Idea de lógica de proposiciones La lógica de
proposiciones es la parte más elemental de la
lógica moderna o matemática. En esta primera parte
de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en
cuenta la estructura inter- na de las proposiciones. Sólo
se examinan las relaciones lógicas existentes entre
proposiciones consideradas como un todo, y de ellas sólo
se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o fal- sas. Por
esta razón emplea sólo variables proposicionales.
La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales
extraproposicionales, es decir, aquellas relaciones existentes
entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas. Se la
denomina, también, lógica de las proposiciones sin
analizar. Dispone de me- dios de análisis formal de las
inferencias (lenguaje simbólico y mé- todos
específicos), y la validez de éstas se determina
por las rela- ciones entre proposiciones consideradas como un
todo, sin pene- trar en su estructura interna. Concepto de
proposición El lenguaje, en sentido estricto, es un
sistema convencional de sig- nos, es decir, un conjunto de
sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada
articulación interna. Sirve para afirmar o ne- 7 1
gar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos
(ora- ciones desiderativas); formular preguntas (oraciones
interrogati- vas); expresar sorpresa o admiración
(oraciones exclamativas o admirativas) e indicar
exhortación, mandato o prohibición (ora- ciones
exhortativas o imperativas). De todas estas clases de oraciones
la lógica sólo toma en cuenta las declarativas o
aseverativas, las únicas que pueden constituir
proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos.
La proposición es una oración aseverativa de la que
tiene sen- tido decir que es verdadera o falsa. Ejemplos: a)
Dolly fue la primera oveja clonada. b) El átomo es una
molécula. ‘a)’ y ‘b)’ son ejemplos
de proposiciones, porque tiene sentido decir que ‘a)’
es verdadera y que ‘b)’ es falsa. En consecuencia, la
verdad y la falsedad son sus propiedades, es decir, sólo
las pro- posiciones pueden ser verdaderas o falsas Expresiones
lingüísticas que no son proposiciones Todas las
proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son
proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las
exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas
o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma
o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas.
Asimismo, las oraciones dubitativas, así como los juicios
de valor —no obstan- te afirmar algo— no constituyen
ejemplos de proposiciones, pues su verdad o falsedad no puede ser
establecida. Ejemplos: c) El cuadrilátero es un
polígono de cuatro lados. d) ¿Qué es la
lógica? e) Debemos honrar a nuestros héroes. f) Sea
en hora buena. g) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco
la lotería! 7 2
h) Quizá llueva mañana. i) Valentín es
bueno. ‘c)’ es proposición porque es una
oración aseverativa verda- dera; ‘d)’ no es
proposición porque es una oración interrogativa;
‘e)’ no es proposición porque es una
oración imperativa o exhortativa; ‘f)’ tampoco
es proposición porque es una oración desiderativa,
‘g)’ no es proposición porque es una
oración exclamativa o admirativa, ‘h)’ no es
proposición porque es una oración dubitativa, y
finalmente, ‘i)’ no es proposición porque
cons- tituye un juicio de valor. Finalmente, toda
proposición es una oración aseverativa, pero no
toda oración aseverativa es una proposición.
Ejemplos: j) El triángulo es inteligente. k) Eduardo es un
número racional. l) x + 3 = 5 m) a es la capital del
Perú. ‘j)’, ‘k)’, ‘l)’
y ‘m)’ son ejemplos de oraciones aseverativas, mas no
de proposiciones. ‘j)’ e ‘k)’ son
expresiones lingüísticas que tie- nen apariencia de
proposiciones, pero que realmente no lo son por- que no tiene
sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. Son
pseudoproposiciones, es decir, falsas proposiciones.
‘l)’ y ‘m)’ son también ejemplos
de oraciones aseverativas, pero no de proposicio- nes; no son
verdaderas ni falsas porque en ellas figura una o más
letras sin interpretar, son ejemplos de funciones
proposicionales. n) El principal sospechoso de los atentados del
11 de setiem- bre de 2001 en los Estados Unidos. o) El actual
Presidente de la República del Perú.
