1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Modelos Braneworld Combinados Alexander Moreno Sánchez
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Bogotá. D. C, Colombia. amorenosa@unal.edu.co Recibido
01-03- 2014; Aceptado 30 – 03- 2014; Publicado en línea 10
– 10 – 2014 Resumen La ciencia física en los
últimos años ha desarrollado varios esquemas
teóricos que confrontan la asombrosa realidad natural con
nuestra limitada capacidad de análisis y
comprensión de aquello que llamamos realidad. La
teoría del llamado braneworld o mundos membrana, es un
espectacu- lar marco teórico que en principio
uni…ca varias teorías físicas, y ofrece
múltiples alternativas de explicación y
comprensión de la intrincada realidad oculta de la
naturaleza. En este corto trabajo se muestra el esquema
teórico del modelo braneworld que uni…ca el modelo
de Randall-Sundrum y el modelo de Lykken, se colocan algunos
resultados y se enuncian algunas conclusiones. PACS : 04.50.-h,
04.50.Kd, 14.70.Kv Palabras Claves: Mundobrane, dimensiones
adicionales, reducción KK, gravitones, compacti…c-
ación. Abstract Physical science in recent years has
developed several theoretical schemes facing the amazing natural
reality with our limited capacity for analysis and understanding
of what we call reality. Theory called braneworld or membrane
worlds is a great theoretical framework that in principle
uni…es various physical theories, and o¤ers
multiple alternatives of explanation and understanding of the
intricate hidden reality of the nature. In this short paper shown
the theoretical framework of the braneworld model that
uni…es the Randall-Sundrum model and the model Lykken,
some results are placed and some conclusions are drawn. PACS :
04.50.-h, 04.50.Kd, 14.70.Kv Keywords: Braneworld, extra
dimensions, reduction KK, gravitons. compacti…cation. c
2014. Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica. Todos los derechos reservados.
Introducción En estos momentos, donde todo transcurre tan
rápido, parecen un poco lejanos los modelos propuestos por
Randall y Sundrum, quienes exhibieron un par de modelos cuyo
objetivo principal era mostrar por qué la gravedad es tan
débil en comparación con las otras interacciones,
en otros palabras decidieron proponer una solución al
llamado problema de jerarquías. Una de las
características principales de dichos modelos es la
de
2 2 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
MODELOS CON DIMENSIONES EXTRAS considerar una dimensión
espacial no compacta, en claro contraste con los modelos de
dimensiones adicionales compactas. En tales modelos, cuyo
origén primordíal hay que buscarlo en la
teoría de cuerdas y en teoría-M, el universo tal
cual lo conocemos se encuentra contenido en las llamadas branas,
algo así como un tapíz donde los grabados y
…guras representan el universo; considero que está
es una idea sumamente atractiva, evocativa, y altamente
signi…cativa, considerar que nuestro universo es como una
membrana que gracilmente se agita en un volumen extenso es sin
duda una idea bastante elegante y consecuente con nuestro
paulatino alejamiento del geocentrismo; nuestro planeta dejo de
ser el centro del universo, después nuestro sol dejo de
ser el centro del universo, posteriormente, se encontro que
estamos inmersos en un enorme sistema llamado galaxia, la cual
tampoco es el centro del universo, en las últimas
décadas se han encontrado una serie de estructuras
materiales y energéticas de creciente tamaño y
complejidad dando origen a lo que llamamos estructura a gran
escala del universo, y por lo que se puede inferir es posible que
se encuentren estrucutras más asombrosas y enormes en el
tejido espaciotemporal, ello ha venido poco a poco
con…gurando la imagén del universo, que hasta donde
se conoce tuvo un origen especí…co, tiene unas
estructuras impresionantes, acompañadas de una
dinámica extraordinaria, y es posible que el universo como
lo conocemos se transforme en algo totalmente nuevo o termine
diluyéndose o desapareciendo totalmente, ¡¡he
ahí el misterio de la cosmología!!. Ahora,
bién, el modelo de braneworld considero (opinión
personal), continua este proceso de categorización, y
ahora parece ser que todo nuestro universo resulta ser como una
membrana en un volumen de dimensiones adicionales o extras,
análogo a lo que se conjetura en modelos de multiverso
donde el universo conocido es un burbuja en
in‡ación o que sufrió un proceso
in‡acionario, en una pletora de universos que se crean
continuamente. Bueno, como se dijo anteriormente, la idea del
