Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Programación lineal en el dinero, la comida y el amor




Enviado por David Gómez Salas



Partes: 1, 2

    Monografias.com

    3a Reunión Académica de Profesores de Matemáticas en Aguascalientes
    Organizada por
    La Asociación Matemática en Aguascalientes A. C.
    Delegación Estatal de la Asociación Nacional
    de Profesores de Matemáticas
    30 de enero de 2016
    PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL DINERO, LA COMIDA Y EL AMOR
    Autor M. I. David Gómez Salas

    Objetivo: Contribuir a desarrollar la habilidad de representar los problemas de la vida
    real, mediante un sistema de ecuaciones que permita analizar y obtener soluciones al
    problema de la vida real.

    En este caso se presenta como ejemplo el uso de la programación lineal en la solución
    y análisis de algunos problemas de la vida cotidiana y/o profesional. Se formulan tres
    tipos de problemas que pueden presentarse en la vida real, como sistemas de
    programación lineal. Una vez alcanzado este propósito se obtienen las soluciones
    aplicando algún programa de computo de los que existen en el mercado. Un programa
    de fácil acceso es el comando Solver de Excel.

    Ejemplos:
    1.- Maximizar la ganancias de las inversiones
    2,- Minimizar costos de las comidas
    3.- Maximizar la felicidad en una relación de amor

    Monografias.com

    1- MAXIMIZAR LAS GANANCIAS EN LAS INVERSIONES

    Se tienen 400 millones para invertir en 4 opciones. Unas inversiones se pueden hacer en el
    presente y otras a futuro.

    Opciones:
    1.- Por cada peso devuelve 2.75 pesos, 2 años después
    2.- Por cada peso devuelve 3.20 pesos, 3 años después
    3.- Por cada peso devuelve 3.30 pesos, 3 años después. Disponible al inicio del año 2.
    4.- Por cada peso devuelve 2.25 pesos, 1 año después. Disponible al inicio del año 4.

    Sea:
    Xij.- El dinero invertido en la opción i en el año j
    Yj.- El dinero no invertido en el año j

    Representación gráfica de inicio (depósito) y fin de la inversión(retiro):
    El objetivo es Maximizar
    z = 2.75X11+2.75X12+2.75X13+3.2X21+3.2X22+3.3X32+2.25X44

    Restricciones:
    X11 + x21 + Y1 = 400 …………………………………………Año 1
    X12 + X22 + X32 + Y2 = Y1 …………………………………………Año 2
    X13 + Y3 = Y2 + 2.75X11……………………………Año 3
    X44 + Y4 = Y3 + 2.75X12+3.2X21………………..Año 4
    X11 + x21 + Y1
    X12 + X22 + X32 – Y1 + Y2
    X13 – 2.75X11 – Y2+ Y3
    X44 – 2.75X12 – 3.2X21- Y3+ Y4
    = 400
    = 0
    = 0
    = 0

    Monografias.com

    PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo de planeación de inversiones
    Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j
    x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4 SP
    Año1
    1
    1
    1
    0 = 400
    Año2
    1
    1 1
    -1 1
    0 =
    0
    Año3

    2.75
    1
    -1 1
    0 =
    0
    Año4

    2.75

    3.2
    1
    -1 1
    0 =
    0
    Tasa
    2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25
    0
    Coeficiente de xij
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    Valor de la función objetivo
    PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

    Ejemplo de planeación de inversiones
    Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j
    x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4
    SP
    Año1
    1
    1
    1
    400 = 400
    Año2
    1
    1 1
    -1 1
    0 =
    0
    Año3

    2.75
    1
    -1 1
    0 =
    0
    Año4

    2.75

    3.2
    1
    -1 1
    0 =
    0
    Tasa
    2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25
    4160
    Coeficiente de xij
    0
    0
    0
    400
    0
    0
    1280 0
    0
    0
    0
    Valor de la función objetivo

