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Introducción a los métodos numéricos




Enviado por Fortino Vazquez



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    ? ? ? ? ? ? ? UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS
    NUMÉRICOS. 1.1. Importancia de los métodos
    numéricos. Los métodos numéricos son
    técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
    matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando
    operaciones aritméticas. Los métodos
    numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas
    numéricos a fin de resolver problemas matemáticos,
    de ingeniería y científicos en una computadora,
    reducir esquemas numéricos básicos, escribir
    programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente
    el software existente para dichos métodos y no solo
    aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que
    también amplia la pericia matemática y la
    comprensión de los principios científicos
    básicos. El análisis numérico trata de
    diseñar métodos para “aproximar” de una
    manera eficiente las soluciones de problemas expresados
    matemáticamente. El objetivo principal del análisis
    numérico es encontrar soluciones “aproximadas”
    a problemas complejos utilizando sólo las operaciones
    más simples de la aritmética. Se requiere de una
    secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que
    producen la aproximación al problema matemático.
    Modelo Matemático Ideal Idealización y Sistema
    Fisico Discretización Modelo Discreto Solución
    Solución Discreta Verificación Validación
    Los métodos numéricos pueden ser aplicados para
    resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de
    derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con
    matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios

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    Si los métodos numéricos son los algoritmos
    (conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos
    llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el
    estudio de éstos y del análisis de errores que
    pueden llevar asociados constituye el Método
    Numérico. 1.2 Conceptos básicos: cifra
    significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y
    sesgo. Cifra significativa: Los números reales pueden
    expresarse con todas sus cifras o de forma aproximada. Por
    ejemplo: 3/4=0,75 4/3 ˜ 1,333 2 = 1,4142 En la vida real,
    cuando utilizamos los números decimales, se deben dar con
    una cantidad adecuada de cifras significativas. Pero,
    ¿Qué es una cifra significativa? Se llaman cifras
    significativas a aquellas con las que se expresa un número
    aproximado. Sería absurdo decir que los litros de agua que
    caben en un pantano son 13,504,956; diríamos que caben
    13.504 millones de litros. En este caso usamos tres cifras
    significativas. Tampoco tiene sentido decir que pesamos 75,345 kg
    porque sería más sensato decir que pesamos 75,3 kg.
    Para aproximar los números reales podemos utilizar el
    redondeo o el truncamiento. Precisión: En física,
    la precisión es una medida de cuantas veces puedes obtener
    el mismo resultado en una medición. Es decir, tras cierto
    número de mediciones sucesivas, cuanta diferencia hay
    entre los resultados obtenidos. Cuanto menor es la
    dispersión mayor la precisión. Una medida
    común de la variabilidad es la desviación
    estándar de las mediciones y la precisión se puede
    estimar como una función de ella. Exactitud: En
    física, la exactitud es la cercanía con la que un
    resultado obtenido se aproxima a un valor
    “verdadero”. Dicho de otra manera, la exactitud es
    que tanto nos acercamos al resultado que queremos conseguir. En
    términos estadísticos, la exactitud está
    relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor
    es el sesgo más exacto es una estimación. Cuando
    expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el
    error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y
    el valor verdadero. Preciso pero NO Exacto Exacto pero NO Preciso
    Preciso y Exacto

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    ? ? ? ? ? Incertidumbre: Incertidumbre también se le
    conoce como Imprecisión. Se refiere al grado de
    alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un
    valor verdadero. Situación bajo la cual se desconocen las
    probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes
    resultados de un determinado evento. Sesgo: Existe sesgo cuando
    la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al
    azar) advirtiéndose que este ocurre en forma
    sistemática. Es un alejamiento sistemático del
    valor verdadero a calcular. 1.3 Tipos de errores. Todos los
    resultados de la aplicación de métodos
    numéricos van acompañados de un error que es
    conveniente estimar, además de mantener dichos errores
    dentro de límites aceptables. Errores inherentes o
    heredados Son los errores o valores numéricos con que al
    operar pueden deberse a dos causas: errores sistemáticos y
    errores accidentales. Errores Sistemáticos, son debidos a
    los aparatos de medición. Errores accidentales, son
    debidos a la apreciación del observador y sus causas.
    Errores por truncamiento. Se debe a la interrupción de un
    proceso matemático antes de su terminación sucede
    cuando se toman solo algunos términos de una serie
    infinita y/o cuando se toma solo un numero finito del intervalo.
    Además cuando una calculadora digital solo toma en cuenta
    los dígitos que caben en la y se suprimen las cifras
    decimales a partir de la dada. Dado el número 2,3473: 2,34
    es el truncamiento a las centésimas. Errores por redondeo.
    Debido a la capacidad de las maquinas para representar cantidades
    que requieren un gran número de dígitos. En el
    redondeo se debe tener en cuenta la primera cifra que se va a
    suprimir; si es menor que 5 se deja igual la última cifra
    que se conserva. Si la cifra que se va a suprimir es mayor o
    igual que 5, se aumenta en una unidad la última cifra que
    se conserva. Dado el número 2,3473: 2,347 es el redondeo
    de las milésimas. 2,35 es el redondeo a las
    centésimas.

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    Error absoluto El error relativo en una cantidad es igual al
    valor absoluto de la diferencia entre la cantidad verdadera y su
    aproximación. ?? = ?? + ???? ???? = ?? – ?? Donde ?? =
    cantidad verdadera. ?? = cantidad aproximada. ???? = error
    absoluto. Error relativo El error relativo de una cantidad
    cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la
    cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que
    no tiene unidades. ???? = ?? – ?? ?? EJEMPLO: Dos cantidades al
    ser medidas nos dan los siguientes resultados: Error absoluto
    error relativo A = (100 +1)m B = (8 + 0.8 )ft Ea = 1m Ea = 0.8ft
    Era = 101m / 100m = 0.01 x 100% = 1% Era = 8.8ft / 8ft = 0.1
    x100% = 10%

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    ?? 2! 3! 4! n = = ?? 0 ?? 1 1! 1 ?? ???? = 1 ?? 2 ??! 2! ?? ????
    = 2 2 ?? 3 3 ??! 3! 3! ?? 3 ?? =0 3 NO Ejemplo 1. Aplicando el
    criterio de error relativo, calcular en cuantos términos
    converge la serie a un Error permisible Ep = 0.001. Si x=1. ????
    = ?? – ?? ?? ?? = 1, ??1 = 2.718281828 ?? = Desarrollo 8 ??=0
    ???? ??! ??2 ??3 ??4 = 1 + ?? + + + + ? Error relativo
    Condición (Er < Ep) 0 ??=0 ???? ??0 (1)0 ??! 0! 0! =1
    ???? = ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 1 2.718281828 ???? < 0.001
    0.632120685 < 0.001 1 ??=0 ?? ??! ?? = 1+ =1+ =1+1 =2 (1) 1!
    ???? = 0.632120685 ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 2 2.718281828 NO
    ???? < 0.001 0.26424117 < 0.001 2 ??=0 ?? ?? = 2+ =2+ = 2 +
    0.5 = 2.5 (1) 2! ???? = 0.26424117 ?? – ?? ???? = 2.718281828 –
    2.5 2.718281828 NO ???? < 0.001 0.080301413 < 0.001 ?? ??
    (1) = 2.5 + = 2.5 + = 2.5 + 0.1666666666 = 2.666666667 ???? =
    0.26424117 ?? – ?? ???? = 2.718281828 – 2.666666667 2.718281828
    ???? = 0.018988156 NO ???? < 0.001 0.018988156 <
    0.001

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    ??! 4! ?? 4 ??4 4! NO 5 ?? ??! 5! ?? 5 ??5 5! SI ( 2! 4! 6! 8! n
    = = ?? ???? = 0 ?? ?? 2?? 2 2 (2??)! 2! 2! ?? 1 4 ???? =
    2.666666667 + ?? =0 (1)4 = 2.666666667 + = 2.666666667 +
    0.041666666 = 2.708333334 ?? = 2.708333334 + ?? =0 (1)5 =
    2.708333334 + = 2.708333334 + 0.008333333 ?? – ?? ???? =
    2.718281828 – 2.708333334 2.718281828 ???? = 0.003659847 ?? – ??
    ???? = 2.718281828 – 2.716666667 2.718281828 ???? = 0.000594184
    ???? < 0.001 0.003659847 < 0.001 ???? < 0.001
    0.000594184 < 0.001 = 2.716666667 Ejemplo 2. Aplicando el
    criterio de error relativo, calcular en cuantos términos
    converge la serie a un Error permisible Ep = 0.001. Si ?? = ??/2.
    ???? = ?? – ?? ?? ?? ?? = ??/2, cosh?2 ) = 2.509178 cosh ?? =
    Desarrollo 8 ?? =0 ?? 2?? (2??)! ??2 ??4 ??6 ?? 8 =1+ + + + + ?
    Error relativo Condición (Er < Ep) 0 ??=0 ??2?? ??0
    (??/2)0 (2??)! 0! 0! =1 ?? – ?? ???? = 2.509178 – 1 2.509178 ????
    < 0.001 0.601463 < 0.001 1 ??=0 (??/2) =1+ = 1+ = 1 +
    1.233700 = 2.233700 ???? = ???? = 0.601463 ?? – ?? ???? =
    2.509178 – 2.233700 2.509178 NO ???? < 0.001 0.10978814 <
    0.001 ???? = 0.10978814 NO

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    (2??)! 4! ?? 2 ??4 4! NO 3 ?? (2??)! 6! ?? 3 ??6 6! SI 2 ??2?? =
    2.233700 + ??=0 (??/2)4 = 2.233700 + = 2.233700 + 0.2536695 ????
    = ?? – ?? ???? = 2.509178 – 2.4873695 2.509178 ???? = 0.0086914
    ???? < 0.001 0.0086914 < 0.001 = 2.4873695 2?? = 2.4873695
    + ?? =0 (??/2)6 = 2.4873695 + = 2.4873695 + 0.0208634 ?? – ??
    ???? = 2.509178 – 2.5082329 2.509178 ???? = 0.0003766 ???? <
    0.001 0.0003766 < 0.001 = 2.5082329 1.4 Software de
    cómputo numérico. NAG El Grupo de Algoritmos
    numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha
    desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de
    1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas
    generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones
    diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida
    de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no
    lineales, ecuaciones integrales, y más. IMSL La biblioteca
    numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc.
    cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG.
    También tiene soporte para analizar y presentar datos
    estadísticos en aplicaciones científicas y de
    negocios Numerical récipes: Los libros de Numerical
    Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros
    porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede
    encontrar una "receta (recipe)" para resolver algún
    problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de
    Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado
    por NAG o IMSL. Debe de mencionarse que todo el software listado
    anteriormente también esta disponible para el lenguaje C
    (o al menos puede ser llamado desde C). El programador
    sólo tiene que escribir una rutina pequeña (driver)
    para el problema particular que tenga, porque el software para
    resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma
    la gente no tiene que reinventar la rueda una y otra vez.

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    Matlab (MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un
    software matemático que ofrece un entorno de desarrollo
    integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio
    (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix,
    Windows y Apple Mac OS X. Entre sus prestaciones básicas
    se hallan: la manipulación de matrices, la
    representación de datos y funciones, la
    implementación de algoritmos, la creación de
    interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con
    programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.
    El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que
    expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de
    simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de
    usuario – GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades
    de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de
    Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software
    muy usado en universidades y centros de investigación y
    desarrollo. En los últimos años ha aumentado el
    número de prestaciones, como la de programar directamente
    procesadores digitales de señal o crear código
    VHDL. 1.5 Métodos iterativos. Los métodos
    iterativos se usan para encontrar raíces de las ecuaciones
    polinomiales y de un sistema de ecuaciones, usando solamente un
    solo valor de inicio x o dos respectivamente,
    conociéndosele como valor semilla, algunas veces divergen
    o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en
    el cálculo, sin embargo, cuando los métodos
    abiertos convergen, en general lo hacen en pocas iteraciones,
    ganan ventaja el tiempo a la solución aproximada. En los
    métodos iterativos se emplea una fórmula para
    predecir la raíz. esta fórmula puede desarrollarse
    como una iteración simple de punto fijo (también
    llamada iteración de un punto o sustitución
    sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la
    ecuación f(x)=0 de tal modo que x este a su lado izquierdo
    de la ecuación: x=g(x). Esta transformación se
    realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x
    a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo, ??2 –
    2?? + 3 = 0 se arregla para obtener ?? = ?? 2 +3 2 ?? = 2?? – 3
    mientras que sen x=0 puede transformarse sumando x a ambos lados
    para obtener ?? = ???????? + ?? estas formulas predicen un nuevo
    valor de x en función del valor anterior de x. de esta
    manera, dado un vaklor inicial para la raíz xi estas
    ecuaciones se utilizan para obtener una nueva aproximación
    xi+1, expresada por la formula iterativa xi+1=g(xi) El error
    aproximado de esta ecuación se calcula usando el error
    normalizado, ???? = ????+1 – ???? ????+1 * 100%

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    ???? + 2 ?? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ???? ?? 1 2 3 4 5 6 Ejemplo 3. Use
    la iteración de punto fijo para localizar la raíz
    de ??(??) = ??2 – ?? – 2 = 0. Con un error permisible de 0.001.
    La función se puede separar directamente y expresarse en
    la forma, ????+1 = Comenzando con un valor inicial ??0 = 0, se
    aplica esta ecuación iterativa para calcular. 0 ?? 0 ????
    = ????+?? – ???? ????+?? * ??????% ???? = ???? – ???? * ??????%
    200 1.414213562 1.847759065 1.961570561 1.990369453 1.997590912
    1.999397637 1.999849404 1.999962351 1.999990588 100 23.46331353
    5.80205974 1.446911903 0.361508406 0.090363465 0.022590015
    0.005647451 0.001411859 58.57864376 15.2240935 3.842943919
    0.963054666 0.240908759 0.060236261 0.015059632 0.003764943
    0.000941238 De esta manera, se puede observar que cada
    iteración se acerca cada vez mas el valor aproximado al
    valor verdadero de la raíz: 2. Ejemplo 4. Use la
    iteración de punto fijo para localizar la raíz de
    ??(??) = 2??????( ??) – ?? = 0. Con un error permisible de 0.001.
    La función se puede separar directamente y expresarse en
    la forma, ????+1 = 2?????? Comenzando con un valor inicial ??0 =
    1, se aplica esta ecuación iterativa para calcular. 0 ?? 1
    ???? = ????+?? – ???? ????+?? * ??????% ???? = ???? – ???? *
    ??????% 97.237 1.68294197 1.925655418 1.966561956 1.971690045
    1.972299451 1.972371381 40.58024471 12.60419941 2.080104171
    0.260085984 0.030898241 0.003646868 28.94280304 4.671458154
    0.580804427 0.067995481 0.007054897 0.00013808 De esta manera, se
    puede observar que cada iteración se acerca cada vez mas
    el valor aproximado al valor verdadero de la raíz:
    1.972380998.

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