) x (4; -3; -1)
A) 0 D) +2 B) +1 E) -2 C) -1 3 3 3 6 3 3 i + j + k B) i + j + k
12. En la figura se tiene a los vectores A ; B y C
perpendiculares entre sí. Indique la expresión
correcta que C) i + j – k D) i – j + k 3 3 3 3 3 3 E) – i + j + k
3 3 3 represente la figura. ? C ? A ? B r 8. Calcular la
resultante de los vectores A y B , ubicados en el siguiente cubo
de 2 unidades de arista. r r r A) A × B = C r r r C) A
× C = B r r r E) B × A = – C r r r B) C × A = B
r r r D) B × C = A z ? B 13. Un vector forma 60º con
el eje “x”, 120º con el eje “y”,
¿qué ángulo forma dicho vector con el eje
“z”? A) 30º B) 45º C) 60º ? A y D)
120º E) 180º 14. El resultado de efectuar el producto
escalar de dos vectores da como resultado r r r A) i + 2 j + 2k r
r r C) 2i + 4 j – 2k r r r E) 2i – 4 j – 2k r r r B) 2i + 4 j +
2k r r r D) 2i – 4 j + 2k una cantidad igual al módulo del
producto vectorial de los mismos vectores. ¿Qué
ángulo forman dichos vectores? A) 30º B) 37º C)
45º D) 60º E) 90º r r r 9. Si la resultante de los
vectores a ; b y c es nula, calcular: m + n + p. r r 15.
¿Qué ángulo forman los vectores A y B r r r
r r si se sabe que: A = 2k y B = i + j
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5 z y FÍSICA PARA TODOS CARLOS JIMENEZ HUARANGA A) 0 B) +1
C) -1 A) 0º B) 45º C) 60º D) +2 E) -2 D) 90º
E) 120º 19. El vector ubicado en el cubo de arista 16.
¿Qué ángulo forman los vectores: r r r r r r
r r A = i + 2 j + 2k y B = – i + j + k igual a 1, tiene un
módulo igual a 3 3 . Determine su ecuación
vectorial. A) 30º D) Arc tg 2 B) 60º C) 90º E) Arc
tg 3 r r 17. Calcular el producto vectorial: A × B r r A =
(2; – 3; 1) y B = (1; – 2; – 1) A) (5; 3; -1) B) (5; -3; -1) C)
(-5; 3; 1) D) (1; 3; -1) E) (1; -1; 3) 18. En la siguiente figura
se tiene un cubo de x r r r A) i + j + k B) r r r C) 3i + 3 j +
3k D) r r r E) 3i + 3 j + 3k r r r 2i + 2 j + 2k r r r 3i – 3 j +
3k arista igual a 1, y en él dos vectores. Determine el
producto escalar de dichos vectores. z r r 20. Se sabe que los
vectores A y B son r r perpendiculares entre sí. Calcular:
A × B r r r r r r r r A = i – aj + k y B = 2i + 2 j + ak ?
A ? B y A) 3 D) 6 2 B) 3 2 E) 12 C) 6 x
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