‘n)’ y ‘o)’ no son proposiciones; son
descripciones definidas, es decir, frases especiales que pueden
ser reemplazadas por nom- bres propios. ‘n)’ puede
ser sustituida por Osama bin Laden y ‘o)’ por
Alejandro Toledo. 7 3
p) ‘La realidad es duración’ (Bergson). q)
‘La materia se mueve en un ciclo eterno’ (Engels). r)
‘Las condiciones de posibilidad de la experiencia en gene-
ral son al mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de
la experiencia’ (Kant). s) ‘Considera bien
quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para el
que nada existe más importante que su propia ca- pacidad
de opción’ (Epicteto). t) ‘Filosofar (…) es
el extraordinario preguntar por lo extra-or- dinario’
(Heidegger). u) ‘Nunca filósofo alguno ha demostrado
algo. Toda preten- sión es espuria. Lo que tengo que decir
es simplemente esto: los argumentos filóficos no son
deductivos, por lo tanto no son rigu- rosos, por lo que nada
prueban; sin embargo, tienen fuerza’ (F. Waismann). v) La
ciencia y la religión son, ambas, vías respetables
para adquirir creencias respetables, no obstante tratarse de
creencias que son buenas para propósitos muy diferentes
(R. Rorty). ‘p)’, ‘q)’, ‘r)’,
‘s)‘, ‘t)’, ‘u)’ y
‘v)’ no son proposiciones, sino filosofemas, es
decir, enunciados filosóficos. Ninguna de ellos pue- de
calificarse de verdadero o falso. Su verdad o falsedad no puede
ser establecida lógica o empíricamente. En
filosofía no hay verda- des, pues los enunciados
filosóficos o filosofemas sólo expresan opiniones
racionalmente fundamentadas. En conclusión: Para que una
expresión lingüística sea proposición
debe cum- plir con los siguientes requisitos: 1) Ser
oración. 2) Ser oración aseverativa, y 3) Ser o
bien verdadera o bien falsa. 7 4
Por esto, no son ejemplos de proposiciones: 1) Las oraciones
interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas,
exclamativas o admirativas y las dubitativas. 2) Los juicios de
valor. 3) Las pseudoproposiciones. 4) Las funciones
proposicionales. 5) Las descripciones definidas, y 6) Los
filosofemas. Proposición, oración y enunciado Es
necesario distinguir una proposición (objeto conceptual o
constructo) de las oraciones (objetos lingüísticos)
que la designan, expresan o formulan, así como es preciso
distinguir una oración de sus diversas enunciaciones (acto
psicofísico) orales, escritas, o por ademanes. En efecto,
cuando enuncio, o escucho, o escribo, o leo una oración,
por ejemplo, ‘Tres es mayor que dos’, ejecuto un acto
psicofísico. En consecuencia, la enunciación y la
percepción de una ora- ción son procesos y, como
tales, objetos físicos en sentido lato. No así la
oración misma: ésta puede considerarse como una
clase de enunciaciones concretas en circunstancias particulares.
Una mis- ma oración podrá ser pronunciada por
diversos sujetos, en distin- tas circunstancias y con diferentes
tonos de voz. Cámbiese el suje- to, o las circunstancias,
o el tono de voz, y se tendrán enunciacio- nes diferentes
de la misma oración. Piénsese en la oración
‘3 > 2’ dicha en lenguaje interior, susurrada,
gritada, o escrita en diver- sos lenguajes. Asimismo, ciertas
oraciones designan o expresan proposicio- nes. Por ejemplo, las
oraciones ‘3 > 2‘, ‘III > II’,
‘Three is greater than two’ y ‘Tres es mayor
que dos’ expresan o designan una mis- ma
proposición. Pero si bien toda proposición es
expresable por una o más oraciones, la recíproca no
es cierta. En efecto, hay ora- ciones gramaticales que no
formulan proposición alguna, como por 7 5
27 ejemplo ‘El número cinco aleteó’ y
‘La raíz cuadrada de una me- lodía es igual a
un sueño’.2 7 En resumen, tenemos tres clases de
objetos y dos relaciones en- tre ellos: enuncian expresan
Enunciados (acto psicofísico) Oraciones (objeto
lingüístico) Proposiciones (objeto conceptual) Clases
de proposiciones Éstas pueden ser de dos clases:
atómicas y mole-culares. Las proposiciones atómicas
(simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales
típicas o conectivas (‘y’, ‘o’,
‘si… en- tonces’, ‘si y sólo
si’) o del adverbio de negación ‘no’.
Ejemplos: a) San Marcos es la universidad más antigua de
América. b) La lógica es distinta a la
matemática. Las proposiciones atómicas de acuerdo a
sus elementos cons- titutivos pueden clasificarse en predicativas
y relacionales. Las proposiciones predicativas constan de sujeto
y predicado. Ejemplos: c) El número 2 es par. d) El
espacio es relativo. Las proposiciones relacionales constan de
dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos:
BUNGE, Mario, Epistemología, La Habana, Ciencias Sociales,
1982, pp. 62-65. 7 6
e) Silvia es hermana de Angélica. f) 5 es mayor que 3. Las
proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen
alguna conjunción gramatical típica o conectiva o
el ad- verbio negativo ‘no’. Ejemplos: g) La
lógica y la matemática son ciencias formales. h) El
tiempo es absoluto o es relativo. i) Si dos ángulos
adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios. j)
Este número es par si y sólo si es divisible por
dos. k) El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista
puneño. Clasificación de las proposiciones
moleculares Las proposiciones moleculares, según el tipo
de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas,
disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el
adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas.
• Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción
copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como
‘e’, ‘pero’, ‘aun- que’,
‘aun cuando’, ‘tanto… como…’,
‘sino’, ‘ni… ni‘, ‘sin embar-
go’, ‘además’, etc. Ejemplos: a)
‘El’ es un artículo y ‘de’ es una
preposición. b) El número dos es par, pero el
número tres es impar. c) Silvia es inteligente, sin
embargo es floja. d) Tanto el padre como el hijo son
melómanos. e) Manuel e Ismael son universitarios. f) La
materia ni se crea ni se destruye. g) Iré a verte aunque
llueva. h) Ingresaré a la universidad aun cuando no
apruebe el examen de admisión. 7 7
En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus pro-
posiciones componentes estén relacionadas en cuanto al
conteni- do; es suficiente la presencia de la conjuncion
‘y’. Una proposición conjuntiva es
conmutativa, es decir, se pue- de permutar el orden de sus
proposiciones componentes sin alte- rar la conjunción.
Esto es posible en la lógica, pero no en el len- guaje
natural. En efecto, la proposición ‘Angélica
se casó y tuvo diez hijos’ no significa lo mismo que
‘Angélica tuvo diez hijos y se casó’.
En el lenguaje natural, la primera sugiere una relación de
causalidad, en cambio la segunda no. Sin embargo, desde el punto
de vista lógico, las dos proposiciones conjuntivas son
equivalentes. Las pseudoproposiciones conjuntivas son
proposiciones que se presentan como si fuesen proposiciones
conjuntivas, pero que en realidad son proposiciones
atómicas relacionales. La ‘y’, de los
ejemplos, tiene carácter de término relacional y no
propiamente de conjunción copulativa o conectiva.
Ejemplos: a) Sansón y Dalila son hermanos. b)
Sansón y Dalila son primos. c) Sansón y Dalila son
vecinos. d) Sansón y Dalila son compadres. e)
Sansón y Dalila son contemporáneos. f)
Sansón y Dalila son condiscípulos. g) Sansón
y Dalila son paisanos. h) Sansón y Dalila son colegas. i)
Sansón y Dalila son cuñados. j) Sansón y
Dalila son enamorados. k) Sansón y Dalila son novios. l)
Sansón y Dalila son esposos. m)Sansón y Dalila son
amantes. n) Sansón y Dalila son mellizos. o) Sansón
y Dalila son siameses. p) Sansón y Dalila comparten sus
ganancias. q) Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a su
sobrina Cleopatra. 7 8
• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción
disyun- tiva ‘o’, o sus expresiones equivalentes como
‘u’, ‘ya… ya’, ‘bien…
bien’, ‘ora… ora’, ‘sea… sea’,
‘y/o’, etc. En español la disyunción
'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro
exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva
admite que las dos alternativas se den conjuntamente. La
proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos
alter- nativas se den conjuntamente. Ejemplos: a) Pedro es
tío o es sobrino. b) Elena está viva o está
muerta. c) Roberto es profesor o es estudiante. d) Silvia es
soltera o es casada. ‘a)’ y ‘c)’ son
proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en
ellas no se excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al
mismo tiempo tío y sobrino o de que Roberto sea profesor y
estudiante a la vez; en cambio ‘b)’ y
