TEMA 5. ANÁLISIS DE VALOR PRESENTE
PROBLEMA 1.- (5.8) – Una empresa de servicios de electricidad considera dos alternativas
para satisfacer las normas del estado, relacionadas con el control de la contaminación en una de
sus estaciones generadoras. Dicha estación particular se localiza en la periferia de una ciudad
principal de Estados Unidos y a poca distancia de una gran urbe en un país vecino. La estación
normalmente produce exceso de VOC y óxidos de nitrógeno. Se han propuesto dos planes para
satisfacer los mecanismos reguladores. El plan A consiste en remplazar los quemadores y
sustituir el combustible por gas natural. El costo de la opción será de $300.000 iniciales y
$900.000 adicionales por año en costo de combustible. El plan B implica ir a la ciudad extranjera
y tender ductos de gas a varios de los lugares de construcción de ladrillos del patio trasero, que
ahora emplean madera, llantas y otros materiales combustibles de desecho para hornear los
ladrillos. La idea detrás del plan B consiste en que la reducción de la contaminación por
partículas, responsable del smog en la ciudad cercana, sería de mayor beneficio para los
ciudadanos de Estados Unidos mediante el plan A. el costo inicial del plan B será de $1.2
millones por la instalación de los ductos. Además la firma de electricidad subsidiaría el costo del
gas para los fabricantes de ladrillos con una suma de hasta $200000 anuales. La toma extra de
muestras relacionadas con este plan tendrá un costo adicional de $150.000 anuales. En el caso de
un periodo de proyecto de 10 años sin valor de salvamento para ninguno de los planes. ¿Cuál
debería elegirse sobre la base de un análisis de valor presente a una tasa de interés de 12 %
anual?
DATOS:
COSTOS
II $
COP ( $/ AÑO)
SUBSIDIO
N (AÑO)
INTERES
PLAN A
300.000
900.000
10
12% ANUAL
PLAN B
1,2 X 106
150.000
200.000
10
900.000
$ 1,2 x 10
SOLUCIÓN:
PLAN A
1
0
900.000
$ 300.000
Vp ( t = 0)A = – 900.000 (P/A, 12%, 10) – 300.000
Vp ( t = 0)A = – 900.000 x 5,6502 – 300.000
Vp ( t = 0)A = – 5.085.180 – 300.000 = 5.325.180
Vp ( t = 0)A = – $ 5.385.180
PLAN B
1
10 años
10 años
0
$150.000
+ 200.000
$ 300.000
Vp ( t = 0)B = – 1,2 x 106 – 350.000 (P/A, 12%, 10)
Vp ( t = 0)B = – 1,2 x 106 – 350.000 x 5,6502 = – 3.177.570
Vp ( t = 0)B = – $ 3.177.570
Comparando:
Vp (A) t = 0 > Vp (B) t = 0
– $ 5.385.180 > – $ 5.385.180
La alternativa seleccionada es la del plan B, la cual representa menor costo para el inversionista.
PROBLEMA 2.- (5.11) – el dimensionamiento exacto del flujo de aire requiere un tubo recto sin
obstrucción con un mínimo de 10 diámetros corriente arriba y un mínimo de 5 diámetros
corriente abajo del dispositivo de medición. En una aplicación particular, las restricciones
físicas comprometen el diseño del tubo; por lo tanto, el ingeniero contempla instalar un calador
en el codo, sabiendo que la medida de flujo será menos exacta, aunque suficientemente buena
para el proceso de control. Este era el plan A que sería aceptable
por sólo dos años, después de
los cuales se requerirá una medida de flujo de aire más exacta. Este plan tendría un costo inicial
de $25.000 con un costo de mantenimiento anual estimado de $4.000. el plan B incluye la
instalación de un tubo sumergible de flujo de aire. El calador de acero inoxidable se instalaría en
un tubo de desagüe, con un transmisor ubicado en un área cerrada a prueba de agua sobre el riel
de mano. El costo de este sistema será de $88.000, pero debido a su exactitud no tendrá que
volverse a colocar por al menos seis años. El costo de mantenimiento se estima que será de
$1.400 anuales. Ninguno de los dos sistemas tendrá un valor de salvamento. A una tasa de interés
de 15 % anual. ¿Cuál de los dos se elegirá con base en la comparación del valor presente.
DATOS:
COSTOS
II $
COP ( $/ AÑO)
N (AÑO)
INTERES
SOLUCIÓN:
PLAN A
25.000
4.000
2
15% ANUAL
PLAN B
88.000
1.400
6
MCM
2
1
2
6
3
2
3
? MC.M = 2X3 = 6
1
PLAN A
Vp(A)(t=0)
0
1
2
3
4
5
6
=
0
1
2
4
6
=
4000
4000
4000
=
0
4.000
$25.000
$25.000
$25.000
$25.000
$25.000
$25.000
Vp(A)(t=0) = – 25.000
[1+ (P/F,15%,2) + (P/F,15%,4) – 4.000 + (P/A,15%,6)
Vp(A)(t=0) = – 25.000 (1+0,7561 + 0,5718) – 4000 (3,7845)
Vp(A)(t=0) = – 58.197,5 – 15.138 = – $73.335,5
Vp(A)(t=0) = – $73.335,5
PLAN B
1
6 años
0
$1.400
$ 88.000
Vp(B)(t=0) = – 88.000 – 1.400 (P/F,15%,6)
Vp(B)(t=0) = – 88.000 – 1.400 x 3,7845
Vp(B)(t=0) = $ – 93.298,3
Comparando:
Vp (B) t = 0 > Vp (A) t = 0
$ – 93.298,3 > $ – 73.335,5
Se selecciona el Plan A, debido a que presenta menos costo para el inversionista.
0
0
PROBLEMA 3.- (5.14) – Un ingeniero ambiental analiza tres métodos para desechar residuos
químicos no peligrosos; aplicación en tierra, incineración por cama de fluido y un contrato
privado de desechos. Los detalles de cada método aparecen a continuación. Determine cuál de
ellos tiene el menor costo sobre la base de la comparación del valor presente, a una tasa de 15%
anual.
Aplicación en tierra
Incineración
Contrato
Costo Inicial $
– 110.000
– 800.000
Costo anual, $ / año
Valor de salvamento $
Vida, años
Interés
– 95.000
15.000
3
– 60.000
250.000
6
15% Anual
– 190.000
2
SOLUCIÓN:
MCM
2
1
2
6
3
2
3
? M.C.M = 2X3 = 6
1
Aplicación en tierra
$15.000
$15.000
$15.000
0
1
3
4
6
0
1
2
3
6
$95.000
$95.000
$95.000
$110.000
$110.000
$110.000
$95.000
Vp(T)(t=0) = -110.000 –95.000 (P/A, 15%, 6)–95.000 (P/F, 15%, 3)+15.000(P/F, 15%, 6)
Vp(T)(t=0) =110.000 –95.000 x 3,7845–95.000 x 0,6575+15.000 x 0,4323 = – 525.505,5
Vp(T)(t=0) = $- 525.505,5
Vp(I)(t=0)
1
$250.000
6 años
0
$60.000
$ 800.000
Vp(I)(t=0) = – 800.000 – 60.000 (P/A,15%,6) + 250.000 (P/F,15%,6)
Vp(I)(t=0) = – – 800.000 – 60.000 x 3,7845 + 250.000 (P/F,15%,6)x 0,4323
Vp(I)(t=0) = $ – 918.995
Vp(C)(t=0
0
1
2
3
4
5
6
=
0
6
$190.000
$190.000
$190.000
$190.000
Vp(C)(t=0) = – 190.000 (P/A,15%,6)
Vp(C)(t=0)= – 190.000 x 3,7845 = – 719.055
Vp(C)(t=0) = $ – 719.055
Comparando:
Vp (T) (t = 0)
$- 525.505,5
Vp (C) ( t = 0)
$ – 719.055
Vp (I) ( t = 0)
$ – 918.995
La opción a elegir es la T, debido a que es la más rentable para el inversionista, porque tiene el
menor costo.
–
PROBLEMA 4.(5.29) – Un fabricante de marcos para ventanas busca formas de incrementar sus
ingresos instalando ventanas corredizas de triple aislamiento, que venderá principalmente en los
estados del norte de Estados Unidos. La alternativa A consiste en intensificar la publicidad por
radio y televisión. Se espera que un gasto de $600.000 en este momento incremente el ingreso en
$100.000 anuales. La alternativa B requiere la misma cantidad para el reforzamiento de los
procesos de manufactura de la planta, que mejorará las propiedades de retención de temperatura
de los sellos alrededor de cada panel de vidrio. Los nuevos ingresos para esta alternativa
empezarían lentamente con un estimado de $15.000 anuales y un crecimiento del 20% anual, y
asimismo, el producto mejorado ganó la reputación entre los constructores. La TMAR es de 6% y
los periodos máximos de proyección son de 8 años para A y 16 años para B.
Aplique tanto un análisis de recuperación como uno de valor presente al 6% para elegir la
alternativa más económica. Proporcione razones para cualquier diferencia en la alternativa
elegida entre los dos análisis.
DATOS:
COSTOS
II $
INCREMENTA LOS INGRESOS ( $/ AÑO)
CRECIMIENTO ANUAL
N (AÑO)
ALTERNATIVA A
600.000
100.000
8
ALTERNATIVA B
600.000
15.000
20%
16
SOLUCIÓN:
INTERES
TMAR
15% ANUAL
6%
MCM
8
4
2
2
2
2
16
8
4
2
2
2
? MC.M = 24 = 16
1
23
2
1
24
2
ALTERNATIVA A
Vp (A) (t = 0)
100.000
100.000
100.000
1
8
88
9
16
=
1
8
16
88
8
$ 600.000
$ 600.000
$ 600.000
$ 600.000
Vp(A)(t=0) = – 600.000 1 + (P/F,15%,8) + 100.000 (P/A,15%,16)
Vp(A)(t=0) = – 600.000 (1 + 0,6274) + 100.000 x 10,1059
Vp(A)(t=0) = – 976.440 + 1.010.590
Vp(A)(t=0) = $ 34.150
ALTERNATIVA B
J = 20%
$ 15.00
1
16
$ 600.000
1 + j np
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + A ( j )
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
1 – ( 1+ i )
i – j
1 + 0,2 16
1 – ( 1+ 0,06 )
0,06 – 0,2
1 – ( 1,13 )16
– 0,14
44,8421
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 672.632,15
Vp(B)(t=0) = $ 72.632,16
Comparando:
Vp (A) (t = 0)
$ 34.150
Vp (B) ( t = 0)
$ – 72.632,16
Se elige la alternativa B que es la más rentable para el inversionista.
Aplicando el análisis de recuperación hacemos la ecuación Vp(A)(t=0) = 0
0 = 600.000 1 + (P/F,6%,8) + 100.000 (P/A,6%,np)
0 = 600.000 – 600.000 x 0,6274 + 100.000 (P/A,6%,np)
976.440 = 100.000 (P/A,6%,np)
9,7644 = (P/A,6%,np)
10,1059 — 16
9,7644 — np
9,7122 — 15
10,1059 – 9,7644 =
10,1059 – 9,7122
0,8674 = 16 – np
np = 15,13
ALTERNATIVA A
16 – np
16 – 15
-16 + 0,8674 = -np
np = 15,13 años.
Para obtener el np de la Alternativa B, tenemos:
1 + j np
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + A ( j )
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
1 – ( 1+ i )
i – j
1 + 0,2 15
1 – ( 1+ 0,06 )
0,06 – 0,2
np = 15
=
1, 0,2 15
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
1 – ( 1,06 )
– 0,14
Vp(B)(t=0) = – 18.3412,59
1 + j np
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + A ( j )
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
Vp(B)(t=0) = – 600.000 + 15.000
1 – ( 1+ i )
i – j
1 + 0,2 16
1 – ( 1+ 0,06 )
0,06 – 0,2
1, 0,2 16
1 – ( 1,06 )
np = 16
– 0,14
Vp(B)(t=0) = 72.632,16
Interpolando se tiene:
16 ———– 72.632,16
np ———– 0
15 ———– – 18.341,59
16 – np
16 – 15
72.632,16 – 0
72.632,16 + 18.341,59
16 – np = 0,7983
ALTERNATIVA B
np = 16 – 0,7983 = 15,2
np = 15, 2 años.
