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Sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios y su aplicación en la criptografía




Partes: 1, 2

RESUMEN

En el presente trabajo se expone y analiza una de las herramientas más utilizadas para la construcción de criptosistemas de cifrado en flujo, los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal (LSFRs, siglas en inglés), los cuales están basados en el principio matemático de las sucesiones recurrentes lineales (SRL) sobre los campos finitos binarios. Se brinda la fundamentación teórica de estos mecanismos presentando las definiciones y propiedades principales, que son necesarias para comprender su funcionamiento. Además, se detallan métodos teóricos y prácticos para la obtención de los parámetros de los LSFRs.

Palabras Claves: campo finito binario, sucesión recurrente lineal, registro de desplazamiento con retroalimentación lineal, cifrado de flujo.

INTRODUCCIÓN

La teoría de los campos finitos es una rama del Álgebra moderna que se ha convertido en muy actual desde la última mitad del siglo pasado, teniendo sus múltiples aplicaciones en la combinatoria, la teoría de códigos, la teoría matemática de los esquemas de conmutación, la teoría de números, la geometría algebraica, la teoría de Galois y en particular en Criptografía, donde se utilizan en la construcción de la mayoría de los códigos conocidos y su decodificación.

Las sucesiones sobre campos finitos cuyos términos dependerán de una manera sencilla de sus predecesores son de importancia para una variedad de aplicaciones ejemplo en la criptografía. Dichas sucesiones son fáciles de generar mediante procedimientos recursivos, lo cual es sin duda una característica ventajosa desde el punto de vista computacional y también tienden a tener propiedades estructurales útiles .

En 1917, J. Mauborgne y G. Vernam inventaron un criptosistema perfecto según el criterio de Shannon. Dicho sistema consistía en emplear una sucesión aleatoria de igual longitud que el mensaje, que se usaría una única vez, combinándola mediante alguna función simple e inversible (xor) con el texto en claro bit a bit.

En este trabajo analizaremos una herramienta para la construcción de este tipo de criptosistema, denominado en la criptografía moderna como algoritmo de cifrado en flujo, sobre campos finitos específicos: los binarios, o sea, los campos finitos de característica dos. Dichos criptosistemas no son más que la especificación de un generador pseudoaleatorio, que permiten cifrar mensajes de longitud arbitraria, combinando el mensaje con la sucesión (conjunto de elementos encadenados o sucesivos) mediante la operación or exclusivo bit a bit. Los mismos no proporcionan seguridad perfecta, ya que mientras en el cifrado de Vernam el número de posibles claves es tan grande como el de posibles mensajes, cuando empleamos un generador tenemos, como mucho, tantas sucesiones distintas como posibles valores del estado inicial del registro. Una herramienta a emplear para la construcción de estos criptosistemas la constituye los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal (LSFR, estos son un tipo especial de circuitos electrónicos de conmutación que procesan la información presentada de una manera adecuada en forma de elementos del campo), los cuales están basados en el principio matemático de las sucesiones recurrentes lineales (SRL, ecuación que define una sucesión recursiva donde cada término de la sucesión es definido como una función de términos anteriores).

Debido a que permiten generar sucesiones con períodos muy grandes y con buenas propiedades estadísticas, además de su bien conocida estructura algebraica y su facilidad para ser implementados por hardware, estos se encuentran presentes en muchos de los generadores de sucesión propuestos en la literatura.

En marzo del 2009 se inauguró en nuestra Universidad Central "Martha Abreu" de Las Villas un Laboratorio de Criptografía Académica (LCA), ubicado en la facultad de Matemática, Física y Computación. Con el objetivo de potenciar investigaciones, en el centro del país, relacionadas con el análisis y diseño de algoritmos de cifrado en flujo.

Actualmente existe una gran variedad de principios de diseño para construir algoritmos de cifrado en flujo, pero uno de los más utilizados desde hace décadas son los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal. Hoy por hoy, se reportan algunas deficiencias de seguridad, lo cual ha limitado su utilización y han impuesto transformaciones en su estructura y funcionamiento. No obstante, muchos de estos reportes no presentan información en detalle e incluso en algunos se especula acerca de los resultados planteados.

