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Lógica



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    2 Salustiano Fernández Viejo LÓGICA — PARTE
    1ª — LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE
    ENUNCIADOS 1.- LOS SIGNOS Signo es todo aquello que, para
    alguien, representa o evoca otra cosa distinta de sí
    misma. Ejemplos: señales de tráfico, palabras, la
    danza de las abejas, el humo… Para que algo pueda ser
    considerado signo, es necesario, en primer lugar, que tenga
    significado para alguien. Una primera clasificación de los
    signos distingue entre aquellos que poseen un solo significado
    (son llamados señales), y aquellos que poseen
    significaciones múltiples (símbolos). Ahora bien,
    si tenemos en cuenta el tipo de relación que los signos
    mantienen con su significado, éstos se clasifican en: ?
    Vestigios o índices: La relación que este tipo de
    signos mantiene con su significado es de carácter natural.
    Por ejemplo: el humo es «índice» o
    «vestigio» del fuego, una huella en la arena lo es
    del animal correspondiente, etc. ? Imágenes o iconos: La
    relación que este tipo de signos mantiene con su
    significado es una relación de semejanza o parecido. Por
    ejemplo: algunas señales de tráfico, las
    fotografías, las pinturas realistas, etc. ?
    Símbolos: son aquel tipo de signos que mantienen con su
    significado una relación puramente arbitraria o
    convencional. Por ejemplo: las palabras del lenguaje natural
    humano, los números, las pinturas abstractas, las banderas
    o los signos de la lógica… Filosofía
    1º Bachillerato

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    3 Salustiano Fernández Viejo La ciencia que estudia los
    signos se llama SEMIÓTICA. Ésta, a su vez, se
    divide en tres partes, que constituyen tres maneras de estudiar
    los signos: 1. Sintaxis: estudia los signos teniendo
    únicamente en cuenta las diversas relaciones que se
    establecen entre ellos con independencia de su significado. Este
    es el tipo de estudio que realizan todas las Gramáticas.
    2. Semántica: estudia los signos teniendo en cuenta la
    relación que mantienen con su significado o referencia, es
    decir, con las cosas de la realidad representada por ellos. Este
    es el tipo de estudio que hacen los Diccionarios o las
    Etimologías. 3. Pragmática: estudia los signos
    teniendo en cuenta la relación que existe entre ellos y
    las personas que los utilizan para comunicarse o representar
    algo. Este es el tipo de estudio que realizan los investigadores
    de las jergas o argots profesionales, étnicos, regionales,
    de pandillas… SEMÁNTICA SINTAXIS cosas
    PRAGMÁTICA signos personas Filosofía –
    1º Bachillerato

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    4 Salustiano Fernández Viejo 2. COMUNICACIÓN,
    LENGUAJE Y METALENGUAJE La comunicación es un
    fenómeno natural basado en la capacidad que poseen todas
    las especies animales de transmitirse mediante signos de muy
    diverso tipo: sonoros, visuales, olfativos, etc. Esta capacidad
    la encontramos especialmente desarrollada en el lenguaje humano.
    Pues aunque los animales pueden transmitir información
    mediante signos unívocos (señales: así, por
    ejemplo, que un perro gruña y te enseñe los dientes
    es señal indudable de que te puede morder), el lenguaje
    humano está compuesto principalmente de signos
    multívocos (símbolos), y además posee la
    capacidad referirse a sí mismo. Es decir, puede
    convertirse en un Metalenguaje: es el lenguaje usado para hablar
    del propio lenguaje, es decir, de sí mismo. Ejemplo: La
    frase «“Gato” tiene cuatro letras» es una
    frase en la que el lenguaje habla de sí mismo y, por
    tanto, pertenece al «metalenguaje». A diferencia de
    la frase «El gato de mi casa es gris», en la cual el
    lenguaje se usa para referirse a la realidad, siendo el uso
    habitual que le damos al lenguaje. 3. LENGUAJE NATURAL Se
    entiende por Lenguaje Natural al lenguaje (=conjunto de
    símbolos) utilizado por una sociedad para comunicarse. Hay
    que precisar que el lenguaje que usamos para comunicarnos y
    referirnos a la realidad no es ‘natural’ en sentido
    estricto, sino que lo aprendemos en sociedad, a diferencia de lo
    que ocurre con los demás animales cuyo lenguaje es natural
    o innato, es decir, lo desarrollan naturalmente aunque no
    estén en contacto con individuos de su misma especie. Al
    lenguaje que aprendemos en sociedad y que usamos para
    comunicarnos y referirnos a las cosas que nos rodean, lo llamamos
    Lenguaje Cotidiano o Lenguaje Ordinario o Lenguaje Natural
    Filosofía – 1º Bachillerato

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    5 Salustiano Fernández Viejo 3.1 ELEMENTOS DEL LENGUAJE
    NATURAL: SÍMBOLOS Y REGLAS El Lenguaje Natural humano
    consta de un conjunto finito de símbolos (palabras y
    signos lingüísticos, que forman el Vocabulario) y un
    número finito también de reglas (constituyen la
    Sintaxis), las cuales determinan cómo combinar
    correctamente los símbolos del vocabulario, es decir,
    establecen cómo formar correctamente oraciones en ese
    lenguaje. 3.2. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN? Es una
    expresión lingüística sintácticamente
    correcta (=está bien construida de acuerdo con las reglas)
    y que posee sentido completo. Llamamos «expresión
    lingüística» a cualquier combinación de
    símbolos de un lenguaje. Ejemplos: “El cuarzo es un
    mineral”, “¿Qué hora es?”,
    “Cierra la puerta”,… Por el contrario,
    expresiones como “Vivir con cuando”, “Lloviendo
    noche estaba aquella”, etc. no son oraciones porque o bien
    no tienen sentido completo o son sintácticamente
    defectuosas. 3.3. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN
    ENUNCIATIVA O ENUNCIADO? Es una expresión
    lingüística que tiene sentido completo y que puede
    ser verdadera o falsa. De los anteriores ejemplos de oraciones,
    sólo el primero (“El cuarzo es un mineral”) es
    un enunciado, pues dice algo que puede ser verdadero o falso,
    mientras que los otros dos ejemplos (“¿Qué
    hora es?”, “¡Cierra la puerta!”) no lo
    son porque no cabe preguntarse si es verdadero o falso lo que
    ‘dicen o expresan’. Desde Aristóteles se
    denomina “uso apofántico” del lenguaje a la
    utilización de éste para formular oraciones cuyo
    contenido puede ser verdadero o falso; estas oraciones reciben el
    nombre de enunciados. Son oraciones que se refieren a
    algún hecho de la realidad y que, por tanto, si lo
    ‘expresan’ bien, son verdaderas, y si no, falsas.
    3.4. INSUFICIENCIAS DEL LENGUAJE NATURAL Dada la multivocidad
    (=riqueza significativa) que lo caracteriza, el Lenguaje Natural
    resulta insuficiente para las exigencias de exactitud de la
    ciencia o para la formulación precisa de razonamientos
    complejos (aunque esa riqueza expresiva lo convierta en el
    Filosofía – 1º Bachillerato

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    6 Salustiano Fernández Viejo mejor aliado del poeta, el
    novelista o el orador). Las insuficiencias del Lenguaje Natural
    con respecto a la precisión de sus expresiones son
    consecuencia de: a) Ambigüedades semánticas: en el
    Lenguaje Natural hay muchas palabras y expresiones cuyo
    significado no es preciso, sino ambiguo; rebosa de
    términos polisémicos (es decir, palabras que tienen
    más de un significado). Ejemplo: “Pedro
    alquiló una casa” (no sabemos si la casa que Pedro
    alquila es de su propiedad y se la alquila a otra persona, o si
    Pedro la alquiló para habitarla él), “Llevaba
    el gato en el coche”, “Te sigo”,… b)
    Deficiencias sintácticas: las reglas sintácticas
    que determinan cómo combinar correctamente las palabras
    del lenguaje natural carecen de criterios rigurosos que permitan
    evitar oraciones sin sentido. Ejemplos: “Los martillos
    cerrados paladean locamente”, “Allí donde los
    libros bordean las ásperas playas se alza el fondo de
    planicie más elevado”,… 4. LENGUAJE
    ARTIFICIAL Tratando de superar las citadas limitaciones del
    Lenguaje Natural, para proporcionarle a las ciencias un lenguaje
    exacto y riguroso, se han ido construyendo los Lenguajes
    Artificiales, esto es, lenguajes bien definidos que poseen una
    estructura operativa más eficaz. En líneas
    generales puede decirse que todas las ciencias, en especial las
    ciencias de la naturaleza, emplean Lenguajes Artificiales y que
    ésta ha sido una de las condiciones para su progreso. Por
    ejemplo, los símbolos de la Química, la
    Física, la Biología, pero también los de la
    Economía, la Lingüística, etc., constituyen
    tipos de lenguaje artificial. 4.1. ELEMENTOS QUE INTEGRAN UN
    LENGUAJE ARTIFICIAL Básicamente consta de los mismos
    elementos que cualquier lenguaje natural (un conjunto se signos y
    una serie de reglas sintácticas), pero se le exige
    además: Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    7 Salustiano Fernández Viejo a) Que los signos
    estén bien definidos, para que no quepan
    ambigüedades; b) Que el conjunto de las reglas para la
    formación de expresiones, impida la construcción de
    expresiones carentes de sentido y permita saber, en cualquier
    momento, si una determinada combinación de signos es una
    expresión bien formada del Lenguaje; c) Y que posea,
    además, un conjunto de reglas operativas o de
    transformación de expresiones, que permita deducir a
    partir de unas expresiones correctas del Lenguaje otras que
    también lo sean, para de ese modo construir rigurosas y
    complejas cadenas deductivas. ELEMENTOS DE UN LENGUAJE SIGNOS De
    formación de expresiones ARTIFICIAL REGLAS De
    transformación operativa La Lógica y las
    Matemáticas son ejemplos de Lenguajes Artificiales.
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    8 Salustiano Fernández Viejo 5. LENGUAJE FORMAL Se
    denomina Lenguaje Formal a un Lenguaje Artificial cuyos signos
    son formales (es decir, carecen de significado) y cuyas reglas
    sintácticas permiten operar con dichos signos como en un
    cálculo. La Lógica y las Matemáticas son
    Lenguajes Artificiales y, además, Formales.
    ¿Qué significa que los signos de un Lenguaje Formal
    carecen de significado? Pues que tales signos no se refieren en
    absoluto a la realidad. Así, por ejemplo, el signo
    matemático ‘2’ no se refiere a dos cosas
    concretas, como dos manzanas o dos peras; y lo mismo le ocurre a
    los signos lógicos ‘p’, ‘q’,
    ‘r’, que no se refieren a ninguna proposición
    determinada. ¿Qué significa que las reglas de un
    Lenguaje Formal poseen la eficacia de un cálculo? – Que
    mediante tales reglas siempre podremos saber si una
    expresión (es decir, un conjunto de signos) está
    bien formada en ese lenguaje. – Y que mediante la
    aplicación de dichas reglas podremos transformar
    expresiones bien formadas en dicho lenguaje en otras expresiones
    que también lo estén, y que por algún motivo
    nos interesen. Filosofía – 1º
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    – – 9 Salustiano Fernández Viejo 6. LA LÓGICA COMO
    LENGUAJE FORMAL La Lógica puede definirse como aquella
    ciencia o reflexión sistemática que estudia las
    condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser
    formalmente válido. 6.1. ¿QUÉ ES UN
    RAZONAMIENTO? Un razonamiento es un proceso mental que se
    caracteriza porque en él se produce el paso de ciertas
    afirmaciones (las PREMISAS) a otra afirmación (la
    CONCLUSIÓN) que se deriva, deduce o infiere de
    aquéllas. {Una pequeña aclaración: todo
    razonamiento es pensamiento (es decir, es una actividad mental),
    pero no todo pensamiento es razonamiento, pues podemos pensar (en
    un árbol, en una isla o en un triangulo, por ejemplo), sin
    pretender sacar conclusión alguna acerca de lo pensado, es
    decir, sin integrarlo en un razonamiento.} 6.2. CONDICIONES QUE
    DEBE REUNIR UN RAZONAMIENTO PARA SER FORMALMENTE VÁLIDO Un
    razonamiento es formalmente válido, es decir, posee una
    estructura lógica correcta, cuando existe una
    conexión entre sus afirmaciones tal que la
    conclusión se deduce necesariamente de las premisas. Hemos
    de distinguir entre verdad y validez: La verdad es una propiedad
    de los enunciados. Un enunciado será verdadero o falso si
    lo que él afirma ocurre o no en la realidad. Por ejemplo,
    “los gatos son animales con alas” o
    “está lloviendo”, son enunciados verdaderos si
    lo que afirman puede ser observado en la realidad. Los
    razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los
    enunciados que lo integren sean verdaderos, pues es posible
    construir razonamientos perfectamente válidos con
    enunciados falsos, sino que un razonamiento es válido
    únicamente si la conclusión se deduce
    necesariamente de las premisas. Filosofía – 1º
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    ? Salustiano Fernández Viejo Veamos el siguiente ejemplo
    que nos permite distinguir verdad de validez: Premisas Los perros
    (A) son reptiles (B) Los gatos (C) son perros (A) Los gatos (C)
    son reptiles (B) Este razonamiento es válido formalmente,
    aunque sus premisas y su conclusión sean falsas.
    Conclusión Pues si prescindimos de su contenido y tenemos
    sólo en cuenta la forma en que están conectadas sus
    afirmaciones, comprobamos que la conclusión se deduce
    necesariamente de las premisas. A es B C es A C es B VERDAD Ser
    verdadero o falso es una cualidad de los: Enunciados Que consiste
    en que expresen bien/adecuadamente la… Realidad 10 VALIDEZ
    (O CORRECCIÓN) Ser válido o no (correcto o
    incorrecto) es una cualidad de los: Razonamientos Que consiste en
    que en ellos haya una… Conexión adecuada y
    necesaria entre enunciados Filosofía – 1º
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    “ Salustiano Fernández Viejo 7. LA LÓGICA
    PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS La Lógica
    proposicional o de enunciados es el apartado más elemental
    y básico de la Lógica. Es el más elemental
    porque es el más sencillo. Es básico, porque sirve
    de base al resto del edificio de la Lógica. La tarea de la
    Lógica proposicional consiste en ocuparse de estudiar la
    validez formal de los razonamientos tomando en bloque las
    proposiciones que los forman, es decir, sin hacer un
    análisis de tales proposiciones. Una proposición es
    tomada en bloque cuando no se tienen en cuenta los elementos que
    la integran, pasando a ser considerada como un todo o unidad
    lingüística básica. Por ejemplo: una
    proposición como “Los gatos son
    mamíferos” puede ser simbolizada en Lógica de
    los siguientes modos: “p” [ Se lee «p» ]
    => LÓGICA PROPOSICIONAL “S -A- P” [Se lee
    «Todos los S son P» ] => LÓGICA
    SILOGÍSTICA ?x (Gx ? Mx)” [ Se lee «Para todo
    ‘x’, si ‘x’ es ‘G’, entonces
    ‘x’ es ‘M’»]=> LÓGICA DE
    PREDICADOS Una proposición es simple si no puede
    descomponerse en partes que a su vez sean proposiciones.
    También se la denomina proposición atómica.
    Ejemplos: “Los gatos son mamíferos”,
    “Pedro viene con Luis”. Una proposición es
    compleja si está compuesta por proposiciones simples
    unidas. También puede ser llamada molecular. Ejemplos:
    “Los gatos son mamíferos, pero a mí me gustan
    más los pájaros exóticos”, “Si
    Pedro viene con Luis y trae comida, nos iremos todos al
    campo”. 11 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    a) p b) Salustiano Fernández Viejo 7.1. LOS SIGNOS DE LA
    LÓGICA PROPOSICIONAL Variables proposicionales: para
    simbolizar las proposiciones simples se utilizan las letras
    minúsculas del alfabeto a partir de la “p” (p,
    q, r, s, t, u, a, b, c…). Estas letras se denominan
    variables proposicionales porque se utilizan para representar a
    cualquier proposición del Lenguaje Natural. Por ejemplo:
    la proposición simple “Los gatos son
    mamíferos” la simbolizamos con una “p”.
    Y la proposición compleja “Los gatos son
    mamíferos y les gusta cazar ratones” la simbolizamos
    como ‘p y q’. Admitimos que cualquier
    proposición simple es o bien verdadera o bien falsa, pero
    no ambas cosas a la vez. Éste es el Principio de
    Bivalencia: las proposiciones simples sólo pueden tener
    dos valores de verdad: o son verdaderas o son falsas. cualquier
    proposición 1 0 verdadera falsa Símbolos
    auxiliares: en lógica se utilizan paréntesis,
    corchetes y llaves para agrupar ordenadamente las proposiciones.
    ( ), [ ], { } 12 Filosofía – 1º
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    c) Salustiano Fernández Viejo Conectivas o constantes
    lógicas: se denominan conectivas a aquellos signos
    lógicos que sirven para unir a las proposiciones entre
    sí. Las conectivas que manejaremos son las siguientes: ?
    NEGADOR (¬): ¬ …se lee “no” ¬ p
    …se lee “ no p” ¬ q …se lee
    “no q” Las expresiones siguientes: “No podremos
    ir de excursión a la Sierra de Gredos”, “Pedro
    ni siquiera me escuchó”, las simbolizamos
    ‘¬ p’. El negador es aquella conectiva que al
    aplicarse a una proposición cualquiera, sea simple o
    compleja, la convierte en falsa si es verdadera y en verdadera si
    es falsa. => Tabla de verdad del negador: p 1 0 13 ¬p 0 1
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    Salustiano Fernández Viejo ? CONJUNTOR ( ? ): ? …se
    lee “y” p ? q …se lee “p y q” Las
    expresiones siguientes: “Hoy estamos alegres y nos iremos a
    bailar”, “Pedro es buena persona, aunque
    debería ducharse más”, “El sol se
    nubló, pero seguimos caminando”, las simbolizamos en
    lógica proposicional ‘p ? q’. El conjuntor es
    aquella conectiva que sólo es verdadera si las dos
    proposiciones que une son ambas verdaderas, y que es falsa en los
    demás casos. => Tabla de verdad del conjuntor: (Las
    combinaciones posibles de los valores de verdad de 2
    proposiciones (p, q), cada una de las cuales puede ser verdadera
    o falsa, son cuatro: que las dos sean verdaderas, que una sea
    verdadera y la otra falsa, que una sea falsa y la otra verdadera,
    y que las dos sean falsas. Para un número ‘n’
    de proposiciones las combinaciones de sus valores de verdad
    serán 2n.) p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 p 1 1 1 1 0 0
    0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p ? q 1 1 0 0 0 0 0 0 (p
    ? q) ? r 1 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplos: ¬ p ? q …se lee
    “no p y q”, y su tabla de verdad sería: p 1 1
    0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 0 0 1 0 14
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    Salustiano Fernández Viejo p ? ¬ q …se lee
    “p y no q”, y su tabla de verdad es: p 1 1 0 0 q 1 0
    1 0 ¬q 0 1 0 1 p ? ¬q 0 1 0 0 ¬ (p ? q)…se lee
    “no es cierto que p y q”, y su tabla de verdad es: p
    1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ? q) 0 1 1 1 ¬ p ?
    ¬ q…se lee “no p y no q”, y su tabla de
    verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬q 0 1 0 1
    ¬p ? ¬q 0 0 0 1 ? DISYUNTOR ( ? ): ? …se lee
    “o” p ? q …se lee “p o q” Las
    expresiones siguientes: “Pedro vendrá el lunes o el
    martes”, “O bien me quedo en casa o bien voy al
    cine”, “Tal vez escuche esa canción o tal vez
    me vaya a pasear al río , las simbolizamos ‘p ?
    q’. El disyuntor es aquella conectiva que sólo es
    falsa si las dos proposiciones que une son ambas falsas, y
    verdadera en los demás casos. La tabla de verdad del
    disyuntor es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 1 1 0 15
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    Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: ¬ p ? q
    …se lee “no p o q”, y su tabla de verdad es p
    1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 1 0 1 1 ¬ (¬
    p ? q) …se lee “no es cierto que no p o q”, y
    su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ?
    q 1 0 1 1 ¬ (¬ p ? q) 0 1 0 0 ¬ (p ? q) ? ¬p
    …se lee “no es cierto que p y q, o no p”, y su
    tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ?
    q) 0 1 1 1 ¬p 0 0 1 1 ¬ (p ? q) ? ¬ p 0 1 1 1 p ?
    (¬ q ? ¬ p) …se lee “p, o, no q y no
    p”, y su tabla de verdad, haciendo una presentación
    abreviada, es: p ? (¬ q ? ¬ p) 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
    0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 16 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo ? CONDICIONAL ( ? ): ?
    …se lee “Si…, entonces…” p ?
    q…se lee “Si p, entonces q” (‘p’
    es el antecedente, y ‘q’ es el consecuente) Las
    expresiones “Si llueve, las calles se mojan”,
    “Si vienes mañana, iremos a casa de Luis”,
    “Si supieras lo que me ha dicho Pedro, quedarías
    perplejo”, las simbolizamos como ‘p ? q’. El
    condicional es aquella conectiva que sólo es falsa cuando,
    siendo el antecedente verdadero, el consecuente sea falso, y
    verdadera en los demás casos. Llamamos
    ‘antecedente’ del condicional a la proposición
    que se halla a su izquierda, y ‘consecuente’ a la que
    está a su derecha. La tabla de verdad del condicional es:
    p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 1 1 Ejemplos: ¬ p ? q
    …se lee “Si no p, entonces q”, y su tabla de
    verdad es ¬ p ? q 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 17
    Filosofía – 1º Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo ¬ (p ? ¬ q) …se
    lee “No es cierto que si p, entonces no q”, y su
    tabla de verdad es: ¬ (p ? ¬ q) 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1
    0 1 0 1 1 1 0 ? BICONDICIONAL ( ? ): ? …se lee
    “Sólo si…” p ? q …se lee
    “p sólo si q” o “Sólo si p,
    entonces q” Las expresiones “Sólo si llueve,
    me quedaré en casa”, “Sólo en el caso
    de que sepas la primera pregunta, deberás responder
    también a la segunda”, “Te contestaré
    sólo si tu respuesta me satisface”, las simbolizamos
    ‘p ? q’. El bicondicional es aquella conectiva que
    sólo es verdadera si las dos proposiciones unidas por ella
    tienen ambas el mismo valor de verdad, es decir, son ambas
    verdaderas o falsas a la vez. La tabla de verdad del
    bicondicional es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 1 Ejemplo: p ?
    ¬ q …se lee “Sólo si p, entonces no
    q” o también “p sólo si no q” y
    su tabla de verdad es: p ? ¬ q 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
    0 18 Filosofía – 1º Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo 7.2. TABLA DE VERDAD DE
    CUALQUIER FÓRMULA Para hallar la tabla de verdad de
    cualquier fórmula hay que dar los siguientes pasos: 1) En
    primer lugar, se asignan los valores 1 y 0 a las proposiciones
    simples que componen la fórmula, combinando de todos los
    modos posibles tales valores. Recordemos que para una
    fórmula con dos proposiciones distintas, las combinaciones
    posibles de sus valores de verdad son 22 = 4 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0
    Para una fórmula con tres proposiciones distintas, las
    combinaciones posibles de sus valores de verdad son 23 = 8. Con
    cuatro proposiciones son 24 = 16. Etc. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0
    0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p 1 1 1 1 1 1 1 1 q 1 1 1 1 0 0 0 0 r
    1 1 0 0 1 1 0 0 s 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 El modo
    más fácil de combinar los valores de verdad de las
    proposiciones que integran cual- quier fórmula, consiste
    en asignarle a la 1ª pro- posición por orden
    alfabético la mitad de 1 y la mitad de 0. A la siguiente
    proposición, la mitad de la mitad de 1, la mitad de la
    mitad de 0, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 hasta
    completar el número de las combinacio- nes que admita la
    fórmula… Y a la última pro- posición
    de la fórmula siempre se le asignará 1 y 0
    alternativamente hasta completar las com- binaciones posibles de
    la fórmula. 19 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo 2) Y en segundo lugar, se
    hallan los valores de verdad de las conectivas existentes en la
    fórmula, empezando por las menos dominantes (es decir, por
    las que afectan a menor parte de la fórmula) y terminando
    por la conectiva dominante (es decir, por aquella que afecta a
    toda la fórmula y cuya tabla de verdad, por tanto,
    será la tabla de verdad de la fórmula completa).
    Ejemplos: Tabla de verdad de la fórmula: ¬ p ? (r ?
    ¬ q) …se lee “Si no p, entonces r y no q”.
    La conectiva dominante es el ‘?’. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q
    1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 ¬q 0 0 1 1 0 0 1 1 r ?
    ¬q 0 0 1 0 0 0 1 0 ¬p 0 0 0 0 1 1 1 1 ¬ p ? (r ?
    ¬ q) 1 1 1 1 0 0 1 0 De manera más abreviada, la
    anterior tabla de verdad también se podría escribir
    así: ¬ p ? (r ? ¬ q) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
    0 1 0 1 1 0 1 0 Tabla de verdad de la fórmula: ¬ [ p ?
    (q ? p) ] …se lee “No es cierto que sólo si
    p, entonces q o p” o también “No es cierto que
    p sólo si q o p”. La conectiva dominante es el
    ‘¬’. ¬ [p ? (q ? p)] 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
    1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 20 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo 8. ¿CÓMO
    FORMALIZAR EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUALQUIER
    EXPRESIÓN DEL LENGUAJE NATURAL? Formalizar una
    expresión del lenguaje natural consiste en destacar la
    «forma» en que se relacionan las proposiciones de esa
    expresión, prescindiendo del contenido o significado de
    éstas. Dicho de otro modo: consiste en
    “traducir” al lenguaje artificial de la lógica
    las expresiones del lenguaje natural. Ejemplos: – La comida no le
    supo bien: ¬p – Mañana es sábado y nos iremos a
    la playa: p ? q – Aunque tú no me quieras, yo te amo: – O
    bien te lo comes o no verás la tele: ¬p ? q p ? ¬q
    – O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo
    el vestido: p ? (¬q ? ¬r) – Si vienes, no te lo olvides
    en casa: p ? ¬q – Si no estuvo aquí el asesino,
    entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde:
    ¬p ? (¬q ? r) – No por mucho madrugar amanece más
    temprano: ¬ ( p? q ) – Sólo si baja la Bolsa 15
    puntos, deberás vender el 10% de las acciones de la
    empresa y no comunicarlo al Consejo: p ? (q ? ¬r) –
    Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos
    preguntas en la 2ª casilla del examen, deberás
    contestar únicamente a la primera de ellas: (¬p ? q) ?
    r – Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla
    francés, aunque si no supiese hablar inglés,
    tampoco hablaría francés: (p ? ¬q) ? (¬p ?
    ¬q) – Si llegas después de las 10, te
    encontrarás con la puerta cerrada y no podrás
    cenar: p ? (q ? ¬r) – Juan abrirá la puerta y
    saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene
    María con el coche, no venga con ella Pedro: ( p ? q ) ? (
    r ? ¬ s ) – No es verdad que si Antonio estudia, entonces
    María no trabaje: ¬(p ? ¬q) – Sólo si
    tú no lo has matado, te dejaremos libre: 21 ¬p ? q
    Filosofía – 1º Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo – Si no crees que lo que te
    digo ni lo que te dice Juan, nunca sabrás lo que
    pasó: (¬ p ? ¬ q ) ? ¬ r – No es cierto que
    Fernando esté en Madrid y Juan no esté en
    Ávila: ¬(p ? ¬q) – Si eres licenciado, no puede
    ser cierto que no sepas leer ni escribir: p ? ¬ (¬ q ?
    ¬ r ) – Sólo si conoces Oviedo, podrás
    disfrutar a fondo leyendo La Regenta y no perderte entre sus
    tumultuosas páginas: p ? ( q ? ¬ r ) 9.
    TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN
    Al hacer la tabla de verdad de cualquier fórmula nos
    podemos encontrar con tres casos: que la tabla de verdad de la
    fórmula sólo tenga 1, que sólo tenga 0, y
    que tenga 1 y 0. ? TAUTOLOGÍA: Es una fórmula
    siempre válida, sean cuales sean los valores de verdad de
    las proposiciones que la integran. Es decir, es una
    fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene unos
    ( 1 ). ? CONTRADICCIÓN: Es una fórmula no
    válida nunca, sean cuales sean los valores de verdad de
    las proposiciones que la integran. Es decir, es una
    fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene ceros
    ( 0 ). ? INDETERMINACIÓN O CONTINGENCIA: Es una
    fórmula que puede ser válida o no, en
    función de los valores de verdad de las proposiciones que
    la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad
    final tiene unos ( 1 ) y ceros ( 0 ) no importa en qué
    proporción. 22 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: CONTRADICCIÓN
    p ? ¬ p Se lee “p y no p” p ? ¬p ( p ? q ) ?
    ¬ ( p ? q ) Se lee “Si, entonces q, y no es cierto que
    si p, entonces q” 1 0 0 1 (p ? q) ? ¬ (p ? q) 0 0 1 0 1
    1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
    TAUTOLOGÍA: p ? ¬ p Se lee “p o no q” p ?
    ¬p 1 1 0 1 p ? ( p ? q ) Se lee “Si p, entonces p o
    q” p ? (p ? q) 0 1 1 0 1 1 1 1 1 INDETERMINACIÓN: 1
    1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 p ? ¬ (p ? q) 1 0 0 1 1 1 Se lee:
    “Si p, entonces no es cierto que p o q” 1 0 0 0 1 1 0
    1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 23 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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    • Salustiano Fernández Viejo Ejemplos de
    tautología: (p ? q) ? (q ? p) [( p ? q ) ? ¬ q ] ?
    ¬ p (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p) 10. LEYES DE LA
    LÓGICA PROPOSICIONAL Las fórmulas que son
    tautologías constituyen esquemas válidos de
    inferencia o razonamientos formalmente válidos, y son
    llamadas por ello leyes lógicas. PRINCIPIOS A las llamadas
    leyes lógicas hay que anteponerles tres Principios
    básicos y fundamentales del pensar humano: los principios
    de la Lógica. 1º) Principio de identidad: p ? p
    2º) Principio de no contradicción: ¬ ( p ? ¬
    p ) 3º) Principio de tercio excluso (tertium non datur): p ?
    ¬ p • LEYES 1ª) Ley de la Doble Negación:
    ¬ ¬ p ? p 2ª) Leyes de la Simplificación: ( p
    ? q ) ? p (p ? q) ? q 3ª) Leyes de la idempotencia: ( p ? p
    ) ? p (p ? p) ? p 4ª) Ley de la adición: p ? ( p ? q
    ) 5ª) Leyes del silogismo disyuntivo: 24 [( p ? q ) ? ¬
    q ] ? p [( p ? q ) ? ¬ p ] ? q Filosofía –
    1º Bachillerato

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    Salustiano Fernández Viejo 6ª) Leyes de De Morgan:
    ¬ ( p ? q ) ? ( ¬ p ? ¬ q ) ¬(p ? q) ? (¬p ?
    ¬q) 7ª) Ley del Modus Ponendo Ponens: 8ª) Ley del
    Modus Tollendo Tollens: [( p ? q ) ? p ] ? q [( p ? q ) ? ¬ q
    ] ? ¬ p 9ª) Ley de la Transitividad del Condicional: [(
    p ? q ) ? ( q ? r )] ? ( p ? r ) 10ª) Leyes del
    Bicondicional: ( p ? q ) ? ( p ? q ) (p ? q) ? (q ? p) ( p ? q )
    ? [( p ? q ) ? ( q ? p )] 11ª) Leyes Conmutativas: a) Del
    conjuntor: b) Del disyuntor: (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p)
    c) Del bicondicional: ( p ? q ) ? ( q ? p ) 12ª) Leyes
    asociativas: [( p ? q ) ? r ] ? [ p ? ( q ? r )] [( p ? q ) ? r ]
    ? [ p ? ( q ? r )] 25 Filosofía – 1º
    Bachillerato

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