10)
10)
TEMA 6. ANÁLISIS DEL VALOR ANUAL
PROBLEMA 5. (6.5) – El departamento de Energía propone nuevas reglas que indican un 20%
de incremento en la eficiencia de las lavadoras de ropa para 2004 y un 35% de incremento para
2007. Se espera que el 20% de incremento añada $100 al precio actual de una lavadora, mientras
que el 35% de incremento agregara $240 al precio actual. Si el costo en energía de la lavadora de
ropa es de $80 anuales. ¿Cual de los dos modelos propuestos es más económico sobre la base de
un análisis del valor anual, a una tasa de interés de 10% anual? Suponga una vida de 10 años para
las lavadoras de 2004 y una vida de 15 años para los modelos de 2007.
DATOS
Inversión Inicial ($)
Costo operativo actual ($)
Incremento de Eficiencia (%)
n (años)
i(%)
D.F.C Lavadora 20%
II, COP, N.
LAVADORA 2004
100
80$/año – 16$/año = 64$/año
20%
10
10
1
LAVADORA 2007
240
80$/año – 28$/año = 52$/año
35%
15
10
10
0
64$ anuales
100$
VA20%(t1
VA20%(t1
= – 100$(A/P,10%,10) – 64$/anuales = – 100$ (0,16275) – 64$/anuales
= – 80$/anuales
15)
15)
D.F.C Lavadora35%
I I,COP,N.
0
240$
1
52$ anuales
15
VA35%(t1
VA35%(t1
= – 240 (A/P,10%,15) – 52$ anuales = -240(0,13147)-52$/anuales
= – 83,55$/anuales.
Comparando los dos valores se puede concluir que las lavadoras con el 20% de incremento son
más económicas.-
PROBLEMA 6. (6.8) – Un nuevo paquete de software creado por Navarro Associates se puede
utilizar para analizar y diseñar torres estabilizadas de tres lados y torres autosoportadas de tres y
cuatro lados. Una licencia para un solo usuario tendrá un costo de $400 anuales. Una licencia
para un servidor tiene un costo único de $10000. una compañía constructora de ingeniería
estructural quiere tomar una decisión entre dos alternativas. La primera consiste en comprar
ahora una licencia de construcción para un solo usuario, otra dentro de un año y otra dentro de 2
años; la segunda alternativa se refiere a la adquisición ahora de una licencia para servidor.
Determine la estrategia que debería adoptarse a una tasa de interés de 12% anual, para un
periodo de plantación de 5 años.
R, 6,8) Un usuario
Costo anual 4.000$ anuales
1
2
5
0
-4000$ -4000$ -4000$
VP = -4000 – 4000 (P/A, 12%,2) ? VP= -4000-4000(1,6901)= -10760,4$
VA = -10760,4 (A/P,12%,5)
Un usuario.
VA = – 10760,4 (0,27741)= 2985,04 $/anuales.
VA = 2985,04$ ANUALES.
UN SERVIDOR.
II= 10.000$
i= 12% anuales.
0
VA=?
10.000$
VA = – 10.000 (A/P,12%,5)
VA = – 10.000 (0,2774)= 2774$ anuales
Licencia
Se debe comprar la licencia que es la que tiene menos costo anual.
VA licencia< VA un usuario.
5
8)
PROBLEMA 7. (6.11) – Una pequeña empresa extractora de carbón quiere decidir si debería
comprar o arrendar una nueva draga de cucharón. Si se compra, el “cucharón” tendrá un costo de
$150.000, y se espera que tenga un valor de salvamento de $65.000 en 8 años. Por otra parte, la
compañía puede arrendar una draga de cucharón por $30.000 anuales, pero el pago del
arrendamiento tendrá que hacerse al principio de cada año. Si el “cucharón” se compra, se rentará
a otras empresas extractoras siempre que sea posible, una actividad que se espera genere
rendimientos de $10.000 anuales. Si la tasa mínima atractiva de rendimiento de la compañía es de
20% anual, sobre la base de un análisis de valor anual, ¿debería comprarse o arrendarse la draga?
DATOS
Inversión Inicial ($)
Valor de Salvamento ($)
n (años)
COMPRAR
150.000
65.000
8
ARRENDAR
8
Arriendo ($/año)
Rendimiento ($/año)
10.000
30.000
i(%)
20
20
Caso 1. Opción Comprar. El Flujo de caja es:
65.000
10.000
0
1
150.000
El valor anual correspondiente se calcula mediante la siguiente expresión:
8
VA(t1
8)
= -150.000 (A/P, 20%, 8) + 10.000 + 65.000(A/F, 20%, 8)
= -150.000(0.26061) + 10.000 – 65.000(0.06061) ? VA(t1
= -25.151,85 $/año
Caso 2. Opción Arrendar. Según los datos, el flujo de caja es:
8)
8)
0
1
8
30.000
30.000
Para este caso el valor anual equivalente sería:
VA(t1
= [-30.000 – 30.000(P/A, 20%, 7)](A/P, 20%, 8) ? VA(t1
= -36.000 $/año
Comparando los dos resultados, se observa que el caso 1 presenta el menor valor anual de ambas
alternativas, por lo que es más adecuada COMPRAR LA DRAGA
PROBLEMA 8. (6.14) – Una ciudad que intenta atraer a un equipo de la liga menor de hockey
tiene en mente dos opciones de arena de hielo. La primera opción implicaría la remodelación de
una arena que actualmente se utiliza para rodeos, exhibición de automóviles y eventos religiosos.
Esta arena cuenta con una capacidad de 5.000 asientos sin palcos de gran capacidad ni otro tipo
de servicios que generan altos ingresos. El costo de la remodelación será de $10 millones ahora y
de $ 2 en 4 años. El equipo de hockey absorberá los gastos anuales de mantenimiento y
operación, y por lo tanto, no se incluirán en el análisis. La ciudad participará de los ingresos de
concesión del local, que se espera sean de $70.000 el primer año, de $65.000 el segundo año y de
$60.000 anuales hasta el décimo año, después de lo cual habrá que remodelar el edificio
nuevamente. Por otra parte, la ciudad puede intentar hacer una emisión de bonos para la
construcción de una nueva arena con 10.000 asientos. La ciudad ya cuenta con el terreno, y el
edificio costará $40 millones. La participación que la ciudad tendrá de las concesiones, alquiler
de palcos y cuota de estacionamiento será de $190.000 anuales durante la vida de 40 años de la
arena, ¿Cuál es la alternativa más atractiva sobre la base de un análisis de valor anual, a una tasa
de interés de 10% anual?
DATOS
Inversión Inicial ($)
Gasto en 4 años ($)
Ingreso/concesión 1er año
Ingreso/concesión 2do año
Hasta el 10mo año
i(%)
REMODELAR
10.000.000
2.000.000
70.000
65.0000
60.000
10
CONSTRUIR NUEVO
40.000.000
190.000 durante 40 años
10
Caso 1. Opción Remodelar. El Flujo de caja es:
VA(t1
10)
= -10000000(A/P, 10%, 10) + 70000(P/F, 10%, 1)(A/P, 10%, 10) +
+ 65000(P/F, 10%, 2)(A/P, 10%, 10) + 60000 (P/A, 10%, 8)(P/F, 10%, 2)(A/P, 10%,10)
-2000000 (P/F, 10%, 4)(A/P, 10%, 10)
? VA(t1
10)
= -1.787.665,77 $/año
Caso 2. Opción Construir nuevo. El Flujo de caja es:
VA(t1
40)
= -40000000(A/P, 10%, 40) + 190000 ? VA(t1
40)
= -3.900.400 $/año
Comparando los dos resultados, se observa que el caso 1 presenta el menor valor anual de ambas
alternativas, por lo que es más adecuada REMODELAR LA ARENA EXISTENTE.
TEMA 7. ANÁLISIS DE TASA DE RENDIMIENTO
PROBLEMA 9. (7.5) Swagelok Enterprises es un fabricante de aparatos y válvulas en miniatura.
Durante un período de 5 años, los costos asociados con una línea de productos fueron como
sigue: costo inicial de $25.000 y costos anuales de $18.000. El ingreso anual fue de $27.000.
¿Qué tasa de rendimiento obtuvo la compañía con este producto?
DATOS
Inversión Inicial ($)
n (años)
Costo/año ($/año)
Ingreso/año ($/año)
i(%)
27.000
25.000
5
18.000
27.000
???
0
1
5
18.000
25.000
VP(t = 0) = -25.000 + (27.000 – 18.000)(P/A, i*, 5) = 0
VP(t = 0) = -25.000 + 9000 (P/A, i*, 5) = 0
Dando valores a “i” para lograr obtener que la expresión anterior se aproxime a cero:
i%
1.5
3
20
22
24
VAN(t = 0)
11000
16217
1915,40
772,40
-291,40
Interpolando entre los valores de i% 22 y 24 para un valor de referencia de VAN (t = 0) = 0, se
tiene:
i* = 23.45 %
PROBLEMA 10. (7.8) – Una ingeniería mecánica con espíritu empresarial inició un negocio de
trituración de llantas para tomar ventaja de una ley estatal que castiga el desecho de todas las
llantas en los rellenos sanitarios. El costo del triturador fue de $220.000. Ella gastó $15.000 para
obtener una planta de 460 Volts para el sitio y otros $76.000 en la preparación del lugar.
Mediante contratos con los vendedores de llantas, ella pagó $2 por llanta y manejó un promedio
de $120.000 llantas por año durante 5 años. Los costos de operación anuales por manos de obra,
energía, reparaciones, etcétera, ascendieron a $1.05 por llanta. Ella también vendió parte de los
desechos de llantas a los instaladores de fosas sépticas para usarlas en los campos de drenado.
Esta empresa ganó $12.000 netos anuales. Luego de 5 años, ella vendió el equipo en $92.000.
¿Qué tasa de rendimiento anual obtuvo ella en su negocio?
DATOS
Inversión Inicial ($)
n (años)
Costo/año ($/año)
Costo operación ($/año)
Ganancia neta ($/año)
Valor de Salvamento
i(%)
220.000 + 15.000 + 76.000 = 311.000
5
2$/llanta x 120.000 = 240.000
1.05$/llanta x 120.000 = 126.000
120.000
92.000
???
Entendiendo como ganancia neta la diferencia entre los ingresos y egresos, se plantea el diagrama
de flujo monetario neto del problema:
Originalmente el problema establecía que la ganancia neta era de $12.000, no obstante, al utilizar
este valor, la tasa de rendimiento era muy pequeño. Leyendo detalladamente el enunciado se
plantea una ganancia por vender desechos de llantas a instaladores de fosas sépticas, pero no se
dato alguno de movimiento de dinero. Por tanto, con la finalidad de obtener un resultado
favorable, se asumirá que la ganancia neta anual es de $120.000.
92.000
366.000 + 120.000 = 486.000
0
1
5
240.000 + 126.000 = 366.000
311.000
92.000
120.000
0
1
5
311.000
Planteando la expresión de valor presente, se tiene:
VP(t = 0) = -311.000 + 120.000 (P/A, i*, 5) + 92.000 (P/F, i*,5) = 0
Dando valores de i a la expresión anterior con la finalidad de lograr cumplir la igualdad:
Para i = 30%
VP(t = 0) = -311.000 + 120.000 (2.4356) + 92.000 (0.2693) = 6047.6
Para i = 35%
VP(t = 0) = -311.000 + 120.000 (2.22) + 92.000 (0.223) = -24084
Interpolando entre los dos resultados se obtiene que: i* = 31%
PROBLEMA 11. (7.11) – Científicos del Laboratorio de Investigación de Armamento
desarrollaron un proceso de adhesión mejorando por difusión, el cual se espera mejore
significativamente el rendimiento de los compuestos híbridos multifuncionales. Ingenieros de la
NASA estiman que los compuestos elaborados usando el nuevo proceso reportarán ahorros en
muchos proyectos de exploración espacial. Los flujos de efectivo para un proyecto se muestran a
continuación. Determine la tasa de rendimiento.
Año t
0
1
2
3
4
5
Costos ($1000)
-210
-150
–
–
–
–
Ahorros ($1000)
–
–
100 + 60t
100 + 60t
100 + 60t
100 + 60t
Eq Ahorros ($1000)
–
–
220
280
340
400
Estableciendo el diagrama de flujo de caja respectivo:
G = 60
220
92.000
0
210
1
150
2
5
La expresión de valor presente será:
VP(t = 0) = -210 – 150 (P/F, i*, 1) + 220 (P/A, i*,4) (P/F, i*, 1) + 60 (P/G, i*, 4) (P/F, i*, 1) = 0
– 150 (P/F, i*, 1) + 220 (P/A, i*,4) (P/F, i*, 1) + 60 (P/G, i*, 4) (P/F, i*, 1) = 210
Dando valores a i hasta aproximarse a la igualdad de la expresión anterior, se tiene:
Para i = 40%
– 150 (P/F, i*, 1) + 220 (P/A, i*,4) (P/F, i*, 1) + 60 (P/G, i*, 4) (P/F, i*, 1) = 270,00225432
Para i = 50%
– 150 (P/F, i*, 1) + 220 (P/A, i*,4) (P/F, i*, 1) + 60 (P/G, i*, 4) (P/F, i*, 1) = 200,5793618
Interpolando para encontrar el valor de i para 210 con los dos resultados anteriores, se obtiene:
i = 48.64%
1
2
3
4
PROBLEMA 12. (7.23) – Arc-bot Techonologies de robots eléctricos de seis ejes servodirigidos,
ha experimentado los flujos de efectivo siguientes en un departamento de embarques. A)
Determine el número de posibles valores de la tasa de rendimiento. B) Encuentre todos los
valores i* entre 0 y 100%
Año
0
Gasto, $
-33.000
-22.000
-30.000
-40.000
-20.000
Ahorros, $
0
19.000
97.000
25.000
29.000
Valor Neto, $
-33.000
-3000
67.000
-15.000
9.000
El diagrama de flujo neto será:
67.000
9.000
0
1
2
3
4
-3.000
-15.000
-33.000
La expresión para el valor presente es:
VP(t=0) = -33000 – 3000 (P/F, i*, 1) + 67000 (P/F, i*,2) -15000 (P/F, i*, 3) + 9000 (P/F, i*, 4) = 0
Para resolver el problema es necesario el uso de una hoja de cálculo. Planteando la fórmula
-33000+VNA(Tasa;-3000; 67000; -15000; 9000), se calculan los valores de VP(t=0) para tasas
de interés de 0 a 100%. A continuación se presenta la tabla de valores correspondientes:
i
i
i
i
VP(t=0)
VP(t=0)
VP(t=0)
VP(t=0)
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
3,50%
4,00%
4,50%
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
7,50%
8,00%
8,50%
9,00%
9,50%
10,00%
10,50%
11,00%
11,50%
12,00%
12,50%
13,00%
13,50%
14,00%
14,50%
15,00%
15,50%
16,00%
16,50%
17,00%
17,50%
18,00%
18,50%
19,00%
19,50%
20,00%
20,50%
21,00%
21,50%
22,00%
22,50%
23,00%
23,50%
24,00%
24,50%
25,00%
24394,91
23799,51
23213,58
22636,91
22069,30
21510,56
20960,51
20418,94
19885,70
19360,59
18843,46
18334,13
17832,44
17338,25
16851,38
16371,71
15899,07
15433,34
14974,37
14522,03
14076,18
13636,71
13203,48
12776,38
12355,28
11940,08
11530,65
11126,90
10728,70
10335,97
9948,59
9566,46
9189,50
8817,60
8450,67
8088,62
7731,37
7378,82
7030,89
6687,50
6348,57
6014,02
5683,77
5357,75
5035,89
4718,10
4404,33
4094,50
3788,55
3486,40
25,50%
26,00%
26,50%
27,00%
27,50%
28,00%
28,50%
29,00%
29,50%
30,00%
30,50%
31,00%
31,50%
32,00%
32,50%
33,00%
33,50%
34,00%
34,50%
35,00%
35,50%
36,00%
36,50%
37,00%
37,50%
38,00%
38,50%
39,00%
39,50%