Problema científico:

Debido a lo anterior se hace necesario realizar un estudio sobre la base matemática de este principio de diseño, específicamente de las sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios. De manera que facilite el análisis criptográfico de estos mecanismos y de esta forma explorar y determinar las potencialidades reales de utilización de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal en la construcción de criptosistemas de cifrado en flujo.

Hipótesis de investigación:

El análisis criptográfico de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal, basado en la teoría de las sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios, permitirá determinar las potencialidades reales de utilización de los LFSR en la construcción de criptosistemas de cifrado en flujo.

Objetivo general:

Realizar un análisis criptográfico de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal, basado en la teoría de las sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios.

Para lograr dicho objetivo general, se proponen los siguientes objetivos específicos:

  • 1. Exponer la teoría general sobre los campos finitos binarios.

  • 2. Profundizar en el estudio de las sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios.

  • 3. Presentar las propiedades generales de los LFSRs.

  • 4. Determinar la relación entre las sucesiones recurrentes lineales y los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal.

  • 5. Analizar el funcionamiento de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal.

Para dar cumplimiento a estos objetivos es necesario plantearse las siguientes interrogantes científicas:

  • 1. ¿Cuándo un campo finito es binario?

  • 2. ¿Qué es una sucesión recurrente lineal binaria?

  • 3. ¿Qué es un registro de desplazamiento con retroalimentación lineal?

  • 4. ¿Qué relación existe entre las sucesiones recurrentes lineales y los registros de desplazamientos con retroalimentación lineal?

Con el propósito de resolver las interrogantes científicas que responden a los objetivos específicos fue necesario plantearse y solucionar las siguientes tareas de investigación:

  • 1. Revisión bibliográfica sobre la teoría de los campos finitos, particularizando en los de característica dos. Consulta de libros, artículos y páginas de internet, entre otras fuentes.

  • 2. Estudio de las sucesiones recurrentes lineales en campos finitos binarios.

  • 3. Profundización en el estudio de los conceptos generales y funcionamiento de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal.

  • 4. Representación de las salidas de los LSFRs como sucesiones recurrentes lineales.

  • 5. Caracterización de las salidas de los LSFRs según los postulados de Golomb.

  • 6. Exposición de la relación entre el polinomio de conexión y los coeficientes de la recurrencia lineal.

  • 7. Explicación de los principios básicos de los ataques con texto claro conocido.

  • 8. Obtención de los parámetros de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal.

  • 9. Recuperación del estado inicial de los LFSRs.

Métodos de investigación científica:

Método hipotético-deductivo: Al elaborar la hipótesis de investigación a partir de los resultados de la revisión bibliográfica.

Inducción – deducción: Para en el estudio de las fuentes de información, extraer de ellas regularidades y tendencias relacionadas con el tema de investigación y la lógica de pensamiento cuyas interrelaciones y generalizaciones permiten la argumentación y la coherencia de la propuesta que se realice.

Histórico-lógico: Para el análisis de la trayectoria evolutiva de la investigación a partir de su objeto, antecedente y desarrollo. En la revisión de la literatura adecuada para la determinación de las tendencias actuales de cómo son usados los campos finitos en los criptosistemas.

Aportes de la investigación:

Los principales aportes de esta investigación son fundamentalmente teóricos, debido a que se presenta un procedimiento para la determinación del polinomio de retroalimentación de los LFSRs, a partir del conocimiento de cierta cantidad de elementos de salida y se exponen métodos para la recuperación del estado inicial, basados en la teoría de las sucesiones recurrentes lineales, bajo ciertos supuestos. Como resultado práctico se propone un algoritmo para la obtención del polinomio de retroalimentación de un LFSR.

Estructura del trabajo:

La tesis está estructurada en tres capítulos:

En el primer capítulo se abordan aspectos fundamentales de la teoría de los campos finitos particularizando en los binarios que son los de interés criptográfico y sobre los que se desarrolla la investigación. Además, especifican algunos conceptos y propiedades sobre las sucesiones recurrentes lineales definidas sobre estos tipos de campos finitos.

En el segundo capítulo se brindan las principales propiedades de los registros de desplazamientos con retroalimentación lineal, así como, de las sucesiones que estos generan. También, se representa la relación existente entre los registros de desplazamientos con retroalimentación lineal y las sucesiones recurrentes lineales.

En el tercer capítulo se exponen algunos métodos para el análisis de los registros de desplazamientos con retroalimentación lineal. Se presenta un procedimiento para la obtención de algunos parámetros de estos mecanismos a partir de la sucesión de salida. Además, se proponen métodos para la recuperación del estado inicial de los registros de desplazamiento con retroalimentación lineal.

CAPÍTULO I.

SUCESIONES RECURRENTES LINEALES SOBRE CAMPOS FINITOS BINARIOS

La teoría de los campos finitos tiene sus orígenes en los siglos XVII y XVIII con el estudio de una clase especial de campos finitos, los llamados campos primos, gracias a los aportes de matemáticos tan reconocidos como Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833). La teoría general sobre los campos finitos comienza con los trabajos de Carl F. Gauss y Evariste Galois a principios del siglo XIX. También conocidos como campos de Galois, los campos finitos han tenido en los últimos años muchas aplicaciones, entre las que se cuentan los códigos algébricos, los esquemas criptográficos, los generadores de números aleatorios, el procesamiento digital de señales y los códigos de corrección de errores CITATION RLi86 l 1033 (Niederreiter, 1986).

Como se dijo anteriormente las sucesiones sobre campos finitos cuyos términos dependerán de una manera sencilla en sus predecesores son de importancia para una variedad de aplicaciones. Dichas sucesiones son fáciles de generar mediante procedimientos recursivos, lo cual es sin duda una característica ventajosa desde el punto de vista computacional y también tienden a tener propiedades estructurales útiles. De particular interés es el caso en los términos dependen linealmente de un número fijo de sus predecesores, lo que resulta en una sucesión de manera lineal llamada recurrente. Estas sucesiones se emplean, por ejemplo, en la teoría de la codificación, en la criptografía (véase el Capítulo 2), y en varias ramas de la ingeniería eléctrica CITATION RLi86 l 1033 (Niederreiter, 1986). En estas aplicaciones, el campo subyacente que se toma a menudo es Monografias.com , pero la teoría puede ser desarrollada bastante general para cualquier campo finito.

Este capítulo está compuesto por dos epígrafes. El primero está dividido en tres secciones, en primer lugar se aborda las definiciones y propiedades de los campos, en segundo las propiedades de polinomios sobre campos finitos, haciendo énfasis en los polinomios irreducibles y la tercera sección trata la caracterización de los campos finitos y un conjunto de propiedades que estos cumplen y que son importantes para la comprensión del trabajo y la fundamentación del tema a tratar en el próximo capítulo.

El segundo epígrafe es el más importante, está divido en 4 secciones; el primero se dedica a definir los tipos sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos; el segundo, al período de una sucesión recurrente lineal, el tercero a los métodos básicos de representación de las SRL y el último aborda las SRL sobre campos finitos binarios.

Las definiciones, teoremas y propiedades que se enuncian en el capítulo, se pueden encontrar en CITATION RLi86 l 1033 (Niederreiter, 1986) y CITATION Gar13 l 1033 (Panario, 2013) y lo relacionado a sucesión recurrente lineal en CITATION RLi86 l 3082 (Niederreiter, 1986). Igualmente las demostraciones de todos los teoremas, lemas y definiciones correspondientes a cada epígrafe. Para profundizar en el tema de campos finitos recomendamos también CITATION JAV09 l 3082 (Mendoza, 2009)).

  • Conceptos básicos

1.1.1 Campos finitos

Definición 1.1

Un campo es un conjunto Monografias.com no vacío con dos operaciones internas Monografias.com donde

  • Monografias.com es un grupo conmutativo.

