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Sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios y su aplicación en la criptografía (página 2)



Partes: 1, 2

De esta manera, el polinomio primitivo sobre
Monografias.com de grado Monografias.com es un polinomio
mónico, el cual es irreducible sobre Monografias.com y tiene una raíz
Monografias.com que es un elemento
generador del grupo multiplicativo Monografias.com del campo Monografias.com Los polinomios primitivos se pueden
caracterizar también así:

Teorema 1.29

El polinomio Monografias.com de grado Monografias.com es un polinomio primitivo sobre Monografias.com si y solo si, él es
un polinomio mónico tal que Monografias.com y Monografias.com

De lo visto anteriormente podemos sacar algunas
conclusiones.

Lema 1.30

Un elemento Monografias.com
diferente de Monografias.com de
Monografias.com tiene como orden
multiplicativo un divisor de Monografias.com si este divisor es el propio

Monografias.com

entonces

Monografias.com

es un elemento primitivo de Monografias.com

Lema 1.31

Sea Monografias.com se cumple
que Monografias.com si y solo si
Monografias.com donde

Monografias.com

es un divisor de Monografias.com

Lema 1.32

De la teoría de números conocemos que k.
así que el mayor campo contenido en

Monografias.com

y Monografias.com es

Monografias.com

Para ilustrar algo de lo visto sobre la caracterización
de los campos finitos podemos afirmar por ejemplo que existe un
campo con Monografias.com
elementos (), que sus subcampos propios son 1024 Monografias.com y Monografias.com que un elemento Monografias.com de Monografias.com cumple Monografias.com si y solo si Monografias.com en cuyo caso Monografias.com respectivamente. Otra conclusión es que
para obtener los elementos de Monografias.com como polinomios con coeficientes en

Monografias.com

se le debe adjuntar a este último la raíz
Monografias.com de un polinomio
irreducible de grado Monografias.com si este polinomio es primitivo todos los
elementos de Monografias.com se
pueden expresar como potencias de 10

1.2 Sucesiones recurrentes lineales sobre un campo
finito

1.2.1 Definición de sucesión recurrente
lineal

Definición 1.33

Sea Monografias.com
número natural, Monografias.com elementos dados del campo finito Monografias.com La sucesión
Monografias.com de elementos del
campo Monografias.com que
satisface la relación Monografias.com (1.1) donde los primeros términos
Monografias.com
unívocamente determinan toda la sucesión y se
llaman valores iniciales.

Dicha relación se llama relación recurrente
lineal (de orden
Monografias.com En la antigua literatura se puede
también encontrar el término Monografias.com ecuación en
diferencias Monografias.com El
caso en que Monografias.com se
denomina relación recurrente lineal homogénea, en
caso contrario relación recurrente lineal no
homogénea. La correspondiente sucesión recurrente
se llama sucesión recurrente lineal homogénea
(no homogénea)
sobre el campo Monografias.com

Sea Monografias.com una
sucesión recurrente lineal homogénea de orden
Monografias.com sobre el campo
Monografias.com que satisface la
relación recurrente lineal Monografias.com (1.2) donde Monografias.com Monografias.com
El polinomio Monografias.com se
llama polinomio característico de la
sucesión recurrente lineal dada. Está claro que
él depende de la relación recurrente lineal
(1.2).

En calidad de primera aplicación de la noción de
polinomio característico de la sucesión recurrente
lineal mostramos como en un caso particular importante los
términos de la sucesión recurrente lineal pueden
ser expresados de manera clara a través de los
coeficientes del polinomio Monografias.com

Teorema 1.34

Sea Monografias.com una
sucesión recurrente lineal homogénea de orden
Monografias.com sobre el campo
Monografias.com y

Monografias.com

su polinomio característico. Si las raíces

Monografias.com

del polinomio

Monografias.com

son todas diferentes, entonces Monografias.com 1.3) donde Monografias.com diferentes elementos del campo de
descomposición del polinomio Monografias.com sobre el campo Monografias.com los cuales unívocamente se determinan
por los términos iniciales de la sucesión
recurrente Monografias.com

Teorema 1.35

Si Monografias.com es una
sucesión recurrente lineal homogénea sobre el campo
Monografias.com entonces existe un
polinomio mónico determinado unívocamente

Monografias.com

poseedor de la siguiente propiedad, el polinomio mónico
de grado positivo

Monografias.com

es el polinomio característico de la sucesión
dada Monografias.com si y solo si
Monografias.com se divide por
Monografias.com

Teorema 1.36

Sea Monografias.com el
polinomio mónico irreducible sobre el campo

Monografias.com

y sea

Monografias.com

una sucesión recurrente lineal homogénea sobre
el campo Monografias.com que no es
una sucesión nula, si Monografias.com es el polinomio característico de la
sucesión Monografias.com
entonces él es igual a su polinomio mínimo
Monografias.com

Teorema 1.37

Sea Monografias.com una
sucesión de elementos del campo Monografias.com que satisface la relación
recurrente lineal de orden Monografias.com con polinomio característico Monografias.com entonces el polinomio
Monografias.com coincide con el
polinomio mínimo de esta sucesión si y solo si los
vectores de estado Monografias.com
son linealmente independientes sobre el campo Monografias.com Consecuencia
1.38

Si la sucesión Monografias.com es la función de impulso
correspondiente a cierta relación recurrente lineal
homogénea sobre el campo Monografias.com entonces el polinomio mínimo de esta
sucesión es igual al polinomio característico de
esta relación recurrente lineal.

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