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Modelos Braneworld combinados



    Monografias.com
    1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    Modelos Braneworld Combinados Alexander Moreno Sánchez
    Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    Bogotá. D. C, Colombia. amorenosa@unal.edu.co Recibido
    01-03- 2014; Aceptado 30 – 03- 2014; Publicado en línea 10
    – 10 – 2014 Resumen La ciencia física en los
    últimos años ha desarrollado varios esquemas
    teóricos que confrontan la asombrosa realidad natural con
    nuestra limitada capacidad de análisis y
    comprensión de aquello que llamamos realidad. La
    teoría del llamado braneworld o mundos membrana, es un
    espectacu- lar marco teórico que en principio
    uni…ca varias teorías físicas, y ofrece
    múltiples alternativas de explicación y
    comprensión de la intrincada realidad oculta de la
    naturaleza. En este corto trabajo se muestra el esquema
    teórico del modelo braneworld que uni…ca el modelo
    de Randall-Sundrum y el modelo de Lykken, se colocan algunos
    resultados y se enuncian algunas conclusiones. PACS : 04.50.-h,
    04.50.Kd, 14.70.Kv Palabras Claves: Mundobrane, dimensiones
    adicionales, reducción KK, gravitones, compacti…c-
    ación. Abstract Physical science in recent years has
    developed several theoretical schemes facing the amazing natural
    reality with our limited capacity for analysis and understanding
    of what we call reality. Theory called braneworld or membrane
    worlds is a great theoretical framework that in principle
    uni…es various physical theories, and o¤ers
    multiple alternatives of explanation and understanding of the
    intricate hidden reality of the nature. In this short paper shown
    the theoretical framework of the braneworld model that
    uni…es the Randall-Sundrum model and the model Lykken,
    some results are placed and some conclusions are drawn. PACS :
    04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv Keywords: Braneworld, extra
    dimensions, reduction KK, gravitons. compacti…cation. c
    2014. Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica. Todos los derechos reservados.
    Introducción En estos momentos, donde todo transcurre tan
    rápido, parecen un poco lejanos los modelos propuestos por
    Randall y Sundrum, quienes exhibieron un par de modelos cuyo
    objetivo principal era mostrar por qué la gravedad es tan
    débil en comparación con las otras interacciones,
    en otros palabras decidieron proponer una solución al
    llamado problema de jerarquías. Una de las
    características principales de dichos modelos es la
    de

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    2 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    MODELOS CON DIMENSIONES EXTRAS considerar una dimensión
    espacial no compacta, en claro contraste con los modelos de
    dimensiones adicionales compactas. En tales modelos, cuyo
    origén primordíal hay que buscarlo en la
    teoría de cuerdas y en teoría-M, el universo tal
    cual lo conocemos se encuentra contenido en las llamadas branas,
    algo así como un tapíz donde los grabados y
    …guras representan el universo; considero que está
    es una idea sumamente atractiva, evocativa, y altamente
    signi…cativa, considerar que nuestro universo es como una
    membrana que gracilmente se agita en un volumen extenso es sin
    duda una idea bastante elegante y consecuente con nuestro
    paulatino alejamiento del geocentrismo; nuestro planeta dejo de
    ser el centro del universo, después nuestro sol dejo de
    ser el centro del universo, posteriormente, se encontro que
    estamos inmersos en un enorme sistema llamado galaxia, la cual
    tampoco es el centro del universo, en las últimas
    décadas se han encontrado una serie de estructuras
    materiales y energéticas de creciente tamaño y
    complejidad dando origen a lo que llamamos estructura a gran
    escala del universo, y por lo que se puede inferir es posible que
    se encuentren estrucutras más asombrosas y enormes en el
    tejido espaciotemporal, ello ha venido poco a poco
    con…gurando la imagén del universo, que hasta donde
    se conoce tuvo un origen especí…co, tiene unas
    estructuras impresionantes, acompañadas de una
    dinámica extraordinaria, y es posible que el universo como
    lo conocemos se transforme en algo totalmente nuevo o termine
    diluyéndose o desapareciendo totalmente, ¡¡he
    ahí el misterio de la cosmología!!. Ahora,
    bién, el modelo de braneworld considero (opinión
    personal), continua este proceso de categorización, y
    ahora parece ser que todo nuestro universo resulta ser como una
    membrana en un volumen de dimensiones adicionales o extras,
    análogo a lo que se conjetura en modelos de multiverso
    donde el universo conocido es un burbuja en
    in‡ación o que sufrió un proceso
    in‡acionario, en una pletora de universos que se crean
    continuamente. Bueno, como se dijo anteriormente, la idea del
