ación Funcional de
Riemann.
01 El trabajo de Euler en el Problema de Basilea
01.1 La prueba inicial de Euler
Aunque se habian encontrado ya soluciones numéricas aproximadas, se
pretendía la obtención de la suma exacta, que hasta el trabajo de Euler, no habia sido
lograda.
En esencia la forma de resolución de Euler consistió en identificar los
coeficientes de una factorización infinita de la función trigonométrica senx con los
de su desarrollo en serie de Taylor-McLaurin.
22
8
.
n
s
2
= ? n 1-
n=1
Del Problema de Basilea a la Función Zeta de Riemann
El problema, en definitiva, consiste en determinar el valor de la suma infinita
de los cuadrados de los inversos de los números naturales:
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+…
o bien, llamandola mediante la función
? (x) =
8
n=1
1
nx
, ?x ? R
se trataría de encontrar el valor de ? (2) =
1
2
n=1 n
Partiendo de la función trigonométrica senx , nos encontramos que se anula
para los múltiplos de p : senx = 0, para x = ±np , n = 0,1, 2,…
Si consideramos la función
sen(sp )
sp
, s ? R
los ceros corresponden a sp = ±np ? s= ±n, pudiendo factorizarse cada uno de los
valores enteros en la forma:
(n+ s)(n – s) = n2 – s2 = n2 1-
Se tiene, en definitiva:
, n =1, 2,…
sen(sp ) 8 2
sp
s
n
2
= K. 1-
s
1
2
1-
s
2
2
… 1-
s
n
2
…
Como el límite del cociente del seno al arco tiende a la unidad, se tiene que ha de ser
K=1. Por tanto:
23
= ? 1-
n=1
0 1
1
= –
+
p 2
p 4 4
Carlos Sánchez Chinea
sen(sp ) 8
sp
s
n
2
= 1-
s
1
2
1-
s
2
2
… 1-
s
n
2
…
[1.1.]
que puede expresarse, extrayendo factor común s2 , s3, s4… , en la forma:
sen(sp )
sp
=-
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+… s2 +
1
1.2
2
+
1
2.3
2
+… s4 –
1
1.2.3
2
+
1
2.3.4
2
+… s6 +…
por otra parte, podemos considerar el desarrollo en serie de Taylor de la función
sen(sp ) =
sen(0)
0!
.0 +
sen'(0)
1!
sp +
sen''(0)
2!
(sp )2 +
sen'''(0)
3!
(sp )3 +… = 0 + sp – (sp )2 – (sp )3 +… =
2 3!
esto es:
= sp –
1
3!
(sp )3 + (sp )5 -…
5!
sen(sp ) sp 1 (sp )3 1 (sp )5
sp sp 3! sp 5! sp
-… = 1- s2 +
6
120
s -…
si hacemos ahora la identificación de coeficientes entre el desarrollo obtenido me-
diante la factorización y el obtenido mediante Taylor, encontramos que
–
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
p 2
+… = – ?
6
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+… =
p 2
6
? ? (2) =
p 2
6
el resultado obtenido por Euler es correcto, aunque fue criticado en su tiempo por
diversos matemáticos, entre ellos los Bernoulli, ya que Euler no había probado pre-
viamente ni la convergencia ni que los únicos ceros de la función cociente utilizada
fueran precisamente los indicados en el desarrollo de la factorización. En realidad,
Euler no daría una argumentación exhaustiva hasta 1741.
01.2 Generalización
El resultado anterior ? (2) = p 2 / 6 puede generalizarse para los enteros positivos
24
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