Demostración a la conjetura de Albert Girard y análisis a la teoría de números

i) p-1 ? p – 1 2 p – 1 2 iv) Introducción. Se
demostrará en la presente obra…: 1ro) La conjetura de
Albert Girard / (relacionado con: primos de Gauss) Si p=3 (mod 4)
? p primo, p > 2 Entonces: p = x2 ±2y2 con: x,y? N{0}
2do) El teorema de Fermat (sobre suma de cuadrados) ó Lema
de Thue, mediante procedimiento análogo al utilizado para
la conjetura anterior. / Si p=1 (mod 4) ? p primo, p > 2
Entonces: p = x2 + y2 con: x,y? N{0} 3ro) Finalmente,
podrá demostrarse* si: para todo entero, impar y mayor que
2, dicho elemento es un número primo ó no. *
Precisaremos que: podrá diferenciarse entre primo y no
primo debido a que los primos cumplen ciertas
características que los números compuestos no
cumplen, es decir, conoceremos las diferencias clave entre
números primos y números compuestos. (ver
página 4 y siguientes para mayor comprensión) Se
utilizará para tales demostraciones el álgebra
modular (anillos Z/p), dando por demostrados los siguientes
teoremas o proposiciones: Teorema de Wilson / (p-1)! = -1 (mod p)
si y sólo si p es primo ii) Pequeño teorema de
Fermat./ (2) iii) Si p es primo entonces entre: [1,p-1] en (Z/p)
anillo. Si p no es primo entonces no existen = 1 (mod p) ?p primo
cuadrados perfectos comprendidos cuadrados perfectos comprendidos
entre [1,p-1] en el anillo (Z/p) (existen en menor cantidad). Si
p es primo (cuadrado perfecto = residuo cuadrático),
entonces: Si p = 1 (mod 4) ý m es un residuo
cuadrático en (Z/p), entonces: (-m) es también un
residuo cuadrático en (Z/p). Si p = 3 (mod 4) ý m
es un residuo cuadrático en (Z/p), entonces: (-m) no es un
residuo cuadrático en (Z/p).

2 2 2 w 2 Durante la presente obra aparecerán
símbolos como a, ß, d, ?, f, ?, s,…, que nada
tendrán que ver con otras matemáticas, y que
aquí, simplemente, quedarán denotadas como
elementos de Z, N,…, y que aparecerán como tales para
diferenciarlos de otros más ordinarios. Y para destacarlos
de los mismos de una forma más directa y visual,
finalmente también, por resaltar de ellos diversas
particularidades (las que correspondan), que otros elementos no
posean. La hipótesis central y las demostraciones
oportunas de la misma se encuentran en la parte IIda. de este
temario. La parte Ira. será necesaria para la
hipótesis que se expondrá brevemente a
continuación a modo de resumen. Se incluirá
también un anexo, (págs. 88-99), que puede ser
omitible, pues de él sólo se extraen ciertas
particularidades no transcendentales. Al inicio de cada parte se
incluirá una breve introducción para mejor
comprensión de la misma. Expondremos a continuación
algunos de los puntos más relevantes de la
hipótesis propuesta en la proposición 21ra.
págs. 39-43 (se omitirán ciertas particularidades
aquí, por ser difícil definirlas brevemente).
Inciso Importante: De la parte Ira del temario se obtendrá
un elemento denotado por el símbolo s cuyo valor
numérico dependerá de las siguientes condicionales
tal que: si p = 1 (mod 4) entonces s = -1 si p = 3 (mod 8)
entonces s = -2 si p = 7 (mod 8) entonces s = +2 además si
p es primo entonces: ? a ? Z , a ? (1,p-1) / (importante ver:
pág 39) (±a)2 = s (mod p) ? s ? residuo
cuadrático Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod
p) entonces: {±k}2 s (mod p) y en cambio si: p no es
primo, entonces puede existir (ó no) un elemento ß?
Z, con: ß? (1,p-1) / (±ß)2 = s (mod p) •
si ? ß entonces existen** otros elementos: ß´,
ß´´, ß´´´
,…,ß´w pertenecientes al intervalo (1,p-1),
distintos entre si, (no congruentes entre si) y que en cambio:
(±ß) = (±ß´) =
(±ß´´) =…= (±ß´ ) =
s (mod p) ** salvo ciertos números compuestos que
serán tratados y claramente diferenciados de los
números primos.

? s? Nota 1ra: El valor a expresado en la página anterior,
se obtiene mediante una ecuación, (omitimos expresarla
aquí, por ser laboriosa la definición de la misma
ver: página 10), y que sólo se cumple, si: p es
primo, es decir, que para todo p no primo, dicho valor no existe,
pero en cambio, pueden (ó no) existir otros valores
enteros ß? Z, ß? (1, p-1) /
(±ß´i)2 = s (mod p) Todo ello analizado y
demostrado pertinentemente. Hipótesis (ver
proposición 21ra) págs. 39-43 ? p? N, p? impar
entonces: Iro) Si p es primo ? ? x,y? Z{0} tal que: p = x2 – s
• y2 , siendo x? impar con: s =-1 si: p = 4k+1, s =-2 si: p
= 8k+3 ? s =+2 si: p = 8k+7 ** ? y? par si: p = 1 (mod 4)
é y? impar si: p = 3 (mod 4) además: • si: p =
4k+1 ó p = 8k+3 Entonces: sean: x´, y´ ? Z{0}
/ ? x´?±x ? y´?±y ? p? x´2 – s
• y´2 • si: p = 8k+7 residuo cuadrático en
Z/p (±a raíces de s *) entonces ? x´,
y´ ? Z{0} / x´?±x ? y´?±y / p =
x´2 – s • y´2 = x´´2 – s •
y´´2 =…= (x´w)2 – s • (y´w)2
• / ? a? Z, a ? (1,p-1) / (±a)2 = s (mod p) ?p primo.
? s? residuo cuadrático en Z/p (±a raíces de
s *) (*) Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p)
entonces: {±k}2 s (mod p) (conjetura de Albert Girard
ý lema de Thue) ** (Nota 2da, muy importante:) estamos
afirmando claramente que: -1 es residuo cuadrático en Z/p
para los números primos de la forma p = 4k+1, que -2 es
residuo cuadrático en Z/p para los números primos
de la forma p=8k+3, y que 2 es residuo cuadrático en Z/p
para los números primos de la forma p=8k+7. Debe quedar
claro, que para los números primos de la forma p = 8k+1
los valores -2 y 2 también son residuo cuadrático
en Z/p (esto no se demostrará). Pero que el valor s para
tales primos (p=8k+1 ó p=8k+5 es decir para: p = 4k+1)
será s =-1. (ver: punto VI pág 9 otros residuos
cuadráticos en Z/p.)

IIdo) Algo más compleja y extensa: caso en que p no es
primo. i) si: p ? x2 – s • y2 ? x,y? Z, x? impar ? ?
µ? (1,p-1) ? (±µ)2 s (mod p) ii) si: p = x2 –
s • y2 = x´2 – s • y´2 = x´´2 –
s • y´´2 =…= (x´w)2 – s •
(y´w)2 ?x´i?±x´j, i?j( ?
y´i?±y´j ) con: x´m,y´m ? Z{0}
Siendo: f0(p) = x2 – s • y2, f1(p) = x´2 – s •
y´2, f2(p) = x´´2 – s •
y´´2,…, ,…, fw(p) = (x´w)2 – s •
(y´w)2 / p = f0(p) = f1(p) = f2(p) =…= fw(p) Y tal que: ?
al menos f0(p) ý f1(p) que cumplen dicha igualdad con p
Entonces en Z/p ocurre que si: s? residuo cuadrático en
Z/p ? ? fi(p) = (x´i)2 – s • (y´i)2 ? fj(p) =
(x´j)2 – s • (y´j)2 ecuaciones
cuadráticas distintas / p = (x´i)2 – s •
(y´i)2 = (x´j)2 – s • (y´j)2 ?
mcd(x´i,y´i)=±1 ?
mcd(x´j,y´j)=±1 es decir, existen (al
menos**): ß?ß´ ? (1,p-1) / ß
±ß´ (mod p) y en cambio: {±
ß}2={±ß´}2= s (mod p) ** (a diferencia
de los números primos que sólo tienen dos
raíces a ý (p-a) en el intervalo (1,p-1) ý
de ciertos cuadrados perfectos, como se verá en el
siguiente apartado iii.) iii) si p no es primo ý p?
cuadrado perfecto impar*, entonces: ó: p = x2 – s •
y2 = f0(p), x?0 (x? impar) ? y = 0 / ? fi>0(p) = p ó: p
= x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2, x?0, y = 0 /
x´ ? Z(±x,0) ? y´ ? Z(±y,0) es decir
p = f0(p) = f1(p) Además: ? ß ? Z , ß? (1,p-1)
/ (±ß)2 = s (mod p) ? s? residuo cuadrático
en Z/p Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±ß (mod p)
entonces: {±k}2 s (mod p)

ó: * * p = x2 – s • y2 = x´2 – s •
y´2 = x´´2 – s • y´´2 =…=
(x´w)2 – s • (y´w)2 es decir: p = f0(p) = f1(p)
= f2(p) =…= fw(p) / Card[f(p)] = 3 tal que: Card[f(p)] = 3
ý 4 = Card[ß ] = 2w ** * se cumple que: ?p? cuadrado
perfecto impar ? p = 1 (mod 8) siempre. ý además: ?
ß? Z / {±ß}2= s (mod p) syss: ? f1(p) = p **
dada la ecuación cuadrática: p = (x´i)2 – s
• (y´i)2 ? (x´i)2 = s • (y´i)2 (mod
p) Tal que: existe ß´i si y sólo si:
mcd(x´i, y´i) = ±1 / x´i
=±ß´i • y´i (mod p) pues si
mcd(x´i, y´i) =k , k?±1 entonces k|p ?? k-1 en
Z/p ?? (x´i)-1, (y´i)-1 en Z/p, pues: k|x´i ?
k|y´i Importante: si ß es raíz de s en Z/p
también lo es (p-ß) y por tanto, se expone que 4 =
Card[ß ] = 2w , como mímimo existen cuatro
raíces de s en Z/p, en el intervalo (1,p-1). es decir,
existen también (ý al menos): ß´ ?
(p-ß´) raíces de s en Z/p iv) Sea p = q •
q´ , p no primo impar, p>1 siendo: q,q´ ? impares,
1< q < p / q? cuadrado perfecto ? q´ ? cuadrado
perfecto siendo: p = x2 – s • y2 = f0(p), x,y? Z{0} ? p?
fi>0(p) es decir, siendo: x´,y´ ? Z / ?
x´?±x ? ? y´?±y ? p ? x´2 – s
• y´2 es decir: Card[f(p)] =1 Tal que en Z/p?x2 = sy2
(mod p). pero ocurre que: ?µ? (1,p-1)?{±µ}2 s
(mod p) (a diferencia de si p es primo (punto Iro) donde: ? a?
(1,p-1) / {±a}2 = s (mod p) (pág 5) ) v) Sea p = q
• q´ (p no primo impar p>1), siendo: q,q´ ?
impares, 1

? x´2 2 (1,p-1) entonces: ? f1(p) = x´2 – s •
y´2, con: x´,y´ ? Z / ? x´?±x ? ?
y´?±y 1 | ±x´ | < 2 (p+1) tal que: p
= x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2 ? p = f0(p) =
f1(p) entonces, por ser p no primo: ? ? ß´ ? Z,
ß´ ? (1,p-1){±ß}, es decir:
ß´ ±ß (mod p) , equivalentemente: x2 – s
• y2 = 0 (mod p) ? x2 = s • y2 (mod p)? x =
±ß • y (mod p) – s • y´2 = 0 (mod p)
? x´2 = s • y´2(mod p)? x´ =
±ß´ • y´(mod p) tal que: ß
±ß´ (mod p) ? {±ß}2 =
{±ß´}2 = s (mod p) IIIro) por todo lo
expresado en los puntos anteriores (incluido el inciso previo de
la pág 4) tendremos que: p es primo impar, si y
sólo si: p = x2 – s • y2 , x,y? Z{0}, con: f0(p) =
x2 – s • y2 ý además, si y sólo si: ?
a? (1,p-1) / {±a}2 = s (mod p) siendo: s = -1 si p = 1
(mod 4) s = -2 si p = 3 (mod 8) s = +2 si p = 7 (mod 8) Tal que:
? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p) entonces: {±k}2 s
(mod p) Además si: p 7 (mod 8) entonces: p? x´ – s
• y´2 ? x´?±x ? ? y´?± y
IVto) ?p? impar, p>1 , primo ó no primo. si: ? al menos
f0(p) / p = f0(p) = x2 – s • y2 entonces: x? impar siempre,
lo tomamos como referencia impuesta, obteniendo entonces que la
variable (y) es…: y? par si: p = 1 (mod 4) y? impar si: p
= 3 (mod 4) Vto) sea p = x2 – s • y2 / p ? impar, p>1 ,
primo ó no primo. ý además: puede (ó
no) darse la existencia de f1(p), f2(p), f3(p),…, fw(p), tales
que; p= fi>0(p) = (x´i)2 – s • (y´i)2,
i=1,2,…,w entonces en Z/p: ?x2 = sy2 (mod p) se podrá
obtener el valor ß (de existir*) / ß? ?
{±ß}2 = s (mod p) es decir: x =±ß
• y (mod p) syss*: mcd(x,y)=±1

2 VIto) Sea q primo, q>2 Ý sea: ?? (-[p-1],p-1) / ??
residuo cuadrático en Z/q, para todos los primos de la
forma: q=8k+1 ý/ó q=8k+3 ý/ó q=8k+5
ý/ó q=8k+7 De manera que se cumpla además
que: q = a2 – ? • b2 , a,b ? Z{0} Entonces, tomado un
número p impar positivo particular / p = q (mod 8) se
cumple que, dicho p es primo (impar), si y sólo si: i) p =
x2 – ? • y2 , x,y? Z{0}, con: f0(p) = x2 – ? • y2 ii)
ý además, si y sólo si: ? a? (1,p-1) /
{±a}2 = ? (mod p) , mcd(x,y)=±1 /? k ? Z, k?
(p,p-1) ? k ±a (mod p) ** entonces: {±k}2 ? (mod p)
• Además si: (-?)>0 entonces: p? x´2 – ?
• y´2 ? x´?±x ? ? y´?±y
ó bien si (-?)<0 entonces pueden existir (al menos):
x´?±x ? y´?±y , tales que: p = x2 – ?
• y2 = x´2 – ? • y´2 / x =±ay (mod
p) ? x´ =±ay´ (mod p) ** • Pudiendo
diferenciar dicho valor p primo de cualquier valor p´ no
primo tal que: p = p´ (mod 8) pues dicho valor compuesto
p´, ó no tiene raíces en Z/p´ para el
valor ? (? no es residuo cuadrático en Z/p´ ) o bien
existen al menos 4 raíces del mismo, en el intervalo (1,p
´-1), ó bien p´ es un cuadrado perfecto,
ó mcd (x,y)?±1. • el punto IV, aquí es
irrelevante p es impar x puede ser impar ó par dependiendo
de los valores del residuo cuadrático (d) ý de si
la variable (y) tal que: -? • y´ sea un valor impar
ó par. • Finalmente podremos tomar un valor impar
p=8k+r, tal que p=x2-? • y2, x,y? Z{0} y se conozca del
mismo que: ? residuo cuadrático en Z/p ý: ??
(-[p-1],p-1) e indiferentemente de si lo es para cualquier otro
primo p´=8k´+r. pudiéndose obtener
además, si dicho p es primo ó no. Dependiendo de si
existen más raíces de ? en Z/p, más
ecuaciones cuadráticas para dicho valor p (dependiendo de
si (-?)>0 ó si (-?)<0) , si es un cuadrado perfecto,
ó mcd (x,y)?±1.,…etc. // Nota 1ra. dichas
premisas están expuestas en la parte II en la
(proposición 21ra. págs 39-43) Nota 2da. se
expondrá a continuación en la parte I del temario
la “resolución” del valor a, es decir: las
demostraciones oportunas para denotar que: s es residuo
cuadrático en Z/p para todo p primo impar / s = -1 si p =
1 (mod 4), s = -2 si p = 3 (mod 8), s = +2 si p = 7 (mod 8) y tal
que: ? a? Z, a? (1,p-1) / (±a)2 = s (mod p) ?p primo impar
así como la ecuación/es para hallar dicho valor a.
(En la siguiente página se incluye a modo de
introducción dichos resultados que se demostrarán
obviamente a lo largo de la parte I del temario.)

1 2 1 2 • 2 / Parte Ira. Introducción De la cual se
obtendrán, entre otros, los siguientes resultados. Siendo
p? Z, p>0 ? p? impar entonces. p = 2f+1 / f =2 ? si: p = 1
(mod 4) f =2 ? + 1 si: p = 3 (mod 4) tal que: = {1 • 3
• 5 • 7 • 9 • … • (2i-1) •
(2i+1)}, t? N ý siendo: i= f – 1 si: p = 1 (mod 4) i =
(f-1) si: p = 3 (mod 4) si: p entonces se cumple que: 5 (mod 8) ?
( ? !)2= s (mod p) ** si y sólo si p es primo impar si: p
= 5 (mod 8) ? [(2) ] = s (mod p) ?p primo impar siendo: s = -1 s
= -2 s = +2 si: p = 1 (mod 4) si: p = 3 (mod 8) si: p = 7 (mod 8)
Por lo cual, se denotará por a? (1,p-1) / ?p primo impar
Siendo: a = ( • ? !) (mod p) ** si: p 5 (mod 8) a = [(2) ]
(mod p) si: p = 5 (mod 8) a2 = s (mod p), siendo: s? residuo
cuadrático en Z/p [1] s? residuo cuadrático en Z/p
siempre que p sea primo, ý s puede ser (ó no)
residuo cuadrático en Z/p si p es compuesto. [2]
recuérdese que: s puede ser (ó no) residuo
cuadrático en Z/p si p es compuesto. En tales casos
denotaremos como: ß, (p- ß), ß´, (p-
ß´),…, ß´w, (p- ß´w) a las
raíces de s en Z/p (en caso de existir). y como: ß*
a una de ellas cualquiera sin especificar. Y no por el valor a
para diferenciar ambos casos (primo/compuesto) [3] si p es
compuesto impar tenemos que a no existe**. Pues no se cumplen las
congruencias expuestas en las ecuaciones anteriores. //

/ ? Proposición 1ra) Sea p? Z, p>0 ? p? impar /
denotaremos por f? N p = 2f+1 de forma que, por el teorema de
Wilson: (p-1)! = -1 (mod p) si ý sólo si p es
primo. • …tenemos equivalentemente que: [p-1](p-2)! = -1
(mod p) syss: p es primo. • suponiendo que tomado p primo
particular, entonces es trivial que: ? (a)-1 ?a? [1,p-1] / a
• (a)-1 = 1 (mod p) de forma que: • aplicamos (p-1) -1
, a nuestra ecuación modular, obteniendo que: (p-2)! = +1
(mod p) syss: p es primo. • es trivial que: p-2 = 2f-1 ?
equivalentemente tenemos que: (2f-1)! = 1 (mod p) syss: p es
primo. Proposición 2da) equivalentemente resultará
que: [2f-1](2f-2)! = 1 (mod p) syss: p es primo. es trivial que:
2-1 = -f (mod p) , p = 2f +1 f-1 = -2 (mod p) aplicaremos un
proceso de iteración semejante a la operación
realizada tal que: 1ro ° aplic. (2)-1 ? [f+f](2f-2)! = (2)-1
(mod p) syss: p es primo. (es trivial que: (2)-1 [2f-1] = [f+f]
(mod p) ) [2f](2f-2)! = (2)-1 = -f (mod p) syss: p es primo. p =
2f+1 ? 2f = p-1 / en Z/p ? 2f = -1 (mod p) aplic.
(f)-1?[2](2f-2)! = -2(2)-1 (mod p) syss: p es primo. ?[2][
2f-2](2f-3)! = -1 (mod p)* syss: p es primo. 2do ° aplic.
(2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ? [2][ f+2f](2f-3)! = f (mod p)*
syss: p es primo. aplic. (f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? [2 •
3](2f-3)! = 1 (mod p) syss: p es primo. ? [2 • 3][
2f-3](2f-4)! = 1 (mod p)** syss: p es primo.

+1) +1) 3ro ° aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p)** ? ? [2
• 3][ f+3f](2f-4)! = -f (mod p) syss: p es primo. aplic.
(f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? [2 • 3 • 4](2f-4)! = 2f
= -1 (mod p) syss: p es primo. (…) de forma que realizadas
i-ésimas iteraciones obtendríamos equivalentemente:
(i)!(2f-i)! = {-1}(i+1) (mod p) syss: p es primo. ?i? N
demostración: tenemos que la expresión anterior es
equivalente a: (i)![2f-i] • (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) (mod p)
syss: p es primo. aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ?
(i)![f+fi] • (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) • (-f) (mod p)
syss: p es primo. aplic. (f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? (i)![i+1]
• (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) • (-1) (mod p) syss: p es
primo. ? (i+1)! • (2f-[i+1])! = {-1}(i+2) (mod p) syss: p es
primo. denotamos por j=i+1 / ? (j)! • (2f-j)! = {-1}(j+1)
(mod p) syss: p es primo. ?j? N fórmula equivalente.
Proposición 3ra) Sea i = f entonces por lo obtenido
anteriormente resulta que: ? (f)!(2f-f)! = {-1}( +1) (mod p)
syss: p es primo. ? (f)!(f)! = {-1}( ? {(f)!}2 = {-1}( (mod p)
syss: p es primo. (mod p) syss: p es primo.

2 ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) 2 1/2 +1) +1) ( +1) 1/2
Proposición 4ta) Sea n? N, entonces es trivial que: {(f)!}
= {-1} + p • n, (para algún valor n) ?(f)! = ({-1}(
+1) + p • n)1/2 pudiendo expresar en Z/p que: (f)! = a (mod
p), a? [1,p-1] tal que: a2={-1} (mod p) syss: p es primo. es
decir: ({-1} ) es un residuo cuadrático en Z/p porque:
((f)!)2 es un residuo cuadrático en Z/p , pues es un
cuadrado perfecto denotaremos por e? Z / ±e = ({-1} + p
• n) 1/2 para comodidad y abreviaturas gráficas, de
modo que podemos expresar que: {(f)!} = ±e (mod p) syss: p
es primo. Proposición 5ta) Teníamos de la
proposición anterior que: {(f)!} = {(f)} • {(f-1)!}
=±e (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e = ({-1} +
p • n) ? Z ? {(f)!} = {-1} + p • n , n? N. como sabemos
que: p = 2f + 1 / 2-1 = -f (mod p) f-1 = -2 (mod p) aplicando f-1
a ambas partes de la congruencia, obtendremos: {(f-1)!} =
±e(-2) (mod p) syss: p es primo. (**[1]) Sea la
aplicación [?2] (elevando al cuadrado) obteniendo que:
{(f-1)!}2 = {±e}2(-2)2 (mod p) syss: p es primo.
?{(f-1)!}2 = ({-1}( ?{(f-1)!}2 = 4({-1}( + p • n) (-2)2 (mod
p) syss: p es primo. ) (mod p) syss: p es primo.
Proposición 6ta) De la proposición anterior y
mediante un proceso iterativo equivalentemente, tendremos que:
{(f-1)!} = ±e(-2) (mod p) syss: p es primo. ?[f-1](f-2)! =
(-2){±e} (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e =
({-1} + p • n) ? Z

( +1) aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ?(2)-1[f-1](f-2)! =
(-1){±e} (mod p) syss: p es primo. (ver: **[1] pág
anterior.) Inciso importante: (2)-1[f-k] = (2)-1{-2-1-k} (mod p),
k? N sabemos que (2)-1 = -f (mod p) (ver: proposición 2da)
? (2)-1[f-k] = (2)-1{-2-1-k} = -2-1{2-1+k} = f{2-1+k} (mod p), k?
N ?(2)-1[f-k] = {k+2-1}f (mod p), k? N además es trivial
que: {k+2-1} = {2k+1}(2)-1 (mod p) ° Sea k=1, tendremos que:
?(2)-1[f-1] =-f[f-1] = [1-f]f = {1+2-1}f (mod p) ?(2)-1[f-1] =
{1+2-1}f = {2+1}(2)-1f = {3}(2)-1 f (mod p) de forma que **[1]:
(2)-1[f-1](f-2)! = (-1){±e} (mod p) syss: p es primo.
resulta equivalente a: {3}(2)-1f(f-2)! = (-1){±e} (mod p)
syss: p es primo. como: (2)-1 = -f (mod p) ? (2) = -f-1 (mod p) ?
-2 = f-1 (mod p) aplicando por [f-1]: ?{3}(2)-1(f-2)! =
(2){±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3}(2)-1[f-2](f-3)! =
(2){±e} (mod p)**[2] syss: p es primo. siendo: ±e =
({-1} + p • n) 1/2 ° Sea ahora k=2, tendremos que: como:
(2)-1[f-k] = {k+2-1}f (mod p), k? N ?(2)-1[f-2] = {2+2-1}f (mod
p) ?(2)-1[f-2] = {2+2-1}f = {4+1}2-1f = {5}(2)-1 f (mod p)

( +1) 1/2 de forma que: {3}(2)-1[f-2](f-3)! = (2){±e} (mod
p)**[2] syss: p es primo. es equivalente a: ?{3}{5}(2)-1f (f-3)!
= (2){±e} (mod p) syss: p es primo. como: f-1 = -2 (mod p)
ý aplicando por [f-1], tenemos que: ?{3 •
5}(2)-1(f-3)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3
• 5}(2)-1[f-3](f-4)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es
primo. ° Sea ahora k=3, tendremos que: como: (2)-1[f-k] =
{k+2-1}f (mod p), k? N ?(2)-1[f-3] = {3+2-1}f (mod p) ?(2)-1[f-3]
= {3+2-1}f = {6+1}2-1f = {7}(2)-1 f (mod p) de forma que: {3
• 5}(2)-1[f-3](f-4)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es
primo. es equivalente a: ?{3}{5}{7}(2)-1f (f-4)! =
[-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. como: f-1 = -2 (mod p)
ý aplicando por [f-1], tenemos que: ?{3 • 5 •
7}(2)-1(f-4)! = (-2)[-22]{±e} (mod p) syss: p es primo.
?{3 • 5 • 7}(2)-1(f-4)! = [23]{±e} (mod p) syss:
p es primo. ?{3 • 5 • 7}(2)-1[f-4](f-5)! =
[23]{±e} (mod p) syss: p es primo. (…) ° Realizando
las iteraciones precisas, obtenemos para el i-ésimo
término que: {(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)}(2)-1[f-i]
• (f-[i+1])! =… …= (-1)i[2i-1]{±e} (mod p) syss:
p es primo. (** [3]) equivalentemente:
{(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)(1)} • (f-i)! =
(-1)i[2i]{±e} (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e
= ({-1} + p • n) ? Z , ?i? N{0} (omitimos la
demostración por resultar trivial por
inducción.)

( +1) 1/2 -1 -1 – Proposición 7ma) Tomando de la
ecuación modular anterior el caso concreto tal que i = f,
tendremos equivalentemente que: {(2f-1)(2f-3)(2f-5)…(5)(3)(1)}
• (f-f)! = (-1) [2 ]{±e} (mod p) syss: p es primo.
cláramente: (0)! = 1 ?{(2f-1)(2f-3)(2f-5)…(5)(3)(1)} =
(-1) [2 ]{±e} (mod p) syss: p es primo. Siendo: ±e
= ({-1} + p • n) ? Z , ?i? N{0} Inciso importante: Es claro
que: (p-1)! = (-1) (mod p) syss: p es primo. (tma Wilson)
Ý habiamos denotado que: p = 2f+1? podemos expresar que:
(p-1)! = (2f)! = (-1) (mod p) ? [2f](2f-1)! = (-1) (mod p) syss:
p es primo. Ahora bien: 2f = (-1) (mod p), p = 2f+1* trivial.
como suponemos que p es primo. ? ?a? N, a? (0,p)? ? a-1
único / a • a-1 = 1 (mod p) ? ? (2f) -1 con: (2f) -1
= 2-1f-1 (mod p) ý es trivial (*) que: (2f) -1 = (-1) (mod
p) como teníamos que: [2f](2f-1)! = (-1) (mod p) syss: p
es primo. Aplicando (2f) -1 obtendremos que: (2f-1)! = 1 (mod p)
syss: p es primo. Corolario) podemos argumentar equivalentemente
que: (2f-1)! • {(2f-1)( 2f-3)( 2f-5)…(5 • 3 •
1)} -1 = (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…(4 • 2) =.. …= {(-1) [2
]{±e}} (mod p) syss: p es primo. pues de la
proposición 6ta pág anterior (** [3])
teníamos que: {(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)(1)} •
(f-i)! = (-1)i[2i]{±e} (mod p) trivial ? (2f-2)(2f-4)(
2f-6)…( 6 • 4 • 2) = (-1)- [2 ]{±e} (mod p)
syss: p es primo.

( +1) 1/2 Z – ( -1) – – {±e} 1 – – – -1) ( +1) 1/2 – -1) –
( +1) 1/2 – ( -1) [ – -1 -1) ( +1) 1/2 ° Teníamos que:
(2)-1 = -f (mod p) (prop. 2da pág 11) ? (-1)-1 =(-1) (mod
p) de forma que resulta equivalente que: (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…(
6 • 4 • 2) = (-1) [ -f] {±e}-1 (mod p) syss: p
es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ?
Proposición 8va) Sea {An} = {2f-2, 2f-4, 2f-6,…, 6, 4,
2}, sucesión de elementos pares. 1 entonces: #{An} =
Card(An) = (f-1) = 2 (2f-2) trivial. de forma que, aplicando {2 }
1 a la ecuación modular resultante del corolario anterior,
obteniéndose que: (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…( 6 • 4
• 2) • {2( -1)} 1={2( -1)} 1(-1) [ -f] (mod p) ?
(f-1)(f-2)( f-3)…( 3 • 2 • 1) ={2( } 1(-1) [ -f]
{±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e =
({-1} obteniendo equivalentemente que: + p • n) ? Z ? (f-1)!
={2( } 1(-1) [ -f] {±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ?
siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z de la
proposición 2da pág 11, tenemos que: 2-1 = -f (mod
p), p = 2f+1 de forma que: ?{2 } 1 = [-f]( -1) (mod p) ? ? (f-1)!
= (-1) [-f]( -1) -f] {±e} 1 (mod p) ?(f-1)! = (-1) [-f](2
{±e} (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1}
+ p • n) ? Z

(p-1) -1) -1 -1 -1 – ( +1) 1/2 ( +1) ( +1) 2 1/2 ( +1) -1 ( +1)
-1 +1) -1) ( – ) ( + ) Inciso previo: por la proposición
2da. pág 11. resulta que: 2-1 = -f (mod p) ? ? [-f](2 -1)
= [2] -(2 -1) = [2] -(p-2) (mod p), por ser: p = 2f+1 sabemos que
por el pequeño tma de Fermat: 2 = 1 (mod p) ? p primo.
?2-(p-1) = 1 (mod p) ? p primo. ? aplicando [ • 2] tenemos:
?2-(p-2) = 2 (mod p) ? p primo. (…) ? (f-1)! = (-1) [-f](2
{±e} = (-1) [2] -(p-2) {±e} =… …= (-1)
[2]{±e} (mod p) si y sólo si p es primo. ?(f-1)! =
(-1) [2]{±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo:
±e = ({-1} + p • n) ? Z Corolario) Aplicando [%2]
(elevando al cuadrado) ambas partes de la ecuación modular
resultante, tendremos que: { (f-1)!}2 = (-1)2 [4]{±e}-2 =
(-1)2 [4]{±e2}-1 (mod p) como: ±e = ({-1} + p
• n) ?{±e } = ({-1} + p • n) ?{ (f-1)!}2 = (-1)2
[4]({-1} + p • n) (mod p) ?{ (f-1)!}2 = (-1)2 ?{ (f-1)!}2 =
{-1}( [4]({-1} ) = (-1)2 {-1}-( [4] (mod p), syss: p es primo.
[4] (mod p) (ver proposición 5ta. Pág. 13) Ojo:
{-1} 1 = {-1} 1 (mod p) (en la prop. 5ta resultaba exponente
(f+1), ambos resultados son equivalentes)

-1)/2} {( -1)/2} {( -1)/2} (-1/2) /2) – Proposición 9na)
Por el Corolario anterior, podemos argumentar que: { (f-1)!}2 =
{-1}( -1)[4] (mod p), syss: p es primo. ?{ (f-1)!} =
±{-1}{( Corolario 1ro) [4](1/2) (mod p), syss: p es primo.
Del coeficiente ±{-1} tenemos dos posibilidades: 2|(f-1)
ó 2 (f-1) i) 2|(f-1) ? f? impar ? p = 3 (mod 4), trivial:
f = 2n+1 ? p = 2f+1 ? p = 2(2n+1)+1 = 4n+3 ii) 2 (f-1) ? f? par ?
p = 1 (mod 4), trivial: f = 2n ? p = 2f+1 ? p = 2(2n)+1 = 4n+1
además: ?2|f de forma que: { (f-1)!} = ±{-1}
[4](1/2) (mod p) ?{ (f-1)!} = ±{-1}( {-1} [2] (mod p)
syss: p es primo. entonces ha de existir un elemento a? (1,p-1) /
±a = {-1}(-1/2) (mod p) demostración:
?{±a}2={-1}{ 1}= {-1} (mod p) Pero sabemos por el apartado
iv) (pág. 3) [siendo p primo] que: si p = 1 (mod 4)
ý m es un residuo cuadrático en (Z/p), entonces
(-m) es también un residuo cuadrático en (Z/p),
ý como es trivial que 1 es un residuo cuadrático (1
es cuadrado perfecto) en ( Z/p) ? -1 también lo es. Por
tanto ? a? (1,p-1) / ±a = {-1}{-1/2}(mod p) QED.

– ( +1) 1/2 1/2 – +1) +1) 1/2 -1 1/2 – +1) +1) 1/2 -1 Corolario
2do) De la proposición 8va. (pág 18)
teníamos que: (f-1)! = (-1) [2]{±e} 1 (mod p) syss:
p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z caso i)
f? impar (? p = 3 (mod 4) ) ?(f-1)! = -2{±e}-1 (mod p)
?(f-1)! = -2{({-1}( ?(f-1)! = -2{({-1}( + p • n) } 1 (mod p)
) } (mod p), como (f+1)? par ?(f-1)! = -2{(1)1/2}-1 = -2{(1)
-1}1/2 (mod p), ý como 1-1 =1(mod p) ?(f-1)! = -2(1)1/2
(mod p) ?{ (f-1)!}2 = 4 (mod p), syss: p es primo. caso ii) f?
par (? p = 1 (mod 4) ) ?(f-1)! = 2{±e}-1 (mod p) ?(f-1)! =
2{({-1}( ?(f-1)! = 2{({-1}( + p • n) } 1 (mod p) ) } (mod
p), como (f+1)? impar ?(f-1)! = 2{(-1)1/2}-1 = 2{(-1)-1}1/2 (mod
p), ý como -1-1 =-1(mod p) ?(f-1)! = -2(-1)1/2 (mod p) ?{
(f-1)!}2 = -4 (mod p), syss: p es primo. Inciso: Si p es primo.
por lo general: (f-1)! = 0 (mod p) excepto casos, como p = 9 que
no es primo / (f=4) ? (f-1)! = 3! = 6 (mod p). Proposición
10ma) i) Denotaremos por f = ? + r , f,?,r? N / de forma trivial
resulta que: p = 2f+1 = 2?+{2r+1}

( +1) 1/2 ii) Busquemos el valor ? -1 / 2? = -{2r+1} (mod p) ?? =
-2-1 • {2r+1} (mod p), trivialmente se resuelve que: ? ? -1
= -2 • {2r+1}-1 (mod p) Nota: el valor: {2r+1}-1 (mod p)
puede no resultar factible en su obtención, pero
será innecesaria la resolución del mismo para
nuestros procedimientos. // iii) de la proposición 4ta.
(pág 13) resultaba que: (f)! =±e (mod p) syss: p es
primo. siendo ±e = ({-1} + p • n) ? Z del aptdo ii.
anterior resultará equivalente que: (f)! = (?+r)! =
[?+r](?+r-1)! = ±e (mod p), syss: p es primo. iv) Sea
[?+r-?] , ?? N, aplicando ? -1 / (? -1 = -2 • {2r+1}-1 (mod
p) aptdo ii.) obtendremos equivalentemente que: ?-1[?+r-?] = 1+?
-1(r-?) (mod p) ? ?-1[?+r-?] = 1+(-2){2r+1}-1(r-?) (mod p) ?
?-1[?+r-?] = 1+{2r+1}-1(-2r+2?) (mod p) ? ?-1[?+r-?] =
1+{2r+1}-1(-2r-1+2?+1) (mod p), ({2r+1}-1(-2r-1) = -1* mod p) ?
?-1[?+r-?] = 1-1*+{2r+1}-1(+2?+1) (mod p) ? ? -1[?+r-?] =
{2r+1}-1(+2?+1) (mod p), ?p? N Proposición 11ra)
teníamos del aptdo iii) de la proposición anterior
que: (f)! = (?+r)! = [?+r](?+r-1)! = ±e (mod p), syss: p
es primo. como: f = ? + r ? f-1 = -2 (mod p) ?(?+r)-1 = f-1 = -2
(mod p) ? [?+r-1]! = -2{±e} (mod p), syss: p es primo.
° De forma equivalente tenemos que: [?+r-1*](?+r-2)! =
-2{±e} (mod p), syss: p es primo. ?1=1* (? definida en
aptdo iv) proposición anterior)

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