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ˆ ˆ Mecánica Clásica Alternativa IV
Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons Atribución
3.0 (2014) Buenos Aires, Argentina atorassa@gmail.com –
versión 1 – Este trabajo presenta una mecánica
clásica alternativa que es invariante bajo
transformaciones entre sistemas de referencia y que puede ser
aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de
introducir fuerzas ?cticias. En adición, un nuevo
principio de conservación de la energía es
presentado. Sistema de Referencia Inercial El sistema de
referencia inercial S es un sistema de referencia que está
?jo a un sistema de partículas y cuyo origen coincide con
el centro de masa del sistema de partículas. Este sistema
de partículas (de ahora en más sistema-libre)
está siempre libre de fuerzas externas e internas. La
posición inercial ra , la velocidad inercial va y la
aceleración inercial aa de una partícula A respecto
al sistema de referencia inercial S, son como sigue: . ra = (ra )
. va = d(ra )/dt aa = d2 (ra )/dt 2 donde ra es la
posición de la partícula A respecto al sistema de
referencia inercial S. Nueva Dinámica [1] Una fuerza
siempre es causada por la interacción entre dos
partículas. [2] La fuerza neta Fa que actúa sobre
una partícula A de masa ma produce una aceleración
inercial aa según la siguiente ecuación: aa = Fa
/ma [3] Este trabajo considera que no todas las fuerzas obedecen
la tercera ley de Newton (en su forma fuerte o en su forma
débil) 1
. ˆ . ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ . 1 2 ˆ v
ˆ . v ˆ . 1 2 ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . ˆ ˆ De?niciones
Para un sistema de N partículas, las siguientes
de?niciones son aplicables: Masa Momento Lineal Momento Angular M
= ?i mi P = ?i mi vi L = ?i mi ri × vi Trabajo W = ?i Fi
· dri = ?i ? 1/2 mi (ˆ i )2 Energía
Cinética ? K = ?i ? 1/2 mi (ˆ i )2 Energía
Potencial Lagrangiano ? U = ?i – L = K – U Fi · dri
Principios de Conservación El momento lineal P de un
sistema aislado de N partículas permanece constante si las
fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma
débil. P = constante d(P)/dt = ?i mi ai = ?i Fi = 0 El
momento angular L de un sistema aislado de N partículas
permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera
ley de Newton en su forma fuerte. L = constante d(L)/dt = ?i mi
ri × ai = ?i ri × Fi = 0 La energía
mecánica E de un sistema de N partículas permanece
constante si el sistema está sujeto solamente a fuerzas
conservativas. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 2
. . . . . . . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i i i
i Transformaciones La posición inercial ra , la velocidad
inercial va y la aceleración inercial aa de una
partícula A respecto a un sistema de referencia S,
están dadas por: ra = ra – R va = va – ? ×(ra – R) –
V aa = aa – 2 ? ×(va – V) + ? ×[? ×(ra – R)] –
a ×(ra – R) – A donde ra , va y aa son la posición,
la velocidad y la aceleración de la partícula A
respecto al sistema de referencia S. R, V y A son la
posición, la velocidad y la aceleración del centro
de masa del sistema-libre respecto al sistema de referencia S. ?
y a son la velocidad angular y la aceleración angular del
sistema-libre respecto al sistema de referencia S. La
posición R, la velocidad V y la aceleración A del
centro de masa del sistema-libre respecto al sistema de
referencia S, y la velocidad angular ? y la aceleración
angular a del sistema-libre respecto al sistema de referencia S,
son como sigue: M = ?N mi R = M-1 ?N mi ri V = M-1 ?N mi vi A =
M-1 ?N mi ai ? = I-1 · L . a = d(? )/dt I = ?N mi [|ri –
R|2 1 – (ri – R) ? (ri – R)] L = ?N mi (ri – R) × (vi – V)
donde M es la masa del sistema-libre, I es el tensor de inercia
del sistema-libre (respecto a R) y L es el momento angular del
sistema-libre respecto al sistema de referencia S (el
sistema-libre de N partículas debe ser tridimensional y
las distancias relativas entre las N partículas deben ser
constantes) 3
ˆ Ecuación de Movimiento Desde la tercera
transformación se deduce que la aceleración aa de
una partícula A de masa ma respecto a un sistema de
referencia S, está dada por: aa = Fa /ma + 2 ? ×(va
– V) – ? ×[? ×(ra – R)] + a ×(ra – R) + A donde
Fa es la fuerza neta que actúa sobre la partícula A
( aa = Fa /ma ) Observaciones La mecánica clásica
alternativa de partículas presentada en este trabajo es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y
puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin
necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Este trabajo considera,
por un lado, que no todas las fuerzas obedecen la tercera ley de
Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) y, por
otro lado, que todas las fuerzas son invariantes bajo
transformaciones entre sistemas de referencia (F = F )
Finalmente, desde la ecuación de movimiento se deduce que
un sistema de referencia S es inercial cuando (? = 0 y A = 0) y
que éste es no inercial cuando (? = 0 o A = 0)
Bibliografía D. Lynden-Bell and J. Katz, Classical
Mechanics without Absolute Space (1995) J. Barbour,
Scale-Invariant Gravity: Particle Dynamics (2002) R. Ferraro,
Relational Mechanics as a Gauge Theory (2014) A. Torassa,
Ecuación General de Movimiento (2013) A. Torassa,
Mecánica Clásica Alternativa (2013) A. Torassa, Una
Reformulación de la Mecánica Clásica (2014)
A. Torassa, Un Nuevo Principio de Conservación de la
Energía (2014) 4
ˆ . ˆ . ˆ . r ˆ v ˆ r ˆ v ˆ v
ˆ ˆ . 1 2 ˆ . ˆ ˆ r ˆ 2 2 ˆ
ˆ ˆ ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
ˆ . 2 2 ˆ ˆ ˆ r ˆ a ˆ r ˆ v
ˆ r ˆ a ˆ ˆ r ˆ v ˆ ˆ . ˆ
ˆ v ˆ r ˆ Apéndice Para un sistema de N
partículas, las siguientes de?niciones son también
aplicables: Momento Angular Trabajo Energía
Cinética L = ?i mi (ˆi – rcm ) × (ˆ i –
vcm ) W = ?i 12 Fi · d(ˆi – rcm ) = ?i ? 1/2 mi
(ˆ i – vcm )2 ? K = ?i ? 1/2 mi (ˆ i – vcm )2
Energía Potencial Lagrangiano ? U = ?i – L = K – U Fi
· d(ˆi – rcm ) donde rcm y vcm son la posición
inercial y la velocidad inercial del centro de masa del sistema
de partículas. ?i 1 mi ai · d(ˆ i – rcm ) = ?i
1 mi (ˆ i – acm ) · d(ˆ i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi
(ˆ i – vcm )2 El momento angular L de un sistema aislado de
N partículas permanece constante si las fuerzas internas
obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L =
constante d(L)/dt = ?i mi (ˆi – rcm ) × (ˆ i –
acm ) = ?i mi (ri – rcm ) × ai = ?i ri × Fi = 0 L =
?i mi (ˆi – rcm ) × (ˆ i – vcm ) = ?i mi (ri –
rcm ) × [ vi – ? ×(ri – rcm ) – vcm ] La
energía mecánica E de un sistema de N
partículas permanece constante si el sistema está
sujeto solamente a fuerzas conservativas. E = K + U = constante ?
E = ? K + ? U = 0 ? K = ?i ? 1/2 mi (ˆ i – vcm )2 = ?i ? 1/2
mi [ vi – ? ×(ri – rcm ) – vcm ]2 ? U = ?i – 12 Fi ·
d(ˆi – rcm ) = ?i – 12 Fi · d(ri – rcm ) donde rcm y
vcm son la posición y la velocidad del centro de masa del
sistema de partículas respecto a un sistema de referencia
S y ? es la velocidad angular del sistema-libre respecto al
sistema de referencia S. Si el sistema de partículas es
aislado y si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de
Newton en su forma débil entonces: ?i – 1 Fi · d(ri
– rcm ) = ?i – 1 Fi · dri 5
. 1 2 ¯ ¯ . ¯ ¯¯ ¯ . 1 2 ¯
¯ 2 2 ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ? Nuevo
Principio de Conservación de la Energía – versiones
1 & 2 – Para un sistema de N partículas, las
siguientes de?niciones son también aplicables: Trabajo W =
?i Fi · d ri + ? 1/2 Fi · ri = ? K Energía
Cinética ? K = ?i ? 1/2 mi vi · vi + ai · ri
Energía Potencial ? U = – ?i Fi · d ri + ? 1/2 Fi
· ri donde ri = ri – rcm , vi = vi – vcm , ai = ai – acm ,
ri , vi y ai son la posición, la velocidad y la
aceleración de la i-ésima partícula, rcm ,
vcm y acm son la posición, la velocidad y la
aceleración del centro de masa del sistema de
partículas, mi es la masa de la i-ésima
partícula y Fi es la fuerza neta que actúa sobre la
i-ésima partícula. Si el sistema de
partículas es aislado y si las fuerzas internas obedecen
la tercera ley de Newton en su forma débil entonces: ?i 1
Fi · d ri + ? 1/2 Fi · ri = ?i 1 Fi · dri +
? 1/2 Fi · ri El nuevo principio de conservación de
la energía establece que si un sistema de N
partículas está sujeto sólo a fuerzas
conservativas entonces la energía mecánica E del
sistema de partículas permanece constante. . E = K +U =
constante ? E = ? K + ? U = 0 El nuevo principio de
conservación de la energía es invariante bajo
transformaciones entre sistemas de referencia ya que la
energía cinética K, la energía potencial U y
la energía mecánica E de un sistema de N
partículas son invariantes bajo transformaciones entre
sistemas de referencia ( F = F | m = m | r = r | v · v + a
· r = v · v + a · r ) El nuevo principio de
conservación de la energía puede ser aplicado en
cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir
fuerzas ?cticias y sin necesidad de introducir variables externas
adicionales ( tales como ? , R, V, ?S , etc.)
? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? Mecánica Clásica Alternativa
IV Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons
Atribución 3.0 (2014) Buenos Aires, Argentina
atorassa@gmail.com – versión 2 – Este trabajo presenta una
mecánica clásica alternativa que es invariante bajo
transformaciones entre sistemas de referencia y que puede ser
aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de
introducir fuerzas ?cticias. En adición, un nuevo
principio de conservación de la energía es
presentado. Sistema de Referencia Dinámico El sistema de
referencia dinámico S es un sistema de referencia que
puede ser utilizado para obtener magnitudes cinemáticas
(tales como posición dinámica, velocidad
dinámica, etc.) a partir principalmente de magnitudes
dinámicas (tales como fuerza, masa, etc.) La
posición dinámica ra , la velocidad dinámica
va y la aceleración dinámica aa de una
partícula A de masa ma respecto al sistema de referencia
dinámico S, son como sigue: ra = va = . . (Fa /ma ) dt dt
(Fa /ma ) dt . aa = (Fa /ma ) donde Fa es la fuerza neta que
actúa sobre la partícula A. Nueva Dinámica
[1] Una fuerza siempre es causada por la interacción entre
dos partículas. [2] La fuerza neta Fa que actúa
sobre una partícula A de masa ma produce una
aceleración dinámica aa según la siguiente
ecuación: aa = Fa /ma [3] Este trabajo considera que no
todas las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton (en su forma
fuerte o en su forma débil) 1
. ? . ? . ? ? ? ? . 1 2 ? v ? . v ? . 1 2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? . ? ? De?niciones Para un sistema de N
partículas, las siguientes de?niciones son aplicables:
Masa Momento Lineal Momento Angular M = ?i mi P = ?i mi vi L = ?i
mi ri × vi Trabajo W = ?i Fi · dri = ?i ? 1/2 mi (?
i )2 Energía Cinética ? K = ?i ? 1/2 mi (? i )2
Energía Potencial Lagrangiano ? U = ?i – L = K – U Fi
· dri Principios de Conservación El momento lineal
P de un sistema aislado de N partículas permanece
constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de
Newton en su forma débil. P = constante d(P)/dt = ?i mi ai
= ?i Fi = 0 El momento angular L de un sistema aislado de N
partículas permanece constante si las fuerzas internas
obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L =
constante d(L)/dt = ?i mi ri × ai = ?i ri × Fi = 0 La
energía mecánica E de un sistema de N
partículas permanece constante si el sistema está
sujeto solamente a fuerzas conservativas. E = K + U = constante ?
E = ? K + ? U = 0 2
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1/2 ? ? ?
? ? Transformaciones La posición dinámica ra , la
velocidad dinámica va y la aceleración
dinámica aa de una partícula A respecto a un
sistema de referencia S, están dadas por: ra = ra + rS va
= va + ?S × ra + vS aa = aa + 2 ?S × va + ?S ×
(?S × ra ) + aS × ra + aS donde ra , va y aa son la
posición, la velocidad y la aceleración de la
partícula A respecto al sistema de referencia S. rS , vS ,
aS , ?S y aS son la posición dinámica, la velocidad
dinámica, la aceleración dinámica, la
velocidad angular dinámica y la aceleración angular
dinámica del sistema de referencia S respecto al sistema
de referencia dinámico S. La posición
dinámica rS , la velocidad dinámica vS , la
aceleración dinámica aS , la velocidad angular
dinámica ?S y la aceleración angular
dinámica aS de un sistema de referencia S ?jo a una
partícula S respecto al sistema de referencia
dinámico S, son como sigue: rS = vS = . . (F0 /ms ) dt dt
(F0 /ms ) dt . aS = (F0 /ms ) ?S = ± (F1 /ms – F0 /ms )
· (r1 – r0 )/(r1 – r0 )2 . aS = d(?S )/dt donde F0 y F1
son las fuerzas netas que actúan sobre el sistema de
referencia S en los puntos 0 y 1, r0 y r1 son las posiciones de
los puntos 0 y 1 respecto al sistema de referencia S y ms es la
masa de la partícula S (el punto 0 es el origen del
sistema de referencia S y el centro de masa de la
partícula S) (el punto 0 pertenece al eje de
rotación dinámica y el segmento 01 es perpendicular
al eje de rotación dinámica) (el vector ?S es
colineal con el eje de rotación dinámica) 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuación de Movimiento Desde la
tercera transformación se deduce que la aceleración
aa de una partícula A de masa ma respecto a un sistema de
referencia S, está dada por: aa = Fa /ma – 2 ?S × va
– ?S × (?S × ra ) – aS × ra – aS . donde Fa es
la fuerza neta que actúa sobre la partícula A ( aa
= Fa /ma ) Observaciones La mecánica clásica
alternativa de partículas presentada en este trabajo es
invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y
puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin
necesidad de introducir fuerzas ?cticias. Este trabajo considera,
por un lado, que no todas las fuerzas obedecen la tercera ley de
Newton (en su forma fuerte o en su forma débil) y, por
otro lado, que todas las fuerzas son invariantes bajo
transformaciones entre sistemas de referencia (F = F )
Finalmente, desde la ecuación de movimiento se deduce que
un sistema de referencia S es inercial cuando (?S = 0 y aS = 0) y
que éste es no inercial cuando (?S = 0 o aS = 0)
Bibliografía D. Lynden-Bell and J. Katz, Classical
Mechanics without Absolute Space (1995) J. Barbour,
Scale-Invariant Gravity: Particle Dynamics (2002) R. Ferraro,
Relational Mechanics as a Gauge Theory (2014) A. Torassa,
Ecuación General de Movimiento (2013) A. Torassa,
Mecánica Clásica Alternativa (2013) A. Torassa, Una
Reformulación de la Mecánica Clásica (2014)
A. Torassa, Un Nuevo Principio de Conservación de la
Energía (2014) 4
? . ? . ? . r ? v ? r ? v ? v ? ? . 1 2 ? . ? ? r ? 2 2 ? ? ? ? .
? ? ? ? ? . ? . 2 2 ? ? ? r ? a ? r ? v ? r ? a ? ? ?r ? v ? ? .
? ? ?v ? r ? ? Apéndice Para un sistema de N
partículas, las siguientes de?niciones son también
aplicables: Momento Angular Trabajo Energía
Cinética L = ?i mi (?i – rcm ) × (? i – vcm ) W = ?i
12 Fi · d(?i – rcm ) = ?i ? 1/2 mi (? i – vcm )2 ? K = ?i
? 1/2 mi (? i – vcm )2 Energía Potencial Lagrangiano ? U =
?i – L = K – U Fi · d(?i – rcm ) donde rcm y vcm son la
posición dinámica y la velocidad dinámica
del centro de masa del sistema de partículas. ?i 1 mi ai
· d(? i – rcm ) = ?i 1 mi (? i – acm ) · d(? i –
rcm ) = ?i ? 1/2 mi (? i – vcm )2 El momento angular L de un
sistema aislado de N partículas permanece constante si las
fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma
fuerte. L = constante d(L)/dt = ?i mi (?i – rcm ) × (? i –
acm ) = ?i mi (ri – rcm ) × ai = ?i ri × Fi = 0 L =
?i mi (?i – rcm ) × (? i – vcm ) = ?i mi (ri – rcm )
× [ vi + ?S × (ri – rcm ) – vcm ] La energía
mecánica E de un sistema de N partículas permanece
constante si el sistema está sujeto solamente a fuerzas
conservativas. E = K + U = constante ? E = ? K + ? U = 0 ? K = ?i
? 1/2 mi (? i – vcm )2 = ?i ? 1/2 mi [ vi + ?S × (ri – rcm
) – vcm ]2 ? U = ?i – 12 Fi · d(?i – rcm ) = ?i – 12 Fi
· d(ri – rcm ) donde rcm y vcm son la posición y la
velocidad del centro de masa del sistema de partículas
respecto a un sistema de referencia S y ?S es la velocidad
angular dinámica del sistema de referencia S. Si el
sistema de partículas es aislado y si las fuerzas internas
obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil
entonces: ?i – 1 Fi · d(ri – rcm ) = ?i – 1 Fi ·
dri 5