    Z = 400×2.75 +1280×2.25 = 1280+2880 = 4160

    Monografias.com

    INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

    Celda objetivo
    Celda
    Nombre Igual
    $M$10 Tasa SP 4160
    Celda
    Celdas
    cambiantes
    Nombre
    Igual
    Límite
    Celda
    inferior objetivo
    Límite Celda
    superior objetivo
    $B$11
    $C$11
    $D$11
    $E$11
    $F$11
    $G$11
    $H$11
    $I$11
    $J$11
    $K$11
    $L$11
    x11
    x12
    x13
    x21
    x22
    x32
    x44
    y1
    y2
    y3
    y4
    0
    0
    0
    400
    0
    0
    1280
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    0
    400
    0
    0
    1280
    0
    0
    0
    0
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    0
    0
    0
    400
    0
    0
    1280
    0
    0
    0
    0
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160
    4160

    Monografias.com

    2- EJEMPLO DE LA DIETA

    La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A
    La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A
    La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A
    La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A

    Se desea preparar una ensalada para 10 personas que contenga en total cuando menos 10
    gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A.

    x1 = Kilos de naranja
    x2 = Kilos de uva
    x3 = Kilos de zanahoria
    x4 = Kilos de lechuga

    Minimizar costos
    Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4

    Restricciones:
    12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4
    x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4
    = 10
    = 12
    x1 x2 x3
    x4
    x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0

    PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo: El problema de la dieta
    Naranja Uva Zanahoria Lechuga

    Suma
    producto
    Vitamina A
    12.00 0.00 3.00
    2.00
    0
    =
    10.00
    =
    12.00
    0
    0.00
    Vitamina C
    Costos
    Solución
    1.00 26.00
    4.00 60.00
    0.00
    0.00
    10.00
    12.00
    0.00
    4.00
    4.00
    0.00
    Valor de la función objetivo

    Monografias.com

    PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

    Ejemplo: El problema de la dieta
    Naranja Uva Zanahoria Lechuga

    Suma
    x1 x2 x3
    Vitamina A 12.00 0.00 3.00
    x4
    2.00
    producto
    10
    =
    10.00
    =
    12.00
    12
    13.04
    Vitamina C 1.00 26.00
    Costos 4.00 60.00
    Solución
    0.35
    0.00
    10.00
    12.00
    0.00
    4.00
    4.00
    2.91
    Valor de la función objetivo

    INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

    Celda objetivo (Mínimo)
    Celda
    Nombre
    Valor
    original
    Valor
    final
    0.000
    13.043
    $F$6 Costos

    Celdas cambiantes
    Celda
    Nombre
    Valor
    original
    Valor
    final
    $B$7
    Solución
    x1
    0.00
    0.35
    $C$7
    Solución
    x2
    0.00
    0.00
    $D$7
    Solución
    x3
    0.00
    0.00
    $E$7
    Solución
    x4
    0.00
    2.91

    Monografias.com

    2A- LAS VITAMINAS SOLUBLES (DUAL DEL PROBLEMA DE LA DIETA)

    Un laboratorio farmacéutico desea determinar el precio máximo a que podría vender la
    vitamina C y vitamina A, solubles. El dueño del restaurante desea que no sea más caro que
    comprar las frutas como fuente de vitaminas y que le resulte más simple agregar las 10
    gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A; al agua para 10 personas.

    El laboratorio sabe que:
    La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A
    La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A
    La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A
    La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A

    xC = Precio de la vitamina C en $/g
    xA = Precio de la vitamina A en $/g

    Maximizar precios de venta
    Z2 = 10xc + 12xA

    Restricciones para que no prefieran comprar naranja, uva, zanahoria o lechuga :
    12xC + xA
    =
    4
    0xC + 26xA
    3xC + 10xA
    = 60
    = 12
    2xC + 4xA
    =
    4
    xC = 0; xA = 04

    PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

    El problema de las vitaminas solubles
    =
    =
    =
    =
    4.00
    60.00
    12.00
    4.00
    Suma de
    productos
    0.00
    0.00
    0.00
    0.00
    0.00
    Vitamina
    Vitamina
    C
    A

    Xc Xa
    Naranja 12.00 1.00
    Uva 0.00 26.00
    Zanahoria 3.00 10.00
    Lechuga 2.00 4.00
    Requerimientos
    10.00 12.00
    $/g
    0.00
    0.00
    Valor de la función
    objetivo

