Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Habilidades lógico matemáticas



Partes: 1, 2, 3

    Monografias.com

    HABILIDADES LÓGICO MATEMÁTICAS
    PRESENTACIÓN
    El presente módulo de Habilidades Lógico Matemáticas tiene como finalidad proporcionar los fundamen-
    tos matemáticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenierías y ciencias sociales, para que
    los estudiantes adquieran soltura en el manejo de estos conceptos, que son herramientas comunes en
    los cursos que llevaran en ciclos superiores.
    El objetivo de este material es que la transmisión delos conocimientos básicos de Habilidades Lógico
    Matemáticas debe hacerse a través de situaciones aplicadas y contextualizadas a las Ciencias empresa
    riales, ingenierías y ciencias sociales, aumentando el interés y la motivación para así de esta manera
    comprender la necesidad de adquirir dichos conocimientos.
    En este material, cada concepto matemático es explicado y ejemplificado a través desituaciones contex-
    tualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrará a lo largo de su vida académica y pro-
    fesional.
    El módulo contiene conceptos y ejemplos de lógica proposicional, teoría de conjuntos, proporcionali-
    dad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, así como aplicación de los conocimientos adquiridos
    en la resolución de problemas prácticos teniendo como soporte el software matemático GEOGEBRA
    para la visualización geométrica de conceptos en concordancia con el enfoque pedagógico de Van Hiele.
    Cada tema contiene aplicaciones a sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplica-
    ciones resueltas, al final de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene
    la misión de analizar ejemplos concretos de la teoría revisada.
    PRIMERA UNIDAD
    I. COMPETENCIA
    Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear problemas de la realidad, y
    tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con responsabilidad y actitud proactiva.
    II. CAPACIDADES
    1. Analiza y aplica los principios lógicos en su vida cotidiana.
    2. Discrimina tautologías, contradicciones y contingencias.
    3.- Reconoce las principales proposiciones categóricas A, E, I, O,
    4. Discrimina inferencias y falacias en su quehacer cotidiano a partir del conocimiento de las reglas y
    leyes lógicas.
    5 Conceptúa los términos: Conjunto elemento y relación de pertenencia.
    6 Construye el concepto de proporcionalidad.
    7.- Construye el concepto de regla de tres.
    CAPÍTULO I: LÓGICA
    SESIÓN 1
    I.- DEFINICIÓN Y OBJETO DE LA LÓGICA
    La palabra Lógica se deriva de la palabra griega logos que significa razonamiento
    o discurso.
    La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la
    Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. Ciertamente
    se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
    Existen además otras definiciones:
    Lógica es la ciencia que estudia la estructura del pensamiento, prescindiendo del contenido.
    Lógica también es la manera ordenada de pensar y de expresar nuestras ideas.

    Monografias.com

    El objetivo principal de la Lógica es analizar la estructura del pensamiento, es decir su forma lógica para
    descubrir leyes y reglas.

    1.1.- DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIÓN Y PROPOSICIÓN

    1.1.1.- El juicio
    Es una relación o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmación o aseveración
    de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso. (Astudi-
    llo, Dolores; Inciso, Liliana).
    1.1.2.- El Enunciado
    Es la expresión verbal o escrita del juicio.

    Ejemplos:
    ?
    ?
    ?
    Pedro es ingeniero.
    El puente más extenso del mundo se encuentra en China.
    Las matemáticas son la base de las ingenierías.
    No son enunciados:

    Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: ¡socorro!, ¡auxilio! ¡te quiero!
    Las oraciones imperativas. (Órdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.
    Las desiderativas. (Deseos, súplicas). Ej.: Ojala no haya clases.
    Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: ¿Qué hora es?

    1.1.3.- Razonamiento

    Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera tal que se supone que uno de ellos
    (llamado conclusión) se desprende o infiere del o los otros (llamados premisas). La pretensión de que la
    conclusión se deriva de las premisas se manifiesta a través de expresiones especiales como: por lo tan-
    to, luego, por consiguiente, etc.

    1.1.4..- La Proposición

    Es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. La proposición es un
    elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o
    aseverativas, tales como:

    Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Mañana es lunes.

    Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca

    Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace frío entonces es invierno

    A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué
    algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscu-
    la, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

    Ejemplo.
    p
    q
    r
    s
    t:
    w:
    El edificio es alto.
    -17 + 38 = 21
    x > y-9
    Las ingenierías son base para el desarrollo del país.
    Hola ¿como estas?
    Lava el coche por favor.

