? ? ? ? ? ? ? UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS
NUMÉRICOS. 1.1. Importancia de los métodos
numéricos. Los métodos numéricos son
técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas. Los métodos
numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas matemáticos,
de ingeniería y científicos en una computadora,
reducir esquemas numéricos básicos, escribir
programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente
el software existente para dichos métodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que
también amplia la pericia matemática y la
comprensión de los principios científicos
básicos. El análisis numérico trata de
diseñar métodos para “aproximar” de una
manera eficiente las soluciones de problemas expresados
matemáticamente. El objetivo principal del análisis
numérico es encontrar soluciones “aproximadas”
a problemas complejos utilizando sólo las operaciones
más simples de la aritmética. Se requiere de una
secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que
producen la aproximación al problema matemático.
Modelo Matemático Ideal Idealización y Sistema
Fisico Discretización Modelo Discreto Solución
Solución Discreta Verificación Validación
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para
resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de
derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con
matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios
Si los métodos numéricos son los algoritmos
(conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos
llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el
estudio de éstos y del análisis de errores que
pueden llevar asociados constituye el Método
Numérico. 1.2 Conceptos básicos: cifra
significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y
sesgo. Cifra significativa: Los números reales pueden
expresarse con todas sus cifras o de forma aproximada. Por
ejemplo: 3/4=0,75 4/3 ˜ 1,333 2 = 1,4142 En la vida real,
cuando utilizamos los números decimales, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas. Pero,
¿Qué es una cifra significativa? Se llaman cifras
significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sería absurdo decir que los litros de agua que
caben en un pantano son 13,504,956; diríamos que caben
13.504 millones de litros. En este caso usamos tres cifras
significativas. Tampoco tiene sentido decir que pesamos 75,345 kg
porque sería más sensato decir que pesamos 75,3 kg.
Para aproximar los números reales podemos utilizar el
redondeo o el truncamiento. Precisión: En física,
la precisión es una medida de cuantas veces puedes obtener
el mismo resultado en una medición. Es decir, tras cierto
número de mediciones sucesivas, cuanta diferencia hay
entre los resultados obtenidos. Cuanto menor es la
dispersión mayor la precisión. Una medida
común de la variabilidad es la desviación
estándar de las mediciones y la precisión se puede
estimar como una función de ella. Exactitud: En
física, la exactitud es la cercanía con la que un
resultado obtenido se aproxima a un valor
“verdadero”. Dicho de otra manera, la exactitud es
que tanto nos acercamos al resultado que queremos conseguir. En
términos estadísticos, la exactitud está
relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor
es el sesgo más exacto es una estimación. Cuando
expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el
error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y
el valor verdadero. Preciso pero NO Exacto Exacto pero NO Preciso
Preciso y Exacto
? ? ? ? ? Incertidumbre: Incertidumbre también se le
conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de
alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un
valor verdadero. Situación bajo la cual se desconocen las
probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes
resultados de un determinado evento. Sesgo: Existe sesgo cuando
la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al
azar) advirtiéndose que este ocurre en forma
sistemática. Es un alejamiento sistemático del
valor verdadero a calcular. 1.3 Tipos de errores. Todos los
resultados de la aplicación de métodos
numéricos van acompañados de un error que es
conveniente estimar, además de mantener dichos errores
dentro de límites aceptables. Errores inherentes o
heredados Son los errores o valores numéricos con que al
operar pueden deberse a dos causas: errores sistemáticos y
errores accidentales. Errores Sistemáticos, son debidos a
los aparatos de medición. Errores accidentales, son
debidos a la apreciación del observador y sus causas.
Errores por truncamiento. Se debe a la interrupción de un
proceso matemático antes de su terminación sucede
cuando se toman solo algunos términos de una serie
infinita y/o cuando se toma solo un numero finito del intervalo.
Además cuando una calculadora digital solo toma en cuenta
los dígitos que caben en la y se suprimen las cifras
decimales a partir de la dada. Dado el número 2,3473: 2,34
es el truncamiento a las centésimas. Errores por redondeo.
Debido a la capacidad de las maquinas para representar cantidades
que requieren un gran número de dígitos. En el
redondeo se debe tener en cuenta la primera cifra que se va a
suprimir; si es menor que 5 se deja igual la última cifra
que se conserva. Si la cifra que se va a suprimir es mayor o
igual que 5, se aumenta en una unidad la última cifra que
se conserva. Dado el número 2,3473: 2,347 es el redondeo
de las milésimas. 2,35 es el redondeo a las
centésimas.
Error absoluto El error relativo en una cantidad es igual al
valor absoluto de la diferencia entre la cantidad verdadera y su
aproximación. ?? = ?? + ???? ???? = ?? – ?? Donde ?? =
cantidad verdadera. ?? = cantidad aproximada. ???? = error
absoluto. Error relativo El error relativo de una cantidad
cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la
cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que
no tiene unidades. ???? = ?? – ?? ?? EJEMPLO: Dos cantidades al
ser medidas nos dan los siguientes resultados: Error absoluto
error relativo A = (100 +1)m B = (8 + 0.8 )ft Ea = 1m Ea = 0.8ft
Era = 101m / 100m = 0.01 x 100% = 1% Era = 8.8ft / 8ft = 0.1
x100% = 10%
?? 2! 3! 4! n = = ?? 0 ?? 1 1! 1 ?? ???? = 1 ?? 2 ??! 2! ?? ????
= 2 2 ?? 3 3 ??! 3! 3! ?? 3 ?? =0 3 NO Ejemplo 1. Aplicando el
criterio de error relativo, calcular en cuantos términos
converge la serie a un Error permisible Ep = 0.001. Si x=1. ????
= ?? – ?? ?? ?? = 1, ??1 = 2.718281828 ?? = Desarrollo 8 ??=0
???? ??! ??2 ??3 ??4 = 1 + ?? + + + + ? Error relativo
Condición (Er < Ep) 0 ??=0 ???? ??0 (1)0 ??! 0! 0! =1
???? = ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 1 2.718281828 ???? < 0.001
0.632120685 < 0.001 1 ??=0 ?? ??! ?? = 1+ =1+ =1+1 =2 (1) 1!
???? = 0.632120685 ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 2 2.718281828 NO
???? < 0.001 0.26424117 < 0.001 2 ??=0 ?? ?? = 2+ =2+ = 2 +
0.5 = 2.5 (1) 2! ???? = 0.26424117 ?? – ?? ???? = 2.718281828 –
2.5 2.718281828 NO ???? < 0.001 0.080301413 < 0.001 ?? ??
(1) = 2.5 + = 2.5 + = 2.5 + 0.1666666666 = 2.666666667 ???? =
0.26424117 ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 2.666666667 2.718281828
???? = 0.018988156 NO ???? < 0.001 0.018988156 <
0.001
??! 4! ?? 4 ??4 4! NO 5 ?? ??! 5! ?? 5 ??5 5! SI ( 2! 4! 6! 8! n
= = ?? ???? = 0 ?? ?? 2?? 2 2 (2??)! 2! 2! ?? 1 4 ???? =
2.666666667 + ?? =0 (1)4 = 2.666666667 + = 2.666666667 +
0.041666666 = 2.708333334 ?? = 2.708333334 + ?? =0 (1)5 =
2.708333334 + = 2.708333334 + 0.008333333 ?? – ?? ???? =
2.718281828 – 2.708333334 2.718281828 ???? = 0.003659847 ?? – ??
???? = 2.718281828 – 2.716666667 2.718281828 ???? = 0.000594184
???? < 0.001 0.003659847 < 0.001 ???? < 0.001
0.000594184 < 0.001 = 2.716666667 Ejemplo 2. Aplicando el
criterio de error relativo, calcular en cuantos términos
converge la serie a un Error permisible Ep = 0.001. Si ?? = ??/2.
???? = ?? – ?? ?? ?? ?? = ??/2, cosh?2 ) = 2.509178 cosh ?? =
Desarrollo 8 ?? =0 ?? 2?? (2??)! ??2 ??4 ??6 ?? 8 =1+ + + + + ?
Error relativo Condición (Er < Ep) 0 ??=0 ??2?? ??0
(??/2)0 (2??)! 0! 0! =1 ?? – ?? ???? = 2.509178 – 1 2.509178 ????
< 0.001 0.601463 < 0.001 1 ??=0 (??/2) =1+ = 1+ = 1 +
1.233700 = 2.233700 ???? = ???? = 0.601463 ?? – ?? ???? =
2.509178 – 2.233700 2.509178 NO ???? < 0.001 0.10978814 <
0.001 ???? = 0.10978814 NO
(2??)! 4! ?? 2 ??4 4! NO 3 ?? (2??)! 6! ?? 3 ??6 6! SI 2 ??2?? =
2.233700 + ??=0 (??/2)4 = 2.233700 + = 2.233700 + 0.2536695 ????
= ?? – ?? ???? = 2.509178 – 2.4873695 2.509178 ???? = 0.0086914
???? < 0.001 0.0086914 < 0.001 = 2.4873695 2?? = 2.4873695
+ ?? =0 (??/2)6 = 2.4873695 + = 2.4873695 + 0.0208634 ?? – ??
