v que esta cantidad “se portará bien”, ya
podemos realizar cálculos como v v v Números
complejos 1. Introducción Podemos pensar en las
progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como
el método necesario para resolver ecuaciones algebraicas
progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z se
justi?caría por la necesidad de dar solución a una
ecuación como x + 5 = 0, y el paso de Z a Q por la
necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma 5x = 1.
El paso de Q a R es más complicado de explicar en este
momento, puesto que es más topológico que
algebraico, pero permite además dar solución a
ecuaciones como x2 – 2 = 0. El paso de R a C viene motivado
históricamente por la necesidad de trabajar con las
soluciones de ecuaciones como x2 + 1 = 0, es decir, con
raíces cuadradas de números negativos.
Inicialmente, se trabajaba con dichas raíces, llamadas
números imaginarios por Descartes, como paso intermedio
hasta llegar a un número real (típicamente elevando
el número imaginario al cuadrado en algún momento
de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX,
se formaliza la noción de número complejo, lo que
convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de
pleno derecho” de las familias numéricas. 2.
De?nición La manera más sencilla de trabajar con
los números complejos es dar un nombre abreviado a -1. A
esta cantidad la llamaremos i. Hecho eso, y suponiendo
inicialmente -25 = (-1)(25) = -1 25 = 5i. Necesitaríamos
poder sumar y multiplicar estos nuevos números.
Está claro que si b, c ? R, se debiera tener bi + ci = (b
+ c)i. Por otro lado, para a, b ? R no podremos simpli?car la
expresión a + bi. Veamos el producto. En primer lugar
está claro que si hemos de?nido i como entonces v -1, i2 =
-1. Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo,
conmutativo y distributivo respecto de la suma, se deberá
tener (a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac – bd + (ad +
bc)i. Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.
1
4. Puesto que podemos ver un número complejo como un par
(a, b) ? R × R, es natural 2 3. Formalización Como
siempre en matemáticas, estas ideas intuitivas se pueden
(y se deben) formalizar. Una de las formalizaciones más
habituales es pensar en los complejos como pares (a, b) ? R
× R con una suma y un producto de?nidos por (a, b) + (c, d)
= (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). Es un
ejercicio sencillo comprobar que la suma es conmutativa,
asociativa, que existe un elemento neutro (el (0, 0)) y que todo
elemento tiene simétrico. Igualmente fácil es
comprobar que el producto es conmutativo, asociativo, que existe
un elemento neutro (el (1, 0)) y que todo elemento distinto de
(0, 0) tiene inverso. También es fácil comprobar
que el producto es distributivo respecto de la suma. Decimos
entonces que los números complejos tienen estructura de
cuerpo conmutativo, noción que ya conoceréis
más adelante. Es obvio que esta formalización (cuya
notación apenas utilizaremos) coincide con la
noción intuitiva descrita en la sección anterior,
sin más que identi?car (a, b) = a + bi. A cualquiera de
estas dos notaciones se las conoce como forma binómica del
número complejo. Llamaremos C al conjunto de los
números complejos con la suma y producto de?nidos. Es muy
fácil darse cuenta de que podemos identi?car de manera
natural un elemento a de R con el complejo a + 0i = (a, 0). De
esta forma podemos considerar R como un subconjunto de C.
Análogamente, tendríamos un conjunto destacado de
números complejos formado por aquellos de la forma bi = 0
+ bi = (0, b). A estos números se les denomina a menudo
imaginarios puros. Dado un complejo z = a + bi nos referiremos a
a como su parte real y a b como su parte imaginaria a = Rz, b =
Iz. Interpretación geométrica interpretarlo como un
punto del plano. Llamaremos plano complejo al plano R×R
cuando pensamos en él como formado por números
complejos. Es claro que en el plano podemos identi?car el eje de
abscisas con la recta de los números reales, y el eje de
ordenadas con la recta formada por los números imaginarios
puros.
3 6. de z a la longitud del segmento que une 0 con z, y lo
denotaremos como |z| (una cantidad v v b 6. FORMA
MÓDULO-ARGUMENTAL -2 + 3i 3i 2i i 3 + 2i -3 -2 -1 -i 0 1 2
3 -3 – 2i 5. -2i -3i Conjugación 2 – 3i Una noción
muy importante al usar números complejos y que es propia
de éstos es la noción de conjugación.
Definición 5.1. Dado un complejo z = a + bi de?nimos su
conjugado z como z = a – bi. Observamos que si z = a + 0i es
real, z = z. Para todo z ? C z = z y zz = a2 + b2 . Forma
módulo-argumental Si pensamos en un complejo z = a + bi
como un punto del plano, podemos referirnos a él de varias
formas. La primera, con la propia notación binomial. Otra
forma de describir ese punto del plano sería decir a
qué distancia está el punto del origen y qué
ángulo forma el segmento que une 0 con z con la parte
positiva del eje de abscisas. Llamaremos módulo
estrictamente positiva, salvo en el caso de z = 0, que es nula).
