Bloque I: El Saber Filosófico. Tema 4: La Lógica
Formal. 1. Las proposiciones y sus tipos. Una proposición
es una oración enunciativa, es decir, una oración
que afirma o niega algo y que puede ser verdadera o falsa. Las
proposiciones pueden ser simples o complejas. Una
proposición simple es aquella que no puede descomponerse
en partes que sean a su vez proposiciones. Las proposiciones
simples se llaman también proposiciones atómicas.
Una proposición compleja es aquella que puede
descomponerse en proposiciones simples, también son
llamadas proposiciones moleculares. 2. Los símbolos de la
lógica proposicional. 2.1. Variables proposicionales. En
la Lógica Proposicional, para simbolizar las proposiciones
simples se recurre a las letras minúsculas del alfabeto,
comenzando por la letra “p” y después
siguiendo el orden alfabético. Para representar los
valores de verdad de una proposición utilizaremos dos
números el “1” y el “0”. El
número “1” representa que esa
proposición es verdadera, y el número
“0” representa que esa proposición es falsa.
2.2. Constantes proposicionales: Las conectivas o conectores. Se
denomina constantes lógicas o conectivas a las
partículas que sirven para unir proposiciones simples y
convertirlas en fórmulas complejas. Las constantes
lógicas más usuales son las siguientes: a. Negador.
Se representa con este símbolo “?”, y produce
fórmulas del tipo “? p”, “no es cierto
que p”, “no es p”, “es imposible que
p”, etc. Por definición el negador es aquella
conectiva que invierte el valor de verdad de una
proposición, es decir, la convierte en verdadera si es
falsa, y en falsa si es verdadera. Esto se representa con la
siguiente tabla de verdad: p ? 1 0 0 1
b. Conjuntor. El conjuntor se representa con el símbolo
“?”, y da lugar a fórmulas del tipo
“p?q”, “p y q”. Por definición el
conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas
complejas que son verdaderas únicamente cuando son
verdaderas las dos proposiciones que las componen. Se representa
con la siguiente tabla de verdad: p 1 1 0 0 q p ?q 1 1 0 0 1 0 0
0 c. Disyuntor. El disyuntor se representa con el símbolo
“? ”, dando lugar a fórmulas del tipo p?q,
“p o q”. Por definición, el disyuntor es
aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que
son verdaderas, cuando al menos una de las proposiciones que las
componen es verdadera. Únicamente una disyunción es
falsa cuando son falsas las proposiciones que la componen. Esto
se representa con la siguiente tabla: p 1 1 0 0 q p ? q 1 1 0 1 1
1 0 0 d. Condicional o implicador. La condicional o implicador se
representa con el símbolo“?”, dando lugar a
fórmulas del tipo “p ? q”, “sí p
entonces q” o también “cuando p entonces
q”. Por definición la condicional es una conectiva
que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas en
todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente
(antes de la flecha) es falso el consecuente. p q p ? q 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1
e. Bicondicional o coimplicador. La bicondicional o coimplicadora
se representa con el símbolo “?”, dando lugar
a fórmulas del tipo “p?q”, “p coimplica
a q”, o también “si y sólo si p
entonces q”, o “únicamente si p entonces
q”. La Bicondicional es aquella conectiva que da lugar a
fórmulas complejas que son verdaderas cuando coinciden los
valores de verdad de las proposiciones que las componen. p q p?q
1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2.3. Los símbolos auxiliares:
Paréntesis ( ) y corchetes [ ]. Al igual que en
matemáticas estos símbolos marcan la prioridad de
una conectiva sobre otra. Cuando en una fórmula hay varias
conectivas tienen que quedar claro cual de ellas es la conectiva
dominante: siempre será aquella que quede fuera del
paréntesis. Por ejemplo: ? (p ? q) ? r: Disyunción.
? p ? (q ? r): Conjunción. Sin embargo existen excepciones
por las llamadas reglas de economía de paréntesis.
Estas leyes son las siguientes: 1ª. El implicador y
coimplicador tienen prioridad sobre el resto de las conectivas,
esto quiere decir que no es necesario marcar con
paréntesis que se trata de la conectiva dominante.
2ª. En fórmulas en las que se repite la misma
conectiva si se trata de una conjunción o de una
disyunción no es necesario marcar la prioridad con
paréntesis. 3. Tablas de verdad para cualquier
fórmula. Partiendo de las tablas de verdad de las
conectivas es posible establecer la tabla de verdad de cualquier
fórmula compleja. Para ello basta con descomponer la
fórmula y establecer las tablas de verdad de sus
componentes hasta alcanzar la tabla de verdad de la
fórmula total. El procedimiento es el siguiente: 1º.
Se simplifica las variables simples (p, q, r) 2º. Aparecen
en la tabla las variables negadas. 3º. Aparecerán los
paréntesis más simples y después por orden
de complejidad los demás paréntesis que aparecen en
la fórmula hasta alcanzar la fórmula completa.
4º. Posteriormente, tienen que aparecer las posibles
combinaciones de valores de verdad de las diferentes
fórmulas simplificadas, para ello nos remitiremos a las
tablas de las conectivas.
– – – p 5º. Se ha de interpretar la tabla: Puede ser una
contradicción: cuando la fórmula siempre es falsa.
p ?? p p ?p p??p 1 0 0 1 0 0 Puede ser una tautología:
cuando una fórmula es siempre verdadera. p? ? p p ?p p??p
1 0 0 1 1 1 Puede ser una indeterminación: Cuando una
fórmula a veces es falsa y a veces es verdadera. p ?? q p
q ?q p ??q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Ejercicio nº 1.
(p ? q) ? ¬ q ? ¬ p q ¬ p ¬ q p ? q (p ? q) ?
¬ q Formula Completa 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 0 1 1 Es una indeterminación.
p p Ejercicio nº 2. ¬ [(p ? q) ? ¬ (¬ p ? ¬
q)] q ¬ p ¬ q p ? q ¬ p ? ¬ q ¬ (¬ p ?
¬ q) (p ? q) ? ¬ (¬ p ? ¬ q) F.C. 1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 Es una
Contradicción. Ejercicio nº 3. (p ? q) ? r ? ¬ p
p q r ¬ p p ? q (p ? q) ? r (p ? q) ? r ? ¬ p 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 Es una indeterminación.
Ejercicio nº 4. ¬ (p ? q) ? ¬ p ? ¬ q q ¬ p
¬ q p ? q ¬ (p ? q) ¬ p ? ¬ q ¬ (p ? q) ?
¬ p ? ¬ q 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 Es una Tautología.
4. Tautología, contradicción e
indeterminación. Una tautología es una
fórmula que es siempre verdadera sean cuales sean los
valores de verdad de sus componentes. Las tautologías se
denominan también leyes lógicas. Una
contradicción es una fórmula que es siempre falsa
sean cuales sean los valores de verdad de sus componentes. Una
indeterminación es una fórmula que en unos casos es
verdadera y en otros falsa, en función de los valores de
verdad de sus componentes. 5. La validez de los razonamientos. Un
razonamiento es un proceso lógico consistente en extraer o
inferir un enunciado al que llamamos conclusión a partir
de otros enunciados a los que llamamos premisas. Un enunciado es
válido o coherente cuando de las premisas se sigue
necesariamente la conclusión. Es decir, cuando las
premisas son verdaderas a la vez, la conclusión tiene que
ser necesariamente verdadera. Para formalizar argumentos
seguiremos el siguiente procedimiento: 1º. Se
formalizará cada una de las premisas que aparecen en
líneas distintas y enumeraremos cada una de ellas.
2º. Se formalizará la conclusión que
aparecerá precedida de este signo: |——-, que se lee
“luego…”, “de modo que…”, “por
consiguiente…”, etc. Ejemplo de argumento: “Si
apruebo 1º de Bachillerato será que los profesores
son muy generosos o que mi madre ha hecho una novena a los
santos. No es el caso que mi madre haga novenas a los santos,
luego los profesores son muy generosos”
Formalización del argumento: 1. p ? (q ? r) 2. ¬ r
|—————- 3. q 5.1. Comprobación de la validez de
los argumentos mediante tablas de verdad. Se puede hacer de dos
maneras: 1º. Consiste en convertir el argumento en una
fórmula condicional en la que el antecedente está
formado por las premisas unidas mediante conjuntores y la
conclusión es el consecuente. Se hace la tabla de verdad
de dicha fórmula condicional y si el argumento es
coherente el resultado será que esa fórmula es una
tautología.