    Monografias.com

    PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

    El problema de las vitaminas solubles
    =
    =
    =
    =
    4.00
    60.00
    12.00
    4.00
    Suma de
    productos
    4.00
    22.61
    9.48
    4.00
    13.04
    Vitamina
    Vitamina
    C
    A

    Xc Xa
    Naranja 12.00 1.00
    Uva 0.00 26.00
    Zanahoria 3.00 10.00
    Lechuga 2.00 4.00
    Requerimientos
    10.00 12.00
    $/g
    0.26
    0.87
    Valor de la función
    objetivo

    INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

    Celda objetivo (Máximo)
    Celda
    Nombre
    Valor original
    Valor final
    0.00
    13.04
    $D$10 Requerimientos Suma de productos

    Celdas cambiantes
    Nombre
    Celda
    $B$11 $/g Xc
    $C$11 $/g Xa
    Valor original
    0.00
    0.00
    Valor final
    0.26
    0.87
    Restricciones
    Celda
    Nombre
    Valor de la
    celda
    Fórmula
    Estado Divergencia
    $D$6
    Naranja Suma de productos
    4.00
    $D$6< =$F$6
    Obligatorio
    0
    $D$7
    $D$8
    Uva Suma de productos
    Zanahoria Suma de productos
    22.61
    9.48
    $D$7< =$F$7
    $D$8< =$F$8
    Opcional 37.39130435
    Opcional 2.52173913
    $D$9
    Lechuga Suma de productos
    4.00
    $D$9< =$F$9
    Obligatorio
    0

    Monografias.com

    Primal:
    Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4
    Z1 = 4(0.35) + 0x2 + 0x3 + 4(2.91)
    Z1 = 1.4 + 11.64
    Z1 = 13.04

    Minimizar costos
    Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4

    Restricciones:
    12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4
    = 10
    x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4
    = 12
    x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0
    Dual:
    Z2 = 10xc + 12xA
    Z2 = 10(0.26) + 12(0.87)
    Z2 = 2.6 + 10.44
    Z2 = 13.04

    Maximizar precios de venta
    Z2 = 10xc + 12xA

    Restricciones:
    12xC + xA
    =
    4
    0xC + 26xA
    = 60
    3xC + 10xA
    = 12
    2xC + 4xA
    =
    4
    xC = 0; xA = 04

    Monografias.com

    3 – LA FELICIDAD DE PEPE

    Pepe desea maximizar la felicidad mensual que le producen los abrazos y besos de Marisol,
    realizando el menor esfuerzo. En una escala de calificación de cero a cinco. Pepe califica con 3
    unidades de felicidad un abrazo y con 5 unidades de felicidad un beso.

    1.- Marisol premia a Pepe con abrazo o beso de acuerdo los méritos siguientes:
    — 1 visita a casa + 3 acompañamientos a la Escuela = Un abrazo.
    — 2 acompañamientos al Centro Comercial + 2 acompañamientos a la Escuela = Un beso.

    2.- El padre de Marisol solo permite que en un mes Pepe la visite a su casa un máximo de 4 veces;
    la acompañe al Centro Comercial un máximo de 12 veces; y la acompañe a la escuela un máximo de
    18 veces.

    3.- Un acompañamiento a la Escuela solo se puede contabilizar para el abrazo o para el beso, no
    para ambos.

    4.- Cada mes la contabilidad se inicia a partir de cero. No se conservan saldos del mes anterior.

    Preguntas, con la menor pérdida de energía:
    ¿Cual es el máximo de unidades de felicidad puede obtener Pepe, al mes? ¿Cuántas veces debe
    visitarla a su casa? ¿Cuántas veces debe acompañarla al centro comercial? ¿Cuántas veces debe
    acompañarla a la escuela? ¿Cuántos abrazos y besos recibirá Pepe?