braneworld es bastante sugestiva, entonces imaginemos algunas
cosas, o tratemos de contestar o planetar algunas preguntas,
¿Que apreciaría un observador fuera de la brane?,
bueno si pensamos en un observador fuera de la brane, lo primero
que notaríamos es que no observa nada porque no existe
radiación electromagnética, pero percibe la
gravitación, es decir podría realizar experimentos
gravitacionales y encontrar que por lo menos localmente hay
efectos gravitacionales, y quizá también perciba
otros campos similares a la gravedad, si vamos un poco más
allá este observador consciente, posiblemente pueda
desarrollar un equipo que le permita detectar la presencia de las
branas, las cuales percibiría como unas láminas o
paquetes energéticos, con movimientos intrínsecos
muy complejos, a decir verdad este es un escenario realmente
nuevo. Quizá, podríamos preguntar también,
¿Por qué no detectamos la presencia del bulk o de
las dimensiones extras, pudiera ser que debido a que nos
encontramos "como encerrados o atrapados" en la brane, las
interacciones electromagnéticas no pueden propagrarse
más allá del horizonte de…nido por la brane,
es la gravitación o en otros términos la
geometría de la brane quien de…ne el grado de
interacción con ese llamado bulk. También se puede
preguntar cómo se observa la expansión
cosmológica desde el bulk o desde la brane, puede
inferirse que desde la brane observaríamos la
expansión como la hemos observado de tiempo atrás,
pero desde el bulk quizá se observe como un
auténtico globo que se expande siguiendo alguna
dinámica especial. Como se puede observar el tema es
bastante especulativo, pero también bastante lógico
y coherente con muchos resultados físicos conocidos hoy
día Los modelos de braneworld tienen como base los modelos
desarrollados por Randall y Sundrum hacía 1999,
posteriormente se han desarrollado otros muchos modelos, se han
incorporado campos escalares, vectoriales, otras dimensiones,
simetrías, dimensiones compactas y no campactas, entre
otros muchos elementos; pero pienso que los modelos inicialmente
propuestos rompen los esquemas convencionales y determinan un
punto de partida diferente y especial para comprender muchos
fenómenos que continuan sin clara explicación ni
fundamentación teórica. Aquí, en este corto
artículo, sólo quiero considerar, un modelo que es
el modelo combinado de Randall y Sun- drum, es decir combinar los
modelos RSI y RSII, el cual se conoce como modelo
Lykken-Randall.[1][2][3][4][5][6][7]. Modelos con dimensiones
extras Aquí se muestra de forma genérica el
telón de fondo sobre el que se desarrolla la idea de
dimensiones adicionales y de braneworld. El estudio de los
modelos teóricos de campos en el espaciotiempo con
dimensiones espaciales extras fueron iniciados por Kaluza-Klein,
éstos daban origen a una aproximación
teórica de campos, para la 2
2 (2) Z m (n) X Z G Z h i 1 p (0) 1 1=2 d+2 (8) 1 Centro
Colombiano de Cosmología y Astrofísica MODELOS CON
DIMENSIONES EXTRAS descripción de interacciones de
partículas en un espaciotiempo multidimensional. Una
fuerte motivación para la aproximación KK proviene
de la teoría de cuerdas en donde la multidimensionalidad
del espaciotiempo se requiere para una formulación
consistente. Recientemente modelos con dimensiones extras de un
nuevo tipo, llamados modelos ADD y RS, se han propuesto como
esquemas de altas dimensiones. Fueron diseñados para
suministrar una novedosa solución al problema de
jerarquías en altas energías. Muchos hechos
esenciales de estos modelos eran inherentes en la
aproximación KK. También muchas ideas y conceptos
recientemente descubiertos en teoría de cuerdas y
teoría M, han sido incorporados en tales
modelos[8][9][10]. La aproximación KK se basa en la
hipótesis de que el espaciotiempo es un espacio
pseudo-euclideano con (4+d)-dimensiones, es decir que se puede
obtener como un producto topológico E4+d = M4 Kd (1) donde
M4 es el espaciotiempo cuadridimensional y Kd es un espacio
compacto d-dimensional de tamaño carac- terístico
R. Ahora bién, si se introducen coordenadas locales sobre
dicho espacio, se pueden denotar como xM = fx ; ym g , con M = 0;
1; 2; ::::; 3 + d , = 0; 1; 2; :: , m = 1; 2; ::; d , en
consecuencia con el producto directo o con la estructura del
producto directo del espaciotiempo, la medida de distancias o
métrica que usualmente se escoge se puede obtener como ds2
= GM N (x)dxM dxN = g (x)dx dx + mn (y)dy m dyn . (3) Ahora bien,
consideremos el espaciotiempo de Minkowski, con un campo escalar
(4+d)-dimensional, donde la integral de acción
estará dada por S = d4+d xp G 1 2 (@M )2 1 2 2 2 1 4!
g(4+d) 4 , (4) de este modo para interpretar la teoría
como un campo escalar cuadridimensional efectivo expansión
en series de Fourier se recurre a una (x; y) = (x)Yn (y) , n
donde las funciones Yn (y) son funciones propias normalizadas
ortogonales del operador de Laplace espacio Kd , de tal forma que
Kd (5) en el Kd Y(n) (y) = n R2 Y(n) (y) , (6) aquí n es
un multi-índice que marca los valores propios (n) de las
funciones propias Y(n) (y): En el caso de una
compacti…cación toroidal se identi…ca el
espacio de dimensiones adicionales como Kd = T d , con T d un
toro d-dimensional con radio igual a R, así de este modo
se hace más simple el análisis, y si consideramos
el caso de la gravedad (4+d)-dimensional, la cual se puede
obtener de la acción dada por SE = d4+d xp 1 16 G(4+d)
R(4+d) [GM N ] , (7) donde el escalar de curvatura que pued
calcular con ayuda de la métrica GM N ; así de este
modo, desarrollando la expansión en modos propios e
integrando sobre Kd se llega a la integral de acción
cuadridimensional SE = d4 x gf R(4) gM N + ::::::g , 16 GN (4) y
de esta manera se identi…ca GN (4) = Vd GN (4+d) , MP l =
(GN (4) ) = 1:2 1019 GeV , M = (GN (4+d) ) con lo cual 3
3Astrofísica 2 m ) , m : 1 3 y = R son puntos …jos
de la identi…cación-Z2 : Una 3-brane, o hiperplano
tridimensional, puede jugar el rol de ny (n) X ny (n) X Centro
Colombiano de Cosmología y MOTIVACIÓN PARA UNA
TEORÍA DE CUERDAS Y TEORÍA-M MP l = Vd M d+2 : (9)
La cota o valor límite sobre el tamaño de R; puede
ser derivado de la ausencia de señales de exitación
de modos KK en las partículas del Modelo Estándar,
con los datos disponibles hoy día se in…ere un
valor para la masa de los posibles modos KK-masivos dada por m1 1
R > 1T eV , (10) Un elemento fundamental en el análisis
de teorías con dimensiones extras tiene que ver con la
llamada localización de campos, o en otros términos
la restricción que deben tener los campos conocidos sobre
la brane, esto constituye un ingrediente esencial, los mecanismos
de localización de campos sobre las branes aseguran
coherencia y consistencia con la observación.
Inicialmente, se considerá la teoría del campo
escalar (x; y); con un potencial de…nido como V ( )= 1 4 (
2 1 2 2 (11) es sencillo chequear que existe un tipo de
solución que depende de la quinta coordenada o de la
dimensión extra, lo cual conduce a una solución
dada por cl (y) 1 1 = p mT anh p2 m(y y0 ) , (12) de tal forma
que la densidad de energía de esta
con…guración está localizada en la vecindad
del hiperplano y = y0 en una región de espesor El espectro
de ‡uctuaciones cuánticas o modos KK alrededor del
tipo de solución incluye a los modos cero (correspondiente
a la simetría translacional de la teoría), un modo
masivo y un continuo de estados. A muy bajas energías solo
los modos discretos son excitados, y efectivamente la
teoría describe campos moviéndose dentro del pozo
de potencial a lo largo del plano y0 : El modelo suministra un
ejemplo de localización dinámica de campos sobre el
hiperplano el cual juega el rol de espacio tridimensional inmerso
en el espacio cuadridimensional. Este hiperplano es referido como
una tre-brane o "pared". Si la energía de los modos es lo
su…cientemente alta el espectro continuo es excitado, y
una manifestación posible de esto puede hacerse efectiva
con partículas escapando hacia la quinta dimensión.
De manera similar los fermiones acoplados a los campos escalares
pueden estar localizados sobre la brane[23][24][25].
Motivación para una teoría de cuerdas y
teoría-M Un caso importante es cuando el espacio de
dimensiones extras es un orbifold, que se de…ne como si se
considerará un círculo S1 de radio R y se denotaran
sus puntos por y; entonces el orbifold es construído por
identi…cación de puntos los cuales se relacionan
por la transformación Z2 (simetría de espejo), tal
que, y ! ( y) : En consecuencia tenemos la
identi…cación usual de puntos S1 debido a la
periodicidad y ' (y + 2 R) , donde y = R; nuestro mundo
tridimensional, el cual se puede localizar en estos puntos
…jos. En el caso de la compacti…cación del
orbifold todos los campos multidimensionales se pueden describir
por funciones pares o impares, es decir (x; y) = (x; y); o
también (x; y) = (x; y); así que sus modos de
descomposición son de la forma 1 (x; y) = (x)Cos , si (x;
y) es par , (13) R n=0 1 (x; y) = (x)Sen , si (x; y) es impar ,
(14) R n=0 un hecho importante de teoría de cuerdas es que
existen las con…guraciones de p-branes las cuales
constituyen gauges y otros grados de libertad. 4
3Astrofísica Centro Colombiano de Cosmología y
MOTIVACIÓN PARA UNA TEORÍA DE CUERDAS Y
TEORÍA-M Figure 1: Este esquema muestra un gran espacio el
bulk y dos D4-branes, en teoría de cuerdas Tipo I. Otro
hecho importante es que existe una compacti…cación
consistente de los límites 11D de la teoría-M,
considerada como una teoría de todas las cosas, bajo
(3+1)-dimensiones. El camino de la compacti…cación
no es único, por ejemplo, en el regimén no
perturbativo de la teoría de cuerdas heteróticas E8
E8 puede ser identi…cado como el límite 11D de la
teoría-M con una dimensión compacti…cada en
el orbifold S1 =Z2 y con un conjunto de campos gauge E8 en cada
uno de los 10D puntos …jos del orbifold.
Compacti…cando esta teoría sobre una variedad
Calabi-Yau se llega a una teoría la cual, para ciertos
rangos de energía, se comporta como un modelo
supersimétrico (SUSY) cinco-dimensional N=1 con una
dimensión compacti…cada sobre S1 =Z2 : Adicional a
las motivaciones anteriores dadas para construir teoría de
cuerdas o teoría-M, se tienen otras motivaciones para
elaborar dichos escenarios, por ejemplo. El …nal de una
cuerda abierta está restringida a D4-branes en el
espaciotiempo 11-dimensional. Las excitaciones de cuerdas
abiertas incluyen bosones gauge, campos escalares y fermiones. La
teoría efectiva a bajas energías de estas
excitaciones se supone que contienen el Modelo Estándar
(MS), de este modo los campos del MS están localizados
sobre las D4-branes. Ahora bién, las cuerdas cerradas se
propagan en el bulk, es decir en todo el espaciotiempo. Las
excitaciones de cuerdas cerradas incluyen el gravitón, por
lo tanto la gravedad se propaga en el bulk. Una imagén
esquemática del espaciotiempo en la teoría de
cuerdas tipo-IA, se puede esquemátizar en la …gura
anexa. Las D4-branes contienen tres-dimensiones como de espacio
no compactos, correspondiente a nuestro espacio usual, y una
dimensión compacti…cada en el círculo S1 de
radioR. En la medida que se aleja del resto de las dimensiones
que son concernientes, la quinta dimensión espacial o una
parte de ella puede formar un espacio compacto de tamaño
característico R. La asunción R >> r no
parece ser imposible, esto es motivado por el hecho de que en
teoría de cuerdas se tiene la siguiente relación
5
4 4 coordenada adicional o dimensión extra de la
función B2 (y), así obtenemos[1][2] 5 i j 2 ij ij 2
compacti…cación, es decir como un manera diferente
de estudiar y de introducir dimensiones adicionales de tipo 2
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
MODELO DE RANDALL-SUNDRUM Mstring = MP l p k GU T 2 , (15) por lo
tanto la relación Mstr << MP l y R 1 1 Mstr >>
MP L r lo cual no es inconsistente con la teoría de
cuerdas. Con esta posibilidad en mente existe la propuesta de
escenarios donde parte de la dimensión compacta tiene un
tamaño relativamente grande, por ejemplo R 1 10M eV , r 1
1T eV , con lo cual se asume que para alcanzar el radio de
curvatura de la brane debemos explorar energías del orden
de los TeV. Otro aspecto importante es la posibilidad de
uni…car la interacción débil y fuerte a un
escala menor de masa o energía, digamos MGU T 10T eV , o
quizá también permita, la existencia de un
mecánismo de rompimiento SUSY sobre la brane, entonces el
rompimineto SUSY es comunicado a la brane MS vía campos en
el bulk. Pueden, existir otras razones para explorar modelos
físicos en altas dimensiones pero no es el tema de este
corto artículo[11][12][13][14][15]. Modelo de
Randall-Sundrum Considerando una métrica general, que de
cuenta de soluciones de tipo cosmológico, tal como ds2 = N
2 (t; y)dt2 + A2 (t; y) ij dxi dxj + B2 (t; y)dy2 , en la cual
podemos hacer B2 (y) ! 1 , con lo cual se deja independiente la
ds4+1 = N 2 (y)dT 2 + A2 (y) ij dx dx + dy2 , (16) entonces
podemos simpli…car ds4+1 = N 2 (y) + A2 (y) dx dx + dy2 ,
(17) 2jyj de tal forma que se puede hacer la siguiente
identi…cación1 N 2 (y) ij + A2 (y) ij = e l : Esta
identi…cación general permitirá desarrollar
el modelo de braneworld y solucionar en principio el problema de
jerarquías, el cual es un problema fundamental en la
física de altas energías. En el marco de los
modelos de braneworld, como por ejemplo en los modelos de Randall
y Sundrum, se considera que las branes estan sumergidas en un
espaciotiempo AdS5 ; en donde se puede introducir un sistema de
coordenado gaussiano normal, así que las cooordenadas en
tal espaciotiempo se pueden denotar como x = (xa ; y) con lo cual
puede considerarse que la métrica adopta la siguiente
expresión[3][4] ds2 = e 2Kjyj dx dx + dy2 , (18) el factor
de curvatura exponencial, introducido anteriormente,
signi…ca que el volumen en el espacio 5D se puede hacer
pequeño cuando y se hace grande. En su primer
artículo Randall y Sundrum mostraron que la
jerarquía entre la escala electrodébil de T eV y la
aparente escala de Plank de 1019 GeV , se puede explicar por el
factor de curvatura, aún si el tamaño de la
dimensión extra es relativamente pequeña (distancia
entre branes). Ya en su segundo artículo mostraron que si
no existía una segunda brane, y la dimensión extra
se extendía al in…nito, la gravedad puede permanece
efectivamente localizada sobre la única brane existente,
ya que el volumen integrado permanece …nito cuando y ! 1,
esta es la razón por la cual se propuso este modelo como
una alternativa a la espacial in…nitas. El éxito
experimental de la ley Inversa del Cuadrado y de la Teoría
General de la Relatividad, es que parece que en todas las
situaciones se implican cuatro dimensiones espaciotemporales no
compactas (universo 3+1). De otra parte, la concepción
clásica o tradicional es que las dimensiones adicionales
pueden ser aceptadas tan sólo si ellas son compactas y
su…cientemente pequeñas para ser consistentes con
las pruebas gravitacionales corrientes, como también si
existen n-dimensiones extras compactas, la escala de Planck, debe
relacionarse con la escala gravitacional en altas dimensiones,
mediante MP l = M 2+n Vn ; donde Vn , es el volumen del espacio
n-dimensional. 1 En realidad la métrica Randall-Sundrum
tiene su origén en la teoría de cuerdas,
propiamente dicha, y es allí donde se encuentra plenamente
justi…cado el factor de curvatura exponencial. 6
4 2 integra la segunda ecuación desde " a +" y tomando el
límite " ! 0; y en consideración de la
simetría 6 ; que es la expresión análoga a
lo que se conoce con K(y) = k j y j conduce a una relación
para 5 = Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica MODELO DE RANDALL-SUNDRUM El modelo
Randall-Sundrum, muestra que nada de lo establecido
anteriormente, es necesariamente cierto, ya que lo establecido
esta basado en las propiedades de una geometría
factorizable, la historia puede cambiar signi…cativamente
cuando tal consideración sea omitida, talvéz la
consecuencia más dramática es que quizá
vivamos en un espaciotiempo de (4 + n)-dimensiones con n
dimensiones de tipo no compactas, en perfecta compatibilidad con
la gravedad experimental u observacional. Se muestra que la masa
de Planck esta determinada por la curvatura de las altas
dimensiones más que por el tamaño de las
dimensiones extras. Esta curvatura no entra en con‡icto
con la invarianza cuadridimensional de Poincaré (De
acuerdo con el principio de covariancia toda ecuación de
la teoría de la relatividad especial debe ser invariante
bajo transformaciones que pertenezcan al grupo de
Poincaré, así, el grupo de Poincaré se puede
concebir como el grupo maximal tal que deja invariante todas las
ecuaciones de la relatividad especial, sin embargo, en general el
grupo de Poincaré no desempeña ningún papel
importante en la teoría de la relatividad general, ya que
el grupo de transformaciones que dejan invariante esa
teoría en general no incluye un subgrupo homeomorfo al
grupo de Poincaré. El grupo de Poincaré sin embargo
sí es importante en la teoría cuántica de
campos ordinaria la cual no incluye los efectos de la
gravitación, ya que esa teoría se formula sobre el
espaciotiempo plano de Minkowski). La razón de lo
establecido anteriormente, es que la curvatura del espacio
5-dimensional soporta un “estado acotado”de
gravitón en altas dimensiones sin masa permaneciendo
con…nado a una pequeña región del espacio2
[1] [2] [3]. En el escenario braneworld no se realiza una
compacti…cación para localizar o garantizar que la
gravedad cumpla la ley inversa del cuadrado sobre la brane, por
el contrario se considera que la curvatura del volumen (bulk)
permite pensar la gravedad de tal forma que cumple con las
observaciones normales, esto hace que sea posible evitar el
‘escape’ de la gravedad en las dimensiones extras,
ahora bien a bajas energías interviene una constante
cosmológica de tipo volumétrica (bulk), la cual
"presiona" la gravedad, esto se relaciona como 5 = 6 2 l2 = 6 2 ,
(19) donde l es el radio de curvatura del espacio AdS5 y donde es
la correspondiente escala de energía. Esto es como si la
constante cosmológica volumétrica actuara para
presionar el campo gravitacional cercano a la brane. Por lo cual,
la métrica de los modelos RS, se puede escribir de forma
general como ds2 = e 2K(y) dx dx + dy2 , (20) donde se ha
introducido la función K(y); la cual contiene
información de la dimensión extra. En consecuencia,
llevando la métrica a la ecuación de campo
gravitacional[17] [18] [20], obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones 6K 2 = 2 2 ; 3K = 2 (y) , (21) y asi solucionando la
primera ecuación se obtiene la siguiente solución
K(y) = r 2 6 5 y k j y j , (22) que corresponde a la
función introducida anteriormente, esto nos dice que 5
debe ser negativa, ahora, si se Z2 (simetría de orbifold o
periódica sobre una circunferencia); encontramos 6K = 2 ;
de este modo junto 2 2 como ajuste-…no entre la
tensión de la brane y la constante cosmológica
volumétrica, así que mediante un ajuste adecuado
permite obtener la solución RS estática. En el
modelo RSI (modelos de dos branes), localizadas en y = 0; y = L;
con simetría Z2 , además de considerar que en cada
brane existe una tensión o energía del
vacío, las cuales son iguales y opuestas, es decir ; con 2
Es decir, que las ‡uctuaciones o interacciones
gravitacionales descritas mediante los gravitones permanezcan
acotadas o con- streñidas a las vecindades de la brane,
para evitar que la energía de dichas interacciones termine
escapando. 7
5 2 , h i 2 3 luego existe un valor bien de…nido para la
masa de Planck, incluso si la dimensión adicional es
in…nita[4]. 5 Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL = 3Mp 4 l2 (23) de
este modo en la brane de tensión positiva existe la escala
fundamental de energía M5 (llamada brane oculta), y en la
brane de tensión negativa encontramos localizados los
campos del Modelo Estándar que están
con…nados sobre esta brane (llamada brane visible). Debido
al factor de curvatura exponencial, la escala efectiva sobre la
brane visible en y = L es la escala de Planck Mp , en donde[3] Mp
= M5 l 1 e 2L=l , (24) 2 3 expresión que muestra una
aproximación a la solución del problema de
jerarquías, cuando L ! 1, Mp = M5 l; En resumén, el
modelo RSI, propone un mecanismo para solucionar el problema de
jerarquías introduciendo una dimensión extra
pequeña, con un espacio intermembrana tipo AdS5 ; no
obstante en el segundo modelo RSII se introduce una brane con
tensión positiva en la cual la segunda membrana se remueve
o lleva al in- …nito, de tal forma que aún si no
existe la otra brane y la dimensión extra se extiende
hasta el in…nito, la gravedad permanece efectivamente
localizada sobre la brane existente, ya que el volumen completo
permanece …nito cuando la dimensión extra tiende a
in…nito, esto es lo que se ha propuesto como una
alternativa a la compacti…cación[16][17][18].
Modelo de Lykken-Randall En este modelo se combinan los esquemas
teóricos de RSI y RSII, es decir un modelo de dos branes
en un bulk cinco-dimensional junto con un modelo de una brane con
una dimensión extra no compacta, así que
reuniéndolos se puede obtener una solución adecuada
al problema de dimensiones extras in…nitas y además
mantener la solución al problema de jerarquías[26].
Hemos dicho anteriormente que las dimensiones extras suministran
una ruta alternativa para tratar algunas cuestiones
físicas, entre ellas una muy importante conocida como el
problema de jeraquías de la física de altas
energías, que se resume en la pregunta ¿Por
qué la intensidad del campo gravitacional es tan
débil, en comparación con la intensidad de las
otras interacciones?[14][15][16]. Se conoce que de la escala de
Planck se puede derivar la escala energética que describe
el acople gravitacional a bajas energías, mediante el uso
de una geometría factorizable simple. Es así como
se ha propuesto que la escala de Planck del universo
cudridimensional está relacionada, con un mundo o universo
existente en altas dimensiones, mediante un factor de volumen
adecuado. La enorme escala de Planck puede conducir a un acople
gravitacional débil como una consecuencia del enorme
volumen en el cual el gravitón se propaga. En este
escenario se puede obtenr de forma natural una disminución
de la interacción gravitacional, debido a la presencia del
enorme volumen generado por las dimensiones extras. La idea es
que el acople gravitacional débil surge debido a una forma
partícular o especial de la función de onda que
describe el gravitón en las dimensiones extras. Se propone
por lo tanto que el gravitón esté localizado lejos
del mundo (3+1)–dimensional, es decir "lejos" del mundo
brane, fuera de la brane sobre la cual residen todos los campos
del modelo estándar. Por lo tanto se considera que existe
un enorme valor de la escala de Planck en las dimensiones extras,
que disminuye o se hace efectivo en cuatro dimensiones, ahora
bién, si se piensa que la función de onda del
gravitón se origina con pequeñas amplitudes, de tal
modo que ellas inducen una "pequeña escala de Planck"
sobre la brane que habitamos, es decir la función de onda
con pequeñas amplitudes interactua con la brane,
sintiéndose o re‡ejandose dicha interacción
como una manifestación de la escala de Planck inducida en
la brane. La geometría de una única brane con una
densidad de energía cosmológica se puede ajustar
para garantizar la invarianza de Poincaré que toma la
forma matemática de ds2 = e 2kjyj dx dx + dy2 , (25) el
aspecto notable que describe ésta geometría es que
da origen a un campo de gravitones localizado, es decir da origen
a un único estado acotado gravitacional. El nuevo hecho
aquí es que el fondo geométrico creado da
origén a un estado acotado único. Puede entonces
considerarse que este modo de oscilación juega el rol del
gravitón de 8
5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
MODELO DE LYKKEN-RANDALL un mundo cuadridimensional, y es
responsable de reproducir todos los efectos de la gravedad
cudridimensional. Con la perspectiva de generar la
jerarquía de masas entre las escalas de Planck y la escala
electrodébil, se cuenta con la correspondencia de esta
geometría en la quinta dimensión y la escala de
masa total. Lo anterior, puede ser entendido debido a que el
factor de curvatura es un factor conformal. Sin embargo, desde la
perspectiva de la generación de jerarquía de masas
es importante recalcar la correspondencia existente entre la
escala de Planck y la escala electrodébil para todas las
escalas de masa posibles. El factor de masa es re-escalado
mediante este factor, así que una escala natural para el
paramétro de masa debe ser de MP l = 1019 GeV sobre una
brane en el origen. Está observación fue explotada
introduciendo una geometría de orbifold. Si el modelo
estándar está localizado sobre una segunda brane,
la amplitud del gravitón es exponencialmente suprimida o
reducida generando una jerarquía de masas. La desventaja
potencial de este sistema es la necesidad de involucrar objetos
de energía negativa y la geometría de orbifold.
Aunque nada los relaciona, es deseable contar con un sistema
alternativo involucrando sólo objetos de energía
positiva. Las ventajas de este sistema son, la existecia de
objetos de energía positiva, llamados D-branes y
NS-branes, que están bien entendidos y sobre los cuales
los campos gauge y los campos de materia estarían
localizados así que los campos del modelo estándar
pueden ser situados allí. Algunos aspectos potencialmente
problemáticos de ésta cosmología aún
no se han logra comprender claramente. Existe una ventaja de tipo
estática la cual permite un espacio de dimensión
in…nita en la cual la escala de masas está asociada
con una localización de…nida en el espacio. Si se
permite que todas las escalas de masa, distribuidas en la quinta
dimensión, presumiblemente tendrían mejores
posibilidades para tratar las di…cultades
cosmológicas. También se tiene una mejor
oportunidad para explotar las ideas holográ…cas. Se
demuestra que se puede tratar el problema de jerarquías
con unicamente objetos de energía positiva, combinando la
consistencia de vivir en una quinta dimensión
in…nita, se puede generar una jerarquía viviendo
lejos de la brane sobre la cual la gravedad está
localizada. La cuestión crucial es si un observador sobre
esta brane de T eV observa una teoría consistente de la
gravedad, se ha mostrado que si se mira una teoría de la
gravedad que está muy cercana a la teoría
gravitacional cuad- ridimensional y si se vive sobre la brane en
la cual está localizada el gravitón. Pero,
aún para un observador bastante lejos de la brane, se
obtiene una teoría gravitacional aceptable, esencialmente
indistinguible, desde el mundo cudridimensinal. La imágen
que emerge es notablemente hermosa. El gravitón
está localizado sobre una brane que la llamamos brane de
Planck. Vivimos sobre una brane separada de la brane de Planck
alrededor de 30 longitudes de Planck en la quinta
dimensión. Sobre esta brane la escala de masas es
suprimida exponencialmente, conduciendo de esta forma a la
generación, de forma natural, de la escala
electrodébil. De otra parte, la máxima escala que
podemos probar sobre nuestra brane es del orden de la escala de T
eV , ya que todos los modos de oscilación de las posibles
"cuerdas" se hacen fuertemente interactuantes en esta escala. El
aspecto potencialmente peligroso de este sistema es la enorme
multiplicidad de modos Kaluza-Klein arbitrariamente livianos. Se
ha mostrado que una señal de la dimensión extra
in…nita es un continuo sin brechas de modos KK, asi,
claramente si estos modos estuvieran fuertemente acoplados, la
teoría sería desastroza, ya que las pruebas
gravitacionales y de física de partículas
debería ser violada fuertemente. La teoría se
incorpora entre un mundo cuadridimensional y uno cinco
dimensional, los observadores sobre la brane T eV observan los
modos por debajo de T eV como un acople débil. Los modos
mayores de T eV están más fuertemente acoplados, y
pueden en principio reproducir los resultados cinco dimensionales
esperados. General- izando a una localización
arbitraría, nunca se reconoce la geometría de altas
dimensiones, independientemente de la localización, el
mundo aparece o surge a bajas dimensiones y bajas
energías. Entonces, tenemos el siguiente sistema, una
brane de Planck, o conjuntos de branes, sobre la cual los modos
cero del gravitón estan localizados o con…nados
exponencialmente decayendo en una dirección fuera de la
brane o en la dirección y de la dimensión extra. El
nuevo hecho es que se cuenta con una única brane, o
multiples branes localizadas a una distancia y0 desde esta brane,
donde e ky0 = T eV =MP l , donde k se relaciona con la constante
cosmológica sobre la brane y determina la
atenuación exponencial del gravitón. La nueva brane
puede ser considerada como una prueba de la geometría
determinada por la brane de Planck, lo uno o lo otro se asume,
que la brane tiene una gran tensión, o que consiste de un
gran conjunto de branes. Parece que realmente la inclusión
de una pequeña tensión (energía del
vacío) en la brane no afecta sustancialmente el resultado.
También notése, que no tratamos la cuestión
de determinar la localización y0 aquí, aunque el
mecanismo que estabiliza la geometría del orbifold debe
también debe ser aplicado. 9
5 1 2 Z 1 , 1 , , , m z , . Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica MODELO DE LYKKEN-RANDALL
Es claro que los modos cero generan consistentemente la gravedad.
Si tomamos la coordenad y = 0 como la localización de la
brane de Planck, se puede facilmente derivar MP l = 2 e 2ky M 3
dy = M 3 , (26) 0 k así que con M y k y tomando del orden
de MP l = 1019 GeV , los modos cero están correctamente
acoplados a la gravedad generada cuadridimensional. Por lo tanto
de los modos adicionales KK tenemos que, los modos propios del
gravitón se pueden expresar como 0 (z) = 1 1 k(j z j + k
)3=2 (27) donde la coordenada z se relaciona con y por la
expresión z = 1 k sgn(y)(ekjyj 1) , (28) para la brane de
T eV con z = z0 1T eV : Igualmente para los modos continuos
tenemos m 1 1 Nm (j z j + k )1=2 Y2 (m(j z j + k )) + 4k2 m2 1 J2
(m(j z j + k )) (29) donde m es la masa de los modos, Y2 ; J2 son
funciones de Bessel para mz grande, los modos se comportan
asintóticamente como ondas planas cuyas formas
asintóticas de las funciones de Bessel son p zJ2 (mz) r 2
m Cos(mz 5 4 ) , (30) p zY2 (mz) r 2 m Sen(mz 5 4 ) , (31) donde
la constante de normalización está determinada por
el comportamiento de ondas planas con Nm = m5=4 4k2 (32) es
importante considerar que esto corresponde a un acople en
situaciones límites. Se puede encontrar un potencial entre
dos masas m1 , m2 dado por el cual conduce a V = GN m1 m2 r + Z0
1 dm k m GN e mr k m1 m2 r (33) V GN m1 m2 r (1 + e3ky0 kr ) .
(34) Así, la forma arbitraria de la función de
Bessel para mz pequeño es p zJ2 (mz) 1 2 5=2 8 (35) p zY2
(mz) 4 m2 z3=2 z1=2 (36) De este modo emerge una imágen
convincente, en la cual el mundo es cincodimensional, y la
coordenada y se extiende hasta el in…nito. Sin embargo
para algun observador localizado en y0 , los modos de masa mayor
a MP l e kjy0 j están fuertemente acoplados. La amplitud
de los modos "livianos" sobre la brane en y0 son 10
6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
REFERENCES suprimidos. Los modos "pesados" son también
suprimidos por la ley exponencial ya que la métrica debe
ser plana. Así que el observador con…nado a la
brane observará la gravedad como esencialmente
cuadridimensional, nada notable donde está localizada la
brane. Podemos vivir con una dimensión extra
in…nita y simplimente no la conoceremos. Este nuevo lugar
de encuentro ofrece nuevos caminos para tratar importantes
problemas en cosmología y gravedad. No hay efecto medible
directo de una dimensión in…nita, pero tampoco se
descarta su existencia[19][20][21][22]. Conclusiones El escenario
descrito anteriormente es bastante tentativo. Una vez más
con dimensiones in…nitas, se espera que en la
teoría gravitacional exista una correspondencia con la
teoría gauge y con el límite ultravioleta de
teoría de campos. Se ha dicho que en este modelo existe
una correspondencia entre la localización y de la brane y
la escala de masa determinada por la forma del modo cero del
graviton. Además se muestra que la exitación KK no
inter…ere con la imagen suministrada aquí, por el
contrario contribuyen con pequeñas correcciones a la
teoría de la gravedad, como también a
energía su…encietemente baja. En este nuevo punto
de convergencia de diferentes teorías se proporciona una
nuevo camino para considerar importantes problemas en
cosmología y gravedad. Este es un marco teórico
bastante sugestivo, pero al tiempo plagado de suposiciones, claro
esta que son coherentes y lógicas desde el punto de vista
de teorías fundamentales, es de esperar que en el futuro
se decante todo este esquema teórico conduciendo a dos
cosas, o bién la naturaleza es absolutamente simple y no
requiere estas suposiciones, o bién puede ser mucho
más compleja de lo que muestran estos escuetos
análisis teóricos. Como elemento general podemos
destacar que este tipo de modelos, aunque hipotéticos,
permiten reproducir sin mayores modi…caciones lo conocido
de la física estándar, esto sólo es
coherencia en el sistema y consistencia, pero no quiere decir que
la naturaleza sea asi, en el futuro con resultados concretos,
experimentos especiales y observaciones detalladas y
metículosas, se descartarán estos modelos o
deberán tomarse verdaderamente en serio. Finalmente se
comenta, que no existe en el presente una prueba observacional
directa o experimental que permita considerar los modelos brane
como reales o ciertos, pero no pueden descartarse tampoco, ya que
son consecuencia de un análisis lógico y coherente
de las teorías y marcos conceptuales de la física
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Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
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[24] S. Mukohyama, T. Shiromizu, K. Maeda, Phys. Rev. D 62,
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