Utilizando el Teorema de Pitágoras se tiene 0 |z| = a2 +
b2 = zz. z = a + bi |z| Arg(z) a
v p 3 4p 3 ? = Arg(z), se puede ver que 4 El argumento de un
número complejo z distinto de 0, denotado Arg(z), es el
ángulo que forma el segmento que une 0 con z con la parte
positiva del eje de abscisas, siendo el sentido positivo para la
medida de dicho ángulo, como es habitual, el contrario al
de las agujas del reloj. Se puede ver que Arg(z) = arc tg b a ,
teniendo en cuenta que podemos tener que sumar o restar p al
ángulo así obtenido, en función de los
signos de a y b. z2 = -4 + 3i ?2 ?1 z1 = 2 + 2v3i ?3 0 ?4 z3 = -2
– 2 3i ?1 = arc tg(v3) = ; ?3 = p + ?1 = z4 = 4 – 3i ?4 = arc
tg(-0.75) = -0.6435; ?2 = p + ?4 = 2.4981. Por supuesto, debiera
ser posible (y de hecho lo es) recuperar la forma binómica
del complejo a partir de su módulo y su argumento. Sea z =
a + bi. Llamando ? = |z| y a = ? cos ?, b = ? sen ?, de manera
que tenemos z = ?(cos ? + i sen ?). Notad que esta
presentación del complejo es formalmente binomial, pero a
la vez deja a la vista quiénes son el módulo y el
argumento de ?. ? sen ? 0 ? z = ?(cos ? + i sen ?) ? ? cos
?
5 7. números complejos z y w, para z = a + bi
tendríamos la siguiente a?rmación/de?nición:
8. 8. TRIGONOMETRíA APLICADA: PRODUCTO DE COMPLEJOS Por
otro lado, si z puede escribirse de la forma z = ?(cos ? + i sen
?) y z = r(cos a + i sen a), para ciertos ? y r positivos y ?, a
reales, puesto que cos2 t + sen2 t = 1 para cualquier t real, se
tendrá que ? = r. Las propiedades de las funciones
trigonométricas garantizan que existirá
también un entero k tal que ? = a + 2kp. Forma exponencial
A continuación se presenta la notación exponencial
(probablemente la más usada). Merece la pena tener
presente este modo de referirse a los números complejos
distintos de 0. Un tratamiento riguroso exige algunos
conocimientos extra, por lo que no de?niremos la función
exponencial compleja con el detalle que merece. Apuntamos que
comparte propiedades clave con la función exponencial real
(su derivada coincide con ella misma, lleva sumas en
productos…) y coincide con la exponencial real cuando z = a +
0i es un número real. Si hubiéramos de?nido ez de
manera que ez+w = ez · ew para todo par de ez = ea+bi = ea
eib . Puesto que a ? R, ea es su valor habitual. Falta dar
sentido a eib . Admitid como válida Definición 7.1.
Para todo número real a de?nimos eia como eia = cos a + i
sen a. Inicialmente resulta chocante la existencia de una
relación tan estrecha entre la función exponencial
y las funciones trigonométricas (en el curso de Variable
Compleja se desvelará esta conexión). Admitida la
de?nición precedente, queda claro que si z es un complejo
de módulo ? y argumento ? podemos escribir z = ?ei? .
Comprobaremos lo útil que resulta la notación
exponencial a la hora de multiplicar y dividir complejos.
Trigonometría Aplicada: producto de complejos Recordemos
las siguientes igualdades trigonométricas: cos(a +
ß) = cos a cos ß – sen a sen ß sen(a + ß)
= sen a cos ß + cos a sen ß cos(a – ß) = cos a
cos ß + sen a sen ß sen(a – ß) = sen a cos
ß – cos a sen ß Notad que las dos segundas (a
través de las que daremos una expresión del
cociente de números complejos) se siguen inmediatamente de
las dos primeras (que nos sirven para expresar el producto de dos
números complejos). Escribamos z1 = r1 (cos ?1 + i sen ?1
) y z2 = r2 (cos ?2 + i sen ?2 ). Entonces z1 z2 = r1 (cos ?1 + i
sen ?1 )r2 (cos ?2 + i sen ?2 ) = r1 r2 cos ?1 cos ?2 – sen ?1
sen ?2 + i(sen ?1 cos ?2 + cos ?1 sen ?2 ) = r1 r2 cos(?1 + ?2 )
+ i(sen ?1 + ?2 ) , de donde se sigue que para multiplicar
números complejos en forma módulo argumental, se
multiplican los módulos y se suman los argumentos.