‘d)’ son proposiciones disyuntivas exclusivas o
fuertes porque en ellas se excluye la po- sibilidad de que Elena
pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea
soltera y casada a la vez. En español no existe un signo
especial para la disyunción inclusiva y otro para la
exclusiva, es decir, en ambos casos se usa la misma
partícula ‘o’; mientras que en lógica
sí existen signos es- peciales para distinguirlas, como
veremos más adelante. • Las proposiciones
condicionales llevan la conjunción con- dicional compuesta
‘si… entonces…’, o sus expresiones equivalen- tes
como ‘si’, ‘siempre que’, ‘con tal
que’, ‘puesto que’, ‘ya que’,
‘porque’, ‘cuando’, ‘de’,
‘a menos que’, ‘a no ser que’,
‘salvo que’, ‘sólo si‘,
‘solamente si’. Ejemplos: a) Si es joven, entonces es
rebelde. b) Es herbívoro si se alimenta de plantas. c) El
número cuatro es par puesto que es divisible por dos. 7
9
d) Se llama isósceles siempre que el triángulo
tenga dos lados iguales. e) Cuando venga Raúl jugaremos
ajedrez. f) De salir el sol iremos a la playa. g) La
física relativista fue posible porque existió la
mecánica clásica. h) Nuestra moneda se
devalúa solamente si su valor disminuye. Toda
proposición condicional consta de dos elementos: ante-
cedente y consecuente. La proposición que sigue a la
palabra ‘si’ se llama antecedente y la que sigue a la
palabra ‘entonces’ se de- nomina consecuente. Toda
proposición implicativa es condicional, pero no toda pro-
posición condicional es implicativa. En efecto,
sólo las proposi- ciones condicionales que son
tautologías son implicativas. Para que una
proposición condicional sea lógicamente correc- ta
no es necesario que haya relación de atingencia entre el
antece- dente y el consecuente, es decir, que la verdad en una
proposición condicional es independiente de las relaciones
que puedan existir o no entre los significados del antecedente y
el consecuente. Por ejemplo, la proposición “Si la
tierra gira alrededor del sol, enton- ces Lima es capital del
Perú” es verdadera no obstante no existir
relación alguna entre los significados de sus
proposiciones com- ponentes. Finalmente, en toda
proposición condicional el consecuente es condición
necesaria del antecedente y el antecedente es condición
suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición
condi- cional ‘si los cuerpos se calientan, entonces se
dilatan’, el conse- cuente ‘se dilatan’ es
condición necesaria del antecedente ‘se ca-
lientan’ y el antecedente ‘se calientan’ es
condición suficiente del consecuente ‘se
dilatan’. • Las proposiciones bicondicionales llevan
la conjunción compuesta ‘… sí y sólo
si…’, o sus expresiones equivalentes como ‘cuando y
sólo cuando’, ‘ si…, entonces y sólo
entonces…’, etc. Ejemplos: 8 0
a) Es fundamentalista si y sólo si es talibán. b)
Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva. c) Si
apruebo el examen de admisión, entonces y sólo
entonces in- gresaré a la universidad. Las proposiciones
bicondicionales se caracterizan porque es- tablecen dos
condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la
proposición bicondicional ‘el triángulo es
equilátero si y sólo si tiene tres lados
iguales’ establece dos condicionales de sentido in- verso:
‘si es triángulo equilátero, entonces tiene
tres lados iguales’ y ‘si el triángulo tiene
tres lados iguales, entonces es equilátero’. En toda
proposición bicondicional el antecedente es
condición necesaria y suficiente del consecuente y el
consecuente es condi- ción necesaria y suficiente del
antecedente. • Las proposiciones negativas llevan el
adverbio de negación ‘no’, o sus expresiones
equivalentes como ‘nunca’,
‘jamás’, ‘tam- poco’, ‘no es
verdad que‘, ‘no es cierto que’, ‘es
falso que’, ‘le fal- ta’, ‘carece
de’, ‘sin’, etc. Ejemplos: a) Nunca he
oído esa música. b) Jamás he visto al
vecino. c) Es imposible que el átomo sea molécula.
d) Es falso que el juez sea fiscal. e) Al papá de Nelly le
falta carácter. Cuestionario N.º 5 1.
¿Qué es una proposición? 2.
¿Qué requisitos debe cumplir una expresión
lingüística para que sea considerada
proposición? 3. ¿Qué expresiones
lingüísticas no constituyen ejemplos de pro-
posiciones? 4. ¿Por qué las oraciones
interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas,
admirativas o exclamativas y las dubitativas no constituyen
ejemplos de proposiciones? 8 1
5. ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre las
pseudo- proposiciones y las funciones proposicionales? 6.
