Resumen Estas notas, evidentemente no terminadas, están
basadas en un trabajo que hice cuando estudiaba la licencia-
tura. Allí tenía que demostrar todas las
proposiciones y teoremas pero aquí he preferido no
demostrar ninguna proposición, éstas aparecen en
los libros, a cambio de incorporar numerosos ejemplos. Ahora las
he retomado como un pasatiempo descubriendo que con el tiempo uno
se vuelve cada día más y más torpe, parece
algo irremediable. No expongo nada más que los
típicos tópicos que uno se puede encontrar en la
literatura clásica al respecto y en la medida de lo
posible he intentado trivializar los resultados expuestos de esta
forma estas notas están al alcance de cualquier lector que
al menos tenga unos conocimientos mínimos en ecuaciones
diferenciales y nada más. El primer capítulo es el
esencial, es donde se exponen todos los resultados
básicos, Hartman etc.. que luego se irán aplicando
a lo largo de todos los capítulos. ADVERTENCIA: Estas
notas no están concluidas y es muy posible que hayan
sobrevivido numerosas erratas. Toda observación en este
sentido es bien recibida en jabel70@gmail.com. III
1 2 3 7 9 13 13 22 28 30 ' ' (1.2) les. Capítulo 1
Conceptos básicos Índice del capítulo 1.1.
Grupos uniparamétricos y EDO. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.
Clasi?cación topológica. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. El
caso R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Campos vectoriales.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 1.3. Estructura local de los puntos
singulares hiperbólicos. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1.4. Estudio de las sigularidades no
hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1.4.1. Teorema de la variedad centro. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Blowing up .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Espacio de fases en el in?nito .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1.1. Grupos uniparamétricos y EDO. El punto de
partida es x(t, ? ) = R(t0 , 0)? tal que R(t0 , 0) ? Isom(Rn ),
i.e. la resolvente para un sistema de EDO con coe?cientes
constantes. La familia G = {R(t0 , 0) / t ? R} constituye un
grupo, 1. Conviene saber si un grupo uniparamétrico de
isomor?smos lineales de Rn de?ne o no una ODE. 2. Establecer
criterios que lleven a una adecuada clasi?cación de los
grupos de isomor?smos lineales, si esto es posible, entonces
disponer de una clasi?cación paralela de los procesos a
ellos asociados. Observación 1.1.1 Tratándose de
grupos de isomor?smos lineales el marco debería ser
Isom(Rn ) pero debido a las propieda- des de la función
exponencial etA , que es un difeomor?smo y por lo tanto un
homeomor?smo, se puede hacer una clasi?cación más
general. La mayor importancia de esta parte está en la
clasi?cación topológica, pues, la relación
topológica entre grupos repercutirá en una
relación topológica entre sus órbitas. Sea
x' (t) = Ax(t), (1.1) donde A ? L(Rn ), se veri?ca que e A(t+t )
= e At · e At , entonces, t -? R(t, 0) = e At es un
homomor?smo del grupo aditivo R en Isom(Rn ) con la
topología inducida por L(Rn ), por lo tanto, isom(Rn )
tiene estructura de grupo topológico. A todo homomor?smo
de (R, +) -? isom(Rn ) se le denomina grupo uniparamétrico
de isomor?smos linea- 1
2 ˜ ˜ abierto y diferenciable. ˜ ˜
˜ ˜ de álgebras de Lie. ˜ ˜ En
particular: ˜ G g g CAPÍTULO 1. CONCEPTOS
BÁSICOS Proposición 1.1.1 Sea t -? B(t) un
homomor?smo del grupo aditivo (R, +) -? isom(Rn ) tal que B ? C1
y B' (0) = A, entonces B(t) es solución a B' (t) = AB(t)
=? B(t) = e At . De?nición 1.1.1 Decimos que A es
generador in?nitesimal (hiperbólico) del grupo
uniparamétrico de isomor?smos linea- les de {B(t)/t ? R} .
1.1.1. Clasi?cación topológica. De?nición
1.1.2 Decimos que e At ˜ eBt , son linealmente equivalentes
sii ?P ? isom(Rn ), tal que eBt = P · e At · P-1 .
Dos grupos son linealmente equivalentes sii tienen
idénticas formas de Jordan sus respectivos generadores
in?nitesimales. Debida a esta equivalencia lineal podemos hablar
de equivalencia entre x' (t) = Ax ˜ y' (t) = By. (1.3) En
general, recordamos unos resultados básicos para grupos de
Lie. De?nición 1.1.3 Dos grupos de Lie G y G son
linealmente equivalentes sii existe un homomor?smo ? : G -? G que
sea Asociados a los grupos aparecen sus respectivas
álgebras g y g, entonces decimos que están
relacionadas si existe una aplicación f tal que f : g -?
g, para todo A, B ? g. Campos f – relacionados. f ([a, B]) -?
[fA, fB] , Teorema 1.1.1 Si ? : G -? G es un homeomor?smo de
grupos de Lie, entonces d?(e) : g -? g es un homeomor?smo
Corolario 1.1.1 ? * A = A, campos ? – relacionados. i.e. curvas
integrales de A se transforman por ? en curvas inte- grales de A.
R ? t -? exp(tA) ? G, c.i. de A por e R ? t -? ? exp(tA) ? G,
c.i. de A, por e se tiene el siguiente diagrama conmutativo: ? -?
G ? d? ? -? ? exp(tA) = exp(t A), recordamos que es un
difeomor?smo local. exp : g -? G, Aquí se agota la
clasi?cación lineal y se pasa a la diferencial.
De?nición 1.1.4 Decimos que e At ˜ eBt , son
diferencialmente (topológicamente) equivalentes sii ? H ?
(Rn ), un difeomor?smo (homeomor?smo) tal que eBt = H · e
At · H-1 .
3 con parte real nula. Al igual que los otros dos subespacios,
éste también es invariante por e At . i i ? ¯
donde ?1 , ?2 , a, ß, µ ? R. 1.1. GRUPOS
UNIPARAMÉTRICOS Y EDO. Proposición 1.1.2
Equivalencia diferencial sii lineal (por las propiedades de la
fución exponencial). Sean e At ˜ eBt grupos
topológicamente, diferenciablemente equivalentes.
¿Qué relación existe entre las
órbitas a ellos asociados?. El homeomor?smo H tal que eBt
= H · e At · H-1 . Esto nos lleva a la
clasi?cación topológica. De?nición 1.1.5
Decimos que A, generador in?nitesimal, es hiperbólico si
todos los autovalores de A tienen la parte real no nula.
De?nición 1.1.6 Se denomina índice del generador al
número de autovalores con la parte real negativa. Teorema
1.1.2 Sean e At ˜ eBt grupos uniparamétricos de
isomor?smos tales que ind( A) = ind(B) = n, entonces son
topológicamente equivalentes. Corolario 1.1.2 e At ˜
eBt i.e. son topológicamente equivalentes si ind( A) =
ind(B). Proposición 1.1.3 Dado un grupo e At con generador
in?nitesimal A hiperbólico, entonces exsite una
descomposición de Rn en suma directa de subespacios Es y
Eu i.e. Rn = Es ? Eu , tal que: 1. Es y Eu son los subespacios
invariantes por A y del grupo e At . 2. Los autovalores de As =
AEs (resp. Au = AEu ) tienen parte real negativa (resp.
positiva). Observación 1.1.2 Si el grupo e At tiene un
generador A no hiperbólico entonces Rn se descompone en
suma directa de subespacios Es , Eu y Ec i.e. Rn = Es ? Eu ? Ec .
Ec , es el autoespacio generado por los autovectores asociados a
los autovalores En general se denominan: 1. Es variedad estable
(stable), 2. Eu variedad inestable (unstable), 3. Ec variedad
centro, del grupo e At . Proposición 1.1.4 Sea e At el
grupo uniparamétrico tal que A es su generador
in?nitesimal hiperbólico, entonces las si- guientes
a?rmaciones son ciertas: 1. l´mt?8 e At x = 0 ?? x ? Es ,
2. l´mt?-8 e At x = 0 ?? x ? Eu , t ? R+ , t ? R, 1.1.2. El
caso R2 . Consideremos el sistema lineal: x = Ax / A ? M2×2
, x' (t) = a11 x + a12 y y' (t) = a21 x + a22 y sabemos por el
álgebra lineal que J = P-1 AP donde J es la forma de
Jordan de la matriz A. Las posibles formas de J son: J1 = J3 = ?1
0 ?1 0 0 ?2 0 ?1 J2 = J4 = a -ß ?1 0 ß a µ ?2
Si x es la sigularidad, entonces podemos distinguiremos los
siguientes casos (ver ?g 1.1):
4 ¯ ¯ ¯ / ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS 1. ?1 = ?2 . ?1 , ?2
? R+ , entonces x es una singularidad inestable, ?1 , ?2 ? R- ,
entonces x es una singularidad estable, ?1 ? R- , ?2 ? R+ ,
entonces x es una singularidad punto de silla. 2. ? = a ±
iß. Consideramos el siguiente cambio a polares: x' (t) = ax
+ ßy y' (t) = -ßx + ay x = r cos ? y = r sin ? =? r'
= ar ?' = -ß distinguiendo los siguientes casos: Si a >
0 entonces x es un foco inestable, Si a = 0 entonces x es un
centro, Si a < 0 entonces x es un foco estable, Si ?' > 0
entonces las trayectorias son espirales en sentido antihorario,
Si ?' < 0 entonces las trayectorias son espirales en sentido
horario. 3. ?1 = ?2 . Si dim(V? ) = 2, entonces x es un nodo
singular, Si dim(V? ) = 1, entonces x es un nodo degenerado.
Figura 1.1: Diagramas de fases para los distintos autovalores.
Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1.1.1 Clasi?car la singularidad
del sistema lineal: x' (t) = 2x + y y' (t) = x + 2y (1.4)
5 1 , Por último vemos que la solución al sistema
es: . 1 0 , 1.1. GRUPOS UNIPARAMÉTRICOS Y EDO.
Solución. Vemos que el generador in?nitesimal es: A = 2 1
1 2 = 1 2 1 – 2 1 2 1 2 1 0 0 3 1 1 -1 , donde ya hemos calculado
su forma de Jordan, por lo tanto los autovalores son: s(?) = (1,
3) , que nos indica que la singularidad es inestable (ver ?g
1.2). Es decir el sistema lineal (1.4) es equivalente al sistema
(ver ?g. 1.2): x' (t) = x y' (t) = 3y (1.5) Los autovectores
asociados a cada autovalor son: V1 = {1, -1}T , V3 = {1, 1}T , de
esta forma vemos que: R2 = Eu , ya que Eu = {V1 , V3 }, mientras
que Eu = Ec = Ø. x(t) = C1 1 -1 et + C2 1 1 e3t , ver
?gura adjunta para entender la relación existente entre el
campo lineal (?g. (1.2)) y su forma adjunta dada por la matriz de
Jordan (?g. (1.2)). Figura 1.2: La ?gura de la izqierda
representa el espacio de fases del sistema (1.4) mientras que la
?gura de la derecha representa el espacio de fases asociado al
sistema de Jordan. La singularidad está representada en
color azul. Ejemplo 1.1.2 Clasi?car la singularidad del sistema
lineal: x' (t) = -2x y' (t) = -4x – 2y Solución. Vemos que
el generador in?nitesimal es: (1.6) A = -2 0 -4 -2 = 0 1 -4 0 -2
0 -2 0 1 1 – 4
6 ? 1 1 3 ? 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 1 0 2 6 3 1 1 2 6 3 1 1 1
1 2 0 0 4 1 1 1 0 3 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 0 1 ? ? 0 1 1 ? ? ? ? 1 A
= ? 2 1 1 ? s(?) – 1 3 ? 0 1 0 ? ? 1 -2 ? , 2x = a ? 1 a e = -1 ?
t + x = ? ? -1 ? e t -? 0, 1 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS
BÁSICOS Figura 1.3: Espacio de fases del sistema (1.6) si
atendemos a la clasi?cación anteriormente expuesta, vemos
que se trata de un nodo degenerado estable (los dos autovalores
son negativos) ya que la dimensión del subespacio asociado
al autovalor -2 es 1, i.e. dim V-2 = 1,donde V-2 = (0, 1)T i.e.
el eje OY. La variedad estable por lo tanto será: Es = V-2
= {(0, 1)} . Si ponemos toda esta información junta
obtenemos la ?gura (1.3). Ejemplo 1.1.3 Estudiar el sistema:
Solución. Vemos que 1 2 ? X = ? 2 1 1 ? X. (1.7) -1 0 0 1
-1 por lo tanto, los autovalores de A son = ? = (-1,-1, 4),
de?esta forma sabemos que la1singularidad es de tipo silla. Las
variedades estable e inestable son: Es = {V-1 : (1, -1, 0)} , Eu
= {V1 , V4 : (1, 1, -2) , (1, 1, 1)} , La solución general
es: Vemos que cualquier solución para la cual ?=4tß+
ß0,?implica que ? ? -1 ? e-t , t-?8 hemos encontrado una
solución estable. Mientras que si ?=-0, entonces t-?-8 x =
a ? 1 ? e4t + ß ? -2 ? et -? 0,
7 ación del grupo uniparametríco xt a la
aplicación ° 3. 1.2. CAMPOS VECTORIALES. tal y como
queríamos hacer ver. Vemos por lo tanto que la
mecánica es muy rutinaria, calcular los autovalores,
clasi?carlos en función de los resultados anteriormente
expuestos y por último calcular las variedades estable e
inestable. 1.2. Campos vectoriales. La clasi?cación y
relación entre ecuación (caso lineal) y grupo
está clara, pero cuando el sistema viene de?nido por x' =
xi (x1 , ….., xn ), donde las xi son funciones NO lineales, nos
podemos preguntar si le podemos asociar un grupo o no.
De?nición 1.2.1 Una familia xt de aplicaciones xt : M -?
M, se las denomina grupo uniparamétrico de aplicaciones si
sean cuales fueren s y t se veri?ca: xt+s = xt · xs x0 = I
M con s, t ? R , xt grupo conmutativo. De?nición 1.2.2 Sea
? ? M un punto del espacio de fases M, entonces llamamos
movimiento del punto ? sometido a la x(t) = xt (? ).
De?nición 1.2.3 Grupo uniparamétrico de
difeomor?smos en M ? Rn , tal que M = M a toda aplicación
x : R × M -? M, que veri?ca: 1. x es diferenciable, 2. ?t
xt : M -? M es un difeomor?smo, xt es un grupo
uniparamétrico. De?nición 1.2.4 Sea A ? Rn , un
abierto. De?nimos campo vectorial, denotado X ? X( M), como el
asociado al sistema x' := X(x). aplicación que asocia a
cada punto de M (variedad diferenciable) su vector tangente i.e.
X : M -? TM Las soluciones son las curvas integrales i.e. son las
? : I -? Rn , tal que I ? Rn y d?(t) dt = X ( ?(t)) , i.e. ? es
curva integral de X sii ?' (t) = X ( ?(t)) , Un grupo
uniparamétrico de difeomor?smos de?ne un campo vectorial.
¿Es cierta la a?rmación contraria?. En general no,
pero podemos preguntarnos bajo que condiciones un campo de?ne a
su vez un grupo de difeomor?s- mos. Disponemos ya de una
respuesta precisa para campos lineales. Ahora bien, el concepto
de isomor?smos linea- les da paso al de difeomor?smos y en vez de
referirnos a grupos nos tendremos que referir a núcleos de
grupo (?ujos) asociados al campo que será donde repose la
diferenciabilidad de ?(t) solución de la ODE.
8 generado por el campo X. / t difeomor?smos cuyo campo de
velocidades es justamente X. 3 pasando por p, entonces h(?' ( p))
es una órbita orientada: ?2 (h( p)) de X2 pasando por h(
p). CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Gracias al
teorema de recti?cación de campos veremos que desde un
punto de vista dinámico y topológico los verdaderos
problemas que presenta el estudio de campos radica en sus
singularidades (Arnold cali?ca a este teorema como el fundamental
de la teoría de las ODE). Los campos lineales tienen
asociados grupos uniparamétricos. En relación con
los campos vectoriales en ge- neral sólo podemos hablar de
núcleos de grupo (?ujos) de difeomor?smos. ¿Existen
campos no necesariamente lineales para los que se puede hablar de
auténticos grupos uniparamétricos de
difeomor?smos?. La repuesta es que sí, se trata de los
campos con soporte compacto. De?nición 1.2.5 Sea ? : D -?
A, A ? Rn y D ? Rn+1 , donde D = {(t, x) t ? Ix , x ? A} se llama
?ujo Observación 1.2.1 Las condiciones de ?ujo son: ?(0,
x) = x, ?(t + s, x) = ?(t, ?(s, x)). Está claro que si Ix
= R, ?x el ?ujo generado por X es un ?ujo en A. Pero muchas veces
Ix = R, por lo que tenemos sólo ?ujos locales o grupos
locales, tenemos el homeomor?smo t -? ?t ?t+s = ?t · ?s ,
?-t = ?-1 , donde ?t (x) = ?(t, x). Es válido asimilar la
imagen de que los puntos de A ?uyen a lo largo de las
trayectorias de X. Es aquí donde la noción de campo
con soporte compacto juega un papel decisivo, si X es de soporte
compacto entonces X es completo y por lo tanto las curvas
integrales de X están de?nidas para todo t ? R. Dado X : U
? Rn -? Rn tal que U es compacto, X se puede prolongar a una
función continua con soporte compacto de suerte que sup p(
f ) ? U. Si el campo llega a la periferia con valores no nulos
podemos prolongar más allá de U
extinguiéndose de manera continua dentro de los
límites impuestos por algún compacto U ? Rn .
Teorema 1.2.1 Sea X un campo vectorial con soporte compacto U ?
Rn , entonces existe un grupo uniparamétrico de Si el
campo X que consideramos no tiene soporte compacto enfoques
globales resultan inoperantes siendo preciso enfoques locales. El
teorema de recti?cación de campos es a este respecto de
capital importancia pues gracias a él veremos como el
estudio de un campo presenta problemas sólo en sus
singularidades. De?nición 1.2.6 Dos núcleos son
topológicamente equivalentes si existe un homeomor?smo H
que los relaciona. 4 de lo mismo para difeomor?smos. Sean X1 , X2
dos campos de?nidos en A1 , A2 abiertos de Rn . Decimos que son
topológicamente equivalentes i.e. X1 ˜ X2 , si
existe h, homeomor?smo h : A1 -? A2 , tal que si p ? A1 y ?1 ( p)
es una órbita orientada de X1 De?nición 1.2.7 Sean
?1 : D1 -? Rn , ?2 : D2 -? Rn , ?ujos generados por los campos X1
: A1 -? Rn , X2 : A2 -? Rn , entonces X1 ˜ X2 , si existe
h, homeomor?smo h : A1 -? A2 , tal que h ( ?1 (t, x)) = ?2 (t,
h(x)) , Observación 1.2.2 h me lleva puntos singulares en
puntos singulares y órbitas periódicas en
órbitas periódicas etc… Observación 1.2.3
Si h es un difeomor?smo recuperamos la de?nición de campo
f – relacionado.
9 ° / en O será la construcción de una caja de
?ujo en un entorno de O. Una caja de ?ujo proporciona una
descripción en R = R × O, transforma 1 en X(0). Como
X(0) es transversal a H se sigue que D?(0, 0) es un isomor?smo,
Consecuentemente dos campos X e Y son localmente f –
relacionados, en entornos de puntos regulares. Por causa q = h(
p) es una singularidad de Y. 1.3. ESTRUCTURA LOCAL DE LOS PUNTOS
SINGULARES HIPERBÓLICOS. Si tomo un entorno su?cientemente
pequeño de cualquier punto ? = 0 (o punto regular no
singular) se da un marcado paralelismo entre las órbitas
que cruzan la región U elegida. Este paralelismo,
estrechamente ligado a la auténtica clasi?cación
establecida por e At , cesa por completo si U engloba al origen
de las con?guraciones dado por un punto de silla. Parece
pertinente pensar si no existirá un difeomor?smo que
localmente en las cercanias de un punto no sin- gular de un campo
X logre recti?carlo haciéndolo diferencialmente
equivalente a un campo que por autonomasia reuna estas
condiciones de paralelismo perfecto entre sus órbitas, tal
campo es Y = (1, 0, …, 0). El teorema de recti?ación de
campos demuestra que existe un difeomor?smo que establece la
equivalencia diferencial. Teorema 1.2.2 Sea X : U = U -? Rn y sea
? 0 un punto no singular de X, entonces existe V ? Ent(? 0 ) y un
difeomor?mo H, H : V -? W, con V ? U y W ? Rn H : X|V -? Y,
establece la equivalencia diferencial, siendo Y = (1, 0, …, 0).
Idea de la demostración. Consideramos el ?ujo ft del campo
X : W -? E y supongamos que O ? E. Una sección local en O
de X es un conjunto abierto S que contiene a O y está
contenido en un hiperplano H ? E tranveral a X. Decir que S ? H
es transversal a X signi?ca que X(x) ? H, ?x ? S. Nuestra primera
aplicación de la sección local completa de un ?ujo
en un entrono de cualquier punto no estacionario de dicho ?ujo
por medio de coordenadas no lineales. La descripción es
simple. Los puntos se mueven en rectas paralelas a velocidad
constante. ? Entonces tomamos un difeomor?smo ? : U -? V, una
caja de ?ujo es un difeomor?smo R × H ? N -? W, de un
entorno de N en (0, 0) en un entorno O de W que transforma el
campo X : W -? E en un campo vectorial constante Y = (1, 0) sobre
R × H, el ?ujo de X se convierte de este modo en el simple
?ujo sobre R × H. La derivada de ? en (0, 0) se calcula
facilmenteque la aplicación lineal igual a la identidad en
O × H y que entonces por el teorema de la función
inversa ? aplica un entorno abierto N de (0, 0) difeomor?camente
sobre un entrono V de O en E. Tomamos N deforma (-s, s) × S
tal que S ? H esuna sección de O, Vs = ?(N), donde Vs es
una caja de ?ujo de O ? E. Una propiedad importante de una caja
de ?ujo es que si x ? Vs , entonces ft (x) ? S para un
único t ? (-s, s) . 1.3. Estructura local de los puntos
singulares hiperbólicos. Sea p un punto regular de un
campo X, por el teorema del ?ujo tubular (recti?ación
decampos) sabemos que existe un difeomor?smo que conjunga X en
una vecindad del punto p con un campo constante Y = (1, 0, …,
0). de esta observación podemos considerar satisfactorio
el conocimiento cualitativo local de las órbitas en un
campo en torno a puntos regulares. Pero si p es singular la cosa
es más compleja. De?nición 1.3.1 Un punto singular
p de un campo se llama hiperbólico si todos sus
autovalores de DX( p) tienen la parte real no nula i.e. Re(?i ) =
0. Observación 1.3.1 Sean X, Y dos campos h – relacionados
i.e. h : X -? Y en torno a una singularidad p ? X, entonces
De?nición 1.3.2 El número de autovalores de DX( p)
que tienen parte real negativa se llama índice de
estabilidad de X en p. Teorema 1.3.1 (Hartman-Grobman). Sea X : A
-? Rn , sea p un punto singular hiperbólico, entonces
existe un entorno del punto p i.e. ?V ? Ent( p) ? A, W ? Ent(0) ?
Rn tal que X|V -? DX( p)|W , son topológicamente
equivalentes, i.e. existe un homeomor?smo entre un núcleo
de grupo y un grupo entorno a una singula- ridad
hiperbólica.
10 s u s u enunciar el siguiente teorema. s u s u Wloc loc c s u
s t=0 t=0 u CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Hablamos
de equivalencia topológica y no diferencial a pesar de que
X posea cualidades de tipo diferencial. Para conseguir la
equivalencia diferencial exige unas condiciones muy fuertes a los
autovalores de DX( p). Teorema 1.3.2 (Stenberg). Sea p una
singularidad hiperbólica y los aotovalores de DX( p)
veri?ca donde los mj son enteros y además se veri?ca que
?i = ? mj ?j , 2 = con k = 2, …, 8, entonces existe un
difeomor?smo entre ? mj = k, X|V -? DX( p)|W . Como en el caso
lineal podemos de?nir las variedades estable e inestable de p
(singularidad hiperbólica de X) ahora denotadas como Wloc
( p) y Wloc ( p) s Wloc ( p) = {x ? U / ?t (x) -? p; t -? 8 y ?t
(x) ? U?t = 0} , Wloc ( p) = {x ? U / ?t (x) -? p; t -? -8 y ?t
(x) ? U?t = 0} , donde U ? Ent( p). Las variedades Wloc ( p) y
Wloc ( p) son análogas a Es y Eu del caso lineal, de hecho
podemos Teorema 1.3.3 (Teorema de la variedad estable) Supongamos
que el campo X tiene una singularidad hiperbólica. En-
tonces existen las variedades Wloc ( p) y Wloc ( p) tales que dim
Wloc ( p) = dim (Es ) y dim Wloc ( p) = dim(Eu ) ya que s ( p) es
tangente a Es y W u ( p) es tangente a Eu . Figura 1.4: Esquema
del Teorema de la variedad estable. Observación 1.3.2 Si p
es una singularidad no hiperbólica del campo X entonces de
forma análoga al caso lineal existe una tercera variedad,
Wloc ( p), variedad centro. Este punto será formalizado
más adelante cuando estudiemos el teoremade la variedad
centro. Las variedades Wloc ( p) y Wloc ( p) se pueden de?nir de
forma global como sigue: W s ( p) = ? ?t (Wloc ( p)), u u W ( p)
= ? ?t (Wloc ( p)). Veamos algunos ejemplos de clai?cación
de singularidades hiperbólicas en el caso no lineal.