a + bi c + di , r1 (cos ?1 + i sen ?1 ) r2 (cos ?2 + i sen ?2 )
i?2 r1 6 Veamos lo mismo con notación exponencial. En ese
caso escribimos zi = ri ei?i y por tanto z1 z2 = r1 ei?1 r2 ei?2
= r1 r2 ei(?1 +?2 ) . 9. División Podemos dividir
complejos en forma binomial multiplicando y dividiendo por el
con- jugado del divisor: = (a + bi)(c – di) (c + di)(c – di)
pero, como veis, resulta algo farragoso. = (a + bi)(c – di) c2 +
d2 Si escribimos los complejos como z1 = r1 (cos ?1 + i sen ?1 )
y z2 = r2 (cos ?2 + i sen ?2 ) entonces tenemos z1 z2 = = = = r1
(cos ?1 + i sen ?1 )(cos ?2 – i sen ?2 ) r2 (cos ?2 + i sen ?2
)(cos ?2 – i sen ?2 ) r1 cos ?1 cos ?2 + sen ?1 sen ?2 + i(sen ?1
cos ?2 – cos ?1 sen ?2 ) r2 cos2 ?2 + sen2 ?2 r1 r2 cos(?1 – ?2 )
+ i sen(?1 – ?2 ) , y deducimos que para dividir números
complejos en forma módulo argumental, se dividen los
módulos y se restan los argumentos. De nuevo podemos
advertir que la notación exponencial nos permite ahorrar
cálculos. Si escribimos z1 = r1 ei?1 y z2 = r2 ei?2 ,
tenemos z1 z2 = r1 ei?1 r2 e = ei(?1 -?2 ) . r2 10. Potencias
Veamos cómo calcular las sucesivas potencias de un
número complejo. Es fácil darse cuenta de que
calcular potencias en forma binomial no es especialmente
e?ciente. Notemos en cambio la siguiente Proposición 10.1
(Fórmula de Moivre). Para todo n ? N, para todo ? ? R,
(cos ? + i sen ?)n = cos n? + i sen n?. Demostración. Se
prueba muy fácilmente usando las fórmulas
trigonométricas antes mencionadas e inducción en n.
Con la fórmula de Moivre a nuestra disposición,
tenemos que si z = r(cos ? + i sen ?) entonces zn = rn(cos n? + i
sen n?). Por supuesto podíamos haber deducido esto
directamente de la fórmula para el pro- ducto de
complejos. De nuevo la notación exponencial es la
más sencilla. Si escribimos z = rei? tenemos zn = (rei? )n
= rn (ei? )n = rn ein? .
7 (1) n . . 11. CÁLCULO DE RAíCES 11.
Cálculo de raíces En esta sección se muestra
que todas las ecuaciónes del tipo wn = a + bi tienen solu-
ciones complejas. Es una manifestación muy concreta de una
de las diferencias principales entre los complejos y los reales:
la completitud algebraica de C. Es claro que para cualquier n
natural, la ecuación wn = 0 posee una única
solución, w = 0. Sea z = r(cos ? + i sen ?) = rei? un
número complejo no nulo. Nos planteamos el problema de
calcular las raíces n-simas de z, siendo n un
número natural. Supongamos que w = ?(cos a + i sen a) =
?eia es una de estas raíces: es decir wn = z. Se tiene que
n ?(cos a + i sen a) = r(cos ? + i sen ?) y por tanto, ?n (cos na
+ i sen na) = r(cos ? + i sen ?). De aquí se sigue en
primer lugar que ?n = r y por tanto, ? = vr. (La raíz que
aparece en la última expresión es la raíz
n-sima positiva de un número real, ya conocida). Por otro
lado, de (1) no se sigue, como podría parecer a primera
vista, que na = ?, sino, como apuntamos anteriormente, que existe
k ? Z tal que na = ? + 2kp. Por tanto, tenemos que a = ? 2kp + n
n Eso nos daría en principio in?nitas soluciones ak para
a, una para cada valor de k. Notemos, sin embargo, que si k' = k
+ n, entonces ak' – ak = ? 2k' p + n n – ? 2kp + n n = 2p y por
tanto, considerados como ángulos, y como argumentos de un
complejo, son in- distinguibles. En realidad, no tenemos in?nitas
sino exactamente n soluciones para a, correspondientes a n
elecciones consecutivas de números enteros, que den lugar
a raíces n-simas distintas de z. Es decir, tenemos a0 = ?
n ? 2p a1 = + n n ? 4p a2 = + n n . . an-1 = ? + 2(n – 1)p n
n
v n n 2p 3 0 8 y observamos que an = ? 2np + n n = a0 + 2p y por
tanto, como argumento de un complejo, da lugar a la misma
solución que a0 . En consecuencia, existen n raíces
distintas wj (0 = j = n – 1) dadas por wj = n r(cos aj + i sen aj
). Notad que el razonamiento es totalmente general, de manera que
llegamos a que cualquier complejo (distinto del 0) tiene
exactamente n raíces n-simas, todas ellas con el mismo
módulo, y argumentos que di?eren entre sí por 2p .
Geométricamente, esto se traduce en que las raíces
n-simas de un complejo z de módulo r están situadas
sobre los vértices de un n-ágono regular inscrito
en la circunferencia de radio vr con centro en el origen. w2 = ei
w3 = -1 = epi 2p w4 = e-i 3 w6 = 1 p w1 = ei 3 w0 = 1 = e2pi p w5
= e-i 3