    braneworld es bastante sugestiva, entonces imaginemos algunas
    cosas, o tratemos de contestar o planetar algunas preguntas,
    ¿Que apreciaría un observador fuera de la brane?,
    bueno si pensamos en un observador fuera de la brane, lo primero
    que notaríamos es que no observa nada porque no existe
    radiación electromagnética, pero percibe la
    gravitación, es decir podría realizar experimentos
    gravitacionales y encontrar que por lo menos localmente hay
    efectos gravitacionales, y quizá también perciba
    otros campos similares a la gravedad, si vamos un poco más
    allá este observador consciente, posiblemente pueda
    desarrollar un equipo que le permita detectar la presencia de las
    branas, las cuales percibiría como unas láminas o
    paquetes energéticos, con movimientos intrínsecos
    muy complejos, a decir verdad este es un escenario realmente
    nuevo. Quizá, podríamos preguntar también,
    ¿Por qué no detectamos la presencia del bulk o de
    las dimensiones extras, pudiera ser que debido a que nos
    encontramos "como encerrados o atrapados" en la brane, las
    interacciones electromagnéticas no pueden propagrarse
    más allá del horizonte de…nido por la brane,
    es la gravitación o en otros términos la
    geometría de la brane quien de…ne el grado de
    interacción con ese llamado bulk. También se puede
    preguntar cómo se observa la expansión
    cosmológica desde el bulk o desde la brane, puede
    inferirse que desde la brane observaríamos la
    expansión como la hemos observado de tiempo atrás,
    pero desde el bulk quizá se observe como un
    auténtico globo que se expande siguiendo alguna
    dinámica especial. Como se puede observar el tema es
    bastante especulativo, pero también bastante lógico
    y coherente con muchos resultados físicos conocidos hoy
    día Los modelos de braneworld tienen como base los modelos
    desarrollados por Randall y Sundrum hacía 1999,
    posteriormente se han desarrollado otros muchos modelos, se han
    incorporado campos escalares, vectoriales, otras dimensiones,
    simetrías, dimensiones compactas y no campactas, entre
    otros muchos elementos; pero pienso que los modelos inicialmente
    propuestos rompen los esquemas convencionales y determinan un
    punto de partida diferente y especial para comprender muchos
    fenómenos que continuan sin clara explicación ni
    fundamentación teórica. Aquí, en este corto
    artículo, sólo quiero considerar, un modelo que es
    el modelo combinado de Randall y Sun- drum, es decir combinar los
    modelos RSI y RSII, el cual se conoce como modelo
    Lykken-Randall.[1][2][3][4][5][6][7]. Modelos con dimensiones
    extras Aquí se muestra de forma genérica el
    telón de fondo sobre el que se desarrolla la idea de
    dimensiones adicionales y de braneworld. El estudio de los
    modelos teóricos de campos en el espaciotiempo con
    dimensiones espaciales extras fueron iniciados por Kaluza-Klein,
    éstos daban origen a una aproximación
    teórica de campos, para la 2

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    2 (2) Z m (n) X Z G Z h i 1 p (0) 1 1=2 d+2 (8) 1 Centro
    Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELOS CON
    DIMENSIONES EXTRAS descripción de interacciones de
    partículas en un espaciotiempo multidimensional. Una
    fuerte motivación para la aproximación KK proviene
    de la teoría de cuerdas en donde la multidimensionalidad
    del espaciotiempo se requiere para una formulación
    consistente. Recientemente modelos con dimensiones extras de un
    nuevo tipo, llamados modelos ADD y RS, se han propuesto como
    esquemas de altas dimensiones. Fueron diseñados para
    suministrar una novedosa solución al problema de
    jerarquías en altas energías. Muchos hechos
    esenciales de estos modelos eran inherentes en la
    aproximación KK. También muchas ideas y conceptos
    recientemente descubiertos en teoría de cuerdas y
    teoría M, han sido incorporados en tales
    modelos[8][9][10]. La aproximación KK se basa en la
    hipótesis de que el espaciotiempo es un espacio
    pseudo-euclideano con (4+d)-dimensiones, es decir que se puede
    obtener como un producto topológico E4+d = M4 Kd (1) donde
    M4 es el espaciotiempo cuadridimensional y Kd es un espacio
    compacto d-dimensional de tamaño carac- terístico
    R. Ahora bién, si se introducen coordenadas locales sobre
    dicho espacio, se pueden denotar como xM = fx ; ym g , con M = 0;
    1; 2; ::::; 3 + d , = 0; 1; 2; :: , m = 1; 2; ::; d , en
    consecuencia con el producto directo o con la estructura del
    producto directo del espaciotiempo, la medida de distancias o
    métrica que usualmente se escoge se puede obtener como ds2
    = GM N (x)dxM dxN = g (x)dx dx + mn (y)dy m dyn . (3) Ahora bien,
    consideremos el espaciotiempo de Minkowski, con un campo escalar
    (4+d)-dimensional, donde la integral de acción
    estará dada por S = d4+d xp G 1 2 (@M )2 1 2 2 2 1 4!