    Monografias.com

    r: (a +b) = a + 2ab + b
    Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposicio-
    nes válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende
    del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s,es válida
    Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero,
    uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
    EJERCICIOS No. 1.
    Valida las siguientes Proposiciones.
    p1: Todo ingeniero del 2 ciclo de la UCV tiene soluciones concretas.
    p2: Todas las ingenierías necesitan de las matemáticas.
    p3: Todos los ingenieros egresados de la UCV tienen trabajo.
    p4: Un ingenieros es trabajador.
    p5: Los ingenieros aceptan los retos más difíciles de la vida.
    p6: El alumno no necesariamente quiere ser ingeniero.
    Ejercicios
    Escribir 20 proposiciones válidas y 10 inválidas.
    Importante: Valor de verdad
    Una proposición es verdadera o es falsa; si es verdadera se denotará por la letra “V” o el “1” y si es
    falsa se denotará por “F” o por el “0”. Si no se puede determinar su valor de verdad, se podrá analizar
    los posibles valores de verdad (tablas de certeza).
    II.- CLASES DE PROPOSICIONES
    Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atómicas y proposiciones compuestas o mo-
    leculares:
    2.1.- PROPOSICIONES SIMPLES
    Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer.
    Ejemplo:
    p: Todo ingeniero se adapta rápidamente a su centro laboral.
    q: Si un puente resiste a un terremoto; también para las lluvias.
    2 2 2
    2.2.- PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
    Son aquellos enunciados que están formados por dos o más proposiciones simples y unidos por término
    lógico.
    Ejemplos:
    p: Laisaes Administradora y su hermano Mateo es Ingeniero.
    q: Un Ingeniero tiene como base las matemáticas y las Física.

    Monografias.com

    Podemos observar en los ejemplos anteriores que tanto p como q están compuestas de dos proposicio-
    nes simples.

    Los conectivos lógicos son elementos gramaticales que unen dos o más proposiciones simples; estos
    son:

    2.3.- CONECTIVOS LÓGICOS
    2.4.- PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS

    Los operadores lógicos también permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias propo-
    siciones). Los operadores o conectores básicos son:

    2.4.1.- CONJUNCIÓN
    ( ? ) QUE SE LEE Y

    Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado
    verdadero. Su símbolo ? que se lee “y”. Se lo conoce como la multiplicación lógica y tiene estrecha rela-
    ción con la intersección de conjuntos.

    Ejemplo 01.

    Sea el siguiente enunciado:

    “Un tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”.

    Simbolizando tenemos:

    p: el tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque

    q: el tren enciende cuando tiene corriente la batería.

    V(p) = V
    V(q) = V
    En consecuencia:V(p? q) = V

    Ejemplo 02.

    3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10

    Monografias.com

    p: 3 + 4 = 6
    q: 3 + 7 = 10
    V(p) = F
    V(q) = V
    Por consiguiente:V (p? q) = F

    De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

    pyq
    p
    ?
    p pero q
    q; que se lee:
    p aunque q
    p incluso q
    p también q; etc.

    Su tabla de verdad es:
    Ejercicios
    Escribir 5 ejercicios de conjunción y determine el valor de verdad de cada uno.

    2.4.2.- LA DISYUNCION:

    2.4.2.1..- LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

    ( ? ) QUE SE LEE: O.

    Es la unión de dos proposiciones simples con el conectivo lógico “o”. Simbólicamente se lo representa
    así: p? q que se lee p ó q o ambas. El enunciado es verdadero cuando alguna de las proposiciones es
    verdadera o ambas son verdaderas; Se conoce también como la suma lógica y se relaciona estrecha-
    mente con la unión de conjuntos.

    Ejemplo 01.

    Sea el siguiente enunciado

    “Un ingeniero puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”.

    Donde.

    p: Un ingeniero puede entrar al cine si se compra su boleto.
    q: Obtiene su pase.

    Simbólicamente tenemos:p ? q

    V( p ) = V
    V( q ) = V

    En consecuencia: V (p ? q) = V

    4+3=9o3+5=8

    Monografias.com

    p: 4 + 3 = 9
    q: 3 + 5 = 8
    V ( p) = F
    V (q ) = V
    En consecuencia: V (p ? q) = V

    Su tabla de verdad es:
    TAREA

    Escriba 10 ejemplos de disyunción inclusiva y determine su valor de verdad.

    2.4.2.2..- DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

    (V ) QUE SE LEE O EN SENTIDO EXCLUYENTE

    El enunciado es verdadera cuando p es verdadero y q es falso o viceversa. Simbólicamente se lo repre-
    senta por p ? q que se lee p o q pero no ambas.

    Ejemplos:

    Carmen es ingenieroó de matematico

    Simbólicamente tenemos:

    p: Carmen es ingeniero V(p) = V
    q: Carmen es matematico
    V (q) = V
    En consecuencia: V (p ? q) = F

    (p ? q) que se lee: p ó q, pero no ambas.

    25 = 6 o 3 + 9 = 7
    p: 25 = 6
    q: 3 + 9 = 7
    V (p) F
    V (q) = F
    En consecuencia: V (p ? q) = F

    Su tabla de verdad es:

    Monografias.com

    TAREA

    Escribir 10 ejercicios de disyunción exclusiva y determine el valor de verdad.

    2.4.4.- Negación

    ( ? ) no

    Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el
    operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). Al negar una proposición simple, se trans-
    forma en una proposición compuesta Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos:

    (~, ? )

    Ejemplos:
    p: Patricio está estudiando ingeniería
    V (p) = V
    V (? p) = F

    V (?q) = V
    ? p: Patricio no está estudiando ingeniería.

    q: María es ingeniero V (q) = F

    ? q: No es cierto que María es ingeniero

    Su tabla de verdad es:
    A veces la negación de una proposición simple se obtiene mediante otra proposición simple, así:

    p: x es mortal

    ?p: x es inmortal

    q: y es par

    ?q: y es impar

    La negación en Matemática se realiza así:

    Monografias.com

    p: 2 + 3 = 5

    ?p: 2 + 3 ? 5
    V (p) = V

    V (?p) = F
    2.4.5.- CONJUNCIÓN NEGATIVA:

    El enunciado es verdadero cuando las proposiciones simples que la forman son falsas.

    La conjunción negativa de dos proposiciones p y q, se representa por “p ? q” o por p? q se lee: ni p,
    ni q

    Ejemplos:

    “ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6”

    Simbólicamente tenemos:p ? q
    p: 3 + 2 = 5

    q: 2 + 4 = 6
    V (p) = V

    V (q) = V
    Consecuentemente tenemos que:V (p ? q) = F
    ?p: 3 + 2 ? 5

    ?q: 2 + 4 ? 6
    V (? p) = F

    V (? q) = F;
    Consecuentemente:V (? p ?? q) = F
    ? (? p ?? q )
    Entonces se deduce que:(p ? q)

    Su tabla de verdad es:
    TAREA

    Escribir 10 ejercicios de conjunciones negativas y determinar el valor de verdad.

    2.4.6.- DISYUNCIÓN NEGATIVA:

    Monografias.com

    El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas. La disyunción
    negativa de proporciones se representa por p / q; que se lee noóno q.

    Ejemplo:
    No eres ingeniero o no eres matemático
    p/q
    p: eres ingeniero

    q: eres matematico
    V (p) = V

    V ( q) = V
    En consecuencia:V (p / q) = F

    ? p: no eres ingeniero V (?p) = F

    ?q: no eres matematicoV (?q ) = F

    Consecuentemente:V (?p ??q) = F
    Luego: p / q
    ? (?p ??q )
    Su tabla de verdad es:
    2.4.7.- NEGACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:

    Se puede también utilizar otras formas de negar como: no es el caso que; no es cierto que, (frecuente-
    mente se acostumbra a utilizar esta forma cuando se niegan proposiciones compuestas)

    No es el caso que: 3 ? 2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos: ?(p?q)

    No es cierto que: 3 ? 2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos: ?(p?q)
    p: 3 ? 2

    q: 4 + 1 = 5
    V (p) = F

    V (q) = V
    Consecuentemente:V ?(p?q) = V

    TAREA: Escriba 10 ejemplos de negación.

    2.4.8.- PROPOSICIONES CONDICIONALES

    Monografias.com

    (? )que se lee “entonces”

    Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta)
    p y q. La cual se indica de la siguiente manera: ? que se lee “si p, entonces q; simbólicamente se la
    representa por:

    Se lee “Si p, entonces q”
    Si p, q
    p ? q
    p, sólo si q
    p es necesario para q; etc.

    En este caso p: es el antecedente y q: es el consecuente.

    Se lee:
    q puesto que p
    q, si p
    q cuando p
    q ? p
    q cada vez que p
    q dado que p
    q porque p
    q ya que p; etc.

    Se caracterizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antece
    dente o condición.

    Ejemplo: Simbolice y determine el valor de verdad:

    Un candidato a presidente del Ecuador dice:

    “Si salgo electo presidente del Colegio de Ingenieros del Perú, entonces recibirán un 50% de aumento en
    su sueldo el próximo año”.

    Una declaración como esta se conoce como condicional. Su valor de verdad es la siguiente:
    p: Si salgo electo Presidente delColegio de Ingenieros del Perú
    V (p) = V
    q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año V(q)= V

    De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: p ? q

    El V( p ? q ) = V

    Otro ejemplo: 5+7=12 ?8- 5 = 4 ; Simbólicamente tenemos: p?q
    p: 5+7=12

    q: 8 – 5= 4
    V( p) = V

    V( q ) = F
    Su valor de verdad es: V (p?q ) = F

    Su tabla de verdad es:

    Monografias.com

    Esto significa que una proposición condicional es falsa cuando p = V y q = F;
    en los demás casos será verdadera.
    2.4.8.1.- VARIANTES DE LA CONDICIONAL
    A toda proposición condicional se le asocia tres proposiciones igualmente importantes, que son: propo-
    sición recíproca, inversa y contrarecíproca.
    Proposición recíproca.-
    Dada la proposición condicional “p ? q “, se llama proposición recíproca a la proposición que se denota
    por: “q ? p”
    Ejemplo:
    Si y es par, entonces, y es múltiplo de 2 ; simbólicamente: p ? q. Condicional

    Si y es múltiplo de 2, entonces, y es par ; simbólicamente: p ? q. Su recíproca:
    Si b es perpendicular a c, entonces c es perpendicular a b.
    La proposición anterior simbólicamente la denotamos por “p ? q”; mientras que la proposición recíproca
    será: “q ? p”.
    c es perpendicular a b, si b es perpendicular a c.
    Proposición inversa. –
    Dada la proposición condicional “p ? q “, se llama proposición inversa a la proposición que se denota
    por: “? p ?? q”.
    Ejemplo:
    Si Marcos consigue la beca, entonces estudiara una maestría en ingeniería;
    simbólicamente tenemos: p ? q
    La proposición inversa será: "? p ?? q”, será:
    Si Marcos no consigue la beca, entonces no estudiara una maestría en ingeniería.
    Simbólicamente tenemos: ?p??q

    Monografias.com

    Si x = 4 entonces x = 16
    Proposición contrarecíproca.-

    Dada la proposición condicional: “p ? q”, se denomina proposición contrarecíproca a la que se denota
    por: ? q ?? p.

    Ejemplo:

    Si vivo en Lambayeque, vivo en la provincia de Chiclayo; simbólicamente: p ? q

    La proposición contrarecíproca será :

    No vivo en la provincia deChiclayo, si no vivo en Lambayeque ;

    simbólicamente: “? q ?? p”

    En los siguientes ejercicios escribir la proposición dada en la forma “si p entonces q”; determine su valor
    de verdad. A continuación, escribir la recíproca y la contrarecíproca y determinar la verdad o falsedad de
    cada una.
    ?

    ?

    ?

    ?

    ?

    ?

    ?

    ?

    ?
    Las lechugas son verduras

    Sólo las rectas paralelas no se cortan

    Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

    Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales

    Si a es mayor que b entonces b es mayor que a

    Los triángulos isósceles son equiláteros

    Un hombre natural de Zapotillo es natural de Loja

    2

    Ningún profesor de idiomas tiene mala ortografía
    2.4.9.- PROPOSICIÓN BICONDICIONAL
    : ( ? ), QUE SE LEE “SI Y SÓLO SI”

    Sean p y q dos proposiciones simples entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la si-
    guiente manera: p ? q; que se lee “p si y solo si q”

    Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
    también es falsa. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

    “Un puente está bien construido , si y solo si; resiste a un terremoto de mayor escala”

    Simbólicamente tenemos:

    Partes: 1, 2, 3

    Página siguiente 

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter