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Apuntes sobre sistemas dinámicos

Enviado por Jabel70





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Resumen Estas notas, evidentemente no terminadas, están basadas en un trabajo que hice cuando estudiaba la licencia- tura. Allí tenía que demostrar todas las proposiciones y teoremas pero aquí he preferido no demostrar ninguna proposición, éstas aparecen en los libros, a cambio de incorporar numerosos ejemplos. Ahora las he retomado como un pasatiempo descubriendo que con el tiempo uno se vuelve cada día más y más torpe, parece algo irremediable. No expongo nada más que los típicos tópicos que uno se puede encontrar en la literatura clásica al respecto y en la medida de lo posible he intentado trivializar los resultados expuestos de esta forma estas notas están al alcance de cualquier lector que al menos tenga unos conocimientos mínimos en ecuaciones diferenciales y nada más. El primer capítulo es el esencial, es donde se exponen todos los resultados básicos, Hartman etc.. que luego se irán aplicando a lo largo de todos los capítulos. ADVERTENCIA: Estas notas no están concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas. Toda observación en este sentido es bien recibida en jabel70@gmail.com. III

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1 2 3 7 9 13 13 22 28 30 ' ' (1.2) les. Capítulo 1 Conceptos básicos Índice del capítulo 1.1. Grupos uniparamétricos y EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Clasi?cación topológica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. El caso R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estructura local de los puntos singulares hiperbólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Estudio de las sigularidades no hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Teorema de la variedad centro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Blowing up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Espacio de fases en el in?nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Grupos uniparamétricos y EDO. El punto de partida es x(t, ? ) = R(t0 , 0)? tal que R(t0 , 0) ? Isom(Rn ), i.e. la resolvente para un sistema de EDO con coe?cientes constantes. La familia G = {R(t0 , 0) / t ? R} constituye un grupo, 1. Conviene saber si un grupo uniparamétrico de isomor?smos lineales de Rn de?ne o no una ODE. 2. Establecer criterios que lleven a una adecuada clasi?cación de los grupos de isomor?smos lineales, si esto es posible, entonces disponer de una clasi?cación paralela de los procesos a ellos asociados. Observación 1.1.1 Tratándose de grupos de isomor?smos lineales el marco debería ser Isom(Rn ) pero debido a las propieda- des de la función exponencial etA , que es un difeomor?smo y por lo tanto un homeomor?smo, se puede hacer una clasi?cación más general. La mayor importancia de esta parte está en la clasi?cación topológica, pues, la relación topológica entre grupos repercutirá en una relación topológica entre sus órbitas. Sea x' (t) = Ax(t), (1.1) donde A ? L(Rn ), se veri?ca que e A(t+t ) = e At · e At , entonces, t -? R(t, 0) = e At es un homomor?smo del grupo aditivo R en Isom(Rn ) con la topología inducida por L(Rn ), por lo tanto, isom(Rn ) tiene estructura de grupo topológico. A todo homomor?smo de (R, +) -? isom(Rn ) se le denomina grupo uniparamétrico de isomor?smos linea- 1

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2 ˜ ˜ abierto y diferenciable. ˜ ˜ ˜ ˜ de álgebras de Lie. ˜ ˜ En particular: ˜ G g g CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Proposición 1.1.1 Sea t -? B(t) un homomor?smo del grupo aditivo (R, +) -? isom(Rn ) tal que B ? C1 y B' (0) = A, entonces B(t) es solución a B' (t) = AB(t) =? B(t) = e At . De?nición 1.1.1 Decimos que A es generador in?nitesimal (hiperbólico) del grupo uniparamétrico de isomor?smos linea- les de {B(t)/t ? R} . 1.1.1. Clasi?cación topológica. De?nición 1.1.2 Decimos que e At ˜ eBt , son linealmente equivalentes sii ?P ? isom(Rn ), tal que eBt = P · e At · P-1 . Dos grupos son linealmente equivalentes sii tienen idénticas formas de Jordan sus respectivos generadores in?nitesimales. Debida a esta equivalencia lineal podemos hablar de equivalencia entre x' (t) = Ax ˜ y' (t) = By. (1.3) En general, recordamos unos resultados básicos para grupos de Lie. De?nición 1.1.3 Dos grupos de Lie G y G son linealmente equivalentes sii existe un homomor?smo ? : G -? G que sea Asociados a los grupos aparecen sus respectivas álgebras g y g, entonces decimos que están relacionadas si existe una aplicación f tal que f : g -? g, para todo A, B ? g. Campos f - relacionados. f ([a, B]) -? [fA, fB] , Teorema 1.1.1 Si ? : G -? G es un homeomor?smo de grupos de Lie, entonces d?(e) : g -? g es un homeomor?smo Corolario 1.1.1 ? * A = A, campos ? - relacionados. i.e. curvas integrales de A se transforman por ? en curvas inte- grales de A. R ? t -? exp(tA) ? G, c.i. de A por e R ? t -? ? exp(tA) ? G, c.i. de A, por e se tiene el siguiente diagrama conmutativo: ? -? G ? d? ? -? ? exp(tA) = exp(t A), recordamos que es un difeomor?smo local. exp : g -? G, Aquí se agota la clasi?cación lineal y se pasa a la diferencial. De?nición 1.1.4 Decimos que e At ˜ eBt , son diferencialmente (topológicamente) equivalentes sii ? H ? (Rn ), un difeomor?smo (homeomor?smo) tal que eBt = H · e At · H-1 .

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3 con parte real nula. Al igual que los otros dos subespacios, éste también es invariante por e At . i i ? ¯ donde ?1 , ?2 , a, ß, µ ? R. 1.1. GRUPOS UNIPARAMÉTRICOS Y EDO. Proposición 1.1.2 Equivalencia diferencial sii lineal (por las propiedades de la fución exponencial). Sean e At ˜ eBt grupos topológicamente, diferenciablemente equivalentes. ¿Qué relación existe entre las órbitas a ellos asociados?. El homeomor?smo H tal que eBt = H · e At · H-1 . Esto nos lleva a la clasi?cación topológica. De?nición 1.1.5 Decimos que A, generador in?nitesimal, es hiperbólico si todos los autovalores de A tienen la parte real no nula. De?nición 1.1.6 Se denomina índice del generador al número de autovalores con la parte real negativa. Teorema 1.1.2 Sean e At ˜ eBt grupos uniparamétricos de isomor?smos tales que ind( A) = ind(B) = n, entonces son topológicamente equivalentes. Corolario 1.1.2 e At ˜ eBt i.e. son topológicamente equivalentes si ind( A) = ind(B). Proposición 1.1.3 Dado un grupo e At con generador in?nitesimal A hiperbólico, entonces exsite una descomposición de Rn en suma directa de subespacios Es y Eu i.e. Rn = Es ? Eu , tal que: 1. Es y Eu son los subespacios invariantes por A y del grupo e At . 2. Los autovalores de As = AEs (resp. Au = AEu ) tienen parte real negativa (resp. positiva). Observación 1.1.2 Si el grupo e At tiene un generador A no hiperbólico entonces Rn se descompone en suma directa de subespacios Es , Eu y Ec i.e. Rn = Es ? Eu ? Ec . Ec , es el autoespacio generado por los autovectores asociados a los autovalores En general se denominan: 1. Es variedad estable (stable), 2. Eu variedad inestable (unstable), 3. Ec variedad centro, del grupo e At . Proposición 1.1.4 Sea e At el grupo uniparamétrico tal que A es su generador in?nitesimal hiperbólico, entonces las si- guientes a?rmaciones son ciertas: 1. l´mt?8 e At x = 0 ?? x ? Es , 2. l´mt?-8 e At x = 0 ?? x ? Eu , t ? R+ , t ? R, 1.1.2. El caso R2 . Consideremos el sistema lineal: x = Ax / A ? M2×2 , x' (t) = a11 x + a12 y y' (t) = a21 x + a22 y sabemos por el álgebra lineal que J = P-1 AP donde J es la forma de Jordan de la matriz A. Las posibles formas de J son: J1 = J3 = ?1 0 ?1 0 0 ?2 0 ?1 J2 = J4 = a -ß ?1 0 ß a µ ?2 Si x es la sigularidad, entonces podemos distinguiremos los siguientes casos (ver ?g 1.1):

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4 ¯ ¯ ¯ / ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS 1. ?1 = ?2 . ?1 , ?2 ? R+ , entonces x es una singularidad inestable, ?1 , ?2 ? R- , entonces x es una singularidad estable, ?1 ? R- , ?2 ? R+ , entonces x es una singularidad punto de silla. 2. ? = a ± iß. Consideramos el siguiente cambio a polares: x' (t) = ax + ßy y' (t) = -ßx + ay x = r cos ? y = r sin ? =? r' = ar ?' = -ß distinguiendo los siguientes casos: Si a > 0 entonces x es un foco inestable, Si a = 0 entonces x es un centro, Si a < 0 entonces x es un foco estable, Si ?' > 0 entonces las trayectorias son espirales en sentido antihorario, Si ?' < 0 entonces las trayectorias son espirales en sentido horario. 3. ?1 = ?2 . Si dim(V? ) = 2, entonces x es un nodo singular, Si dim(V? ) = 1, entonces x es un nodo degenerado. Figura 1.1: Diagramas de fases para los distintos autovalores. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1.1.1 Clasi?car la singularidad del sistema lineal: x' (t) = 2x + y y' (t) = x + 2y (1.4)

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5 1 , Por último vemos que la solución al sistema es: . 1 0 , 1.1. GRUPOS UNIPARAMÉTRICOS Y EDO. Solución. Vemos que el generador in?nitesimal es: A = 2 1 1 2 = 1 2 1 - 2 1 2 1 2 1 0 0 3 1 1 -1 , donde ya hemos calculado su forma de Jordan, por lo tanto los autovalores son: s(?) = (1, 3) , que nos indica que la singularidad es inestable (ver ?g 1.2). Es decir el sistema lineal (1.4) es equivalente al sistema (ver ?g. 1.2): x' (t) = x y' (t) = 3y (1.5) Los autovectores asociados a cada autovalor son: V1 = {1, -1}T , V3 = {1, 1}T , de esta forma vemos que: R2 = Eu , ya que Eu = {V1 , V3 }, mientras que Eu = Ec = Ø. x(t) = C1 1 -1 et + C2 1 1 e3t , ver ?gura adjunta para entender la relación existente entre el campo lineal (?g. (1.2)) y su forma adjunta dada por la matriz de Jordan (?g. (1.2)). Figura 1.2: La ?gura de la izqierda representa el espacio de fases del sistema (1.4) mientras que la ?gura de la derecha representa el espacio de fases asociado al sistema de Jordan. La singularidad está representada en color azul. Ejemplo 1.1.2 Clasi?car la singularidad del sistema lineal: x' (t) = -2x y' (t) = -4x - 2y Solución. Vemos que el generador in?nitesimal es: (1.6) A = -2 0 -4 -2 = 0 1 -4 0 -2 0 -2 0 1 1 - 4

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6 ? 1 1 3 ? 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 1 0 2 6 3 1 1 2 6 3 1 1 1 1 2 0 0 4 1 1 1 0 3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 0 1 ? ? 0 1 1 ? ? ? ? 1 A = ? 2 1 1 ? s(?) - 1 3 ? 0 1 0 ? ? 1 -2 ? , 2x = a ? 1 a e = -1 ? t + x = ? ? -1 ? e t -? 0, 1 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Figura 1.3: Espacio de fases del sistema (1.6) si atendemos a la clasi?cación anteriormente expuesta, vemos que se trata de un nodo degenerado estable (los dos autovalores son negativos) ya que la dimensión del subespacio asociado al autovalor -2 es 1, i.e. dim V-2 = 1,donde V-2 = (0, 1)T i.e. el eje OY. La variedad estable por lo tanto será: Es = V-2 = {(0, 1)} . Si ponemos toda esta información junta obtenemos la ?gura (1.3). Ejemplo 1.1.3 Estudiar el sistema: Solución. Vemos que 1 2 ? X = ? 2 1 1 ? X. (1.7) -1 0 0 1 -1 por lo tanto, los autovalores de A son = ? = (-1,-1, 4), de?esta forma sabemos que la1singularidad es de tipo silla. Las variedades estable e inestable son: Es = {V-1 : (1, -1, 0)} , Eu = {V1 , V4 : (1, 1, -2) , (1, 1, 1)} , La solución general es: Vemos que cualquier solución para la cual ?=4tß+ ß0,?implica que ? ? -1 ? e-t , t-?8 hemos encontrado una solución estable. Mientras que si ?=-0, entonces t-?-8 x = a ? 1 ? e4t + ß ? -2 ? et -? 0,

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7 ación del grupo uniparametríco xt a la aplicación ° 3. 1.2. CAMPOS VECTORIALES. tal y como queríamos hacer ver. Vemos por lo tanto que la mecánica es muy rutinaria, calcular los autovalores, clasi?carlos en función de los resultados anteriormente expuestos y por último calcular las variedades estable e inestable. 1.2. Campos vectoriales. La clasi?cación y relación entre ecuación (caso lineal) y grupo está clara, pero cuando el sistema viene de?nido por x' = xi (x1 , ....., xn ), donde las xi son funciones NO lineales, nos podemos preguntar si le podemos asociar un grupo o no. De?nición 1.2.1 Una familia xt de aplicaciones xt : M -? M, se las denomina grupo uniparamétrico de aplicaciones si sean cuales fueren s y t se veri?ca: xt+s = xt · xs x0 = I M con s, t ? R , xt grupo conmutativo. De?nición 1.2.2 Sea ? ? M un punto del espacio de fases M, entonces llamamos movimiento del punto ? sometido a la x(t) = xt (? ). De?nición 1.2.3 Grupo uniparamétrico de difeomor?smos en M ? Rn , tal que M = M a toda aplicación x : R × M -? M, que veri?ca: 1. x es diferenciable, 2. ?t xt : M -? M es un difeomor?smo, xt es un grupo uniparamétrico. De?nición 1.2.4 Sea A ? Rn , un abierto. De?nimos campo vectorial, denotado X ? X( M), como el asociado al sistema x' := X(x). aplicación que asocia a cada punto de M (variedad diferenciable) su vector tangente i.e. X : M -? TM Las soluciones son las curvas integrales i.e. son las ? : I -? Rn , tal que I ? Rn y d?(t) dt = X ( ?(t)) , i.e. ? es curva integral de X sii ?' (t) = X ( ?(t)) , Un grupo uniparamétrico de difeomor?smos de?ne un campo vectorial. ¿Es cierta la a?rmación contraria?. En general no, pero podemos preguntarnos bajo que condiciones un campo de?ne a su vez un grupo de difeomor?s- mos. Disponemos ya de una respuesta precisa para campos lineales. Ahora bien, el concepto de isomor?smos linea- les da paso al de difeomor?smos y en vez de referirnos a grupos nos tendremos que referir a núcleos de grupo (?ujos) asociados al campo que será donde repose la diferenciabilidad de ?(t) solución de la ODE.

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8 generado por el campo X. / t difeomor?smos cuyo campo de velocidades es justamente X. 3 pasando por p, entonces h(?' ( p)) es una órbita orientada: ?2 (h( p)) de X2 pasando por h( p). CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Gracias al teorema de recti?cación de campos veremos que desde un punto de vista dinámico y topológico los verdaderos problemas que presenta el estudio de campos radica en sus singularidades (Arnold cali?ca a este teorema como el fundamental de la teoría de las ODE). Los campos lineales tienen asociados grupos uniparamétricos. En relación con los campos vectoriales en ge- neral sólo podemos hablar de núcleos de grupo (?ujos) de difeomor?smos. ¿Existen campos no necesariamente lineales para los que se puede hablar de auténticos grupos uniparamétricos de difeomor?smos?. La repuesta es que sí, se trata de los campos con soporte compacto. De?nición 1.2.5 Sea ? : D -? A, A ? Rn y D ? Rn+1 , donde D = {(t, x) t ? Ix , x ? A} se llama ?ujo Observación 1.2.1 Las condiciones de ?ujo son: ?(0, x) = x, ?(t + s, x) = ?(t, ?(s, x)). Está claro que si Ix = R, ?x el ?ujo generado por X es un ?ujo en A. Pero muchas veces Ix = R, por lo que tenemos sólo ?ujos locales o grupos locales, tenemos el homeomor?smo t -? ?t ?t+s = ?t · ?s , ?-t = ?-1 , donde ?t (x) = ?(t, x). Es válido asimilar la imagen de que los puntos de A ?uyen a lo largo de las trayectorias de X. Es aquí donde la noción de campo con soporte compacto juega un papel decisivo, si X es de soporte compacto entonces X es completo y por lo tanto las curvas integrales de X están de?nidas para todo t ? R. Dado X : U ? Rn -? Rn tal que U es compacto, X se puede prolongar a una función continua con soporte compacto de suerte que sup p( f ) ? U. Si el campo llega a la periferia con valores no nulos podemos prolongar más allá de U extinguiéndose de manera continua dentro de los límites impuestos por algún compacto U ? Rn . Teorema 1.2.1 Sea X un campo vectorial con soporte compacto U ? Rn , entonces existe un grupo uniparamétrico de Si el campo X que consideramos no tiene soporte compacto enfoques globales resultan inoperantes siendo preciso enfoques locales. El teorema de recti?cación de campos es a este respecto de capital importancia pues gracias a él veremos como el estudio de un campo presenta problemas sólo en sus singularidades. De?nición 1.2.6 Dos núcleos son topológicamente equivalentes si existe un homeomor?smo H que los relaciona. 4 de lo mismo para difeomor?smos. Sean X1 , X2 dos campos de?nidos en A1 , A2 abiertos de Rn . Decimos que son topológicamente equivalentes i.e. X1 ˜ X2 , si existe h, homeomor?smo h : A1 -? A2 , tal que si p ? A1 y ?1 ( p) es una órbita orientada de X1 De?nición 1.2.7 Sean ?1 : D1 -? Rn , ?2 : D2 -? Rn , ?ujos generados por los campos X1 : A1 -? Rn , X2 : A2 -? Rn , entonces X1 ˜ X2 , si existe h, homeomor?smo h : A1 -? A2 , tal que h ( ?1 (t, x)) = ?2 (t, h(x)) , Observación 1.2.2 h me lleva puntos singulares en puntos singulares y órbitas periódicas en órbitas periódicas etc... Observación 1.2.3 Si h es un difeomor?smo recuperamos la de?nición de campo f - relacionado.

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9 ° / en O será la construcción de una caja de ?ujo en un entorno de O. Una caja de ?ujo proporciona una descripción en R = R × O, transforma 1 en X(0). Como X(0) es transversal a H se sigue que D?(0, 0) es un isomor?smo, Consecuentemente dos campos X e Y son localmente f - relacionados, en entornos de puntos regulares. Por causa q = h( p) es una singularidad de Y. 1.3. ESTRUCTURA LOCAL DE LOS PUNTOS SINGULARES HIPERBÓLICOS. Si tomo un entorno su?cientemente pequeño de cualquier punto ? = 0 (o punto regular no singular) se da un marcado paralelismo entre las órbitas que cruzan la región U elegida. Este paralelismo, estrechamente ligado a la auténtica clasi?cación establecida por e At , cesa por completo si U engloba al origen de las con?guraciones dado por un punto de silla. Parece pertinente pensar si no existirá un difeomor?smo que localmente en las cercanias de un punto no sin- gular de un campo X logre recti?carlo haciéndolo diferencialmente equivalente a un campo que por autonomasia reuna estas condiciones de paralelismo perfecto entre sus órbitas, tal campo es Y = (1, 0, ..., 0). El teorema de recti?ación de campos demuestra que existe un difeomor?smo que establece la equivalencia diferencial. Teorema 1.2.2 Sea X : U = U -? Rn y sea ? 0 un punto no singular de X, entonces existe V ? Ent(? 0 ) y un difeomor?mo H, H : V -? W, con V ? U y W ? Rn H : X|V -? Y, establece la equivalencia diferencial, siendo Y = (1, 0, ..., 0). Idea de la demostración. Consideramos el ?ujo ft del campo X : W -? E y supongamos que O ? E. Una sección local en O de X es un conjunto abierto S que contiene a O y está contenido en un hiperplano H ? E tranveral a X. Decir que S ? H es transversal a X signi?ca que X(x) ? H, ?x ? S. Nuestra primera aplicación de la sección local completa de un ?ujo en un entrono de cualquier punto no estacionario de dicho ?ujo por medio de coordenadas no lineales. La descripción es simple. Los puntos se mueven en rectas paralelas a velocidad constante. ? Entonces tomamos un difeomor?smo ? : U -? V, una caja de ?ujo es un difeomor?smo R × H ? N -? W, de un entorno de N en (0, 0) en un entorno O de W que transforma el campo X : W -? E en un campo vectorial constante Y = (1, 0) sobre R × H, el ?ujo de X se convierte de este modo en el simple ?ujo sobre R × H. La derivada de ? en (0, 0) se calcula facilmenteque la aplicación lineal igual a la identidad en O × H y que entonces por el teorema de la función inversa ? aplica un entorno abierto N de (0, 0) difeomor?camente sobre un entrono V de O en E. Tomamos N deforma (-s, s) × S tal que S ? H esuna sección de O, Vs = ?(N), donde Vs es una caja de ?ujo de O ? E. Una propiedad importante de una caja de ?ujo es que si x ? Vs , entonces ft (x) ? S para un único t ? (-s, s) . 1.3. Estructura local de los puntos singulares hiperbólicos. Sea p un punto regular de un campo X, por el teorema del ?ujo tubular (recti?ación decampos) sabemos que existe un difeomor?smo que conjunga X en una vecindad del punto p con un campo constante Y = (1, 0, ..., 0). de esta observación podemos considerar satisfactorio el conocimiento cualitativo local de las órbitas en un campo en torno a puntos regulares. Pero si p es singular la cosa es más compleja. De?nición 1.3.1 Un punto singular p de un campo se llama hiperbólico si todos sus autovalores de DX( p) tienen la parte real no nula i.e. Re(?i ) = 0. Observación 1.3.1 Sean X, Y dos campos h - relacionados i.e. h : X -? Y en torno a una singularidad p ? X, entonces De?nición 1.3.2 El número de autovalores de DX( p) que tienen parte real negativa se llama índice de estabilidad de X en p. Teorema 1.3.1 (Hartman-Grobman). Sea X : A -? Rn , sea p un punto singular hiperbólico, entonces existe un entorno del punto p i.e. ?V ? Ent( p) ? A, W ? Ent(0) ? Rn tal que X|V -? DX( p)|W , son topológicamente equivalentes, i.e. existe un homeomor?smo entre un núcleo de grupo y un grupo entorno a una singula- ridad hiperbólica.

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10 s u s u enunciar el siguiente teorema. s u s u Wloc loc c s u s t=0 t=0 u CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Hablamos de equivalencia topológica y no diferencial a pesar de que X posea cualidades de tipo diferencial. Para conseguir la equivalencia diferencial exige unas condiciones muy fuertes a los autovalores de DX( p). Teorema 1.3.2 (Stenberg). Sea p una singularidad hiperbólica y los aotovalores de DX( p) veri?ca donde los mj son enteros y además se veri?ca que ?i = ? mj ?j , 2 = con k = 2, ..., 8, entonces existe un difeomor?smo entre ? mj = k, X|V -? DX( p)|W . Como en el caso lineal podemos de?nir las variedades estable e inestable de p (singularidad hiperbólica de X) ahora denotadas como Wloc ( p) y Wloc ( p) s Wloc ( p) = {x ? U / ?t (x) -? p; t -? 8 y ?t (x) ? U?t = 0} , Wloc ( p) = {x ? U / ?t (x) -? p; t -? -8 y ?t (x) ? U?t = 0} , donde U ? Ent( p). Las variedades Wloc ( p) y Wloc ( p) son análogas a Es y Eu del caso lineal, de hecho podemos Teorema 1.3.3 (Teorema de la variedad estable) Supongamos que el campo X tiene una singularidad hiperbólica. En- tonces existen las variedades Wloc ( p) y Wloc ( p) tales que dim Wloc ( p) = dim (Es ) y dim Wloc ( p) = dim(Eu ) ya que s ( p) es tangente a Es y W u ( p) es tangente a Eu . Figura 1.4: Esquema del Teorema de la variedad estable. Observación 1.3.2 Si p es una singularidad no hiperbólica del campo X entonces de forma análoga al caso lineal existe una tercera variedad, Wloc ( p), variedad centro. Este punto será formalizado más adelante cuando estudiemos el teoremade la variedad centro. Las variedades Wloc ( p) y Wloc ( p) se pueden de?nir de forma global como sigue: W s ( p) = ? ?t (Wloc ( p)), u u W ( p) = ? ?t (Wloc ( p)). Veamos algunos ejemplos de clai?cación de singularidades hiperbólicas en el caso no lineal.

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11 , ridad hiperbólica, y por el teorema de Hartman sabemos que se trata de un punto de silla. c u u u , s 1.3. ESTRUCTURA LOCAL DE LOS PUNTOS SINGULARES HIPERBÓLICOS. Ejemplo 1.3.1 Clasi?car las singularidades del sistema no lineal: x' = x y' = -y + x2 (1.8) Solución. En primer debemos calcular las singularidades del sistema, en este caso sólo existe una y es S = (0, 0). Aplicando el teorema de Hartman, linealizamos el sistema, de tal forma que obtenemos: DX = 1 2x 0 -1 DX (S) = 1 0 0 -1 por lo tanto los autovalores del sistema lineal son s(?) = {1, -1}, vemos por lo tanto que se trata de una singula- Las variedades estable e inestable del sistema lineal son: Es = V-1 : (x, y) ? R2 | x = 0 , Eu = V1 : (x, y) ? R2 | y = 0 . Si escribimos (1.8) como una ecuación de primer orden encontramos que: dy dx y = - x + x, integrando esta ecuación, obtenemos la familia de soluciones y(x) = x2 3 + , x donde c es cierta constante de integración. Los teoremas expuestos implican que Wloc (0, 0) puede ser representada como una función y = h(x) con h(0) = Dh(0) = 0 ya que Wloc es tangente a Eu . Entonces, ver ?g (1.5) Figura 1.5: Espacio de fases de la ecuación (1.8) Wloc = (x, y) ? R2 | y = x2 3 donde hemos tomado c = 0. Por otro lado x(0) = 0 implica que x' = 0, por lo tanto Wloc (0, 0) = Es ,

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12 1 ? ' ? x = y' = . (1.9) 1 ? ' z = 4 z ? ? 5 4 0 1 ? -ez ? DX(S1 ) = 4 4 3 ? 4 3 1 ? 4 ? 0 1 1 ? ' 2 1 y' = 2 (-x + z) . ? ' (1.10) 4 4 z 1 ( - z) 2 1 2 , ? 2 2 0 ? 1 ? 2 2 0 0 ? ? 0 ? ? 0 0 0 2 ? ? 1 1 2 2 ? 1 2 1 2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS tal y como queríamos hacer ver. Ejemplo 1.3.2 Estudiar el siguiente sistema: 1 (- sin x + 5y - 9z) 4 (4x - e + 1) 4 (4x - 4 sin y + 3z) Solución. En primer lugar debemos calcular las singularidades, siendo una de éstas: S1 = (0, 0, 0) . Linealizamos el sistema encontrando que: - cos x -9 DX = -4 cos y de tal forma que los autovalores ysus autovectores son: -1 5 -9 4 -4 -1 ? , V1 = (1, 1, 0)T , V- 4 +i = (i, 1, 1)T , V- 4 -i = (-i, 1, 1)T , de esta forma vemos que la solución lineal general es: 1 1 X = aV1 et + ßV- 1 +i e(- 4 +i )t + ßV- 1 -i e(- 4 -i )t , si a = 0 entonces obtenemos una solución (super?cie) que de?ne el plano tangente a W s mientras que si ß = 0 lo que obtenemos es una recta tangente a W u . Vemos por lo tanto que S1 es un punto de silla. Ejemplo 1.3.3 Estudiar el sistema: ? x = z --x + 2yy+ z + 4y3 Solución. En primer lugar debemos calcular las singularidades, siendo éstas: S = (0, 0, 0) , a, ± , a , ?a ? R Seguimos la estrategia del ejercicio anterior, por lo tanto linealizamos el sistema: Estudiaremos los siguientes casos: - 1 DX = ? -y2 -1 + 6y2 -(x + z) 1 2 1 2 1 - y2 ? . 1. S = (0, 0, 0) ; Por lo tanto: - 1 DX (0, 0, 0) = ? - 1 de esta forma vemos que -1 0 1 2 1 2 1 ? = ? 1 3 1 6 0 0 1 2 1 2 3 2 - 3 -1 0 ? ? 0 1 0 ? ? 0 2 0 -1 -1 1 ? s (?) = -1, 1, V-1 = {(2, 1, 0)} , V1 = {(0, 1, 2)} V1/2 = {(-1, 1, 0)}

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13 i t?8 i t?-8 1 1 1 2 ? ? 2 (-1 - a), - (-1 - a) . 0, 0 s(?) = 2 1 2 2 ß ? R+ . Y si a > -1, entonces s(?) = (0, z, z) , donde z ? C, con z = a + ib dode a = 0, i.e. un imaginario 2 2 con autovalores con parte real nula, supongamos que: c c u forma local, Wloc t t loc dilatación. c s , 1.4. ESTUDIO DE LAS SIGULARIDADES NO HIPERBÓLICAS. por lo tanto el punto singular (0, 0, 0) es un punto de silla. La solución general del sistema lineal es: x = aV-1 e-t + ßV1 et + ?V1/2 e(1/2)t observando que para una solución que veri?que ß = ? = 0 se obtiene una solución estable i.e. l´m aV-1 e-t ? 0 mientras que la variedad inestable está de?nida por el plano ßV1 et + ?V1/2 e(1/2)t , (a = 0) observar que l´m ßV1 et + ?V1/2 e(1/2)t ? 0. Es decir: Es = V-1 tangente a W s Eu = (V1 , V1/2 ) tangente a W u 2. Para a, ± 2 , a - 1 1 DX (S2 ) = ? - 1 -2a ? , Vemos que si a = -1 entonces: s(?) = (0, 0, 0) , mientras que si a < -1, entonces s(?) = (0, ß, ß) , donde puro. Por lo tanto nuestro teorema sobre linealización (Hartman) no puede ser aplicado en el estudio de esta singularidad. 1.4. Estudio de las sigularidades no hiperbólicas. 1.4.1. Teorema de la variedad centro. Como acabamos de ver, el teorema de Hartman no funciona cuando la singularidad es no hiperbólica. El teo- rema de la variedad centro representa una generalización del teorema de la variedad estable (o invariente) y contempla la existencia de un subespacio invariante W c tangente a Ec (del caso lineal). Sea X : Rn -? Rn un campo vectorial con singularidades no hiperbólicas en el origen i.e. X(0) = 0 y DX(0) DX(0) = Es ? Eu ? Ec , entonces tenemos el siguiente teorema: Teorema 1.4.1 (Teorema de la variedad centro). Sea ?t el ?ujo del campo X. Entonces existe de forma local la variedad centro Wloc que contiene el origen y es invariante bajo ?t , además Wloc es tangente a Ec en x = 0. Además existen de s y W u tangentes a Es y Eu invariantes por ? donde ? | Wloc es una contracción y ?t | Wloc es una Observación 1.4.1 Es importante resaltar que Wloc no es necesariamente única. Ejemplo 1.4.1 Vamos a ver que el sistema tiene una variedad centro no única. x' = x2 y' = -y (1.11)

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14 , Hartman es incapaz de clasi?car. El teorema de la variedad centro nos asegura que existe Wloc . y (1.11) c x 2 , x c ? ? ? ? x = -x + 3y ? ? CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Solución. Vemos que la singularidad del sistema (1.11) es S = (0, 0), y que la parte lineal del sistema viene dada por: DX = 2x 0 0 -1 DX(S) = 0 0 0 -1 por lo que los autovalores son s(?) = (0, -1) i.e. se trata de una singularidad no hiprbólica que el teorema de Los autovectores asociados a cada uno de los autovalores son: V0 = (1, 0)T V-1 = (0, 1)T , obteniendo porlo tanto la siguiente descomposición del espacio: DX(S) = Es ? Ec , donde Es = L(V-1 ) y Ec = L(V0 ). Vemos en la ?g (1.6) el diagrama del espacio de fases correspondiente al sistema Figura 1.6: Espacio de fases del sistema (1.11) En este caso Wloc = Ec sin embargo existen otras variedades centro, la órbita que pasa por el punto (x0 , y0 ) con x0 < 0 está dada por la solución particular de: dy dx = -y x =? 1 y = y0 exp( ), por lo tanto la curva y = y0 exp( 1 ) 0 x0 < 0 x0 > 0 es invariante bajo el ?ujo. Además vemos que Wloc puede existir de forma global. Ejemplo 1.4.2 Estudiemos el sistema lineal: y = -x + y - z . z = -y - z (1.12)

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