    g(4+d) 4 , (4) de este modo para interpretar la teoría
    como un campo escalar cuadridimensional efectivo expansión
    en series de Fourier se recurre a una (x; y) = (x)Yn (y) , n
    donde las funciones Yn (y) son funciones propias normalizadas
    ortogonales del operador de Laplace espacio Kd , de tal forma que
    Kd (5) en el Kd Y(n) (y) = n R2 Y(n) (y) , (6) aquí n es
    un multi-índice que marca los valores propios (n) de las
    funciones propias Y(n) (y): En el caso de una
    compacti…cación toroidal se identi…ca el
    espacio de dimensiones adicionales como Kd = T d , con T d un
    toro d-dimensional con radio igual a R, así de este modo
    se hace más simple el análisis, y si consideramos
    el caso de la gravedad (4+d)-dimensional, la cual se puede
    obtener de la acción dada por SE = d4+d xp 1 16 G(4+d)
    R(4+d) [GM N ] , (7) donde el escalar de curvatura que pued
    calcular con ayuda de la métrica GM N ; así de este
    modo, desarrollando la expansión en modos propios e
    integrando sobre Kd se llega a la integral de acción
    cuadridimensional SE = d4 x gf R(4) gM N + ::::::g , 16 GN (4) y
    de esta manera se identi…ca GN (4) = Vd GN (4+d) , MP l =
    (GN (4) ) = 1:2 1019 GeV , M = (GN (4+d) ) con lo cual 3

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    3Astrofísica 2 m ) , m : 1 3 y = R son puntos …jos
    de la identi…cación-Z2 : Una 3-brane, o hiperplano
    tridimensional, puede jugar el rol de ny (n) X ny (n) X Centro
    Colombiano de Cosmología y MOTIVACIÓN PARA UNA
    TEORÍA DE CUERDAS Y TEORÍA-M MP l = Vd M d+2 : (9)
    La cota o valor límite sobre el tamaño de R; puede
    ser derivado de la ausencia de señales de exitación
    de modos KK en las partículas del Modelo Estándar,
    con los datos disponibles hoy día se in…ere un
    valor para la masa de los posibles modos KK-masivos dada por m1 1
    R > 1T eV , (10) Un elemento fundamental en el análisis
    de teorías con dimensiones extras tiene que ver con la
    llamada localización de campos, o en otros términos
    la restricción que deben tener los campos conocidos sobre
    la brane, esto constituye un ingrediente esencial, los mecanismos
    de localización de campos sobre las branes aseguran
    coherencia y consistencia con la observación.
    Inicialmente, se considerá la teoría del campo
    escalar (x; y); con un potencial de…nido como V ( )= 1 4 (
    2 1 2 2 (11) es sencillo chequear que existe un tipo de
    solución que depende de la quinta coordenada o de la
    dimensión extra, lo cual conduce a una solución
    dada por cl (y) 1 1 = p mT anh p2 m(y y0 ) , (12) de tal forma
    que la densidad de energía de esta
    con…guración está localizada en la vecindad
    del hiperplano y = y0 en una región de espesor El espectro
    de ‡uctuaciones cuánticas o modos KK alrededor del
    tipo de solución incluye a los modos cero (correspondiente
    a la simetría translacional de la teoría), un modo
    masivo y un continuo de estados. A muy bajas energías solo
    los modos discretos son excitados, y efectivamente la
    teoría describe campos moviéndose dentro del pozo
    de potencial a lo largo del plano y0 : El modelo suministra un
    ejemplo de localización dinámica de campos sobre el
    hiperplano el cual juega el rol de espacio tridimensional inmerso
    en el espacio cuadridimensional. Este hiperplano es referido como
    una tre-brane o "pared". Si la energía de los modos es lo
    su…cientemente alta el espectro continuo es excitado, y
    una manifestación posible de esto puede hacerse efectiva
    con partículas escapando hacia la quinta dimensión.
    De manera similar los fermiones acoplados a los campos escalares
    pueden estar localizados sobre la brane[23][24][25].
    Motivación para una teoría de cuerdas y
    teoría-M Un caso importante es cuando el espacio de
    dimensiones extras es un orbifold, que se de…ne como si se
    considerará un círculo S1 de radio R y se denotaran
    sus puntos por y; entonces el orbifold es construído por
    identi…cación de puntos los cuales se relacionan
    por la transformación Z2 (simetría de espejo), tal
    que, y ! ( y) : En consecuencia tenemos la
    identi…cación usual de puntos S1 debido a la
    periodicidad y ' (y + 2 R) , donde y = R; nuestro mundo
    tridimensional, el cual se puede localizar en estos puntos
    …jos. En el caso de la compacti…cación del
    orbifold todos los campos multidimensionales se pueden describir
    por funciones pares o impares, es decir (x; y) = (x; y); o
    también (x; y) = (x; y); así que sus modos de
    descomposición son de la forma 1 (x; y) = (x)Cos , si (x;
    y) es par , (13) R n=0 1 (x; y) = (x)Sen , si (x; y) es impar ,
    (14) R n=0 un hecho importante de teoría de cuerdas es que
    existen las con…guraciones de p-branes las cuales
    constituyen gauges y otros grados de libertad. 4

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    3Astrofísica Centro Colombiano de Cosmología y
    MOTIVACIÓN PARA UNA TEORÍA DE CUERDAS Y
    TEORÍA-M Figure 1: Este esquema muestra un gran espacio el
    bulk y dos D4-branes, en teoría de cuerdas Tipo I. Otro
    hecho importante es que existe una compacti…cación
    consistente de los límites 11D de la teoría-M,
    considerada como una teoría de todas las cosas, bajo
    (3+1)-dimensiones. El camino de la compacti…cación
    no es único, por ejemplo, en el regimén no
    perturbativo de la teoría de cuerdas heteróticas E8
    E8 puede ser identi…cado como el límite 11D de la
    teoría-M con una dimensión compacti…cada en
    el orbifold S1 =Z2 y con un conjunto de campos gauge E8 en cada
    uno de los 10D puntos …jos del orbifold.
    Compacti…cando esta teoría sobre una variedad
    Calabi-Yau se llega a una teoría la cual, para ciertos
    rangos de energía, se comporta como un modelo
    supersimétrico (SUSY) cinco-dimensional N=1 con una
    dimensión compacti…cada sobre S1 =Z2 : Adicional a
    las motivaciones anteriores dadas para construir teoría de
    cuerdas o teoría-M, se tienen otras motivaciones para
    elaborar dichos escenarios, por ejemplo. El …nal de una
    cuerda abierta está restringida a D4-branes en el
    espaciotiempo 11-dimensional. Las excitaciones de cuerdas
    abiertas incluyen bosones gauge, campos escalares y fermiones. La
    teoría efectiva a bajas energías de estas
    excitaciones se supone que contienen el Modelo Estándar
    (MS), de este modo los campos del MS están localizados
    sobre las D4-branes. Ahora bién, las cuerdas cerradas se
    propagan en el bulk, es decir en todo el espaciotiempo. Las
    excitaciones de cuerdas cerradas incluyen el gravitón, por
    lo tanto la gravedad se propaga en el bulk. Una imagén
    esquemática del espaciotiempo en la teoría de
    cuerdas tipo-IA, se puede esquemátizar en la …gura
    anexa. Las D4-branes contienen tres-dimensiones como de espacio
    no compactos, correspondiente a nuestro espacio usual, y una
    dimensión compacti…cada en el círculo S1 de
    radioR. En la medida que se aleja del resto de las dimensiones
    que son concernientes, la quinta dimensión espacial o una
    parte de ella puede formar un espacio compacto de tamaño
    característico R. La asunción R >> r no
    parece ser imposible, esto es motivado por el hecho de que en
    teoría de cuerdas se tiene la siguiente relación
    5

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    4 4 coordenada adicional o dimensión extra de la
    función B2 (y), así obtenemos[1][2] 5 i j 2 ij ij 2
    compacti…cación, es decir como un manera diferente
    de estudiar y de introducir dimensiones adicionales de tipo 2
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    MODELO DE RANDALL-SUNDRUM Mstring = MP l p k GU T 2 , (15) por lo
    tanto la relación Mstr << MP l y R 1 1 Mstr >>
    MP L r lo cual no es inconsistente con la teoría de
    cuerdas. Con esta posibilidad en mente existe la propuesta de
    escenarios donde parte de la dimensión compacta tiene un
    tamaño relativamente grande, por ejemplo R 1 10M eV , r 1
    1T eV , con lo cual se asume que para alcanzar el radio de
    curvatura de la brane debemos explorar energías del orden
    de los TeV. Otro aspecto importante es la posibilidad de
    uni…car la interacción débil y fuerte a un
    escala menor de masa o energía, digamos MGU T 10T eV , o
    quizá también permita, la existencia de un
    mecánismo de rompimiento SUSY sobre la brane, entonces el
    rompimineto SUSY es comunicado a la brane MS vía campos en
    el bulk. Pueden, existir otras razones para explorar modelos
    físicos en altas dimensiones pero no es el tema de este
    corto artículo[11][12][13][14][15]. Modelo de
    Randall-Sundrum Considerando una métrica general, que de
    cuenta de soluciones de tipo cosmológico, tal como ds2 = N
    2 (t; y)dt2 + A2 (t; y) ij dxi dxj + B2 (t; y)dy2 , en la cual
    podemos hacer B2 (y) ! 1 , con lo cual se deja independiente la
    ds4+1 = N 2 (y)dT 2 + A2 (y) ij dx dx + dy2 , (16) entonces
    podemos simpli…car ds4+1 = N 2 (y) + A2 (y) dx dx + dy2 ,
    (17) 2jyj de tal forma que se puede hacer la siguiente
    identi…cación1 N 2 (y) ij + A2 (y) ij = e l : Esta
    identi…cación general permitirá desarrollar
    el modelo de braneworld y solucionar en principio el problema de
    jerarquías, el cual es un problema fundamental en la
    física de altas energías. En el marco de los
    modelos de braneworld, como por ejemplo en los modelos de Randall
    y Sundrum, se considera que las branes estan sumergidas en un
    espaciotiempo AdS5 ; en donde se puede introducir un sistema de
    coordenado gaussiano normal, así que las cooordenadas en
    tal espaciotiempo se pueden denotar como x = (xa ; y) con lo cual
    puede considerarse que la métrica adopta la siguiente
    expresión[3][4] ds2 = e 2Kjyj dx dx + dy2 , (18) el factor
    de curvatura exponencial, introducido anteriormente,
    signi…ca que el volumen en el espacio 5D se puede hacer
    pequeño cuando y se hace grande. En su primer
    artículo Randall y Sundrum mostraron que la
    jerarquía entre la escala electrodébil de T eV y la
    aparente escala de Plank de 1019 GeV , se puede explicar por el
    factor de curvatura, aún si el tamaño de la
    dimensión extra es relativamente pequeña (distancia
    entre branes). Ya en su segundo artículo mostraron que si
    no existía una segunda brane, y la dimensión extra
    se extendía al in…nito, la gravedad puede permanece
    efectivamente localizada sobre la única brane existente,
    ya que el volumen integrado permanece …nito cuando y ! 1,
    esta es la razón por la cual se propuso este modelo como
    una alternativa a la espacial in…nitas. El éxito
    experimental de la ley Inversa del Cuadrado y de la Teoría
    General de la Relatividad, es que parece que en todas las
    situaciones se implican cuatro dimensiones espaciotemporales no
    compactas (universo 3+1). De otra parte, la concepción
    clásica o tradicional es que las dimensiones adicionales
    pueden ser aceptadas tan sólo si ellas son compactas y
    su…cientemente pequeñas para ser consistentes con
    las pruebas gravitacionales corrientes, como también si
    existen n-dimensiones extras compactas, la escala de Planck, debe
    relacionarse con la escala gravitacional en altas dimensiones,
    mediante MP l = M 2+n Vn ; donde Vn , es el volumen del espacio
    n-dimensional. 1 En realidad la métrica Randall-Sundrum
    tiene su origén en la teoría de cuerdas,
    propiamente dicha, y es allí donde se encuentra plenamente
    justi…cado el factor de curvatura exponencial. 6

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    4 2 integra la segunda ecuación desde " a +" y tomando el
    límite " ! 0; y en consideración de la
    simetría 6 ; que es la expresión análoga a
    lo que se conoce con K(y) = k j y j conduce a una relación
    para 5 = Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica MODELO DE RANDALL-SUNDRUM El modelo
    Randall-Sundrum, muestra que nada de lo establecido
    anteriormente, es necesariamente cierto, ya que lo establecido
    esta basado en las propiedades de una geometría
    factorizable, la historia puede cambiar signi…cativamente
    cuando tal consideración sea omitida, talvéz la
    consecuencia más dramática es que quizá
    vivamos en un espaciotiempo de (4 + n)-dimensiones con n
    dimensiones de tipo no compactas, en perfecta compatibilidad con
    la gravedad experimental u observacional. Se muestra que la masa
    de Planck esta determinada por la curvatura de las altas
    dimensiones más que por el tamaño de las
    dimensiones extras. Esta curvatura no entra en con‡icto
    con la invarianza cuadridimensional de Poincaré (De
    acuerdo con el principio de covariancia toda ecuación de
    la teoría de la relatividad especial debe ser invariante
    bajo transformaciones que pertenezcan al grupo de
    Poincaré, así, el grupo de Poincaré se puede
    concebir como el grupo maximal tal que deja invariante todas las
    ecuaciones de la relatividad especial, sin embargo, en general el
    grupo de Poincaré no desempeña ningún papel
    importante en la teoría de la relatividad general, ya que
    el grupo de transformaciones que dejan invariante esa
    teoría en general no incluye un subgrupo homeomorfo al
    grupo de Poincaré. El grupo de Poincaré sin embargo
    sí es importante en la teoría cuántica de
    campos ordinaria la cual no incluye los efectos de la
    gravitación, ya que esa teoría se formula sobre el
    espaciotiempo plano de Minkowski). La razón de lo
    establecido anteriormente, es que la curvatura del espacio
    5-dimensional soporta un “estado acotado”de
    gravitón en altas dimensiones sin masa permaneciendo
    con…nado a una pequeña región del espacio2
    [1] [2] [3]. En el escenario braneworld no se realiza una
    compacti…cación para localizar o garantizar que la
    gravedad cumpla la ley inversa del cuadrado sobre la brane, por
    el contrario se considera que la curvatura del volumen (bulk)
    permite pensar la gravedad de tal forma que cumple con las
    observaciones normales, esto hace que sea posible evitar el
    ‘escape’ de la gravedad en las dimensiones extras,
    ahora bien a bajas energías interviene una constante
    cosmológica de tipo volumétrica (bulk), la cual
    "presiona" la gravedad, esto se relaciona como 5 = 6 2 l2 = 6 2 ,
    (19) donde l es el radio de curvatura del espacio AdS5 y donde es
    la correspondiente escala de energía. Esto es como si la
    constante cosmológica volumétrica actuara para
    presionar el campo gravitacional cercano a la brane. Por lo cual,
    la métrica de los modelos RS, se puede escribir de forma
    general como ds2 = e 2K(y) dx dx + dy2 , (20) donde se ha
    introducido la función K(y); la cual contiene
    información de la dimensión extra. En consecuencia,
    llevando la métrica a la ecuación de campo
    gravitacional[17] [18] [20], obtenemos el siguiente sistema de
    ecuaciones 6K 2 = 2 2 ; 3K = 2 (y) , (21) y asi solucionando la
    primera ecuación se obtiene la siguiente solución
    K(y) = r 2 6 5 y k j y j , (22) que corresponde a la
    función introducida anteriormente, esto nos dice que 5
    debe ser negativa, ahora, si se Z2 (simetría de orbifold o
    periódica sobre una circunferencia); encontramos 6K = 2 ;
    de este modo junto 2 2 como ajuste-…no entre la
    tensión de la brane y la constante cosmológica
    volumétrica, así que mediante un ajuste adecuado
    permite obtener la solución RS estática. En el
    modelo RSI (modelos de dos branes), localizadas en y = 0; y = L;
    con simetría Z2 , además de considerar que en cada
    brane existe una tensión o energía del
    vacío, las cuales son iguales y opuestas, es decir ; con 2
    Es decir, que las ‡uctuaciones o interacciones
    gravitacionales descritas mediante los gravitones permanezcan
    acotadas o con- streñidas a las vecindades de la brane,
    para evitar que la energía de dichas interacciones termine
    escapando. 7

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    5 2 , h i 2 3 luego existe un valor bien de…nido para la
    masa de Planck, incluso si la dimensión adicional es
    in…nita[4]. 5 Centro Colombiano de Cosmología y
    Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL = 3Mp 4 l2 (23) de
    este modo en la brane de tensión positiva existe la escala
    fundamental de energía M5 (llamada brane oculta), y en la
    brane de tensión negativa encontramos localizados los
    campos del Modelo Estándar que están
    con…nados sobre esta brane (llamada brane visible). Debido