¿Qué es una descripción definida? 7. Los
filosofemas o enunciados filosóficos, ¿son o no
ejemplos de proposiciones? ¿Por qué? 8. ¿Es
la ley, un ejemplo de proposición? ¿Por qué?
9. ¿Qué clases de proposiciones hay y cuáles
son las diferencias que existen entre ellas? 10.
¿Cómo se clasifican las proposiciones
atómicas? 11. ¿Qué diferencia existe entre
proposición predicativa y proposi- ción relacional?
12. ¿Cómo se clasifican las proposiciones
moleculares? 13. ¿Qué es una proposición
conjuntiva? 14. ¿Qué es una
pseudoproposición conjuntiva? 15. ¿Qué es
una proposición disyuntiva? 16. ¿Qué clases
de proposiciones disyuntivas existen y en qué con- sisten
cada una de ellas? 17. ¿Qué es una
proposición condicional? 18. ¿Qué diferencia
existe entre proposición condicional y proposi-
ción implicativa? 19. ¿Qué es una
proposición bicondicional? 20. ¿Qué es una
proposición negativa? Ejercicio N.º 4 Reconocimiento
de proposiciones 1. Analice las siguientes expresiones
lingüísticas e indique si son o no proposiciones: a)
La nueva Constitución Política del Perú fue
sancionada y pro- mulgada por la Asamblea Constituyente en 1993.
b) El presidente de la República es el Jefe del Estado y
personifica a la Nación (Constitución
Política del Perú, Art. 110). c)
¿Quién es el pez gordo del narcotráfico? 8
2
d) Sea en hora buena. e) ¡Por fin llegó la
primavera! f) Los números racionales son inteligentes. g)
Que tengan ustedes buen viaje. h) Sólo sé que nada
sé. i) Juan es bondadoso. j) No engañes nunca a
nadie. k) Quizá existan miles de millones de universos. l)
Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan
respirar. m) a es la capital del Perú. n) x + y = y + x o)
Los planetas del sistema solar, a excepción de
Plutón, ocupan prácticamente el mismo plano con
respecto al Sol. p) El número 5 sonrió. q) Los
cuerpos sin apoyo caen aceleradamente en proporción di-
recta al cuadrado del tiempo de caída. r) x es un
número par. s) Los electrones son partículas que se
encuentran alrededor del núcleo del átomo. t) La
semana tiene y días. Ejercicio N.º5 Clases de
proposiciones 1. Diga si las siguientes proposiciones son
atómicas o moleculares: a) Osama y Omar son
concuñados. b) Toda inferencia inductiva es una inferencia
en términos de pro- babilidad. c) Hace unos años se
consideraba al computador como una gran
‘calculadora’, pero hoy se habla de sus logros
intelectuales. d) El oxígeno no produce óxido en
presencia de metaloides. e) Tanto la suma como la
multiplicación de números naturales son
asociativas. 8 3
f) Los peces son acuáticos puesto que respiran por
branquias. g) La suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180°. h) Gloria e Irene son
contemporáneas. i) El abuelo y la abuelita obsequiaron una
muñeca a su nieta. j) Hace aproximadamente 1 750 000
años el Homo habilis desapa- reció para ser
reemplazado por un individuo más fornido, cono- cido como
Homo erectus. k) Una lógica se dice paraconsistente si
puede ser la lógica de teo- rías inconsistentes
pero no triviales. l) A la descomposición química
de una sustancia en iones por la acción de la corriente
eléctrica se llama electrolisis. m) Los términos
‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’ no son
absolu- tos sino relativos. n) Por razones aún no
conocidas, el hombre de Neanderthal desapa- reció hace
unos 40 mil años y cedió el lugar a un individuo
venido del este: el hombre de Cro-Magnon, nuestro ancestro
directo. o) Decir que la inteligencia es hereditaria es defender
la idea de que nuestras facultades intelectuales se transmiten de
padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos.
p) Así pues, no hay forma de argumentar en contra de las
ideas de Aristóteles sobre la base de las creencias
formuladas en el voca- bulario, pero no a la inversa. q) La
diferencia que hay aquí entre Sellars y Davidson es la
diferen- cia entre alguien que se toma en serio la pregunta
“¿Existe en realidad aquello sobre lo que
hablamos?” y alguien que no. r) “Liberalismo
burgués posmoderno” fue una contribución a un
simposio sobre “La responsabilidad social de los
intelectuales”, celebrado en la reunión anual de
1983 de la división oriental de la Asociación
Americana de Filosofía. s) Me parece que la izquierda
posmarxista actual difiere de la mar- xista anterior
principalmente en que esta última tenía en mente
una revolución concreta. t) La concepción que
denomino “pragmatismo” es casi la misma que la que
Hilary Putnam denomina “la concepción internalista
de la filosofía”. 8 4
Ejercicio N.º 6 Clasificación de las proposiciones
moleculares 1. Diga si las siguientes proposiciones moleculares
son con- juntivas, disyuntivas inclusivas, disyuntivas
exclusivas, condi- cionales, bicondicionales o negativas: a) Si
el ciclotrón bombardea el átomo, entonces acelera
la velocidad de los protones. b) Todos los cuerpos se atraen con
una fuerza directamente pro- porcional al producto de sus masas e
inversamente proporcio- nal al cuadrado de la distancia que los
separa. c) Un ejemplo típico de la falacia del
círculo vicioso es la famosa prueba del quinto postulado
de Euclides o postulado de las pa- ralelas. d) El 20% de 150 es
30 ó 50. e) Dos ángulos son suplementarios siempre
que formen un par lineal. f) La huelga continúa, pues no
hay solución. g) Si consigo una beca, entonces y
sólo entonces viajaré al extranjero. h) Si se
calienta un cuerpo, entonces se dilata; y si se enfría,
enton- ces se contrae. i) Cuando apruebe el examen de
admisión ingresaré a la univer- sidad. j) David no
es limeño ni loretano. k) Si la distancia entre el Sol y
la Tierra hubiera diferido en apenas un 5 por ciento, ninguna
forma de vida habría podido surgir y nuestro planeta
habría sido un desierto. l) Sin la aparición de las
galaxias, sin la formación de estrellas masivas, sin el
paso por el estadio de supernova, jamás habrían
podido existir el hombre ni la vida. m) Francis Fukuyama
proclamaba el fin de la historia y la muerte de toda
ideología, puesto que era liberal. 8 5
n) Actualmente está claramente establecido que nuestro
universo sufre una tremenda expansión, y que esta
expansión parece ser el resultado de una explosión
inicial o big bang. o) Las estrellas nacen y viven, pero
también mueren. p) Se dice que existe probabilidad de que
ocurra un hecho o que un hecho es probable, cuando hay en alguna
medida razones o fun- damentos para afirmar su ocurrencia, pero
sin llegar al nivel de la certeza o de la seguridad. q) Vilma
trabaja despacio, pero sin pausa r) Paradoja es un tipo especial
de contradicción constituida por una proposición
determinada cuya verdad implica su falsedad y cuya falsedad
implica su verdad. s) El pragmatismo norteamericano ha oscilado
entre el intento de elevar el resto de la cultura al nivel
epistemológico de las cien- cias naturales y el intento de
nivelar las ciencias naturales en paridad epistemológica
con el arte, la religión y la política. t)
“Definición operacional” es la
expresión del significado de un constructo o concepto
teorético en términos de propiedades ob- servables
y medibles llamadas indicadores. EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL El lenguaje natural y el lenguaje
formalizado Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el
natural y el for- malizado. El lenguaje natural es el lenguaje
usado en la vida fa- miliar, en la vida cotidiana. Tiene una
amplia gama expresiva, es decir, sirve para comunicar
informaciones, formular órdenes, ex- presar deseos,
sentimientos, etc. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el
español, el inglés, el francés, el
alemán, entre otros. El lenguaje formalizado es el
lenguaje usado en la actividad científi- ca. Sólo
sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje espe-
cializado. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el lenguaje
lógi- co y el matemático. 8 6
’. ’. Variables proposicionales y operadores
lógicos El lenguaje lógico se denomina formalizado
porque su propiedad más importante es la de revelar la
forma o estructura de las pro- posiciones e inferencias. El
lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta
de dos clases de signos: variables proposicio- nales y operadores
o conectores lógicos. Las variables proposicionales
representan a cualquier propo- sición atómica. Son
letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’,
‘q’, ‘r’, ‘s’, etc. Los
operadores lógicos además de enlazar o conec- tar
proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas.