11 , ridad hiperbólica, y por el teorema de Hartman
sabemos que se trata de un punto de silla. c u u u , s 1.3.
ESTRUCTURA LOCAL DE LOS PUNTOS SINGULARES HIPERBÓLICOS.
Ejemplo 1.3.1 Clasi?car las singularidades del sistema no lineal:
x' = x y' = -y + x2 (1.8) Solución. En primer debemos
calcular las singularidades del sistema, en este caso sólo
existe una y es S = (0, 0). Aplicando el teorema de Hartman,
linealizamos el sistema, de tal forma que obtenemos: DX = 1 2x 0
-1 DX (S) = 1 0 0 -1 por lo tanto los autovalores del sistema
lineal son s(?) = {1, -1}, vemos por lo tanto que se trata de una
singula- Las variedades estable e inestable del sistema lineal
son: Es = V-1 : (x, y) ? R2 | x = 0 , Eu = V1 : (x, y) ? R2 | y =
0 . Si escribimos (1.8) como una ecuación de primer orden
encontramos que: dy dx y = – x + x, integrando esta
ecuación, obtenemos la familia de soluciones y(x) = x2 3 +
, x donde c es cierta constante de integración. Los
teoremas expuestos implican que Wloc (0, 0) puede ser
representada como una función y = h(x) con h(0) = Dh(0) =
0 ya que Wloc es tangente a Eu . Entonces, ver ?g (1.5) Figura
1.5: Espacio de fases de la ecuación (1.8) Wloc = (x, y) ?
R2 | y = x2 3 donde hemos tomado c = 0. Por otro lado x(0) = 0
implica que x' = 0, por lo tanto Wloc (0, 0) = Es ,
12 1 ? ' ? x = y' = . (1.9) 1 ? ' z = 4 z ? ? 5 4 0 1 ? -ez ?
DX(S1 ) = 4 4 3 ? 4 3 1 ? 4 ? 0 1 1 ? ' 2 1 y' = 2 (-x + z) . ? '
(1.10) 4 4 z 1 ( – z) 2 1 2 , ? 2 2 0 ? 1 ? 2 2 0 0 ? ? 0 ? ? 0 0
0 2 ? ? 1 1 2 2 ? 1 2 1 2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS
BÁSICOS tal y como queríamos hacer ver. Ejemplo
1.3.2 Estudiar el siguiente sistema: 1 (- sin x + 5y – 9z) 4 (4x
– e + 1) 4 (4x – 4 sin y + 3z) Solución. En primer lugar
debemos calcular las singularidades, siendo una de éstas:
S1 = (0, 0, 0) . Linealizamos el sistema encontrando que: – cos x
-9 DX = -4 cos y de tal forma que los autovalores ysus
autovectores son: -1 5 -9 4 -4 -1 ? , V1 = (1, 1, 0)T , V- 4 +i =
(i, 1, 1)T , V- 4 -i = (-i, 1, 1)T , de esta forma vemos que la
solución lineal general es: 1 1 X = aV1 et + ßV- 1
+i e(- 4 +i )t + ßV- 1 -i e(- 4 -i )t , si a = 0 entonces
obtenemos una solución (super?cie) que de?ne el plano
tangente a W s mientras que si ß = 0 lo que obtenemos es
una recta tangente a W u . Vemos por lo tanto que S1 es un punto
de silla. Ejemplo 1.3.3 Estudiar el sistema: ? x = z –x + 2yy+ z
+ 4y3 Solución. En primer lugar debemos calcular las
singularidades, siendo éstas: S = (0, 0, 0) , a, ±
, a , ?a ? R Seguimos la estrategia del ejercicio anterior, por
lo tanto linealizamos el sistema: Estudiaremos los siguientes
casos: – 1 DX = ? -y2 -1 + 6y2 -(x + z) 1 2 1 2 1 – y2 ? . 1. S =
(0, 0, 0) ; Por lo tanto: – 1 DX (0, 0, 0) = ? – 1 de esta forma
vemos que -1 0 1 2 1 2 1 ? = ? 1 3 1 6 0 0 1 2 1 2 3 2 – 3 -1 0 ?
? 0 1 0 ? ? 0 2 0 -1 -1 1 ? s (?) = -1, 1, V-1 = {(2, 1, 0)} , V1
= {(0, 1, 2)} V1/2 = {(-1, 1, 0)}
13 i t?8 i t?-8 1 1 1 2 ? ? 2 (-1 – a), – (-1 – a) . 0, 0 s(?) =
2 1 2 2 ß ? R+ . Y si a > -1, entonces s(?) = (0, z, z)
, donde z ? C, con z = a + ib dode a = 0, i.e. un imaginario 2 2
con autovalores con parte real nula, supongamos que: c c u forma
local, Wloc t t loc dilatación. c s , 1.4. ESTUDIO DE LAS
SIGULARIDADES NO HIPERBÓLICAS. por lo tanto el punto
singular (0, 0, 0) es un punto de silla. La solución
general del sistema lineal es: x = aV-1 e-t + ßV1 et +
?V1/2 e(1/2)t observando que para una solución que
veri?que ß = ? = 0 se obtiene una solución estable
i.e. l´m aV-1 e-t ? 0 mientras que la variedad inestable
está de?nida por el plano ßV1 et + ?V1/2 e(1/2)t ,
(a = 0) observar que l´m ßV1 et + ?V1/2 e(1/2)t ? 0.
Es decir: Es = V-1 tangente a W s Eu = (V1 , V1/2 ) tangente a W
u 2. Para a, ± 2 , a – 1 1 DX (S2 ) = ? – 1 -2a ? , Vemos
que si a = -1 entonces: s(?) = (0, 0, 0) , mientras que si a <
-1, entonces s(?) = (0, ß, ß) , donde puro. Por lo
tanto nuestro teorema sobre linealización (Hartman) no
puede ser aplicado en el estudio de esta singularidad. 1.4.
Estudio de las sigularidades no hiperbólicas. 1.4.1.
Teorema de la variedad centro. Como acabamos de ver, el teorema
de Hartman no funciona cuando la singularidad es no
hiperbólica. El teo- rema de la variedad centro representa
una generalización del teorema de la variedad estable (o
invariente) y contempla la existencia de un subespacio invariante
W c tangente a Ec (del caso lineal). Sea X : Rn -? Rn un campo
vectorial con singularidades no hiperbólicas en el origen
i.e. X(0) = 0 y DX(0) DX(0) = Es ? Eu ? Ec , entonces tenemos el
siguiente teorema: Teorema 1.4.1 (Teorema de la variedad centro).
Sea ?t el ?ujo del campo X. Entonces existe de forma local la
variedad centro Wloc que contiene el origen y es invariante bajo
?t , además Wloc es tangente a Ec en x = 0. Además
existen de s y W u tangentes a Es y Eu invariantes por ? donde ?
| Wloc es una contracción y ?t | Wloc es una
Observación 1.4.1 Es importante resaltar que Wloc no es
necesariamente única. Ejemplo 1.4.1 Vamos a ver que el
sistema tiene una variedad centro no única. x' = x2 y' =
-y (1.11)
14 , Hartman es incapaz de clasi?car. El teorema de la variedad
centro nos asegura que existe Wloc . y (1.11) c x 2 , x c ? ? ? ?
x = -x + 3y ? ? CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Solución. Vemos que la singularidad del sistema (1.11) es
S = (0, 0), y que la parte lineal del sistema viene dada por: DX
= 2x 0 0 -1 DX(S) = 0 0 0 -1 por lo que los autovalores son s(?)
= (0, -1) i.e. se trata de una singularidad no hiprbólica
que el teorema de Los autovectores asociados a cada uno de los
autovalores son: V0 = (1, 0)T V-1 = (0, 1)T , obteniendo porlo
tanto la siguiente descomposición del espacio: DX(S) = Es
? Ec , donde Es = L(V-1 ) y Ec = L(V0 ). Vemos en la ?g (1.6) el
diagrama del espacio de fases correspondiente al sistema Figura
1.6: Espacio de fases del sistema (1.11) En este caso Wloc = Ec
sin embargo existen otras variedades centro, la órbita que
pasa por el punto (x0 , y0 ) con x0 < 0 está dada por
la solución particular de: dy dx = -y x =? 1 y = y0 exp(
), por lo tanto la curva y = y0 exp( 1 ) 0 x0 < 0 x0 > 0 es
invariante bajo el ?ujo. Además vemos que Wloc puede
existir de forma global. Ejemplo 1.4.2 Estudiemos el sistema
lineal: y = -x + y – z . z = -y – z (1.12)
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