    al factor de curvatura exponencial, la escala efectiva sobre la
    brane visible en y = L es la escala de Planck Mp , en donde[3] Mp
    = M5 l 1 e 2L=l , (24) 2 3 expresión que muestra una
    aproximación a la solución del problema de
    jerarquías, cuando L ! 1, Mp = M5 l; En resumén, el
    modelo RSI, propone un mecanismo para solucionar el problema de
    jerarquías introduciendo una dimensión extra
    pequeña, con un espacio intermembrana tipo AdS5 ; no
    obstante en el segundo modelo RSII se introduce una brane con
    tensión positiva en la cual la segunda membrana se remueve
    o lleva al in- …nito, de tal forma que aún si no
    existe la otra brane y la dimensión extra se extiende
    hasta el in…nito, la gravedad permanece efectivamente
    localizada sobre la brane existente, ya que el volumen completo
    permanece …nito cuando la dimensión extra tiende a
    in…nito, esto es lo que se ha propuesto como una
    alternativa a la compacti…cación[16][17][18].
    Modelo de Lykken-Randall En este modelo se combinan los esquemas
    teóricos de RSI y RSII, es decir un modelo de dos branes
    en un bulk cinco-dimensional junto con un modelo de una brane con
    una dimensión extra no compacta, así que
    reuniéndolos se puede obtener una solución adecuada
    al problema de dimensiones extras in…nitas y además
    mantener la solución al problema de jerarquías[26].
    Hemos dicho anteriormente que las dimensiones extras suministran
    una ruta alternativa para tratar algunas cuestiones
    físicas, entre ellas una muy importante conocida como el
    problema de jeraquías de la física de altas
    energías, que se resume en la pregunta ¿Por
    qué la intensidad del campo gravitacional es tan
    débil, en comparación con la intensidad de las
    otras interacciones?[14][15][16]. Se conoce que de la escala de
    Planck se puede derivar la escala energética que describe
    el acople gravitacional a bajas energías, mediante el uso
    de una geometría factorizable simple. Es así como
    se ha propuesto que la escala de Planck del universo
    cudridimensional está relacionada, con un mundo o universo
    existente en altas dimensiones, mediante un factor de volumen
    adecuado. La enorme escala de Planck puede conducir a un acople
    gravitacional débil como una consecuencia del enorme
    volumen en el cual el gravitón se propaga. En este
    escenario se puede obtenr de forma natural una disminución
    de la interacción gravitacional, debido a la presencia del
    enorme volumen generado por las dimensiones extras. La idea es
    que el acople gravitacional débil surge debido a una forma
    partícular o especial de la función de onda que
    describe el gravitón en las dimensiones extras. Se propone
    por lo tanto que el gravitón esté localizado lejos
    del mundo (3+1)–dimensional, es decir "lejos" del mundo
    brane, fuera de la brane sobre la cual residen todos los campos
    del modelo estándar. Por lo tanto se considera que existe
    un enorme valor de la escala de Planck en las dimensiones extras,
    que disminuye o se hace efectivo en cuatro dimensiones, ahora
    bién, si se piensa que la función de onda del
    gravitón se origina con pequeñas amplitudes, de tal
    modo que ellas inducen una "pequeña escala de Planck"
    sobre la brane que habitamos, es decir la función de onda
    con pequeñas amplitudes interactua con la brane,
    sintiéndose o re‡ejandose dicha interacción
    como una manifestación de la escala de Planck inducida en
    la brane. La geometría de una única brane con una
    densidad de energía cosmológica se puede ajustar
    para garantizar la invarianza de Poincaré que toma la
    forma matemática de ds2 = e 2kjyj dx dx + dy2 , (25) el
    aspecto notable que describe ésta geometría es que
    da origen a un campo de gravitones localizado, es decir da origen
    a un único estado acotado gravitacional. El nuevo hecho
    aquí es que el fondo geométrico creado da
    origén a un estado acotado único. Puede entonces
    considerarse que este modo de oscilación juega el rol del
    gravitón de 8

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    5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    MODELO DE LYKKEN-RANDALL un mundo cuadridimensional, y es
    responsable de reproducir todos los efectos de la gravedad
    cudridimensional. Con la perspectiva de generar la
    jerarquía de masas entre las escalas de Planck y la escala
    electrodébil, se cuenta con la correspondencia de esta
    geometría en la quinta dimensión y la escala de
    masa total. Lo anterior, puede ser entendido debido a que el
    factor de curvatura es un factor conformal. Sin embargo, desde la
    perspectiva de la generación de jerarquía de masas
    es importante recalcar la correspondencia existente entre la
    escala de Planck y la escala electrodébil para todas las
    escalas de masa posibles. El factor de masa es re-escalado
    mediante este factor, así que una escala natural para el
    paramétro de masa debe ser de MP l = 1019 GeV sobre una
    brane en el origen. Está observación fue explotada
    introduciendo una geometría de orbifold. Si el modelo
    estándar está localizado sobre una segunda brane,
    la amplitud del gravitón es exponencialmente suprimida o
    reducida generando una jerarquía de masas. La desventaja
    potencial de este sistema es la necesidad de involucrar objetos
    de energía negativa y la geometría de orbifold.