Son de dos clases: diádicos y el monádico. Los
operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la
izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables.
Y son los siguientes: El conjuntivo: representa a la
conjunción ‘y’. Su símbolo es
‘?’. El disyuntivo: representa a la conjunción
‘o’. Puede ser inclusivo y exclusivo. El
símbolo del inclusivo es ‘?’; el del exclusivo
es ‘ El condicional: representa a la conjunción
compuesta ‘si… enton- ces’. Su símbolo es
‘?’. El bicondicional : representa a la
conjunción compuesta ‘si y sólo si’. Su
símbolo es ‘ Negación conjunta: representa a
las partículas ‘ni…ni‘. Su símbolo es
‘ ?’. Negación alterna : representa a la
expresión ‘no o no’. Su símbolo es
‘? ’ El Negativo: Es el operador monádico y
tiene un solo alcance: hacia la derecha, es decir, afecta a una
sola variable. Es el operador de la negación. Representa
al adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es
‘~’. Principales notaciones simbólicas Existen
diferentes notaciones simbólicas, pero pueden reducirse a
tres: la de Scholz, la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz. Las
8 7
tablas siguientes muestran las correspondencias entre las princi-
pales notaciones simbólicas: Sistemas Negación
Conjunción Disyunción Disyunción Condicional
Bicondicional inclusiva exclusiva Scholz Peano- ~p ~p p ? q p.q p
? q p ? q p p q q p ? q p ? q p p q q Russell Luka- Np Kpq Apq
Jpq Cpq Epq siewicz Sistemas Scholz Peano-russell Lukasiewicz
Variables p, q, r, etc. p, q, r, etc. p, q, r, etc.
Jerarquía entre operadores Usa paréntesis Usa
puntos Ni paréntesis ni puntos Sistemas de Scholz y
Peano-Russell Las características de las notaciones
simbólicas de Scholz y Peano- Russell son: a) Los
operadores diádicos se escriben entre las variables que
enla- zan, pero la negación va delante. b) Los operadores
son signos especiales. c) Se usa puntos auxiliares o signos de
agrupación para determi- nar la jerarquía entre los
operadores. Sistema de Lukasiewicz La notación
simbólica de Lukasiewicz presenta las siguientes
características: a) Los operadores se escriben delante de
las variables que conectan. b) Los operadores son letras
mayúsculas del alfabeto castellano. 8 8
c) No se usa signos de agrupación ni puntos auxiliares
para esta- blecer la jerarquía entre los operadores. El
operador de mayor jerarquía va a la cabeza. Nosotros hemos
preferido usar la notación simbólica de Scholz
porque es la que con mayor frecuencia se emplea en los libros de
lógica que circulan en nuestro medio. Reglas de
formación de fórmulas lógicas Una
fórmula lógica, es decir, una fórmula bien
formada (FBF) es una cadena de símbolos construida
según reglas establecidas por la sintaxis lógica.
Puede ser de dos tipos: atómica y molecular. Una
fórmula atómica es aquella que no contiene entre
sus sím- bolos ningún operador y puede ser
representada por una variable proposicional, mientras que una
fórmula molecular contiene en- tre sus signos, al menos,
un operador. La sintaxis lógica es una disciplina
metalógica que estudia el lenguaje de la lógica
desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse
más que por las relaciones entre los símbolos. Ella
per- mite la construcción de fórmulas bien formadas
estableciendo, con tal objeto, reglas para usar y combinar
símbolos. Las siguientes son reglas de la sintaxis
lógica que posibilitan la construcción de
fórmulas bien formadas: Regla 1. Toda variable
proposicional (‘p’, ‘q’, ‘r’,
‘s’) es una FBF. Regla 2. Si ‘p’ es una
FBF, entonces ‘~ p’ es también una FBF. Regla
3. Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces
‘p ? q’, ‘p ? q’, ‘p q’,
‘p ?q’, ‘p q’ ‘p ? q’ y
‘p? q’ son igualmente FBF. Regla 4. Una cadena de
símbolos es una FBF si y sólo si se sigue de la
aplicación de R.1, R.2 y R.3. Regla 5. Una fórmula
lógica está bien formada si y sólo si existe
una jerarquía claramente establecida entre sus operadores;
en caso contrario, la fórmula carece de sentido. Regla 6.
Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de
mayor jerarquía. 8 9
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