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Sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios y su aplicación en la criptografía



Partes: 1, 2

    RESUMEN

    En el presente trabajo se expone y analiza una de las
    herramientas más utilizadas para la construcción de
    criptosistemas de cifrado en flujo, los registros de
    desplazamiento con retroalimentación lineal (LSFRs, siglas
    en inglés), los cuales están basados en el
    principio matemático de las sucesiones recurrentes
    lineales (SRL) sobre los campos finitos binarios. Se brinda la
    fundamentación teórica de estos mecanismos
    presentando las definiciones y propiedades principales, que son
    necesarias para comprender su funcionamiento. Además, se
    detallan métodos teóricos y prácticos para
    la obtención de los parámetros de los LSFRs.

    Palabras Claves: campo finito binario,
    sucesión recurrente lineal, registro de desplazamiento con
    retroalimentación lineal, cifrado de flujo.

    INTRODUCCIÓN

    La teoría de los campos finitos es una rama del
    Álgebra moderna que se ha convertido en muy actual desde
    la última mitad del siglo pasado, teniendo sus
    múltiples aplicaciones en la combinatoria, la
    teoría de códigos, la teoría
    matemática de los esquemas de conmutación, la
    teoría de números, la geometría algebraica,
    la teoría de Galois y en particular en
    Criptografía, donde se utilizan en la construcción
    de la mayoría de los códigos conocidos y su
    decodificación.

    Las sucesiones sobre campos finitos cuyos términos
    dependerán de una manera sencilla de sus predecesores son
    de importancia para una variedad de aplicaciones ejemplo en la
    criptografía. Dichas sucesiones son fáciles de
    generar mediante procedimientos recursivos, lo cual es sin duda
    una característica ventajosa desde el punto de vista
    computacional y también tienden a tener propiedades
    estructurales útiles .

    En 1917, J. Mauborgne y G. Vernam inventaron un criptosistema
    perfecto según el criterio de Shannon. Dicho sistema
    consistía en emplear una sucesión aleatoria de
    igual longitud que el mensaje, que se usaría una
    única vez, combinándola mediante alguna
    función simple e inversible (xor) con el texto en claro
    bit a bit.

    En este trabajo analizaremos una herramienta para la
    construcción de este tipo de criptosistema, denominado en
    la criptografía moderna como algoritmo de cifrado en
    flujo, sobre campos finitos específicos: los binarios, o
    sea, los campos finitos de característica dos. Dichos
    criptosistemas no son más que la especificación de
    un generador pseudoaleatorio, que permiten cifrar mensajes de
    longitud arbitraria, combinando el mensaje con la sucesión
    (conjunto de elementos encadenados o sucesivos) mediante la
    operación or exclusivo bit a bit. Los mismos no
    proporcionan seguridad perfecta, ya que mientras en el cifrado de
    Vernam el número de posibles claves es tan grande como el
    de posibles mensajes, cuando empleamos un generador tenemos, como
    mucho, tantas sucesiones distintas como posibles valores del
    estado inicial del registro. Una herramienta a emplear para la
    construcción de estos criptosistemas la constituye los
    registros de desplazamiento con retroalimentación lineal
    (LSFR, estos son un tipo especial de circuitos
    electrónicos de conmutación que procesan la
    información presentada de una manera adecuada en forma de
    elementos del campo), los cuales están basados en el
    principio matemático de las sucesiones recurrentes
    lineales (SRL, ecuación que define una sucesión
    recursiva donde cada término de la sucesión es
    definido como una función de términos
    anteriores).

    Debido a que permiten generar sucesiones con períodos
    muy grandes y con buenas propiedades estadísticas,
    además de su bien conocida estructura algebraica y su
    facilidad para ser implementados por hardware, estos se
    encuentran presentes en muchos de los generadores de
    sucesión propuestos en la literatura.

    En marzo del 2009 se inauguró en nuestra Universidad
    Central "Martha Abreu" de Las Villas un Laboratorio de
    Criptografía Académica (LCA), ubicado en la
    facultad de Matemática, Física y
    Computación. Con el objetivo de potenciar investigaciones,
    en el centro del país, relacionadas con el análisis
    y diseño de algoritmos de cifrado en flujo.

    Actualmente existe una gran variedad de principios de
    diseño para construir algoritmos de cifrado en flujo, pero
    uno de los más utilizados desde hace décadas son
    los registros de desplazamiento con retroalimentación
    lineal. Hoy por hoy, se reportan algunas deficiencias de
    seguridad, lo cual ha limitado su utilización y han
    impuesto transformaciones en su estructura y funcionamiento. No
    obstante, muchos de estos reportes no presentan
    información en detalle e incluso en algunos se especula
    acerca de los resultados planteados.

    Problema
    científico:

    Debido a lo anterior se hace necesario realizar un estudio
    sobre la base matemática de este principio de
    diseño, específicamente de las sucesiones
    recurrentes lineales sobre campos finitos binarios. De manera que
    facilite el análisis criptográfico de estos
    mecanismos y de esta forma explorar y determinar las
    potencialidades reales de utilización de los registros de
    desplazamiento con retroalimentación lineal en la
    construcción de criptosistemas de cifrado en flujo.

    Hipótesis de investigación:

    El análisis criptográfico de los registros de
    desplazamiento con retroalimentación lineal, basado en la
    teoría de las sucesiones recurrentes lineales sobre campos
    finitos binarios, permitirá determinar las potencialidades
    reales de utilización de los LFSR en la
    construcción de criptosistemas de cifrado en flujo.

    Objetivo
    general:

    Realizar un análisis criptográfico de los
    registros de desplazamiento con retroalimentación lineal,
    basado en la teoría de las sucesiones recurrentes lineales
    sobre campos finitos binarios.

    Para lograr dicho objetivo general, se proponen los siguientes
    objetivos específicos:

    • 1. Exponer la teoría general sobre los campos
      finitos binarios.

    • 2. Profundizar en el estudio de las sucesiones
      recurrentes lineales sobre campos finitos binarios.

    • 3. Presentar las propiedades generales de los
      LFSRs.

    • 4. Determinar la relación entre las sucesiones
      recurrentes lineales y los registros de desplazamiento con
      retroalimentación lineal.

    • 5. Analizar el funcionamiento de los registros de
      desplazamiento con retroalimentación lineal.

    Para dar cumplimiento a estos objetivos es necesario
    plantearse las siguientes interrogantes
    científicas:

    • 1. ¿Cuándo un campo finito es
      binario?

    • 2. ¿Qué es una sucesión
      recurrente lineal binaria?

    • 3. ¿Qué es un registro de
      desplazamiento con retroalimentación lineal?

    • 4. ¿Qué relación existe entre
      las sucesiones recurrentes lineales y los registros de
      desplazamientos con retroalimentación lineal?

    Con el propósito de resolver las interrogantes
    científicas que responden a los objetivos
    específicos fue necesario plantearse y solucionar las
    siguientes tareas de investigación:

    • 1. Revisión bibliográfica sobre la
      teoría de los campos finitos, particularizando en los
      de característica dos. Consulta de libros,
      artículos y páginas de internet, entre otras
      fuentes.

    • 2. Estudio de las sucesiones recurrentes lineales en
      campos finitos binarios.

    • 3. Profundización en el estudio de los
      conceptos generales y funcionamiento de los registros de
      desplazamiento con retroalimentación lineal.

    • 4. Representación de las salidas de los LSFRs
      como sucesiones recurrentes lineales.

    • 5. Caracterización de las salidas de los LSFRs
      según los postulados de Golomb.

    • 6. Exposición de la relación entre el
      polinomio de conexión y los coeficientes de la
      recurrencia lineal.

    • 7. Explicación de los principios
      básicos de los ataques con texto claro conocido.

    • 8. Obtención de los parámetros de los
      registros de desplazamiento con retroalimentación
      lineal.

    • 9. Recuperación del estado inicial de los
      LFSRs.

    Métodos de
    investigación científica:

    Método hipotético-deductivo: Al elaborar la
    hipótesis de investigación a partir de los
    resultados de la revisión bibliográfica.

    Inducción – deducción: Para en el estudio
    de las fuentes de información, extraer de ellas
    regularidades y tendencias relacionadas con el tema de
    investigación y la lógica de pensamiento cuyas
    interrelaciones y generalizaciones permiten la
    argumentación y la coherencia de la propuesta que se
    realice.

    Histórico-lógico: Para el análisis de la
    trayectoria evolutiva de la investigación a partir de su
    objeto, antecedente y desarrollo. En la revisión de la
    literatura adecuada para la determinación de las
    tendencias actuales de cómo son usados los campos finitos
    en los criptosistemas.

    Aportes de la investigación:

    Los principales aportes de esta investigación son
    fundamentalmente teóricos, debido a que se presenta un
    procedimiento para la determinación del polinomio de
    retroalimentación de los LFSRs, a partir del conocimiento
    de cierta cantidad de elementos de salida y se exponen
    métodos para la recuperación del estado inicial,
    basados en la teoría de las sucesiones recurrentes
    lineales, bajo ciertos supuestos. Como resultado práctico
    se propone un algoritmo para la obtención del polinomio de
    retroalimentación de un LFSR.

    Estructura del trabajo:

    La tesis está estructurada en tres
    capítulos:

    En el primer capítulo se abordan aspectos fundamentales
    de la teoría de los campos finitos particularizando en los
    binarios que son los de interés criptográfico y
    sobre los que se desarrolla la investigación.
    Además, especifican algunos conceptos y propiedades sobre
    las sucesiones recurrentes lineales definidas sobre estos tipos
    de campos finitos.

    En el segundo capítulo se brindan las principales
    propiedades de los registros de desplazamientos con
    retroalimentación lineal, así como, de las
    sucesiones que estos generan. También, se representa la
    relación existente entre los registros de desplazamientos
    con retroalimentación lineal y las sucesiones recurrentes
    lineales.

    En el tercer capítulo se exponen algunos métodos
    para el análisis de los registros de desplazamientos con
    retroalimentación lineal. Se presenta un procedimiento
    para la obtención de algunos parámetros de estos
    mecanismos a partir de la sucesión de salida.
    Además, se proponen métodos para la
    recuperación del estado inicial de los registros de
    desplazamiento con retroalimentación lineal.

    CAPÍTULO I.

    SUCESIONES RECURRENTES
    LINEALES SOBRE CAMPOS FINITOS BINARIOS

    La teoría de los campos finitos tiene sus
    orígenes en los siglos XVII y XVIII con el estudio de una
    clase especial de campos finitos, los llamados campos primos,
    gracias a los aportes de matemáticos tan reconocidos como
    Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783),
    Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Adrien-Marie Legendre
    (1752-1833). La teoría general sobre los campos finitos
    comienza con los trabajos de Carl F. Gauss y Evariste Galois a
    principios del siglo XIX. También conocidos como campos de
    Galois, los campos finitos han tenido en los últimos
    años muchas aplicaciones, entre las que se cuentan los
    códigos algébricos, los esquemas
    criptográficos, los generadores de números
    aleatorios, el procesamiento digital de señales y los
    códigos de corrección de errores CITATION RLi86 l
    1033 (Niederreiter, 1986).

    Como se dijo anteriormente las sucesiones sobre campos finitos
    cuyos términos dependerán de una manera sencilla en
    sus predecesores son de importancia para una variedad de
    aplicaciones. Dichas sucesiones son fáciles de generar
    mediante procedimientos recursivos, lo cual es sin duda una
    característica ventajosa desde el punto de vista
    computacional y también tienden a tener propiedades
    estructurales útiles. De particular interés es el
    caso en los términos dependen linealmente de un
    número fijo de sus predecesores, lo que resulta en una
    sucesión de manera lineal llamada recurrente. Estas
    sucesiones se emplean, por ejemplo, en la teoría de la
    codificación, en la criptografía (véase el
    Capítulo 2), y en varias ramas de la ingeniería
    eléctrica CITATION RLi86 l 1033 (Niederreiter, 1986). En
    estas aplicaciones, el campo subyacente que se toma a menudo es
    Monografias.com , pero la
    teoría puede ser desarrollada bastante general para
    cualquier campo finito.

    Este capítulo está compuesto por dos
    epígrafes. El primero está dividido en tres
    secciones, en primer lugar se aborda las definiciones y
    propiedades de los campos, en segundo las propiedades de
    polinomios sobre campos finitos, haciendo énfasis en los
    polinomios irreducibles y la tercera sección trata la
    caracterización de los campos finitos y un conjunto de
    propiedades que estos cumplen y que son importantes para la
    comprensión del trabajo y la fundamentación del
    tema a tratar en el próximo capítulo.

    El segundo epígrafe es el más importante,
    está divido en 4 secciones; el primero se dedica a definir
    los tipos sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos;
    el segundo, al período de una sucesión recurrente
    lineal, el tercero a los métodos básicos de
    representación de las SRL y el último aborda las
    SRL sobre campos finitos binarios.

    Las definiciones, teoremas y propiedades que se enuncian en el
    capítulo, se pueden encontrar en CITATION RLi86 l 1033
    (Niederreiter, 1986) y CITATION Gar13 l 1033 (Panario, 2013) y lo
    relacionado a sucesión recurrente lineal en CITATION RLi86
    l 3082 (Niederreiter, 1986). Igualmente las demostraciones de
    todos los teoremas, lemas y definiciones correspondientes a cada
    epígrafe. Para profundizar en el tema de campos finitos
    recomendamos también CITATION JAV09 l 3082 (Mendoza,
    2009)).

    • Conceptos básicos

    1.1.1 Campos finitos

    Definición 1.1

    Un campo es un conjunto Monografias.com no vacío con dos
    operaciones internas Monografias.com donde

    • Monografias.com es un grupo conmutativo.

    • Monografias.com es un grupo
      conmutativo.

    • Se cumple la ley distributiva del producto con respecto a
      la suma.

    Es decir, un campo es un anillo conmutativo en el que todo
    elemento distinto de cero tiene inverso.

    Un subcampo Monografias.com de
    Monografias.com es un subanillo de
    Monografias.com que es en
    sí mismo un campo.

    Lema 1.2

    Un anillo conmutativo Monografias.com es un campo, si y solo si, no contiene ideales
    distintos de Monografias.com y
    Monografias.com

    Un homomorfismo de campos no es más que un homomorfismo
    de anillos. Este es siempre inyectivo, porque su núcleo,
    siendo un ideal propio, tiene que ser cero según el lema
    anterior.

    Es fácil comprobar que la aplicación

    Monografias.com

    donde Monografias.com es el
    neutro de Monografias.com para el
    producto, es un homomorfismo de anillos y por tanto su
    núcleo es un ideal de Monografias.com Pueden producirse entonces dos variantes:

    • El núcleo es Monografias.com , entonces Monografias.com puede extenderse a un homomorfismo
      Monografias.com lo que indica
      que Monografias.com contiene
      una copia de Monografias.com
      En este caso se dice que Monografias.com es de característica
      cero.

    • El núcleo es Monografias.com para algún Monografias.com natural, que además tiene que
      ser primo (de lo contrario existen en Monografias.com dos elementos distintos de cero cuyo
      producto es cero). En este caso Monografias.com contiene una copia de

    Monografias.com y se dice que
    Monografias.com es de
    característica
    Monografias.com

    Este último caso es el que nos interesa, pues los
    campos finitos tienen característica

    Monografias.com

    específicamente cuando Monografias.com se llaman campos binarios o de
    característica dos. Podemos percibir que un campo
    finito
    no es más que un campo con un número
    finito de elementos. Y como acabamos de apreciar, su
    característica es un número primo. Usaremos la
    notación Monografias.com
    para referirnos al campo

    Monografias.com

    Monografias.com son los
    llamados campos primos. Un campo de característica
    Monografias.com se dice que tiene
    a Monografias.com como su subcampo
    primo. Para el caso que nos interesa, cuando la
    característica es dos, entonces se dice que tiene a
    Monografias.com como su subcampo
    primo, siendo Monografias.com
    .

    1.1.2 Polinomios

    Sea Monografias.com el anillo
    de polinomios con coeficientes en el campo Monografias.com

    Definición 1.3

    Un polinomio Monografias.com se
    dice irreducible sobre Monografias.com si Monografias.com tiene grado positivo y no puede descomponerse
    como el producto de dos polinomios de Monografias.com ambos de grado positivo.

    Es evidente que los polinomios lineales (de grado uno) son
    irreducibles.

    Una propiedad fundamental del anillo Monografias.com es que es un dominio de integridad si
    Monografias.com lo es. Así
    que Monografias.com es un dominio
    de integridad, con la propiedad adicional de que se cumple la
    división con resto. Esto es, dados cualesquiera

    Monografias.com

    existen

    Monografias.com

    tales que f=gq+r

    donde

    Monografias.com

    grd(f) es el grado del polinomio f)

    Se dice que g divide a f y se denota g/f si existe q tal que
    f=gq La división con resto permite probar que

    Monografias.com

    es un dominio de factorización única.

    Cada polinomio no nulo f sobre un campo finito además
    de su grado grd(f) tiene otra característica
    numérica entera su orden.

    Lema 1.4

    Si el polinomio Monografias.com
    es un polinomio de grado Monografias.com que satisface la condición Monografias.com entonces existe un
    número natural Monografias.com para el cual el binomio Monografias.com se divide por el polinomio
    Monografias.com

    Definición 1.5

    Sea Monografias.com un
    polinomio no nulo. Si Monografias.com entonces el menor número natural
    Monografias.com para el cual el
    polinomio Monografias.com divide a
    Monografias.com se llama orden
    del polinomio
    Monografias.com
    y se denota por Monografias.com
    Pero si Monografias.com entonces
    el polinomio Monografias.com se
    puede representar de forma única como

    Monografias.com

    donde

    Monografias.com

    y Monografias.com y

    Monografias.com

    y en este caso el orden del polinomio Monografias.com se define como Monografias.com

    Teorema 1.6

    Si Monografias.com es un
    polinomio irreducible sobre el campo Monografias.com y Monografias.com entonces Monografias.com divide a Monografias.com

    Teorema 1.7

    Todo polinomio Monografias.com
    se puede descomponer de manera única, salvo el orden de
    los factores, como producto de polinomios irreducibles.

    Los polinomios irreducibles en Monografias.com juegan el mismo papel que los números
    primos en Monografias.com
    así podemos decir que si un polinomio irreducible sobre
    Monografias.com divide un producto
    de polinomios en Monografias.com
    entonces divide al menos a uno de los factores de este
    producto.

    Definición 1.8

    Un elemento Monografias.com se
    dice que es raíz de Monografias.com si se cumple que Monografias.com

    De la definición anterior y la división con
    resto se deduce el siguiente teorema.

    Teorema 1.9

    Sea Monografias.com irreducible
    y Monografias.com una raíz
    de Monografias.com Monografias.com para algún

    Monografias.com

    si y solo si f divide a g

    En particular, si consideramos Monografias.com se tiene Monografias.com si y solo si Monografias.com Aplicando este resultado un número
    finito de veces obtenemos el siguiente teorema.

    Teorema 1.10

    Un polinomio Monografias.com de
    grado Monografias.com tiene a lo
    sumo Monografias.com raíces
    en Monografias.com

    Una consecuencia del resultado anterior es que los polinomios
    de grado 2 y 3 son irreducibles sobre Monografias.com si y solo si no tienen raíces en
    Monografias.com

    Para ilustrar la utilidad de algunos conceptos y propiedades
    enunciados hasta el momento, veamos el siguiente ejemplo: hallar
    los polinomios mónicos (con coeficiente principal igual a
    1) irreducibles sobre Monografias.com de grado 4.

    Notemos que un polinomio Monografias.com , de cuarto grado, es irreducible si no tiene
    divisores de grado 1 o 2 en Monografias.com Por tanto podemos calcular todos los productos
    de las formas Monografias.com y
    Monografias.com y compararlos con
    la lista de los Monografias.com
    polinomios mónicos de grado 4 en Monografias.com Encontramos entonces que

    Monografias.com

    Monografias.com y

    Monografias.com

    son los polinomios irreducibles que buscamos.

    1.1.3 Caracterización de los campos finitos

    Por el momento sólo tenemos como ejemplo de campo
    finito a Monografias.com ( primo).
    A continuación denotaremos por Monografias.com al campo de Monografias.com elementos (no decimos "un
    campo de Monografias.com
    elementos" porque un campo finito de un orden determinado es
    único salvo isomorfismo).

    Teorema 1.11

    El anillo de restos Monografias.com donde Monografias.com es un polinomio mónico irreducible de
    grado Monografias.com es un campo.
    Este será el campo Monografias.com , que se llama extensión
    algebraica
    de Monografias.com
    de grado Monografias.com (y se
    obtiene al adjuntarle a Monografias.com una raíz del polinomio irreducible
    Monografias.com

    Este campo está conformado por los polinomios de
    Monografias.com de grado menor que
    Monografias.com , por tanto tiene
    Monografias.com elementos. Sea
    Monografias.com una raíz de
    Monografias.com se puede
    representar Monografias.com como
    el conjunto de los polinomios en Monografias.com de grado Monografias.com con coeficientes en Monografias.com en este caso Monografias.com se llama elemento definitorio de
    Monografias.com Es decir

    Monografias.com

    Este teorema da una forma de representar los elementos del
    campo Monografias.com mediante la
    raíz de un polinomio Monografias.com irreducible sobre Monografias.com a este Monografias.com se le llama polinomio característico
    de la extensión
    Monografias.com

    Ejemplo 1.12

    Siendo Monografias.com
    raíz de Monografias.com ,
    que es irreducible sobre Monografias.com Entonces Monografias.com puede representarse por el conjunto

    Monografias.com

    con la suma y la multiplicación usuales en

    Monografias.com

    y reduciendo los elementos de grado mayor que uno mediante la
    relación Monografias.com Si
    queremos calcular por ejemplo

    Monografias.com

    se tendría

    Monografias.com

    Otra forma de ver la extensión Monografias.com es como espacio vectorial de
    dimensión Monografias.com
    sobre Monografias.com La
    representación que acabamos de dar nos permite tomar al
    conjunto Monografias.com donde
    Monografias.com es el elemento
    definitorio de Monografias.com
    como una base de Monografias.com a
    esta base se le llama base polinomial. Los elementos de
    Monografias.com quedarán
    representados entonces en la forma Monografias.com donde Monografias.com

    Vimos cómo se extiende el campo Monografias.com adjuntando la raíz de un polinomio
    irreducible de grado Monografias.com para obtener el campo Monografias.com ¿Pero qué podemos decir de
    un campo Monografias.com que
    contiene a Monografias.com

    Teorema 1.13

    Sea Monografias.com un campo
    finito que contiene a Monografias.com entonces Monografias.com tiene Monografias.com elementos, para algún

    Monografias.com

    La demostración se obtiene considerando a

    Monografias.com

    como espacio vectorial finito dimensional sobre Monografias.com de dimensión
    Monografias.com

    Del teorema anterior se deduce una característica
    esencial de los campos finitos.

    Teorema 1.14

    Sea Monografias.com un campo
    finito de característica Monografias.com entonces Monografias.com tiene Monografias.com elementos, para algún

    Monografias.com

    Teorema 1.15

    Dado el campo finito Monografias.com con Monografias.com elementos, todo subcampo de

    Monografias.com

    tendrá entonces Monografias.com elementos, donde Monografias.com es un divisor de Monografias.com

    La demostración se obtiene al aplicar el teorema 1.11
    considerando a Monografias.com
    como subcampo de Monografias.com
    por tanto Monografias.com tiene
    característica Monografias.com y Monografias.com es una potencia del orden de

    Monografias.com

    Definición 1.16

    Sean los campos Monografias.com
    y Monografias.com donde Monografias.com es una extensión de
    Monografias.com Si un polinomio
    Monografias.com tiene todas sus
    raíces en Monografias.com ,
    y Monografias.com es la menor
    extensión de Monografias.com con esta característica, se dice que
    Monografias.com es el campo de
    descomposición de F sobre
    Monografias.com o que Monografias.com se descompone en Monografias.com

    Teorema 1.17

    Sea Monografias.com un campo y
    Monografias.com un polinomio de
    grado positivo en Monografias.com
    entonces existe un campo de descomposición de

    Monografias.com

    sobre Monografias.com Dos
    campos de descomposición de Monografias.com sobre Monografias.com son isomorfos bajo un isomorfismo que deja
    fijos los elementos de Monografias.com y deja invariante el conjunto de las
    raíces de Monografias.com

    Es evidente que el campo de descomposición de un
    polinomio Monografias.com es el
    menor campo que contiene todas sus raíces, así que
    el teorema anterior se deduce del proceso de adjuntar a

    Monografias.com

    las raíces de Monografias.com y la segunda parte de la unicidad de los
    campos finitos.

    De lo visto sobre polinomios irreducibles y su relación
    con las extensiones de campos podemos deducir que un polinomio
    cualquiera Monografias.com sobre
    un campo Monografias.com se
    descompone en factores lineales Monografias.com con Monografias.com y factores irreducibles (de grado

    Monografias.com

    sobre >1 Está claro que si se adjuntan todas las
    raíces de Monografias.com
    se obtiene su campo de descomposición. Una pregunta
    interesante es la siguiente: ¿Se obtendrá el campo
    de descomposición de Monografias.com si se extiende Monografias.com adjuntándole un subconjunto de las
    raíces de Monografias.com
    La respuesta yace en el siguiente teorema.

    Teorema 1.18

    Si Monografias.com es un
    polinomio irreducible sobre Monografias.com de grado Monografias.com entonces Monografias.com tiene una raíz Monografias.com en Monografias.com Es más, todas las raíces de
    Monografias.com se hallan en
    Monografias.com y están
    dadas por los Monografias.com
    elementos Monografias.com de
    Monografias.com

    Corolario 1.19

    Si Monografias.com es
    irreducible sobre Monografias.com
    de grado Monografias.com entonces
    Monografias.com es su campo de
    descomposición. Si Monografias.com no es irreducible sobre Monografias.com su campo de
    descomposición es el menor campo en que se descomponen
    todos los factores irreducibles de Monografias.com

    Definición 1.20

    Los elementos Monografias.com
    de una extensión Monografias.com de Monografias.com se llaman conjugados de Fq con respecto
    a
    Monografias.com

    En el siguiente teorema veremos una propiedad útil
    sobre los elementos de Monografias.com resultado de que Monografias.com sea un grupo (de orden finito) bajo la
    operación de multiplicación.

    Teorema 1.21

    Todo elemento Monografias.com
    cumple la propiedad Monografias.com

    Del teorema anterior se deduce una característica del
    polinomio Monografias.com de
    particular importancia en la teoría de campos finitos.

    Lema 1.22

    El polinomio Monografias.com se
    descompone en Monografias.com como
    Monografias.com y

    Monografias.com

    es su campo de descomposición.

    Del lema anterior se deduce que todo elemento de un campo
    finito Monografias.com es
    raíz de un polinomio en Monografias.com considerar por ejemplo Monografias.com al polinomio mónico de menor grado
    con esta propiedad para un elemento determinado

    Monografias.com

    se le llama polinomio mínimo de

    Monografias.com

    sobre

    Monografias.com

    y se demuestra fácilmente que dicho polinomio es
    irreducible.

    Los teoremas 1.13, 1.14 y 1.15 ofrecen una visión
    más clara sobre el número de elementos en un campo
    finito, la que en cierto sentido se refuerza con el siguiente
    teorema.

    Teorema 1.23

    Para todo primo Monografias.com
    y natural Monografias.com existe
    un campo finito con Monografias.com elementos Monografias.com

    Para la demostración se considera el campo de
    descomposición del polinomio Monografias.com sobre el campo primo Monografias.com Siendo Monografias.com dicho campo de descomposición, se
    considera entonces el conjunto Monografias.com o sea, el conjunto de raíces de
    Monografias.com en f se demuestra
    entonces que Monografias.com es un
    subcampo de Monografias.com y al
    contener todas las raíces de Monografias.com , por la definición 1.14 Monografias.com Así que S=F es un
    campo con Monografias.com
    elementos.

    Existen además otras formas de representar un campo
    Monografias.com una muy
    común es como potencias de un elemento fijo. Para verlo,
    primero es necesario enunciar el siguiente teorema.

    Teorema 1.24

    El grupo multiplicativo de un campo Monografias.com (denotado Monografias.com es cíclico. Un generador de Monografias.com se llama elemento primitivo
    de Monografias.com

    De este teorema se deducen conclusiones importantes.

    Teorema 1.25

    Toda extensión Monografias.com de un campo Monografias.com se puede considerar como una extensión
    de Monografias.com al adjuntarle
    un solo elemento (a este tipo de extensiones se les denomina
    simples).

    Para la demostración se considera extender Monografias.com al adjuntarle un elemento
    primitivo Monografias.com de
    Monografias.com De este
    razonamiento se deduce también que para cualquier
    Monografias.com natural existe un
    polinomio irreducible en Monografias.com de grado Monografias.com este será el polinomio mínimo de
    un elemento primitivo de Monografias.com

    Teorema 1.26

    Los elementos conjugados de un Monografias.com con respecto a cualquier subcampo de

    Monografias.com

    tienen un mismo orden en el grupo multiplicativo Monografias.com

    Se demuestra a partir de la relación entre el orden de
    un elemento Monografias.com en un
    grupo cíclico y el orden de Monografias.com para lo que se tiene en cuenta que am para
    cualquier

    Monografias.com

    El polinomio mínimo de un elemento

    Monografias.com

    está dado por Monografias.com y su grado Monografias.com es un divisor de Monografias.com .

    Definición 1.27

    Sea Monografias.com una
    extensión de Monografias.com cuyo elemento definitorio Monografias.com es raíz de un
    polinomio irreducible Monografias.com de grado Monografias.com Si todo elemento de Monografias.com se puede expresar como una potencia de
    Monografias.com (equivalentemente,
    Monografias.com es un elemento
    primitivo de Monografias.com se
    dice entonces que Monografias.com
    es un polinomio primitivo.

    Al ser Monografias.com un grupo
    cíclico, siempre existe en él un elemento (y un
    polinomio) primitivo.

    Esto nos permite plantear Monografias.com siempre que Monografias.com sea raíz de un polinomio primitivo
    sobre Monografias.com

    La definición anterior se puede transcribir como
    sigue:

    Definición 1.28

    El polinomio Monografias.com de grado Monografias.com se llama polinomio primitivo sobre el campo
    Monografias.com si es el polinomio
    mínimo sobre el campo Monografias.com de cierto elemento primitivo de la
    extensión Monografias.com
    del campo Monografias.com

    Partes: 1, 2

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