p p Ejemplo: (p ? q) ? (p ? q) 1. p ? q 2. p |———– 3. q q
p ? q (p ? q) ? p (p ? q) ? (p ? q) 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 Es unas tautología 2º. Consiste en compara
los valores de verdad de las premisas con los valores de verdad
de la conclusión. De tal forma que si el argumento es
coherente, cuando las premisas son verdaderas a la vez la
conclusión también lo es. Ejemplo: 1. p ? q 2.
¬ q |————– 3. ¬ p q ¬q ¬p p ? q 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1
Ejercicio nº 1. Comprobar la validez de los siguientes
argumentos mediante tablas de verdad de dos formas distintas 1.
(p ? q) ? r 2. ¬ r |——————- 3. p ? q [(p ? q) ?
r] ? ¬ r ? (p ? q) Antecedente Consecuente p q r ¬ r p ?
q (p ? q) ? r [(p ? q) ? r] ? ¬ r F.C. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Es una Tautología.
5.2. Comprobación de la validez de los argumentos
utilizando reglas de inferencia. El procedimiento de las tablas
de verdad resulta demasiado largo y complicado cuando las
proposiciones que intervienen en el argumento llevan muchas
variables proposicionales, por tanto se recurre a un
procedimiento más rápido que son las reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia son verdades lógicas
por definición (definen las conectivas) que nos permiten
trasformar las premisas dadas hasta alcanzar la
conclusión. El procedimiento a seguir será
también numerar las premisas transformadas haciendo
constar en cada línea la regla de inferencia que hemos
utilizado y las líneas a las que la hemos aplicado. En
último lugar, en la última línea, tiene que
aparecer la conclusión que queremos demostrar.
5.3. Comprobación de reglas y esquemas de inferencia. Las
reglas de inferencia son normas que establece un modo
válido de operar pasando de unas proposiciones a otras.
Por ejemplo, una regla de inferencia es el Modus Ponens: de una
implicación y la afirmación de su antecedente
tomadas como premisas se puede deducir el consecuente. Como la
definición de las reglas debe ser adaptada el lenguaje de
la lógica, las reglas de inferencia se formalizan en
esquemas de inferencia. Por tanto, un esquema de inferencia es
una representación formal de una reglas de inferencia. En
estas formalizaciones vamos a utilizar las conectivas pero en
lugar de usar las variables proposionales (p, q, r, etc),
usaremos las letras mayúsculas del alfabeto empezando por
la letra “A”. Por ejemplo: Modus Pones A ? B A
|———– B 6. Principales reglas de inferencia y ejercicios
de aplicación. Las reglas de inferencia se clasifican en
reglas básicas y derivadas. ? Las reglas básicas
son verdades por definición, únicamente definen
conectivas. ? Las reglas derivadas se demuestran a partir de las
reglas básicas. ? Las reglas básicas se
corresponden con cada una de las conectivas, bien para
introducirlas o bien para eliminarlas. 6.1. Las Reglas
Básicas. a. Las Reglas Básicas del conjuntor son
dos: ? La de Introducción del Conjuntor. De una
proposición tomada como premisa y otra proposición
también tomada como premisa, podemos concluir que la
conjunción de ambas es necesariamente verdadera. Esquema:
A B |———– A ? B I.C. (Introducción del
Conjuntor)
1. ? La de Eliminación del Conjuntor. De una
conjunción tomada como premisa podemos concluir que
cualquiera de las dos proposiciones que la componen es verdadera.
Esquema: A ? B |——— A ? B |——— A Ejercicio nº 1.
1. p ? q 2. r |– q ? r B E.C (Eliminación del conjuntor)
3. q 4. q ? r E.C. (1) I.C. (2,3) Ejercicio nº 2. 1. p 2. q
3. r ? s |—– (p ? q) ? s 4. s 5. p ? q 6. (p ? q) ? s
Ejercicio nº 3 p ? q ? r E.C. (3) I.C. (1,2) I.C. (4,5)
|—- r ? s 2. 3. 4. s r r?s b. Reglas del disyuntor. ? Regla de
Introducción del disyuntor: de una proposición
cualquiera tomada como premisa podemos concluir su
disyunción con cualquier otra. A |——— A A? B I.D
|——– B?A I.D
Ejercicio nº 1. 1. p ? q 2. r 3. r ? s 4. p |— (r ? s) ? p
I.D. (2) E.C. (1) |—————————————– 5.
(r ? s) ? p I.C. (3,4) Nota: La Introducción al disyuntor
se aplica a más de una solo línea. ? Regla de
Eliminación del Disyuntor: de una disyunción tomada
como premisa sí suponiendo cada una de las proposiciones
que la componen llegamos a la misma conclusión, dicha
conclusión es necesariamente verdadera. A ? B A . . . C B
. . . C |————— C E.D. Nota: Lo que hay dentro del
paréntesis son suposiciones, no está demostrado.
Puede haber tantas líneas como sean necesarias. Ejercicio
nº 1. 1. (p ? q) ? (p ? r) |——– p 2. p ? q 3. p 4. p ?
r 5. p E.C (2) E.C (4) |————————————- 6.
p E.D.(1, 2-3, 4-5)
Ejercicio nº 2. 1. (p ?q ) ? (p ? r) |——– p ? r 2. p ?
q 3. p 4. p? r 5. p ? r 6. p 7. p? r E.C (2) I.D. (3) E.C (5)
I.D. (6) |———————————————- 8. p? r
E.D (1, 2 – 4, 5 – 7) c. Reglas del Implicador. ?
Eliminación del implicador o Modus Ponens: De una
implicación y su antecedente tomados como premisas,
podemos concluir que el consecuente es necesariamente verdadero
A? B A |———– B Ejercicio nº 1. 1. p ? q 2. p 3. q ? r
? s 4. q 5. q ? r 6. s |—— s M. P. (1,2) I.D. (4) M. P. (3,5)
? Introducción del Implicador: Si suponiendo una premisa
cualquiera llagamos a otra premisa, podemos afirmar que la
implicación, en la que el antecedente es la premisa
supuesta y el consecuente la proposición a la que hemos
llegado, es verdadera. A B · · · C
|————— B ? C I.I. (Introducción del
implicador)
Ejercicio nº 1. 1. p ? q 2. q ? r 3. p 4. q 5. r |—- p ? r
M.P. (1,3) M.P. (2,4) |————————————- 6. p
? r I.I. (3 – 5) Se usa para demostrar implicaciones:
1º. Se supone el antecedente. 2º. Se sacan
líneas hasta llegar al consecuente. 3º. Una vez
logrado, la implicación está demostrada. Ejercicio
nº 2. 1. p ? q 2. q ? r ? s |—- p ? s ? t 3. p 4. 5. 6. 7.
q q ? r s s ? t M.P. (1, 3) I.D. ( 4 ) M.P. (2,5) I.D. ( 6 )
|——————————————– 8. p ? s ? t
Ejercicio nº 3. 1. p ? q 2. r 3. q ? r ? s 4. p 5. q 6. q ?