  • Monografias.com es un grupo conmutativo.

  • Se cumple la ley distributiva del producto con respecto a la suma.

Es decir, un campo es un anillo conmutativo en el que todo elemento distinto de cero tiene inverso.

Un subcampo Monografias.com de Monografias.com es un subanillo de Monografias.com que es en sí mismo un campo.

Lema 1.2

Un anillo conmutativo Monografias.com es un campo, si y solo si, no contiene ideales distintos de Monografias.com y Monografias.com

Un homomorfismo de campos no es más que un homomorfismo de anillos. Este es siempre inyectivo, porque su núcleo, siendo un ideal propio, tiene que ser cero según el lema anterior.

Es fácil comprobar que la aplicación

Monografias.com

donde Monografias.com es el neutro de Monografias.com para el producto, es un homomorfismo de anillos y por tanto su núcleo es un ideal de Monografias.com Pueden producirse entonces dos variantes:

  • El núcleo es Monografias.com , entonces Monografias.com puede extenderse a un homomorfismo Monografias.com lo que indica que Monografias.com contiene una copia de Monografias.com En este caso se dice que Monografias.com es de característica cero.

  • El núcleo es Monografias.com para algún Monografias.com natural, que además tiene que ser primo (de lo contrario existen en Monografias.com dos elementos distintos de cero cuyo producto es cero). En este caso Monografias.com contiene una copia de

Monografias.com y se dice que Monografias.com es de característica Monografias.com

Este último caso es el que nos interesa, pues los campos finitos tienen característica

Monografias.com

específicamente cuando Monografias.com se llaman campos binarios o de característica dos. Podemos percibir que un campo finito no es más que un campo con un número finito de elementos. Y como acabamos de apreciar, su característica es un número primo. Usaremos la notación Monografias.com para referirnos al campo

Monografias.com

Monografias.com son los llamados campos primos. Un campo de característica Monografias.com se dice que tiene a Monografias.com como su subcampo primo. Para el caso que nos interesa, cuando la característica es dos, entonces se dice que tiene a Monografias.com como su subcampo primo, siendo Monografias.com .

1.1.2 Polinomios

Sea Monografias.com el anillo de polinomios con coeficientes en el campo Monografias.com

Definición 1.3

Un polinomio Monografias.com se dice irreducible sobre Monografias.com si Monografias.com tiene grado positivo y no puede descomponerse como el producto de dos polinomios de Monografias.com ambos de grado positivo.

Es evidente que los polinomios lineales (de grado uno) son irreducibles.

Una propiedad fundamental del anillo Monografias.com es que es un dominio de integridad si Monografias.com lo es. Así que Monografias.com es un dominio de integridad, con la propiedad adicional de que se cumple la división con resto. Esto es, dados cualesquiera

Monografias.com

existen

Monografias.com

tales que f=gq+r

donde

Monografias.com

grd(f) es el grado del polinomio f)

Se dice que g divide a f y se denota g/f si existe q tal que f=gq La división con resto permite probar que

Monografias.com

es un dominio de factorización única.

Cada polinomio no nulo f sobre un campo finito además de su grado grd(f) tiene otra característica numérica entera su orden.

Lema 1.4

Si el polinomio Monografias.com es un polinomio de grado Monografias.com que satisface la condición Monografias.com entonces existe un número natural Monografias.com para el cual el binomio Monografias.com se divide por el polinomio Monografias.com

Definición 1.5

Sea Monografias.com un polinomio no nulo. Si Monografias.com entonces el menor número natural Monografias.com para el cual el polinomio Monografias.com divide a Monografias.com se llama orden del polinomio Monografias.com y se denota por Monografias.com Pero si Monografias.com entonces el polinomio Monografias.com se puede representar de forma única como

Monografias.com

donde

Monografias.com

y Monografias.com y

Monografias.com

y en este caso el orden del polinomio Monografias.com se define como Monografias.com

Teorema 1.6

Si Monografias.com es un polinomio irreducible sobre el campo Monografias.com y Monografias.com entonces Monografias.com divide a Monografias.com

Teorema 1.7

Todo polinomio Monografias.com se puede descomponer de manera única, salvo el orden de los factores, como producto de polinomios irreducibles.

Los polinomios irreducibles en Monografias.com juegan el mismo papel que los números primos en Monografias.com así podemos decir que si un polinomio irreducible sobre Monografias.com divide un producto de polinomios en Monografias.com entonces divide al menos a uno de los factores de este producto.

Definición 1.8

Un elemento Monografias.com se dice que es raíz de Monografias.com si se cumple que Monografias.com

De la definición anterior y la división con resto se deduce el siguiente teorema.

Teorema 1.9

Sea Monografias.com irreducible y Monografias.com una raíz de Monografias.com Monografias.com para algún

Monografias.com

si y solo si f divide a g

En particular, si consideramos Monografias.com se tiene Monografias.com si y solo si Monografias.com Aplicando este resultado un número finito de veces obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 1.10

Un polinomio Monografias.com de grado Monografias.com tiene a lo sumo Monografias.com raíces en Monografias.com

Una consecuencia del resultado anterior es que los polinomios de grado 2 y 3 son irreducibles sobre Monografias.com si y solo si no tienen raíces en Monografias.com

Para ilustrar la utilidad de algunos conceptos y propiedades enunciados hasta el momento, veamos el siguiente ejemplo: hallar los polinomios mónicos (con coeficiente principal igual a 1) irreducibles sobre Monografias.com de grado 4.

Notemos que un polinomio Monografias.com , de cuarto grado, es irreducible si no tiene divisores de grado 1 o 2 en Monografias.com Por tanto podemos calcular todos los productos de las formas Monografias.com y Monografias.com y compararlos con la lista de los Monografias.com polinomios mónicos de grado 4 en Monografias.com Encontramos entonces que

Monografias.com

Monografias.com y

Monografias.com

son los polinomios irreducibles que buscamos.

1.1.3 Caracterización de los campos finitos

Por el momento sólo tenemos como ejemplo de campo finito a Monografias.com ( primo). A continuación denotaremos por Monografias.com al campo de Monografias.com elementos (no decimos "un campo de Monografias.com elementos" porque un campo finito de un orden determinado es único salvo isomorfismo).

Teorema 1.11

El anillo de restos Monografias.com donde Monografias.com es un polinomio mónico irreducible de grado Monografias.com es un campo. Este será el campo Monografias.com , que se llama extensión algebraica de Monografias.com de grado Monografias.com (y se obtiene al adjuntarle a Monografias.com una raíz del polinomio irreducible Monografias.com

Este campo está conformado por los polinomios de Monografias.com de grado menor que Monografias.com , por tanto tiene Monografias.com elementos. Sea Monografias.com una raíz de Monografias.com se puede representar Monografias.com como el conjunto de los polinomios en Monografias.com de grado Monografias.com con coeficientes en Monografias.com en este caso Monografias.com se llama elemento definitorio de Monografias.com Es decir

Monografias.com

Este teorema da una forma de representar los elementos del campo Monografias.com mediante la raíz de un polinomio Monografias.com irreducible sobre Monografias.com a este Monografias.com se le llama polinomio característico de la extensión Monografias.com

Ejemplo 1.12

Siendo Monografias.com raíz de Monografias.com , que es irreducible sobre Monografias.com Entonces Monografias.com puede representarse por el conjunto

Monografias.com

con la suma y la multiplicación usuales en

Monografias.com

y reduciendo los elementos de grado mayor que uno mediante la relación Monografias.com Si queremos calcular por ejemplo

Monografias.com

se tendría

Monografias.com

Otra forma de ver la extensión Monografias.com es como espacio vectorial de dimensión Monografias.com sobre Monografias.com La representación que acabamos de dar nos permite tomar al conjunto Monografias.com donde Monografias.com es el elemento definitorio de Monografias.com como una base de Monografias.com a esta base se le llama base polinomial. Los elementos de Monografias.com quedarán representados entonces en la forma Monografias.com donde Monografias.com

Vimos cómo se extiende el campo Monografias.com adjuntando la raíz de un polinomio irreducible de grado Monografias.com para obtener el campo Monografias.com ¿Pero qué podemos decir de un campo Monografias.com que contiene a Monografias.com

Teorema 1.13

Sea Monografias.com un campo finito que contiene a Monografias.com entonces Monografias.com tiene Monografias.com elementos, para algún

Monografias.com

La demostración se obtiene considerando a

Monografias.com

como espacio vectorial finito dimensional sobre Monografias.com de dimensión Monografias.com

Del teorema anterior se deduce una característica esencial de los campos finitos.

Teorema 1.14

Sea Monografias.com un campo finito de característica Monografias.com entonces Monografias.com tiene Monografias.com elementos, para algún

Monografias.com

Teorema 1.15

Dado el campo finito Monografias.com con Monografias.com elementos, todo subcampo de

Monografias.com

tendrá entonces Monografias.com elementos, donde Monografias.com es un divisor de Monografias.com

La demostración se obtiene al aplicar el teorema 1.11 considerando a Monografias.com como subcampo de Monografias.com por tanto Monografias.com tiene característica Monografias.com y Monografias.com es una potencia del orden de

Monografias.com

Definición 1.16

Sean los campos Monografias.com y Monografias.com donde Monografias.com es una extensión de Monografias.com Si un polinomio Monografias.com tiene todas sus raíces en Monografias.com , y Monografias.com es la menor extensión de Monografias.com con esta característica, se dice que Monografias.com es el campo de descomposición de F sobre Monografias.com o que Monografias.com se descompone en Monografias.com

Teorema 1.17

Sea Monografias.com un campo y Monografias.com un polinomio de grado positivo en Monografias.com entonces existe un campo de descomposición de

Monografias.com

sobre Monografias.com Dos campos de descomposición de Monografias.com sobre Monografias.com son isomorfos bajo un isomorfismo que deja fijos los elementos de Monografias.com y deja invariante el conjunto de las raíces de Monografias.com

Es evidente que el campo de descomposición de un polinomio Monografias.com es el menor campo que contiene todas sus raíces, así que el teorema anterior se deduce del proceso de adjuntar a

Monografias.com

las raíces de Monografias.com y la segunda parte de la unicidad de los campos finitos.

De lo visto sobre polinomios irreducibles y su relación con las extensiones de campos podemos deducir que un polinomio cualquiera Monografias.com sobre un campo Monografias.com se descompone en factores lineales Monografias.com con Monografias.com y factores irreducibles (de grado

Monografias.com

sobre >1 Está claro que si se adjuntan todas las raíces de Monografias.com se obtiene su campo de descomposición. Una pregunta interesante es la siguiente: ¿Se obtendrá el campo de descomposición de Monografias.com si se extiende Monografias.com adjuntándole un subconjunto de las raíces de Monografias.com La respuesta yace en el siguiente teorema.

Teorema 1.18

Si Monografias.com es un polinomio irreducible sobre Monografias.com de grado Monografias.com entonces Monografias.com tiene una raíz Monografias.com en Monografias.com Es más, todas las raíces de Monografias.com se hallan en Monografias.com y están dadas por los Monografias.com elementos Monografias.com de Monografias.com

Corolario 1.19

Si Monografias.com es irreducible sobre Monografias.com de grado Monografias.com entonces Monografias.com es su campo de descomposición. Si Monografias.com no es irreducible sobre Monografias.com su campo de descomposición es el menor campo en que se descomponen todos los factores irreducibles de Monografias.com

Definición 1.20

Los elementos Monografias.com de una extensión Monografias.com de Monografias.com se llaman conjugados de Fq con respecto a Monografias.com

En el siguiente teorema veremos una propiedad útil sobre los elementos de Monografias.com resultado de que Monografias.com sea un grupo (de orden finito) bajo la operación de multiplicación.

Teorema 1.21

Todo elemento Monografias.com cumple la propiedad Monografias.com

Del teorema anterior se deduce una característica del polinomio Monografias.com de particular importancia en la teoría de campos finitos.

Lema 1.22

El polinomio Monografias.com se descompone en Monografias.com como Monografias.com y

Monografias.com

es su campo de descomposición.

Del lema anterior se deduce que todo elemento de un campo finito Monografias.com es raíz de un polinomio en Monografias.com considerar por ejemplo Monografias.com al polinomio mónico de menor grado con esta propiedad para un elemento determinado

Monografias.com

se le llama polinomio mínimo de

Monografias.com

sobre

Monografias.com

y se demuestra fácilmente que dicho polinomio es irreducible.

Los teoremas 1.13, 1.14 y 1.15 ofrecen una visión más clara sobre el número de elementos en un campo finito, la que en cierto sentido se refuerza con el siguiente teorema.

Teorema 1.23

Para todo primo Monografias.com y natural Monografias.com existe un campo finito con Monografias.com elementos Monografias.com

Para la demostración se considera el campo de descomposición del polinomio Monografias.com sobre el campo primo Monografias.com Siendo Monografias.com dicho campo de descomposición, se considera entonces el conjunto Monografias.com o sea, el conjunto de raíces de Monografias.com en f se demuestra entonces que Monografias.com es un subcampo de Monografias.com y al contener todas las raíces de Monografias.com , por la definición 1.14 Monografias.com Así que S=F es un campo con Monografias.com elementos.

Existen además otras formas de representar un campo Monografias.com una muy común es como potencias de un elemento fijo. Para verlo, primero es necesario enunciar el siguiente teorema.

Teorema 1.24

El grupo multiplicativo de un campo Monografias.com (denotado Monografias.com es cíclico. Un generador de Monografias.com se llama elemento primitivo de Monografias.com

De este teorema se deducen conclusiones importantes.

Teorema 1.25

Toda extensión Monografias.com de un campo Monografias.com se puede considerar como una extensión de Monografias.com al adjuntarle un solo elemento (a este tipo de extensiones se les denomina simples).

Para la demostración se considera extender Monografias.com al adjuntarle un elemento primitivo Monografias.com de Monografias.com De este razonamiento se deduce también que para cualquier Monografias.com natural existe un polinomio irreducible en Monografias.com de grado Monografias.com este será el polinomio mínimo de un elemento primitivo de Monografias.com

Teorema 1.26

Los elementos conjugados de un Monografias.com con respecto a cualquier subcampo de

Monografias.com

tienen un mismo orden en el grupo multiplicativo Monografias.com

Se demuestra a partir de la relación entre el orden de un elemento Monografias.com en un grupo cíclico y el orden de Monografias.com para lo que se tiene en cuenta que am para cualquier

Monografias.com

El polinomio mínimo de un elemento

Monografias.com

está dado por Monografias.com y su grado Monografias.com es un divisor de Monografias.com .

Definición 1.27

Sea Monografias.com una extensión de Monografias.com cuyo elemento definitorio Monografias.com es raíz de un polinomio irreducible Monografias.com de grado Monografias.com Si todo elemento de Monografias.com se puede expresar como una potencia de Monografias.com (equivalentemente, Monografias.com es un elemento primitivo de Monografias.com se dice entonces que Monografias.com es un polinomio primitivo.

Al ser Monografias.com un grupo cíclico, siempre existe en él un elemento (y un polinomio) primitivo.

Esto nos permite plantear Monografias.com siempre que Monografias.com sea raíz de un polinomio primitivo sobre Monografias.com

La definición anterior se puede transcribir como sigue:

Definición 1.28

El polinomio Monografias.com de grado Monografias.com se llama polinomio primitivo sobre el campo Monografias.com si es el polinomio mínimo sobre el campo Monografias.com de cierto elemento primitivo de la extensión Monografias.com del campo Monografias.com

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