a) x – 5x + 6 = 0
g) 12 = x + x
m) x – 6x + 10 = 0
b) x + 5x + 6 = 0
n) x +
c) x – x – 6 = 0
i) x – 4x + 4 = 0
ñ) x + 3x +
d) x + x – 6 = 0
j) 9x – 6x + 1 = 0
o) -2x – x – 1 = 0
e) 8x – 10x + 3 = 0
k) 100x + 20x = -1
p) -x + 2x – 3 = 0
l) x + x + 1 = 0
a) 3x + 2x – 9 = 0
b) 5x – 6x + 10 = 0
d) x = 2x – 8
Ecuaciones de segundo grado completas
2
completa.
Las dos soluciones de la ecuación son de la forma: x =
?b? b2 ?4ac
2a
2
ecuación de segundo grado:
Si ? > 0: La ecuación tiene dos soluciones distintas.
Si ? = 0: La ecuación tiene dos soluciones iguales (solución doble).
Si ? < 0: La ecuación no tiene solución.
39 Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo
grado:
2
2
2
2
2
40 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:
2
2
2
2
h) 3x + 10 = x
2
2
5
2
x+1=0
2
2
2
9
4
=0
2
2
2
2
2
2
f) 4x + 1 = -4x
2
2
41 ¿Cuánto vale el discriminante en las siguientes ecuaciones?
2
? =
c) x – 1 = 3x
2
? =
2
? =
2
? =
a) x – 2x + 1 = 0
d) x + 4x + 4 = 0
b) 3x – 2x + 1 = 0
e) 2x – x + 3 = 0
c) x + 3x + 2 = 0
f) x + x + 1 = 0
a) 2x – 4x + m = 0
b) mx + 2x + 1 = 0
c) x – mx + 36 = 0
Producto de las soluciones de la ecuación : ax + bx + c = 0
a) 4x + 5x – 6 = 0
b) x + x – 56 = 0
c) 5x – 5x = 16
d) 4x + 28x = 0
e) -3x + 18 x = 0
f) 6x – 12 = 0
g) -3x – 30x + 27 = 0
42 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones distintas, cuáles dos
soluciones iguales y las que no tienen solución.
2
2
2
2
? =
? =
? =
2
2
? =
? =
? =
43 Calcula el valor de m para que las siguientes ecuaciones tengan raíz doble:
2
2
2
m=
m=
m=
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
2
b
a
S = x1 + x2 = ?
2
P = x1 · x2 =
c
a
Conocidas la suma y el producto de las raíces de una ecuación de segundo grado podemos escribir esta
ecuación directamente.
2
2
12 = 0
44 Calcula, sin resolverlas previamente, cuánto vale la suma y el producto de las raíces de las ecuaciones
siguientes:
2
2
2
2
2
2
2
S=
S=
S=
S=
S=
S=
S=
P=
P=
P=
P=
P=
P=
P=
h) -3x + 3x – 6 = 0
a) 6x + 3x – 3 = 0
c) 2x + 9x – 5 = 0
b) 2x + 5x – 3 = 0
d) x + x – 2 = 0
2
S=
P=
45 Escribe la ecuación de segundo grado correspondiente a las raíces cuya suma y producto se indica.
a) S = 7, P = 0
Ecuación:
d) S = 2, P = 2/3
Ecuación:
b) S = 6, P = 8
Ecuación:
e) S = -2 , P = -15 Ecuación:
c) S = 1, P = -2
Ecuación:
f) S = 14, P –3/5
Ecuación:
46 Escribe la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:
a) x1 = 2, x2 = 1
b) x1 = 3, x2 = -2
c) x1 = -1, x2 = 5
S=
S=
S=
P=
P=
P=
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Factorización
2
2
2
2
Por tanto, conocidas las raíces de una ecuación de segundo grado, se puede saber cuál es ésta sin más
que realizar el proceso inverso.
Ejemplo: si las raíces son 5 y -6, la ecuación será:
2
47 Resuelve y factoriza las siguientes ecuaciones:
2
2
Soluciones de la ecuación: x1 = Soluciones de la ecuación: x1 =
x2 = x2 =
Ecuación factorizada: Ecuación factorizada:
2
2
Soluciones de la ecuación: x1 = Soluciones de la ecuación: x1 =
x2 = x2 =
Ecuación factorizada: Ecuación factorizada:
48 Completa la siguiente tabla:
Resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado
Hay problemas que se plantean y resuelven mediante una ecuación de segundo grado.
2
¿Cuál es el lado del cuadrado?
Área del cuadrado: L
2
Área del rectángulo: 2·2L = 4L
2
Soluciones: L = 4 cm, L = -8 cm
Sólo la solución L = 4 cm verifica la condición del problema.
2
50 Halla tres números enteros consecutivos cuyo producto sea igual a su suma. ¿Cuál sería la solución si
se pidieran números naturales?
2
pequeña que la del cuadrado primitivo. ¿Cuáles eran las dimensiones primitivas de este cuadrado?
52 Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula
dicho número.
53 La diferencia de dos números es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. ¿Cuáles son esos números?
54 La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números?
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