    Sea
    x1 el número de abrazos
    x2 el numero de besos
    El objetivo es Maximizar
    z = 3×1 +5×2

    Sujeto a la restricciones siguientes:
    x1 + 0x2 =
    4 ….. Casa
    0x1 + 2×2 = 12 ….. Centro Comercial
    3×1 + 2×2 = 18 ….. Escuela

    PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo: La felicidad de Pepe
    Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto
    1.00 0.00 0.00
    0.00 2.00 0.00
    3.00 2.00 0.00
    = 4.00
    = 12.00
    = 18.00
    Casa
    C. Comercial
    Escuela
    Unidades de
    0.00
    felicidad
    Renglón para
    solución
    3.00

    0.00
    5.00

    0.00

    Monografias.com

    SOLUCIÓN OBTENIDA EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo: La felicidad de Pepe
    Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto
    Casa
    C. Comercial
    Escuela
    1.00 0.00
    0.00 2.00
    3.00 2.00
    2.00
    12.00
    18.00
    = 4.00
    = 12.00
    = 18.00
    Unidades de
    36.00
    felicidad
    Solución
    3.00
    2.00
    5.00
    6.00
    Visitas a casa = 2
    Acompañamientos al Centro Comercial = 12
    Acompañamientos a la Escuela = 18
    Abrazos = 2
    Besos = 6
    Felicidad = 36 unidades de felicidad

    RESULTADOS DE EXCEL

    Celda objetivo (Máximo)
    Celda
    Nombre
    Valor
    original
    Valor final
    $D$9
    Unidades de felicidad
    Sumaproducto
    0.00
    36.00
    Celdas cambiantes
    Celda
    Nombre
    Valor
    original
    Valor final
    0.00
    0.00
    2.00
    6.00
    $B$10 Solución Abrazos(x1)
    $C$10 Solución Besos(x2)

    Restricciones
    Celda
    Nombre
    Valor de la
    celda Fórmula Estado Divergencia
    $D$6 Casa Sumaproducto
    2.00 $D$6< =$F$6 Opcional 2
    $D$7 C. Comercial Sumaproducto
    $D$8 Escuela Sumaproducto
    12.00 $D$7< =$F$7 Obligatorio
    18.00 $D$8< =$F$8 Obligatorio
    0
    0

    Monografias.com

    3A- EL SEGUNDO AMOR

    Tiempo después Marisol tiene nuevo novio, Juan y la visitará a su casa 4 veces, la acompañará al
    centro comercial 12 veces y la acompañará a la escuela 18 veces. En su relación con Pepe, Marisol
    no determinó cuanto le costaba, en unidades de felicidad, cada visita a su casa, acompañamiento al
    centro comercial y acompañamiento a la escuela. Supo que para Pepe un abrazo equivalía a 3
    unidades de felicidad; y un beso equivalía a 5 unidades de felicidad. Marisol desea conocer cuanta
    felicidad produce cada visita a su casa, acompañamiento al centro comercial y al acompañamiento a
    la escuela. En el fondo Marisol sigue amando a Pepe, por eso desea darle lo menos posible de amor
    a Juan, pero que Juan reciba igual o un poco más de felicidad que la que recibió Pepe.

    Sean:
    x1 Unidades de felicidad por visita a casa
    x2 Unidades de felicidad por acompañamiento al Centro comercial
    x3 Unidades de felicidad por acompañamiento a la Escuela

    El objetivo es Minimizar
    z = 4×1 +12×2+ 18 x3

    Sujeto a la restricciones siguientes:
    x1 + 0x2 + 3×3
    0x1 + 2×2 + 2×3
    = 3 ….. Abrazo
    = 5 ….. Beso
    PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo: El segundo amor
    x1
    Casa, C Comercial,
    x2
    Escuela,
    x3 Sumaproducto
    Abrazo
    Beso
    1 0 3
    0 2 2
    0.00
    0.00
    = 3
    = 5
    Frecuencia
    mensual
    4
    12
    18
    0.00
    Renglón para
    solución
    0.00
    0.00
    0.00
    SOLUCIÓN EN SOLVER DE EXCEL

    Ejemplo: El segundo amor
    Casa,
    x1
    C Comercial,
    x2
    Escuela,
    x3 Sumaproducto
    Abrazo
    Beso
    1 0 3
    0 2 2
    3.00
    5.00
    = 3
    = 5
    Frecuencia
    36.00
    mensual
    Solución
    4
    0.00
    12
    1.50
    18
    1.00

    Partes: 1, 2

    Página siguiente 

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter