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Momento Lineal, Momento Angular
& Momento Radial
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribuci´n 3.0
(2015) Buenos Aires
Argentina
Este trabajo presenta el momento lineal, el momento angular y el momento radial
de un sistema de N part´iculas, que dan origen a las leyes de conservaci´n
del momento lineal, del momento angular y de la energ´ia.
Momento Lineal
El momento lineal P de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O
(con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por:
P =
mi (vi – Vo )
d(P)/dt =
mi (ai – Ao )
F =
(Fi – mi Ao )
La ecuaci´n (F) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero.
Por lo general, en el momento lineal el punto O es el origen O del sistema de referencia,
logrando que Ro , Vo y Ao sean siempre iguales a cero. Sin embargo, el punto O no
necesariamente tiene que ser el origen O del sistema de referencia. La unica condici´n
aqu´ es que la aceleraci´n Ao del punto O debe ser igual a cero.
Ahora, relacionando P y F con las magnitudes lineales v y a, se obtiene:
P = M v
d(P)/dt = F = M a
donde M ( = i mi ) es la masa del sistema de part´iculas, v y a son la velocidad y la
aceleraci´n (lineales) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O)
Por lo tanto, se deduce que el momento lineal P de un sistema aislado de N
part´iculas permanece constante si las fuerzas internas F (int) logran anularse.
1
o a
i
i
i
o o a
i
i
?
o
i
?
i
i
Momento Angular
El momento angular L de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O
(con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por:
L =
mi [ (ri – Ro ) × (vi – Vo ) ]
d(L)/dt =
mi [ (ri – Ro ) × (ai – Ao ) ]
M =
[ (ri – Ro ) × (Fi – mi Ao ) ]
La ecuaci´n (M) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero
o si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas, puesto que:
[ (ri – Rcm ) × (Fi – mi Acm ) ] =
[ (ri – Rcm ) × Fi ]
Ahora, relacionando L y M con las magnitudes angulares ? y a, se obtiene:
L = I · ?
d(L)/dt = M = I · a + I · ?
donde I es el tensor de inercia del sistema de part´iculas, ? y a son la velocidad y la
aceleraci´n (angulares) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O)
I =
mi [ |(ri – Ro )|2 1 – (ri – Ro ) ? (ri – Ro ) ]
I · ? = – ( M1 + M2 )
M1 = –
M2 = +
mi (ri – Ro ) × { 2 ? × (vi – Vo ) }
mi (ri – Ro ) × { ? × [ ? × (ri – Ro ) ] }
Si M1 y M2 son considerados como momentos ((?cticios)) de manera tal que resulte
la igualdad ( M* = M + M1 + M2 ) entonces se logra:
L = I · ?
M* = I · a
Por lo tanto, se deduce que el momento angular L de un sistema aislado de N
part´iculas permanece constante si los momentos internos M (int) logran anularse.
2
o a
i
i
i
i
i
o o a
i
[
i
[
i
i
? r
?
? ? r
? ? ? r
o
o
a
o
?
? ? r
Momento Radial
El momento radial G de un sistema de N part´iculas con respecto a un punto O
(con posici´n Ro , velocidad Vo y aceleraci´n Ao ) est´ dado por:
G =
1/2
mi [ (vi – Vo ) · (ri – Ro ) ]
?G =
? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (ri – Ro ) ]
d(?G)/dt =
d(?G)/dt =
? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
mi [ ? 1/2 (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + ? 1/2 (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
d(?G)/dt =
mi [
2
1
(ai
– Ao ) · d(ri – Ro ) + ? 1/2 (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
?T =
i
[
2
1
(Fi
– mi Ao ) · d(ri – Ro ) + ? 1/2 (Fi – mi Ao ) · (ri – Ro ) ]
La ecuaci´n (?T ) s´lo puede ser v´lida si el punto O logra que Ao sea igual a cero
o si el punto O es el centro de masa del sistema de part´iculas, puesto que:
2
1
(Fi
– mi Acm ) · d(ri – Rcm ) ] =
2
1
Fi · d(ri – Rcm ) ]
[ ? 1/2 (Fi – mi Acm ) · (ri – Rcm ) ] =
[ ? 1/2 Fi · (ri – Rcm ) ]
Ahora, relacionando G y T con las magnitudes radiales r , r y ¨, se obtiene:
?G = ? 1/2 M (r r )
d(?G)/dt = ?T = ? 1/2 M (r r + ¨ r )
donde M es la masa del sistema de part´iculas, (r r ) y ( r r + ¨ r ) son la velocidad y la
aceleraci´n (escalares) del sistema de part´iculas (con respecto al punto O)
La posici´n escalar, la velocidad escalar y la aceleraci´n escalar de un sistema de
part´iculas formado por una sola part´icula, est´n dadas por:
Posici´n escalar:
1/2 (r
· r)
=
1/2 (r
· r)
=
1/2 (r
r )
Velocidad escalar:
Aceleraci´n escalar:
1/2
1/2
d(r · r)/dt
d2 (r · r)/dt2
=
=
(v · r)
(v · v + a · r)
=
=
(r r )
(r r + ¨ r )
donde ri es el vector de posici´n de la part´icula, r = (ri – Ro ) y r = |(ri – Ro )|
3
u
i
o
o ia e
i
e
u
o
i
[
a
a o
?
a
ia a
ia a
i
i
o
?
? ? r
? ? r
Ahora, si ?T es considerado como el trabajo W realizado por las fuerzas que act´an
sobre un sistema de part´iculas, entonces:
W =
i
[
2
1
Fi · d(ri – Ro ) + ? 1/2 Fi · (ri – Ro ) ]
Por lo tanto, siempre resulta la siguiente igualdad:
W =
? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
Si la expresi´n del lado derecho de la igualdad anterior es considerada como la
variaci´n en la energ´ cin´tica K de un sistema de part´iculas, entonces:
? K =
? 1/2 mi [ (vi – Vo ) · (vi – Vo ) + (ai – Ao ) · (ri – Ro ) ]
Por lo tanto, siempre resulta tambi´n la siguiente igualdad: W = ? K
Ahora, dado que el trabajo W realizado por las fuerzas conservativas que act´an
sobre un sistema de part´iculas es igual y de signo opuesto a la variaci´n en la energ´ia
potencial U del sistema de part´iculas, entonces:
? U = –
2
1
Fi · d(ri – Ro ) + ? 1/2 Fi · (ri – Ro ) ]
Por lo tanto, se deduce que la energ´ia mec´nica E de un sistema de N part´iculas
permanece constante si el sistema est´ sujeto s´lo a fuerzas conservativas.
? E = ? K + ? U = 0
E = K + U = constante
Las magnitudes E , K y U est´n relacionadas con las magnitudes convencionales
E , K y U . De hecho, la energ´ mec´nica E de un sistema de part´iculas es igual a
la energ´ mec´nica convencional E del sistema de part´iculas (E = E ) puesto que:
1/2
mi (ai – Ao ) · (ri – Ro ) –
1/2
Fi · (ri – Ro ) = 0
Sin embargo, si todos los sistemas de referencia inerciales y no inerciales eligen el
mismo punto O (el centro de masa del sistema de part´iculas) entonces las magnitudes
E , K y U son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia y los
sistemas de referencia no inerciales no deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi .
En esta secci´n, por lo tanto, se obtienen las siguientes relaciones:
G = 1/2 M (r r )
d(G)/dt = 1/2 M (r r + ¨ r ) = K
d(?G)/dt = ?T = ? 1/2 M (r r + ¨ r ) = W = ? K
4
o o
i
o
a
a
a
ia a e
a
o
ia
a ia e
a a
ia
a
a a
Observaciones
Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de
referencia inercial o no inercial.
Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´n Momento Lineal y en la secci´n
Momento Angular s´ deben introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi .
Los sistemas de referencia no inerciales en la secci´n Momento Radial no deben
introducir las fuerzas ?cticias sobre Fi (en T , en W y en U ) si el punto O es el centro
de masa del sistema de part´iculas.
El momento lineal de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes
lineales y especialmente con la velocidad lineal (m/s) del sistema de part´iculas.
El momento angular de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes
angulares y especialmente con la velocidad angular (rad/s) del sistema de part´iculas.
El momento radial de un sistema de part´iculas est´ relacionado con las magnitudes
radiales y especialmente con la velocidad escalar (m2 /s) del sistema de part´iculas.
La energ´ mec´nica E , la energ´ia cin´tica K y la energ´ia potencial U de un sistema
de part´iculas est´n relacionadas con las magnitudes radiales y especialmente con la
aceleraci´n escalar (m2 /s2 ) del sistema de part´iculas.
Si el punto O es el centro de masa de un sistema de part´iculas entonces la energ´
mec´nica E , la energ´ cin´tica K y la energ´ia potencial U del sistema de part´iculas
son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia.
La energ´ia mec´nica E de un sistema de part´iculas es igual a la energ´ia mec´nica
convencional E del sistema de part´iculas (E = E )
Bibliograf´
A. Einstein, Sobre la Teor´ia de la Relatividad Especial y General.
G · Gamow, Uno, Dos, Tres, … In?nito.
E. Mach, La Ciencia de la Mec´nica.
H. Goldstein, Mec´nica Cl´sica.
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