    Aunque nada los relaciona, es deseable contar con un sistema
    alternativo involucrando sólo objetos de energía
    positiva. Las ventajas de este sistema son, la existecia de
    objetos de energía positiva, llamados D-branes y
    NS-branes, que están bien entendidos y sobre los cuales
    los campos gauge y los campos de materia estarían
    localizados así que los campos del modelo estándar
    pueden ser situados allí. Algunos aspectos potencialmente
    problemáticos de ésta cosmología aún
    no se han logra comprender claramente. Existe una ventaja de tipo
    estática la cual permite un espacio de dimensión
    in…nita en la cual la escala de masas está asociada
    con una localización de…nida en el espacio. Si se
    permite que todas las escalas de masa, distribuidas en la quinta
    dimensión, presumiblemente tendrían mejores
    posibilidades para tratar las di…cultades
    cosmológicas. También se tiene una mejor
    oportunidad para explotar las ideas holográ…cas. Se
    demuestra que se puede tratar el problema de jerarquías
    con unicamente objetos de energía positiva, combinando la
    consistencia de vivir en una quinta dimensión
    in…nita, se puede generar una jerarquía viviendo
    lejos de la brane sobre la cual la gravedad está
    localizada. La cuestión crucial es si un observador sobre
    esta brane de T eV observa una teoría consistente de la
    gravedad, se ha mostrado que si se mira una teoría de la
    gravedad que está muy cercana a la teoría
    gravitacional cuad- ridimensional y si se vive sobre la brane en
    la cual está localizada el gravitón. Pero,
    aún para un observador bastante lejos de la brane, se
    obtiene una teoría gravitacional aceptable, esencialmente
    indistinguible, desde el mundo cudridimensinal. La imágen
    que emerge es notablemente hermosa. El gravitón
    está localizado sobre una brane que la llamamos brane de
    Planck. Vivimos sobre una brane separada de la brane de Planck
    alrededor de 30 longitudes de Planck en la quinta
    dimensión. Sobre esta brane la escala de masas es
    suprimida exponencialmente, conduciendo de esta forma a la
    generación, de forma natural, de la escala
    electrodébil. De otra parte, la máxima escala que
    podemos probar sobre nuestra brane es del orden de la escala de T
    eV , ya que todos los modos de oscilación de las posibles
    "cuerdas" se hacen fuertemente interactuantes en esta escala. El
    aspecto potencialmente peligroso de este sistema es la enorme
    multiplicidad de modos Kaluza-Klein arbitrariamente livianos. Se
    ha mostrado que una señal de la dimensión extra
    in…nita es un continuo sin brechas de modos KK, asi,
    claramente si estos modos estuvieran fuertemente acoplados, la
    teoría sería desastroza, ya que las pruebas
    gravitacionales y de física de partículas
    debería ser violada fuertemente. La teoría se
    incorpora entre un mundo cuadridimensional y uno cinco
    dimensional, los observadores sobre la brane T eV observan los
    modos por debajo de T eV como un acople débil. Los modos
    mayores de T eV están más fuertemente acoplados, y
    pueden en principio reproducir los resultados cinco dimensionales
    esperados. General- izando a una localización
    arbitraría, nunca se reconoce la geometría de altas
    dimensiones, independientemente de la localización, el
    mundo aparece o surge a bajas dimensiones y bajas
    energías. Entonces, tenemos el siguiente sistema, una
    brane de Planck, o conjuntos de branes, sobre la cual los modos
    cero del gravitón estan localizados o con…nados
    exponencialmente decayendo en una dirección fuera de la
    brane o en la dirección y de la dimensión extra. El
    nuevo hecho es que se cuenta con una única brane, o
    multiples branes localizadas a una distancia y0 desde esta brane,
    donde e ky0 = T eV =MP l , donde k se relaciona con la constante
    cosmológica sobre la brane y determina la
    atenuación exponencial del gravitón. La nueva brane
    puede ser considerada como una prueba de la geometría
    determinada por la brane de Planck, lo uno o lo otro se asume,
    que la brane tiene una gran tensión, o que consiste de un
    gran conjunto de branes. Parece que realmente la inclusión
    de una pequeña tensión (energía del
    vacío) en la brane no afecta sustancialmente el resultado.
    También notése, que no tratamos la cuestión
    de determinar la localización y0 aquí, aunque el
    mecanismo que estabiliza la geometría del orbifold debe
    también debe ser aplicado. 9

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    5 1 2 Z 1 , 1 , , , m z , . Centro Colombiano de
    Cosmología y Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL
    Es claro que los modos cero generan consistentemente la gravedad.
    Si tomamos la coordenad y = 0 como la localización de la
    brane de Planck, se puede facilmente derivar MP l = 2 e 2ky M 3
    dy = M 3 , (26) 0 k así que con M y k y tomando del orden
    de MP l = 1019 GeV , los modos cero están correctamente
    acoplados a la gravedad generada cuadridimensional. Por lo tanto
    de los modos adicionales KK tenemos que, los modos propios del
    gravitón se pueden expresar como 0 (z) = 1 1 k(j z j + k
    )3=2 (27) donde la coordenada z se relaciona con y por la
    expresión z = 1 k sgn(y)(ekjyj 1) , (28) para la brane de
    T eV con z = z0 1T eV : Igualmente para los modos continuos
    tenemos m 1 1 Nm (j z j + k )1=2 Y2 (m(j z j + k )) + 4k2 m2 1 J2
    (m(j z j + k )) (29) donde m es la masa de los modos, Y2 ; J2 son
    funciones de Bessel para mz grande, los modos se comportan
    asintóticamente como ondas planas cuyas formas
    asintóticas de las funciones de Bessel son p zJ2 (mz) r 2
    m Cos(mz 5 4 ) , (30) p zY2 (mz) r 2 m Sen(mz 5 4 ) , (31) donde
    la constante de normalización está determinada por
    el comportamiento de ondas planas con Nm = m5=4 4k2 (32) es
    importante considerar que esto corresponde a un acople en
    situaciones límites. Se puede encontrar un potencial entre
    dos masas m1 , m2 dado por el cual conduce a V = GN m1 m2 r + Z0
    1 dm k m GN e mr k m1 m2 r (33) V GN m1 m2 r (1 + e3ky0 kr ) .
    (34) Así, la forma arbitraria de la función de
    Bessel para mz pequeño es p zJ2 (mz) 1 2 5=2 8 (35) p zY2
    (mz) 4 m2 z3=2 z1=2 (36) De este modo emerge una imágen
    convincente, en la cual el mundo es cincodimensional, y la
    coordenada y se extiende hasta el in…nito. Sin embargo
    para algun observador localizado en y0 , los modos de masa mayor
    a MP l e kjy0 j están fuertemente acoplados. La amplitud
    de los modos "livianos" sobre la brane en y0 son 10

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    6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
    REFERENCES suprimidos. Los modos "pesados" son también
    suprimidos por la ley exponencial ya que la métrica debe
    ser plana. Así que el observador con…nado a la
    brane observará la gravedad como esencialmente
    cuadridimensional, nada notable donde está localizada la
    brane. Podemos vivir con una dimensión extra
    in…nita y simplimente no la conoceremos. Este nuevo lugar
    de encuentro ofrece nuevos caminos para tratar importantes
    problemas en cosmología y gravedad. No hay efecto medible
    directo de una dimensión in…nita, pero tampoco se
    descarta su existencia[19][20][21][22]. Conclusiones El escenario
    descrito anteriormente es bastante tentativo. Una vez más
    con dimensiones in…nitas, se espera que en la
    teoría gravitacional exista una correspondencia con la
    teoría gauge y con el límite ultravioleta de
    teoría de campos. Se ha dicho que en este modelo existe
    una correspondencia entre la localización y de la brane y
    la escala de masa determinada por la forma del modo cero del
    graviton. Además se muestra que la exitación KK no
    inter…ere con la imagen suministrada aquí, por el
    contrario contribuyen con pequeñas correcciones a la
    teoría de la gravedad, como también a
    energía su…encietemente baja. En este nuevo punto
    de convergencia de diferentes teorías se proporciona una
    nuevo camino para considerar importantes problemas en
    cosmología y gravedad. Este es un marco teórico
    bastante sugestivo, pero al tiempo plagado de suposiciones, claro
    esta que son coherentes y lógicas desde el punto de vista
    de teorías fundamentales, es de esperar que en el futuro
    se decante todo este esquema teórico conduciendo a dos
    cosas, o bién la naturaleza es absolutamente simple y no
    requiere estas suposiciones, o bién puede ser mucho
    más compleja de lo que muestran estos escuetos
    análisis teóricos. Como elemento general podemos
    destacar que este tipo de modelos, aunque hipotéticos,
    permiten reproducir sin mayores modi…caciones lo conocido
    de la física estándar, esto sólo es
    coherencia en el sistema y consistencia, pero no quiere decir que
    la naturaleza sea asi, en el futuro con resultados concretos,
    experimentos especiales y observaciones detalladas y
    metículosas, se descartarán estos modelos o
    deberán tomarse verdaderamente en serio. Finalmente se
    comenta, que no existe en el presente una prueba observacional
    directa o experimental que permita considerar los modelos brane
    como reales o ciertos, pero no pueden descartarse tampoco, ya que
    son consecuencia de un análisis lógico y coherente
    de las teorías y marcos conceptuales de la física
    actual. References [1] M. Szydlowski, M. P. Dabrowski, W.
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