Habilidades lógico matemáticas (página 3)

Partes: 1, 2, 3

iene solución o es incompatible:
Resolver:
?
x
x ?4
3
x?2
5x
x ?4
3
x? 2
Solución:
Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:
?
x
x ?4
3(x ? 2)
(x ?2)(x ? 2)
5x
x ?4
3(x ?2)
(x ? 2)(x ?2)
?
?
x
x ?4
3(x?2)
2
5x
x ?4
3(x?2)
2
?
3(x?2)? x
x2 ?4
3(x?2)?5x
2
Para:
x ? 2? x ? ?2, los denominadores se anulan por tanto: x ? ?2……..(1)
3(x?2)?5x ?3(x?2)? x ?6x ? ?12
De donde: x = -2………….(2); de (1) y (2) se observa una contradicción

Se concluye: la ecuación no tiene ninguna solución o es incompatible.
x?4 ? x?1 ?1
Resolver:

Solución:
Transponiendo:
x ?1
x?4 ?1? x?1
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
2
2

? x?4 ?1?2 x?1? x?1
x?1 ? 2
Reduciendo se tiene:4 ? 2 x?1 ?

x?5 ?(7?x)2 ? x?5? 49?14x? x2
Al cuadrado:
x?1? 4? x ?5
Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta:
x?4 ? x?1 ?1? 5?4 ? 5?1 ?1

3 – 2 = 1 (Se verifica la igualdad)
? la solución es: x = 5
x?5 ? 7
Resolver: x?

Solución:
x?5 ? 7? x
2
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
x2 ?15x?44 ? 0
x
x
–11
– 4
x?5 ? 7
Verificando en la ecuación original: x?
Si: x ?11?11? 11?5 ? 7 ?11?4 ? 7 (Falso)
Si: x ? 4?4?
4?5 ? 7 ?4?3? 7 (verdadero)
? la única solución es: x = 4
Resolver:

Solución:
Llevando
(x?2)(x?4) ?5x(x?4)

5x(x?4)al primer miembro:
(x?2)(x?4)?5x(x?4) ?0

Extraemos el factor común (x – 4):
(x?4)??x?2??5x?? 0
x?4 ? 0?(x?2)?5x ? 0

Despejando para c/u se tiene:
1
2
x ? ?
x ? 4

Ejercicios
1.
Resolver:
?
?
x ?6
2
3x
5
x
2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2.- Resolver:

? 2
x?m x?n
A) 6B) 5
C) 2D) – 2
2(x?5)2 ? x2 ?(x?6)2 ?2(x2 ?1)

E) 1/2
3.-Resolver:
4x
3
?
2?3x
7
?
x?3
2
C) 3D) 4
E) 18
A) 1B) 2

4.- Resolver:
?
3
x ? x?6
1
x?3
1
x?2
C) 3D) 4
A) 1B) 2

5.- Resolver:
E) 7

x2 ? 4×2 ? x? 9×2 ?12x ? x?1
A)
1
3
B)
1
2
C)
1
6
1
6
D) ?
E)
1
4
6.- Resolver:
(x?3)2 ?5x ?(x?2)2
A) 1
B) -1
C) 2D) 3
E)
2
7.- Resolver:
7? 3? x ?3
A) 2B) 1
C) 3D) 4
E) 5
8.- Resolver:
1
6
?
?
?
x
2
x
3
x?1
2
A) – 1 B) 1
C) 2D) – 3
E) 5
?1
9.-Resolver:
?
m n
A)
mn
m?n
?
B) m + n
C)
mn D) m – n E) mn
m?n
10.-Resolver:
5??? x???4?2x??5?? x?(?5?2x)

3? ?
?1?
?
A)
4
17
B)
17
4
C)
2
13
D)
13
2
E)
19
4
11.-Resolver:
x?1? x?1 ?1
A)
5
4
B)
4
5
C)
1
4
D) 1
E) -1
12.- Resolver:
?
?
?
?1
?2
1 ? 9
4 ??x?1
x?1?
x?1??
A)
? B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
13.- Resolver:
x?13 ? x?2 ?3Hallar la inversa de su solución
A) 3
B) 1/3
C) 2D) 4E) 1/4
2 2
Hallar “x”.
A) 0B) 7
C) 1/3D) – 1/3
E) –7
15.- Resuelva c/u de las ecuaciones luego indique:
x.y
z
2?
A. 1?
2
x?2
x?4
B.
1
5
2 1
5 15
1
3
3?
?
3?
1
5
y ?
C.
? 2
?
2z ?5
z ?3
z ?3
2z ?5
A)
1
5
1
7
B) ?
C)
1
4
D) 1
E)
1
5
?
16.-Resolver:
5
x
?
3
x(2x?3)
?
1
2x?3
A)
5
3
B)
4
3
C)
1
3
D) 3
E)
1
3
?
SESIÓN 8

II.-ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuación de segundo grado-. Son aquellas que luego de reducir términos semejantes y pasar todos
los términos al 1er miembro adoptan la forma:

2
Término
Término
Término

x – 7x + 12
Luego: x – 7 x + 12 = (x – 4) (x – 3)
cuadrático
lineal
independiente
Donde: “a”, “b”, “c” son coeficientes ?a ? 0?

“x” incógnita.

Debes tener presente que toda ecuación de 2do grado tiene dos soluciones o también llamadas raíces
de la ecuación.

¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO?
Existen varias formas de resolver una ecuación de 2º grado, pero mencionaremos las dos más importan-
tes:

Por factorización.- Aquí generalmente se utiliza el aspa simple, además recuerda:

Si a . b = 0
a=0vb=0

Ejemplo:

2
Solución:
2
x
x
-4
-3
2

Cada factor se iguala a cero:
x – 4=0

x1 = 4
v

v
x – 3=0

x2 = 3
Estas son las raíces o soluciones

Por fórmula general
?b ? b2 ? 4ac
2a
x ?
Ejemplo:
2

Solución:

Primero identificamos los valores de “a”, “b” y “c”

2
a
b
c

?x ? ? 12 ? 0
? 7 ?
Así tenemos: a = 1; b = -7; c = 12 y aplicamos la fórmula:
?? 7?2 ? 4?1??12?
2?1?
??? 7??
x ?
7 ? 49? 48
4
x ?
Luego:
7 ? 1
2
x1 ?
v
7 ? 1
2
x2 ?
x1 ? 4
v
x2 ? 3
Propiedades de las raíces.- Dada una ecuación de 2do grado se tiene:
Suma de raí-
ces
Producto de raíces
b
a
x1 ? x2 ? ?
c
a
x1.x2 ?
Ejemplos:

2

Solución:
En primer lugar, se identifican los valores de a, b y c:
1
2
?
?b ?c
?x
?a
Luego, aplicamos la propiedad anterior:
Suma ?
??7? ? 7
1
x1 ? x2 ? ?
Producto
?
12
1
?12
x1 . x2 ?
Ejercicios
2
A) 8 y -1
B) -8 y 1
C) -2 y 4D) -1 y -6
E) -5 y -3
2
A) -3 y -6
B) 2 y 6 C) 3 y 6D) -2 y 6
E) -9 y -2
3.- Resolver: (x – 1) (x – 5) = – 3
A) 2 y 4
B) -2 y 3
C) -2 y -4
D) -3 y -2
E) 0

11.-Resolver: x – 5x – 6 = 0
12.-Resolver: 2x – 3x – 5 = 0
13.- Resolver: (x + 3) – (x – 1) = x
2
C) -2 y -7
A) -4 y -7
D) 4 y 7
B) -7 y 4
E) -4 y 7
2
A) 5
B) 0
C) 0 y 5
D) – 5 E) 0 y – 5
2
A) 6
B) 0 y 6
C) 3 y 2
D) 0 y 2
E) 12 y 0
2
A) 5
B) -5
C) -5 y 5
D) -3 y -2
E) 3 y 2
2
A) 7
B) -7 y 7
C) -7
D) 14
E) 0
9.-Resolver: (x + 1) (x + 6) = – 6
C) – 1 y 3
A) 2 y 3
D) – 4 y – 3
B) 2 y 4
E) – 6 y – 1
2
2
C) -10 y -3

C) 6 y 1
A) -5 y -6
D) 10 y 3

A) 3 y 2
D) -6 y 1
B) -5 y 6
E) 5 y 6

B) -3 y 2
E) 6 y -1
2
A)
5
2
y1
5
2
B) ?
y ?1
5
2
y1
C) ?
D)
5
2
y ?1
E) 5y ?1
2 2
2
;
A) 4 ? 2 6; 4 ? 2 6
C) 2 ? 3; 2 ? 3
B) 2 6 ?1 2 6 ?1
D) 3? 2; 3? 2 E) -3 y 1
2
A)
1
3
y ? 2
B)
1
3
y 2
C) 1 y -2
D) -1 y 2
1
3
E) ?
y ? 2
2

16.- Indicar las raíces de: x = (x – 9) + (x – 8)
18.- Resolver: x – 6x + 7 = 0
19.- Resolver: x + 2x = 5
??
a
a
??
A) 2 y 1
B) 2 y -4
C) 2 y 3
D) 2
E) ? 3
2 2
2
C) -29 y 5
A) 5 y 17
D) -5 y -17
B) 29 y 5
E) 29 y 17
2
;
;
A) 2 2 ?1 1? 2 2
C) 2 ? 2; 2 ? 2
B) 2 2 ?1 2 2 ?1
D) 4 y -2E) 4 y 2
B) 3? 2; 3? 2
D) 2 ? 2; 2 ? 2 E) 4 y 2
2

A) 3? 3; 3? 3
C) 1? 2; 1? 2

2
A) ?1? 6; ?1? 6
C) ?1? 3; ?1? 3
B) ?1? 2; ?1? 2
D) 2 ? 3; 2 ? 3 E) 2 y -5
20.- Indicar las raíces de: 9(2 – x) = 2x
2
A)
3
2
y ? 6
3
2
y 6
B) ?
C)
2
3
y ? 2
D) 6 y -3
E) 3 y -6
2
1
7
A) ? 6y
B)
2
7
y ? 6
1
7
C) ?
y ? 6
3
7
y 2
D) ?
E)
1
7
y 6
III.-INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Inecuación: Es la desigualdad que podría establecerse entre dos polinomios, verificable para ciertos
valores de la incógnita.

Inecuación de primer grado: Es la desigualdad entre dos polinomios de primer grado, siendo el C.S. (es
decir los valores que puede tomar la incógnita) de la forma:

ó

3
7
3
7
¿Cómo se resuelve una inecuación? Se resuelve de manera idéntica a la ecuación, procurando mante-
ner a la incógnita con coeficiente positivo.

Los valores que verifican una inecuación, es decir su C.S., son INTERVALOS.

Existen tres tipos de intervalos:

Intervalo abierto.- No se consideran los extremos:

Ejemplo: Observa el siguiente intervalo y sus diferentes representaciones:

Representación gráfica:
Representación simbólica: 3;7
Representación algebraica:
3? x? 7
Intervalo cerrado.- Sí se consideran los extremos.

Ejemplo:
Representación gráfica:
Representación simbólica: ?3;7?

3?x?7
Representación algebraica:
Intervalo semiabierto o semicerrado.- Es una mixtura de los anteriores

PROBLEMAS

Utilizando la representación algebraica, expresa los siguientes intervalos:

Todos los números comprendidos entre –3 y 11.

Los números reales mayores o iguales a –1.

Todos aquellos números que sean menores que 4.

Los números reales comprendidos entre –1 y 7 incluyendo a este último:

Los números reales comprendidos entre -5 y 8 incluyendo estos números.

Ejercicios

1.- Expresa los siguientes conjuntos, mediante la representación simbólica de conjuntos.

2?x?1? 3?x?2?
x?5 x?2 x
C) ??;? 1 ?D) ??;? 1
C) ??;?7? D) ??;?7
4?
?
J ??x/?3 ?x ? 5?
?Rpta.___________
Y ??x/?5?x?3?
?Rpta.___________
E??x/7?x?9?
?Rpta.___________
O??x/?6?3x?
?Rpta.___________
G??x/4x?12?
?Rpta.___________
D??x/35x?10?
?Rpta.___________

2.- Resolver las siguientes inecuaciones y dar su conjunto solución (C.S)
a.- 17?3x??x?2??4?x

b.- 2x + 1 > 2 – (x – 8) + 13
c.- 4?1?x??2?2?x??5?11?x?5?
d.- 4x?3?x?1?? 5x ??1?2x?
3.- Resolver:
5 10
?
A) 10;??
B) ??;?10
C) ??;10 D) ??;6 E) 6;??
4.- Resolver:
3 2 6
? ? ?3
A) 17;??
?
B) 17;??
?
C) 1;?? D) 1;??
E) ?17;??
5.- Resolver:
?1
3x
2
?2x?
x?5
4
A) ??;2
B) ??;?3
13?? 13
E)
;??
1
13
6.- Indicar el C.S. de:
?x?4??x?4???x?5??x?1??2x?7
A) ??;1
7
4
B) ??;
4
E) ?7;??
4

B) ??; 38?
21?
C) 23;?? D) ?17;??
D) ??;13?
2 ?
E) ?13;??
A) ??;3?
??
7.- Hallar el C.S. de:
?x?1??x?2???x?3??x?5??x?1
A) 3;??
B) ?3;??
C) ??;3?D) ??;?3
E) ??;3
8.-Dar el C.S. de:
?2?
x?2
3
x?3
4
A) ?23;??
B) 23;??
C) ??;?23 D) ?23;23
E) ??;23
?2x ?98
3
9.-Resolver:?x?8?2 ??x?8?2 ?
A) ??;?1
B) ??;1
?
C) ??;?1?D) 1;??
E) 1;??
10.- Resolver: 2?x?5?2 ?1?x?4??x?6??5 x2
3 6 6
A) ??;38
21
?
?
21 ? 3
E) ??;1
7
2
A) ??;2
B) ??;2?
C) 2;?? D) ?2;?? E) ?2;2
12.-Resolver:6?x?5??x?2??26?2?x?2??3x?1?
A) ??;13
2
B) 13;??
2
C)
?
;??
13
2
?
?? 2
13.-Resolver:?2x?1??x?2??x?x?5???x?5??x?1?
4??
B) 3;??
4
? ?
C) ?3;?? D) ??3;??
?4 ? 4
E) ?3;3
4 4
14.- Resolver:?x?2??x?1??x?x?1???2x?1??x?3??4
A) 1;??
?
B) 1;??
C) ??;1?D) ??;?1 E) ?1;??
15.- Resolver:?3x?1??x?5??3?x?2??x?1?
A)
1
11
??;?
B)
1 ?
11??
??;
C)
;??
? 1
? 11
D) ? 1 ??
11
E) 1 ;? 1
11 11
16.-Resolver:
?x?2??x?1??x?x?3???2x?3??x?1??1
A) ??;4
B) ??;?4?
C) 4;?? D) ?4;?? E) ??;4?

??; ?
? ;??
?2;??
2x? ? ?10
15x?2?2x?
2?x?4??
?1? ?
Forma general: P (x) ? ax ?bx?c
17.-Calcular el intervalo solución de:
?x?1?3?x?x2 ?3x?
A)
1?
3?
B)
??;?1?
C)
?1
?3
D) ?1
?
E) ? ?;?1
3
18.-Resolver:
?2x?3?2 ??2x?5??2x?1?
A) ??; 7
10
3
10
B) ??;
C) 1;?? D)
2
2
3
;?? E)
;??
3
5
19.- Si “M” es el conjunto solución de:
5 x
3 3
Determinar el número de valores enteros y positivos de “M”.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 5
E) 9
20.- Resolver el sistema:
;
1
3
3x?14
2
a
39
se obtiene: x?
;b . Señale “a + b”
A) 9
B) 11
C) 7
D) 2
E) 4
21.- Resolver:
2
5
18
5
?x?
2x?
x 3
3 2
x
4
A) 4 < x < 6
B) 3 < x < 5
C) 4 < xD) x < 6
E) x < 5
SESIÓN 9
IV.-INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2
0; a ? 0
Donde: ?a;b;c?? IR

Del rectángulo se obtiene:
ax2 ?bx?c ?0;ax2 ?bx?c ?0
ax2 ?bx?c ?0;ax2 ?bx?c ?0

La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:
? ?b2 ?4ac
>
<

x?[?2; ]B) x?? ??;?3]?[ ;???C) x?? ??;? ]?[2;???
Ejercicios

1.- Resolver:
3×2 ?7x?4?0 indicar un intervalo.
A) ? ??;1?
?
3
2
B) ? ??;
C) ? ?3;???
D) ? ?4;???
E) ?
;4 ?
1
3
2.-Si:
m?? a;b ? tal que la expresión: x2 ?1?2×2 ? x?m?3×2 ?2
se verifica para cualquier tipo de valor para “x”, encontrar el valor de: 4(a?b)
A) 32
B) ?8 5
C) –16
D) ?16 2
E) 1
2
3.- Resolver:2x
?3x?9?0e indicar la suma de valores enteros que la verifican.
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
E) 9
4.- De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas?
I.
x2 ?0? x?IRII. (x?1)2 ?0? x?IR
2 2 ?3?
?2?
V.
x2 ?0? x ?0
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2
?2x?1?0
5.- Resolver: x
A) ? ? 2; 2 ?
2;1? 2 ?
B) ? ? 2 ?1;? 2 ?1? C) ?1?
2;2? 2 ?
D) ? ? 2 ?1; 2 ?1?E) ? ?2?
2
?10x?27?0
6.- Resolver: x
A)
???;??? B) ? ??; 5 ? 3 ? C) ? ?3? 5;?? ?
D) ? ?3? 5;???E) ?
2
7.- Resolver: x
A) x??
?10x?27?0
B) x?? ??;???
C)
? ??;?2?
D) ? ? 2 ?1;? 2 ?1? E) ? ??;?3?

2 2 2
A)
x?[1;5]
B)
x?[5;???C) x?? ??;1] D) x?? ??;5]E) x??1;5?
9.-Resolver:
?2×2 ? x?10?0
A)
5 5 5
2 2 2

x?[? ;2]E) x?IR
B) x?IR?? ?
x?? D) x?? ?
E) x?IR?? ?
m? x ?10x?32
?x ?4x?10? M
15.-Resolver: x ?1?(x?1)
D)
5
2
2 2
A)
x?IR
?5?
?2?
C)
?5?
?2?
?2?
?5?
x?IR, se cumple:
11.-Hallar el mayor valor entero “m” tal que para todo
2
A) 5
B) 8
C) 6
D) 7
E) 10
12.-Cuántos valores verifican la siguiente inecuación:
? ?1
x( 2x?28)
98
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) infinitios
x?IR, se cumpla:
13.-Hallar el menor número entero “M” tal que para todo
2
A) –5
B) –3
C) –1
D) 1
E) 2
14.-Al resolver:(x?2)(x?1)(x?3) ?(x?1)(x?2)(x?4) se obtiene como conjunto solución:
x???;? ?.Indique "a??".
A)
2
3
1
9
B) ?
C) ?9 D)
1
3
E) ?3
3
3
A)
x?? 0;1?
B) x?? ??;1]C) x?[?1;0]
D) x?[?1;??? E) x?? ?1;1?

2 2
A)
x?? ??;1?
B)
x?[?1;???C) x?? ??;?1]
D)
x?? ?;?8?E) x?[?1;1]
V.- INECUACIONES FRACCIONARIAS

Ejercicios
3
x ?4
?1 es:
1.- La solución de la inecuación:

a) 1< x< 4
b) 4 < x < 7
c)–?< x < 1; 4< x < ?
d) –?< x < 4; 7< x < ?
e) –4< x < 5; 7< x < ?
2.- Al resolver la inecuación:
3
2
?1?
x ? 4
x ?5
Sumar los valores enteros que satisfacen:

4x +3x+2>0
x + 6x – 72 < 0….(2)
x – 12x – 45 > 0
(x+2) +(x – 2) < 2(x – 1) – 16
1
x ?6x ? 9
?
1
x ? 6x ?9
A) 40B) 44
C) 45C) 50
D) 56
3.- La solución de la siguiente desigualdad:
?
3?
x ? 2
x ?3
3x ?1
x ?1
es:
a) – 3 < x< 1
b) – 1< x < 3
c) 1< x < 3
d) –?< x < –3; 1< x < ?
e) –?< x < –1; 3< x < ?

4.-La solución del siguiente sistema de inecuaciones
…. (1)

….(3)
2
2
2
es:
A) – 12< x < –3 B) –3 < x < 6
C) 6< x< 15 D) –?< x < – 12
E) 15< x < ?
3 3 3
5.-Analizando la solución de la inecuación:
podemos afirmar:
a)
b)
c)
d)
e)
Solución: 1 < x < 2
Solución: –2< x < 1; 1< x < 2
Solución: –?< x < –2; 2< x < ?
Inecuación imposible.
Inecuación indeterminada.
6.- Al resolver la inecuación:
9
8
x(2x ?3) ? ?
Se observa que:
a) Su solución es: x < 3/2; 3/2< x
b) Su solución es: x< 3/4; 3/4< x
c) Su solución es: x < 4/3; 4/3< x
d) Inecuación indeterminada.
e) Inecuación imposible

7.- La solución del sistema de inecuaciones
? …(1)
es:
? …(2)
x ?5 x ? 2
1
2
3
4
A) ?
? x ?
3
4
B) ?2 ? x ?
C)
1
2
? x ?1 D) 1? x ? 5
1
2
;1? x ? 5
E) ?2 ? x ?
2
8.- La solución de la inecuación:

A) 0 < x< ? B) 0< x< 3
C) 3< x< ? D) 0< x< 3; 3< x< ?
es:
2

E) – 3< x< 0; 3< x< ?

9.- La solución de la inecuación:
? es:
x ?5 x ?2
A)
1
5
? x ? 2 B)
1
5
? x ? 5
1 1
D) E)
5 5
3 2
33x – 35> 0, es
A) – 11B) – 15 C) – 18
D) – 20 E) – 21
11.- La solución del siguiente sistema de inecuaciones:
3 2
3 2
3 2
es:
C) 1< x< 3
A) – 6< x< –3 B) – 6< x< –2
D) ??< x < –1E) 7 < x< ?
4 3 2
a)
b)
c)
d)
e)
–?< x< – 2; 3< x < ?
–?< x< – 2; 3< x< 5
–?< x< – 2; 3< x< 5; 5< x< ?
–?< x< –2; 5< x< ?
– 2< x < 3
x2 ? x ?6
x2 ?13x ?30
? 0 es:
13.-La solución de la inecuación:

a) –1 0< x< 2
b) – 10< x< –3; –3< x< 2
c) –?< x< – 10; 2< x< ?
d) –3< x< 2
e) – 10< x< –3; –3< x< ?
Propiedades:
SESIÓN 10

CAPÍTULO V: FUNCIONES

I.-FUNCIONES

Par ordenado

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:
(a,b)
Primera componente
Segunda componente

?
(a,b) ?? (b,a) (no conmutativa)
Si: (a,b) = (c,d) ? a = c ? b = d

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama producto cartesiano (A x B) al conjunto de pares orde-
nados (a,b) donde “a” ?“A” y “b”? “B”, es decir:
A?B ?? (a,b) /a?A ?b?B?

Ejemplo:
Sea: A ? 1;2;3? B ??2;3;4?
?A?B??(1;2),(1;3),(1;4),(2;2),(2;3),(2;4),(3;2),(3;3),(3;4)?
Propiedades:
n(A x B) = n(B x A)
n(A x B) = n(A) x n (B)

Relación

Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos, se llama relación de “A” en “B”, a todo subconjunto “R” del pro-
ducto cartesiano “A x B”, es decir, “R” es una relación de “A” en “B” ? “R” ? “A x B”.

En particular, si: A = B, “R” se llama relación en “A” (relación entre elementos de “A”).

La definición anterior de relación exige la comparación de elementos pares por eso suele llamarse “rela-
ciones binarias”.

Ejemplo:
En el conjunto: A ??9;8;7;6;5;4;3;2;1?
Establecemos las siguientes relaciones:
“a” es el doble de “b”.
“a” es igual a “b”.

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente.
R1
= {(a,b) / “a” es el doble de “b” }
= {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4) }
R2
= {(a,b) / “a” es igual a “b” }
={(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6),(7;7),(8;8),(9;9)}

Si “R” es una relación entre elementos de “A” y “B”, al conjunto “A” se le llama conjunto de partida de la
relación y a “B” conjunto de llegada.

Se llama Dominio de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (a ? A) tales que existe por lo
menos un (b ? B) con (a, b) ?IR.

Se llama Rango de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (b ? B) tales que existe por lo
menos un (a ? A) con (a, b) ?IR.

Ejemplo:

Sea la relación:
R1
= {(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (1; -2)}
?
? DR1 ? 1;2;3?
RR1 ??2;b;7;- 2?

Definición de Funciones

Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser
A = B) llamaremos función definida en “A” a
F: A ? B
ó
Se lee: “F” es una función de “A” en “B”.

Ejemplo:
F

F = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función.

Observación:

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Ejemplo:

Hallar los valores de “a” y “b” para que el conjunto de pares ordenados:
2

sea una función.

Solución:

En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.
?
(2; 5) y (2; 2a – b) ? A ? 5 = 2a – b … (1)
(-1; -3) y (-1; b – a) ? A ? b – a = -3 …. (2)

De (1) y (2), resolviendo: a = 2; b = -1

?F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)}
valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación:
F ? AxB
que tiene la propiedad:

(a, b) ? F y (a, c) ? F; entonces; b = c

Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca
tienen el mismo primer elemento.

Notación:

Si “F” es una función de “A” y “B” se designa por:

F
a

A
b

B
a
b
c
1
A
F
B

Si “F” es una función de “A” en “B”, el conjunto “A” se llamará conjunto de partida de la función y “B” el
conjunto de llegada.

El dominio de una función “F” se designa por “DF” y se define como el conjunto siguiente:

DF = {x ? A / ? y; tal que (x, y) ? F}

El rango (o imagen) de una función “F” se designa por “RF” o “ImF” y se define como el conjunto siguien-
te:

RF = {y ? B / ? x; tal que (x, y) ? F}

es decir son las segundas componentes de los pares ordenados.

Si el par ordenado (a, b) ? F escribiremos: b = F(a) y diremos que “b” es imagen de “a” por “F” (o también,
que “b” es el valor de “F” en “a”).

F = {(a, b) ? A x B / b = F(a); a ? DF}

Ejemplo:

Sea la función:
F = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1) }

Hallar:

M = F(2) + F(3) + F(7) + F(-2) + F(4)

Solución:

Como: F(2) = 3; F(3) = 4; F(7) = 3; F(-2) = 6; F(4) = 1

?M = 17

Regla de correspondencia

Para que se pueda definir bien un función es suficiente conocer su dominio (DF) y una regla que permita
asignar para cualquier x ? DF; su imagen F(x).

Ejemplo:

Hallar el dominio de la siguiente función:
x
x ?3
?
x – 2
x ? 5
a. F(x) ?
? 0
x – 2
x ? 5
DF ?
x – 3 ? 0
DF = < – ? ; -5 >? [ 2; + ?> – {3}
? x ? 3
-5
2
+ ?
+
+ ? 3
+

Hallar el rango de la siguiente función:

F = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6), (-2; 3)}

RF = {3; 6; 7}

Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas:
Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de
“y”.

Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades.

2

Solución:

2 2
?3 ? 9 ? 4( 2)( 2 ? y)
2(2)
x ?
Si “x” ?IR, luego “y” también ?IR

Pero: ? ? 0; 9 – 8(2 – y) ? 0 ? y ?
7
8
?
?7
?8

Gráfica de una función
Sea “F” una función real, la gráfica de “F” es el conjunto “G” de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que
“x” está en el dominio de “F” e “y” es la imagen de “x” por “F”, es decir:

2

Una gráfica cualquiera será función, si y sólo si, al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un
sólo punto.

Ejemplos:
F(x) es función, entontes “L1” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.
y
F(x)
L1
x
G(x) no es función entonces “L2” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en más de un punto.

Ejercicios

2
función:f = {(2; 4a – b), (3; b), (2; 3), (5; 6), (3; 1)}

x

G(x)

F(x) = x + 10x + 30
B) IR
a)
b)
c)
d)
e)
DF = {2; 3; 5;}; RF = {3; 6; 1;}
DF = {3; 6; 1;}; RF = {2; 3; 5;}
DF = {2; 3; 6;}; RF = {3; 1; 5;}
DF = {3; 1; 5;}; RF = {2; 3; 6;}
DF = {5; 3; 1;}; RF = {3; 6; 1;}
? 5 ? x ? 3 ? x
2.-Hallar el rango de la función: y ? F
(x)
A) y ? [ 2 ; 4]
C) y ?IR
B) y ? [0; 4 2 ]
D) y ? [2 2 ; 4]
E) y ? [0; 2 2 ]

3.-De la función:F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}
Calcular: A ? F(F (2)) ?F(F (3))
A) 1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
C) [ -5; + ?>
4.-Indicar el rango de f: R ?R
2

A) IR
D) [5; + ?>
+
E) [ 30; + ?>
5.-Dado:F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}
Hallar: F(0)F(1) ?F(1)F(2) ?F(2)F(0)
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
6.-Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:

2
Representa una función; indicar el rango.
C) {1; 5; 6}
A) {1; 5}
D) {1; 5; 9}
B) {5; 9}
E) {5; 6; 9}
7.-Sea la función “F” tal que:

2
Calcular la suma de los elementos del dominio.
A) 3
B) 5
C) 8
D) 13
E) 11
8.-Hallar el dominio de la función:
7x ?1
x ?7
F(x) ?
B) x ?IR – {7}
D) x ?IR – {8}
A) x ?IR
C) x ?IR – {1}
E) x ?IR – {-7}

9.-Hallar el dominio de la función:

x ?1
A) y ?IR – ?? ?
B) y ?IR – ? ?
C) y ?IR – ? ?
D) y ?IR – ? ?
4x – 2
x ? 4
F(x) ?
B)x ?IR – {2}
D) x ?IR – {4}
A) x ?IR
C) x ?IR – {-4}
E) x ?IR – {1}

10.-Hallar el rango de la función:
4x ?1
x ? 2
F(x) ?
B) y ?IR – {4}
D) y ?IR – {-2}
A) y ?IR – {-4}
C) y ?IR – {2}
E) y ???

11.-Del siguiente diagrama:
Calcule el valor de:
f(2) ? g(f(2))
f(3) ? g(f(3))
C)
5
8
A) 1

6
D)
5
B)

E)
3
5
8
5
12.-Obtener el número de elementos enteros del domino de la función:
x ? 3 ? 3 ? x
2
F(x) ?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
5x ?1
2x ?3
?5?
?2?
13.-Hallar el rango de la función:F(x) ?

? 5?
? 2?
?2?
?3?
?3?
?2?
? 3?
? 2?

14.-¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función?F(x) ? 41? x ? 8 2 ? x
1
2
3
2
5
3
5
2
3
f
g

16.-Hallar el rango en:F(x) = x + 4x + 7; x ?IR
17.-Hallar el rango en:F(x) = x – 6x + 5; x ?IR
A) IR
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
15.-Sea la función:F = {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}

Además: F(x) = x – 2a; Indicar el producto de los elementos de:
DF? RF
A) -3
B) -1
C) 1
D) 3
E) 2
2

2
A) y ?IR
C) y ? [3; + ?]
E) y ?< -?; 3]

A) < -?; -4]
C) < -?; 4]
B) y ? [1; + ?]
D) y ?< -?; 1]

B) [-4; + ?]
D) < -?; 0]
E) [4; + ?>

18.-Sabiendo que:F = {(5; 7a + 2b), (2; 5), (2; a + 2), (5; 5b – 2a)}

es una función. Calcular:F(2) ?F(F(2))
A) 6
B) 7
C) 34
D) 44
E) 54
? b c ?
? 2 2 ?
si: F(x) = x + 3a
A) 15
B) 12
C) 10
D) 9
E) 6
20.-Indicar el dominio de: y ? x ? 2
C) < 2; + ?>
+
D) [2; + ?>
B) [0; 2]
E) < -?; 2]
2
Obtener: F(b) + F(5) + b
A) 18
B) 16
C) 29
D) 27
E) 23
22.-Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.

F = {(2; 3), (3; a – b), (2; a + b), (3; 1)}
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
2
Hallar “a”.
A) -2
B) 4
C) 6
D) 3
E) -6

24.- Sean las funciones:

F = {(-3; 2), (-4; 1), (0; -2), (1; -2)}
G = {(0; 3), (-4; 3), (7; 1), (8; -3)}

Hallar:
E ?
F(?4) ? G(7)
F(G(7))
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) -2
II.-FUNCIONES II

Funciones especiales

Función constante: F(x) = k

Significa que:

F = {…, (0; k), (1; k), (2; k), …}?

?F = {(x, y) / F(x) = k}?

Gráfica:
Función identidad

Regla de correspondencia: F(x) = x

DF = IR; RF = IR

Significa que:

F = {…, (1; 1), (2; 2), (3; 3), …}

?F(x) = {(x; y) / F(x) = x ?x = y}

Gráfica:
Función valor absoluto

DF = IR ? {0} ; RF = IR ? {0}
Regla de correspondencia: F(x) = |x|

?x;si: x?0
?- x;si: x? 0

+

Significa que:

F = {…, (-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), …}
F(x) = |x|
?
x = 1; y = 1
x = -1; y = 1
y = |x|

Gráfica:
x
Función raíz cuadrada

Regla de correspondencia: F(x) =

+ +

Significa que:
2 ), (3;
3 ), …}
F = {(0; 0), (1; 1), (2;

Gráfica:
Función Lineal

Regla de correspondencia: F(x) = ax + b
“a” y “b” constantes cualesquiera, a?? 0
DF =IR; RF = IR

Su gráfica es una recta, con pendiente “a” e intercepto “b”.

Gráfica:

F(x) = ax + bx + c
Ejemplo:

Calcular la función lineal que tenga F(1) = 3 y además F(2) = 2F(3)

Solución:
F(x) = mx + b
F(1)? 3 = m + b …. (?)

Además:

F(2) = 2F(3)

2m + b = 2(3m + b)

2m + b = 6m + 2b

b = -4m … (?)

De (?) y (?):

m = -1 ? b = 4

? F(x)= -x + 4

Función cuadrática:

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales y cuya regla de correspondencia es:
2
a; b; c ?IR; a ? 0
Su gráfica es una parábola respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba, si:
a > 0; y hacia abajo, si: a < 0.

Nota gráfica:

2
2
{x1; x2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0.

I. F(x) = x + 1
{x1; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando y = 0.
Esta función, cuando: y = 0, los valores de “x” son números complejos.

Otras funciones:

Funciones pares

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto al eje “y”, y se cumple que:

Si: x ? DF? -x ? DF

F(x) = F(-x)?? x ? DF

Funciones impares

Son aquellas que se caracterizan por ser simétricas respecto al origen:

Si: x ? DF? -x ? DF

–F(x) = -F(-x)?? x ? DF

Ejemplos:

Indicar qué funciones son pares, impares o ni par ni impar:
4
II. G(x) = x
3
III. H(x) = x – |x|
Solución:

F(x) es par porque:

4

4

F(-x) = F(x)?F(x) es par.
G(-x) = (-x)
3
G(-x) = -x
3

-G(-x) = x
3
-G(-x) = G(x)? G(x) es impar.

H(-x) = -x – |-x|
-H(-x) = x + |x|
-H(-x)? H(x); también H(-x)? H(x)
?H(x) no es par ni impar.

Gráficas de funciones
Aquí se dan algunos medios auxiliares para trazar gráficas de determinados tipos de funciones:

Desplazamiento vertical de la gráfica de y = f(x)
Desplazamiento horizontal de la gráfica de y =f(x)

Ejercicios

Graficar: F(x) = |x + 8|
B) C)
D)
E)
A)

Graficar:F
(x)
x ?1
x ? 3
?
A)
B) C)
D)
E)
Graficar: F(x)= |x| + 3
A)
B)
C)
D)
E)
Graficar: y = |x| – 8
A)
B)C)
D)
E)
2
A)
B)C)
D)
E)

Graficar: F(x) = -x
2
A)
B)C)
D)
E)
Graficar: F(x) = – | x |

A)
B) C)
D)E)
2
A)
B)
C)
D)
E)
Graficar: F(x) = ? x
A)
B)
C)
D)
E)
Graficar: F(x) = ? x
A)
B)C)
D)
E)
2
A)
B)C)
D)
E)
Graficar: F(x) = ? – x
A)
B)
C)
D)
E)

A) 8 u
Graficar: F(x) = || x – 1| – 3|
A)
B)
C)
D)
E)
Si la gráfica de la función: y = F(x), es:

Graficar la función: y = F(x+5) – 7
A)
B)
C)
D)
E)
Determine el área de la región formada por la función: F(x) = – | x | + 4
y el eje de las abscisas.
2
B) 12
C) 16
D) 32
E) 64
Graficar: F(x)= x | x |
A)
B) C)
D)
E)
Graficar: F(x) =

A)
x
x

B)C)
D)
E)
2
A)
B)C)
D)
E)
Graficar: y = | x |
3
A)
B)C)
D)
E)

TERCERA UNIDAD
I. COMPETENCIA Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear problemas
de la realidad, y tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con responsabilidad y
actitud proactiva.
II. CAPACIDADES
15. Define y describe las matrices, determinantes y sus propiedades.
16 Define y describe los vectores y sus propiedades.
17. Discrimina distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales.
18. Aplica Las matrices, determinantes y vectores en la solución de problemas de su entorno.
.
SESIÓN 12
TEMÁTICA: Clasificación de las Matrices.
SESIÓN 13
TEMÁTICA: Operaciones con matrices. Matriz Inversa.
SESIÓN 14
TEMÁTICA: Sistemas de Ecuaciones Lineales.
SESIÓN 15
TEMÁTICA: Definición de determinantes. Operaciones con Determinantes. Solución de sistemas
de ecuaciones lineales con determinantes
SESIÓN 16
TEMÁTICA: EVALUACIÓN DE LA TERCERA UNIDAD.
SESIÓN 12
CAPÍTULO VI: MATRICES Y DETERMINANTES
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas hori-
zontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

?4 x
?4 0
?3 ?5
? es At = ?2 ?5 7?
Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n. Los subíndices
indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna
(j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar
en ambas son iguales.
Ejemplo
Las matrices
A=
?
?
?
?
?
?
?3 ?5
?
?y ?2
y
B=
?
?
?
?
?
?
?3 ?5
?
?1 ?2
Son iguales solo sí: x =0
y=1
A=
?
?1 2
?
?0 7
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Propiedades de la trasposición de matrices
1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
t t
t
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji
Ejemplos Consideremos las siguientes matrices:
? ? 0 ? ?
C ? ? ? 6 ? ?
?0 3 ??2×2
Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los
que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Ejemplo:
A= [2, -3, 5]

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x
1. Ejemplo:
??1?

