Sucesiones recurrentes lineales sobre campos finitos binarios y su aplicación en la criptografía (página 2)
De esta manera, el polinomio primitivo sobre
de grado es un polinomio
mónico, el cual es irreducible sobre y tiene una raíz
que es un elemento
generador del grupo multiplicativo del campo Los polinomios primitivos se pueden
caracterizar también así:
Teorema 1.29
El polinomio de grado es un polinomio primitivo sobre si y solo si, él es
un polinomio mónico tal que y
De lo visto anteriormente podemos sacar algunas
conclusiones.
Lema 1.30
Un elemento
diferente de de
tiene como orden
multiplicativo un divisor de si este divisor es el propio
entonces
es un elemento primitivo de
Lema 1.31
Sea se cumple
que si y solo si
donde
es un divisor de
Lema 1.32
De la teoría de números conocemos que k.
así que el mayor campo contenido en
y es
Para ilustrar algo de lo visto sobre la caracterización
de los campos finitos podemos afirmar por ejemplo que existe un
campo con
elementos (), que sus subcampos propios son 1024 y que un elemento de cumple si y solo si en cuyo caso respectivamente. Otra conclusión es que
para obtener los elementos de como polinomios con coeficientes en
se le debe adjuntar a este último la raíz
de un polinomio
irreducible de grado si este polinomio es primitivo todos los
elementos de se
pueden expresar como potencias de 10
1.2 Sucesiones recurrentes lineales sobre un campo
finito
1.2.1 Definición de sucesión recurrente
lineal
Definición 1.33
Sea
número natural, elementos dados del campo finito La sucesión
de elementos del
campo que
satisface la relación (1.1) donde los primeros términos
unívocamente determinan toda la sucesión y se
llaman valores iniciales.
Dicha relación se llama relación recurrente
lineal (de orden En la antigua literatura se puede
también encontrar el término ecuación en
diferencias El
caso en que se
denomina relación recurrente lineal homogénea, en
caso contrario relación recurrente lineal no
homogénea. La correspondiente sucesión recurrente
se llama sucesión recurrente lineal homogénea
(no homogénea) sobre el campo
Sea una
sucesión recurrente lineal homogénea de orden
sobre el campo
que satisface la
relación recurrente lineal (1.2) donde
El polinomio se
llama polinomio característico de la
sucesión recurrente lineal dada. Está claro que
él depende de la relación recurrente lineal
(1.2).
En calidad de primera aplicación de la noción de
polinomio característico de la sucesión recurrente
lineal mostramos como en un caso particular importante los
términos de la sucesión recurrente lineal pueden
ser expresados de manera clara a través de los
coeficientes del polinomio
Teorema 1.34
Sea una
sucesión recurrente lineal homogénea de orden
sobre el campo
y
su polinomio característico. Si las raíces
del polinomio
son todas diferentes, entonces 1.3) donde diferentes elementos del campo de
descomposición del polinomio sobre el campo los cuales unívocamente se determinan
por los términos iniciales de la sucesión
recurrente
Teorema 1.35
Si es una
sucesión recurrente lineal homogénea sobre el campo
entonces existe un
polinomio mónico determinado unívocamente
poseedor de la siguiente propiedad, el polinomio mónico
de grado positivo
es el polinomio característico de la sucesión
dada si y solo si
se divide por
Teorema 1.36
Sea el
polinomio mónico irreducible sobre el campo
y sea
una sucesión recurrente lineal homogénea sobre
el campo que no es
una sucesión nula, si es el polinomio característico de la
sucesión
entonces él es igual a su polinomio mínimo
Teorema 1.37
Sea una
sucesión de elementos del campo que satisface la relación
recurrente lineal de orden con polinomio característico entonces el polinomio
coincide con el
polinomio mínimo de esta sucesión si y solo si los
vectores de estado
son linealmente independientes sobre el campo Consecuencia
1.38
Si la sucesión es la función de impulso
correspondiente a cierta relación recurrente lineal
homogénea sobre el campo entonces el polinomio mínimo de esta
sucesión es igual al polinomio característico de
esta relación recurrente lineal.
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