40,00%
40,50%
41,00%
41,50%
42,00%
42,50%
43,00%
43,50%
44,00%
44,50%
45,00%
45,50%
46,00%
46,50%
47,00%
47,50%
48,00%
48,50%
49,00%
49,50%
50,00%
3188,00
2893,28
2602,18
2314,64
2030,60
1750,01
1472,80
1198,92
928,32
660,94
396,73
135,64
-122,38
-377,38
-629,41
-878,51
-1124,72
-1368,11
-1608,70
-1846,55
-2081,69
-2314,17
-2544,03
-2771,31
-2996,04
-3218,27
-3438,03
-3655,36
-3870,30
-4082,88
-4293,14
-4501,11
-4706,83
-4910,33
-5111,63
-5310,78
-5507,81
-5702,73
-5895,60
-6086,43
-6275,25
-6462,09
-6646,98
-6829,96
-7011,03
-7190,24
-7367,60
-7543,15
-7716,90
-7888,89
50,50%
51,00%
51,50%
52,00%
52,50%
53,00%
53,50%
54,00%
54,50%
55,00%
55,50%
56,00%
56,50%
57,00%
57,50%
58,00%
58,50%
59,00%
59,50%
60,00%
60,50%
61,00%
61,50%
62,00%
62,50%
63,00%
63,50%
64,00%
64,50%
65,00%
65,50%
66,00%
66,50%
67,00%
67,50%
68,00%
68,50%
69,00%
69,50%
70,00%
70,50%
71,00%
71,50%
72,00%
72,50%
73,00%
73,50%
74,00%
74,50%
75,00%
-8059,13
-8227,66
-8394,48
-8559,64
-8723,14
-8885,02
-9045,29
-9203,98
-9361,10
-9516,68
-9670,74
-9823,29
-9974,36
-10123,97
-10272,14
-10418,87
-10564,21
-10708,15
-10850,72
-10991,94
-11131,83
-11270,39
-11407,65
-11543,63
-11678,34
-11811,79
-11944,01
-12075,00
-12204,79
-12333,38
-12460,79
-12587,05
-12712,15
-12836,12
-12958,97
-13080,71
-13201,36
-13320,92
-13439,42
-13556,87
-13673,27
-13788,64
-13902,99
-14016,34
-14128,70
-14240,07
-14350,47
-14459,91
-14568,41
-14675,97
75,50%
76,00%
76,50%
77,00%
77,50%
78,00%
78,50%
79,00%
79,50%
80,00%
80,50%
81,00%
81,50%
82,00%
82,50%
83,00%
83,50%
84,00%
84,50%
85,00%
85,50%
86,00%
86,50%
87,00%
87,50%
88,00%
88,50%
89,00%
89,50%
90,00%
90,50%
91,00%
91,50%
92,00%
92,50%
93,00%
93,50%
94,00%
94,50%
95,00%
95,50%
96,00%
96,50%
97,00%
97,50%
98,00%
98,50%
99,00%
99,50%
100,00%
-14782,60
-14888,32
-14993,13
-15097,05
-15200,08
-15302,24
-15403,53
-15503,98
-15603,57
-15702,33
-15800,27
-15897,39
-15993,70
-16089,21
-16183,93
-16277,87
-16371,04
-16463,45
-16555,10
-16646,00
-16736,17
-16825,60
-16914,32
-17002,31
-17089,60
-17176,19
-17262,09
-17347,30
-17431,83
-17515,70
-17598,90
-17681,44
-17763,34
-17844,59
-17925,21
-18005,19
-18084,56
-18163,31
-18241,45
-18318,99
-18395,93
-18472,27
-18548,04
-18623,22
-18697,83
-18771,88
-18845,36
-18918,29
-18990,67
-19062,50
$
$
Graficando la tabla anterior:
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
5.000
0
-5.000 0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
-10.000
-15.000
-20.000
-25.000
i(%)
Al observar la gráfica se puede notar que el sólo existe un solo valor de la tasa de rendimiento
que es cuando la curva pasa por cero. Y este cruce se puede determinar gráficamente ampliando
la escala de la gráfica anterior:
150
31,00%; 135,64
100
Cruce por cero
50
0
30%
31%
31%
32%
32%
-50
-100
31,50%; -122,38
-150
i(%)
Interpolando entre estos dos valores, se obtiene que el valor de i = 31.26%