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En
estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Ejemplo:
?2 ?1?
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los ele-
mentos aijcon i + j = n +1 la diagonal secundaria.
t
t
t

EjemploLa matriz transpuesta de la matriz A

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simé-
trica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplo [0, 0]

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal
principal son nulos.
Ejemplo

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo
lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij

Ejemplo

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij
Ejemplo
SESIÓN 13

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es de-
cir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 2×3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto
para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las
matrices.

Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o re-
star matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:
Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la
segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el
mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será
de orden 2 x 5.

(2 x 3) * (3 x 5) = (2 x 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejem-
plo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 x 5 por 2 x 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide
con el número de filas de B; es decir, A es una matriz
y B una matriz
. Entonces el producto
cuya entrada ijse obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.
AB es la matriz

Esto es,

Ejemplo:

1.
2.
Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multipli-
cando cada entrada de A por k:
Ejemplo:

Entonces:

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del
denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese
escalar.

Ejemplo:
DETERMINANTES

A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A,
denotado por det (A), | A | o
Una tabla ordenada n
n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de or-
den n, no es una matriz.
La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.
Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

= a11
A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| =
a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det
(3x+5) = 3x+5.

b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES

Consideremos una matriz 3x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los pro-
ductos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:
Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 – (-4) – 0 – (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 x 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alter-
nantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma
siguiente:
Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contie-
nen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :
= 3(8+5) – 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2. Sea A una matriz cuadrada,
Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente
= 0.
Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces
es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,
Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = – |A|.
Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.
Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|.
4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:
A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.
AX = 0 tiene solamente la solución trivial.
El determinante de A no es nulo: |A|
5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B
es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.
6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.
Ejercicio: cálculo de determinantes
Calcular los siguientes determinantes:

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos
como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n x 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identi-
dad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal,
a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la
diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del
nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se trans-
forma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diago-
nal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la ma-
triz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado
toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta
que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la
matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resul-
tado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA-1 = I

Ejercicio: operaciones con matrices

Sean

a)¿Qué clase de matrices son?
b) Calcular:
– A – B + C.
A + B – C.
3A + C/2.

c) Calcular:
(A · B) /C.

d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adjA,
es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:
Ejemplo:
Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A,

A·(adjA) = (adjA) · A = |A|I

De este modo, si |A

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz
y el detA:
Así pues, aplicando la propiedad anterior:

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Consideremos la matriz A = (aij):
1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas
la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2. Consideremos la matriz:

A1 = (a11, a12, …, a1n)

y supongamos que

entonces :
rango (A
A1) = 1
3. Añadimos filas de la matriz Aa la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

tal que posea un menor no nulo de la forma:

Por consiguiente,

rango (A
A2) = 2.
Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4. Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:
de forma que posea un menor de orden tres de la forma:
Entonces:

rango (A) rango (A2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:
rango (A) = rango (A2) = 2.
Suponiendo que rango (A
A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y
así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).
Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calculare-
mos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo de-
terminante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar
de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango
(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el
siguiente ejemplo:

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 x 4.
Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calcu-
lamos a continuación los determinantes de orden superior:
Probamos con un segundo determinante de orden tres:
Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3.

Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Re-
cuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser
cuadradas.

Ejercicio: cálculo de la matriz inversa

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

b)
SESIÓN Nº 14

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incóg-
nita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamen-
te, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en
el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea el sistema,

su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coefi-
cientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene la solución única

x = 2, y = -1, z = 3.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es
una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
SESIÓN 15

Ejercicio: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices

Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema
queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.

x = -9 – y + 10t

z = 7t – 7 ó (- 9 – y + 10t, y, 7t – 7, t).

Dependiendo de qué valores se escojan para yyt, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendre-
mos la solución del sistema

x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.

b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que
el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la ma-
triz escalonada corresponde a la ecuación

0x + 0y + 0z + 0t = -5

obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

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e) A +
A ? ?
? 2
0 – 4? ? Calcule AB. ¿Está definido el producto
EJERCICIOS

1.
Calcular el valor de las variables, para que las igualdades se cumpla
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1
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?z
2. Dadas las matrices:
Calcular: a) A + B
b) A – B
c) A x B
d)B x A
t
3.
Sean
?
?
5
-1 4 7 ?

1 2 3 ?
? 7
y B? ?
?-3
?2 0 -3?
?4 1 5 ??
BA? Explique su respuesta.
4.
Determinar los valores de los siguientes determinantes.
a)
2 0
3 ?3
b)
7 ?2
3 ?3
1 2 3
c) ?2 0 2
3 6 9
1
3 6 8
?2 3
1 2
3
?3
d) ?2 0 2 e) ?2 1 2
?6 1
5.
Calcular el determinante de las matrices

2 ?2
2 ?2 1
?1 ?1 2?
1 ?2 1
?1 ?1 2?
2 ?2 1
?3 ?1 1?
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5 ?1
2 ?2 1
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A=
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A = ? ?A =
? ?
?3 ?1 2?
? ?
? ?
? ?
6.
Resolver los siguientes sistemas lineales
a)4x + 2y +z = 8
3x +4y + 2z = -1
2x – y + 5z = 3
b)x+y+z= 4
x-2y+3z=13
x+3y+4z=11
c)x-2y+3z=2
2x – 3y +z=1
3x- y + 2z =9
d)x+y+z =5
2x – y+ z =2
3x +2y =8