r 7. s I.I. ( 3 -7) |—- p ? s M.P. (1,4) I.C. (2,5) M.P. (3,6)
|—————————————– 8. p ? s I.I. (4
– 7)
¬B d. Reglas del negador. ? Eliminación del Negador o
Doble Negación: La doble negación equivale a una
afirmación, y a la inversa, una afirmación equivale
a una doble negación. ¬¬A |——— A Ejercicio
nº 1. 1. ¬ ¬ p 2. p ? q 3. ¬ ¬(q ? r) 4. p
5. q 6. q ? r |—- r E.N. (1) M.P. (2,4) E.N. (3)
|—————————————– 7. r M.P (5,6) ? Regla
de Introducción del Negador o “procedimiento de
reducción al absurdo”: No es estrictamente una regla
sino un procedimiento alternativo a todo lo que hemos hecho hasta
ahora. Hemos utilizado hasta el momento la denominada
“deducción natural” o “vía
directa”, que consiste en transformar las premisas mediante
reglas hasta alcanzar la conclusión. Sin embargo, el
procedimiento de reducción al absurdo consiste en suponer
lo contrario de lo que queremos demostrar (la conclusión
negada), se procede después deductivamente hasta alcanzar
cualquier contradicción. Una contradicción es una
formula del tipo A ? ¬ A. A (Siendo ¬ B lo contrario de
la conclusión) · · · C ? ¬C
|———– B
6.2. Las Reglas Derivadas. a. Modus Tollens: de una
implicación y la negación de su consecuente,
tomadas como premisas, podemos concluir la negación del
antecedente. A ? B ¬B |———– ¬A Ejercicio nº
1. 1. p ? ¬ q |——- ¬ p 2. q |————————
3. ¬ p M.T. (1,2) Ejercicio nº 2. 1. p ? q 2. ¬ q 3.
r ? p 4. ¬ p |—- ¬ r M.T. (1,2)
|—————————— 5. ¬ r M.T. (3,4) Ejercicio
nº 3. Combinación de Reducción al absurdo y
Modus Tollens. 1. ¬ p ? q 2. ¬ p 3. q ? r |—- r 4.
¬r 5. 6. 7. ¬q p p ? ¬p M.T. (3,4) M.T. (1,5) I.C.
(2,6) |———————————- 8. r R.A. (4 -7)
b. Regla de Contraposición: de una implicación
podemos deducir otra implicación, en la que el antecedente
y el consecuente se inviertan y ambas se nieguen. A?B
|—————- ¬B ? ¬A C.P. Contraposición. c.
Silogismo Disyuntivo: de una disyunción y la
negación de una de las proposiciones que la componen,
podemos concluir que la otra es necesariamente verdadera. A ? B
¬A |——— A ? B ¬B |———– B ¬p ? ¬q p
|———— ¬q S.D. A ¬p ? ¬q q |————
¬p S.D. Ejercicio nº 1. Aplicación de Modus
Ponens, Modus Tollens y Silogismo disyuntivo. 1. ¬ p ? ¬
q 2. q 3. ¬ p ? r 4. s ? ¬ r 5. s ? ¬ t 6. ¬ p 7.
r 8. ¬ s |—— ¬ t S.D. (1,2) M.P. (3,6) M.T. (4,7)
|—————————— 9. ¬ t S.D. (5,8)
d. Dilemas: de una disyunción y dos implicaciones tomadas
como premisas, podemos deducir el consecuente de las
implicaciones o el antecedente de las implicaciones, o una
disyunción, siguiendo los siguientes esquemas: A ? B A ? C
B ? C |———— C A ? B A ? C B ? C |———— C ? D
¬A ? ¬B C ? ¬A C ? ¬ B |————— ¬C
¬A ? ¬B C ? ¬A C ? ¬ B |————— ¬C ?
¬D e. Propiedades de las Conectivas: ? Propiedad Conmutativa
de la Conjunción: de una conjunción tomada como
premisa podemos concluir otra conjunción en la que las
proposiciones que la componen invierten su lugar. A ? B
|———– B ? A C.C. ? Propiedad Conmutativa de la
Disyunción: de una disyunción tomada como premisa
podemos deducir otra disyunción, en la que la
proposición que la componen invierten su lugar. A ? B
|———- B ? A C.D. ? Propiedad Asociativa de la
Conjunción: de una conjunción tomada como premisa
podemos concluir otra conjunción en la que las
proposiciones que aparecen se agrupen con paréntesis de
forma diferente. A ? (B ? C) |——————— (A ? B) ? C
A.C. Nota: dada esta propiedad aplicamos la ley de
economía de paréntesis, es decir, en las
conjunciones no usamos paréntesis.
? Propiedad Asociativa de la Disyunción: de una
disyunción tomada como premisa, podemos concluir otra
disyunción en la que las proposiciones que aparecen se
agrupan con paréntesis de forma diferente. A ? (B ? C)
|—————- (A ? B) ? C A.D. ? Propiedad Distributiva de al
Conjunción: de una conjunción tomada como premisa,
si una de las proposiciones es una disyunción podemos
concluir una disyunción entre dos conjunciones. A ? (B ?
C) |————————- (A ? B) ? (A ? C) D.C. ? Propiedad
Distributiva de la Disyunción: de una disyunción
tomada como premisa, si una de las proposiciones es una
conjunción podemos concluir una conjunción entre
dos disyunciones. A ? (B ? C) |————————– (A ? B)
? (A ? C) Ejercicio nº 1. 1. (p ? q) ? (p ? r) 2. (p ? q) ?
s 3. (p ? r) ? s Por reglas derivadas D.D. |—– s ? t 4. s ? t
Por reglas básicas 4. p ? q 5. s 6. s ? t 7. p ? r 8. s 9.
s ? t Dile (1,2,3) M.P. (2,4) I.D. (5) M.P. (3,7) I.D. (8)
|——————————————————- 10. s ?
t E.D. (1, 4 – 6, 7 – 9)
Ejercicio nº 2. 1. p ? q 2. (q ? p) ? (r ? s) 3. t ? ¬(
s ? r) 4. q ? p 5. r ? s |—– ¬ t C.D. (1) M.P. (2,4)
|—————————————- 6. ¬ t Ejercicio
nº 3. 1. p ? (q ? r) 2. ¬ r 3. s 4. (p ? q) ? r 5. p ? q
M.T. (3,5) |——- (p ? q) ? s A.D. (1) S.D. (2,4)
|——————————————- 6. (p ? q) ? s
Ejercicio nº 4. 1. p ? ( q ? ¬ r) 2. ¬ (p ? ¬ r)
3. (p ? q) ? s I.C. (3,5) |—– s 4. (p ? q) ? (p ? ¬ r) 5.
p ? q D.D. (1) S.D. (2,4)
|————————————————- 6. s M.P.
(3,5) ? Propiedad Transitiva de la Implicación o Silogismo
Hipotético: de dos implicaciones tomadas como premisas, si
el consecuente de una de ellas es el antecedente de la otra, se
puede concluir una nueva implicación con el antecedente de
la primera y el consecuente de al segunda. A ? B B ? C
|————– A ? C S.H.
a. b. = f. Leyes de Interdefinición: estas leyes se
utilizan para transformar unas conectivas en otras. ? Las
más conocidas de estas leyes son las llamadas Leyes de
Morgan, que se utilizan para trasformar conjunciones en
disyunciones, y a al inversa. El procedimiento es el siguiente: –
Se niega la fórmula completa , se niega cada una de las
proposiciones que forman la conjunción o la
disyunción, y se cambia la conectiva. A ? B
|——————— ¬ (¬ A ? ¬ B) A ? B
|——————— ¬ (¬ A ? ¬ B) D.M. D.M.
Ejercicio nº 1. Trasformar por las Leyes de Morgan las
siguientes proposiciones: p ? q |——————— ¬
(¬ p ? ¬ q) D.M. ¬ ( p ? ¬ q)
|——————————————————- c. ¬
¬ ( ¬ p ? ¬ ¬ q) p ? ¬q |—————–
¬ (¬ p ? q) D.M ( ¬ p ? q) D.M.
Ejercicio nº 2. 1. ¬ (p ? ¬ q) 2. (¬ p ? q) ? r
3. s 4. ¬ ( ¬ r ? ¬ s) ? t 5. ¬ p ? q 6. r 7. r ?
s 8. ¬ ( ¬ r ? ¬ s) |———- t D.M. (1) M.P. (2,5)
I.C. (3,6) D.M. (7) |——————————————
9. t Ejercicio nº 3. 1. p ? q 2. r ? ¬ q 3. q 4. ¬ r
5. ¬ r ? ¬ s M.P. (4,8) |————- ¬ (r ? s) E.C.
(1) M.T. (2,3) I.D. (4) |—————————————
6. ¬ (r ? s) D.M. (5) ? Interdefinición del
Implicador: Una implicación se puede trasformar en una
conjunción negando toda la fórmula, el antecedente
se mantiene con el mismo valor y el consecuente se niega. A ? B
|—————— ¬ (A ? ¬ B)