???? = 2.509178 – 2.5082329 2.509178 ???? = 0.0003766 ???? <
0.001 0.0003766 < 0.001 = 2.5082329 1.4 Software de
cómputo numérico. NAG El Grupo de Algoritmos
numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha
desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de
1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas
generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones
diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida
de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no
lineales, ecuaciones integrales, y más. IMSL La biblioteca
numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc.
cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG.
También tiene soporte para analizar y presentar datos
estadísticos en aplicaciones científicas y de
negocios Numerical récipes: Los libros de Numerical
Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros
porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede
encontrar una "receta (recipe)" para resolver algún
problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de
Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado
por NAG o IMSL. Debe de mencionarse que todo el software listado
anteriormente también esta disponible para el lenguaje C
(o al menos puede ser llamado desde C). El programador
sólo tiene que escribir una rutina pequeña (driver)
para el problema particular que tenga, porque el software para
resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma
la gente no tiene que reinventar la rueda una y otra vez.
Matlab (MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un
software matemático que ofrece un entorno de desarrollo
integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio
(lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix,
Windows y Apple Mac OS X. Entre sus prestaciones básicas
se hallan: la manipulación de matrices, la
representación de datos y funciones, la
implementación de algoritmos, la creación de
interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con
programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.
El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que
expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de
simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de
usuario – GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades
de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de
Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software
muy usado en universidades y centros de investigación y
desarrollo. En los últimos años ha aumentado el
número de prestaciones, como la de programar directamente
procesadores digitales de señal o crear código
VHDL. 1.5 Métodos iterativos. Los métodos
iterativos se usan para encontrar raíces de las ecuaciones
polinomiales y de un sistema de ecuaciones, usando solamente un
solo valor de inicio x o dos respectivamente,
conociéndosele como valor semilla, algunas veces divergen
o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en
el cálculo, sin embargo, cuando los métodos
abiertos convergen, en general lo hacen en pocas iteraciones,
ganan ventaja el tiempo a la solución aproximada. En los
métodos iterativos se emplea una fórmula para
predecir la raíz. esta fórmula puede desarrollarse
como una iteración simple de punto fijo (también
llamada iteración de un punto o sustitución
sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la
ecuación f(x)=0 de tal modo que x este a su lado izquierdo
de la ecuación: x=g(x). Esta transformación se
realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x
a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo, ??2 –
2?? + 3 = 0 se arregla para obtener ?? = ?? 2 +3 2 ?? = 2?? – 3
mientras que sen x=0 puede transformarse sumando x a ambos lados
para obtener ?? = ???????? + ?? estas formulas predicen un nuevo
valor de x en función del valor anterior de x. de esta
manera, dado un vaklor inicial para la raíz xi estas
ecuaciones se utilizan para obtener una nueva aproximación
xi+1, expresada por la formula iterativa xi+1=g(xi) El error
aproximado de esta ecuación se calcula usando el error
normalizado, ???? = ????+1 – ???? ????+1 * 100%
???? + 2 ?? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ???? ?? 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 3. Use
la iteración de punto fijo para localizar la raíz
de ??(??) = ??2 – ?? – 2 = 0. Con un error permisible de 0.001.
La función se puede separar directamente y expresarse en
la forma, ????+1 = Comenzando con un valor inicial ??0 = 0, se
aplica esta ecuación iterativa para calcular. 0 ?? 0 ????
= ????+?? – ???? ????+?? * ??????% ???? = ???? – ???? * ??????%
200 1.414213562 1.847759065 1.961570561 1.990369453 1.997590912
1.999397637 1.999849404 1.999962351 1.999990588 100 23.46331353
5.80205974 1.446911903 0.361508406 0.090363465 0.022590015
0.005647451 0.001411859 58.57864376 15.2240935 3.842943919
0.963054666 0.240908759 0.060236261 0.015059632 0.003764943
0.000941238 De esta manera, se puede observar que cada
iteración se acerca cada vez mas el valor aproximado al
valor verdadero de la raíz: 2. Ejemplo 4. Use la
iteración de punto fijo para localizar la raíz de
??(??) = 2??????( ??) – ?? = 0. Con un error permisible de 0.001.
La función se puede separar directamente y expresarse en
la forma, ????+1 = 2?????? Comenzando con un valor inicial ??0 =
1, se aplica esta ecuación iterativa para calcular. 0 ?? 1
???? = ????+?? – ???? ????+?? * ??????% ???? = ???? – ???? *
??????% 97.237 1.68294197 1.925655418 1.966561956 1.971690045
1.972299451 1.972371381 40.58024471 12.60419941 2.080104171
0.260085984 0.030898241 0.003646868 28.94280304 4.671458154
0.580804427 0.067995481 0.007054897 0.00013808 De esta manera, se
puede observar que cada iteración se acerca cada vez mas
el valor aproximado al valor verdadero de la raíz:
1.972380998.