1
y
5x
y
????? ????
?
?
Álgebra
INTRODUCCIÓN
La palabra Álgebra viene de "ilm al-jabr w'al muqabala" título árabe del libro escrito en el siglo IX por el matemático
árabe Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi. Este título se traduce como "Ciencia de la restauración y la reducción".
El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones. Por ello, todas
las operaciones algebraicas, reglas, fórmulas, definiciones, etc. tienen un sólo objetivo: el cálculo de incógnitas.
Una de las características es que utiliza símbolos o letras para representar números.
Por ejemplo la letra "x", puede representar el valor de una temperatura, una edad, una velocidad o la medida de un ángulo;
pero el Álgebra no estudia estas magnitudes, nos muestra las operaciones en general sin precisar qué tipo de magnitud se está
tratando.
El Álgebra actual trata con estructuras más complejas que los números y sobre estas estructuras define operaciones similares
a las operaciones aritméticas. Esta nueva Álgebra se debe a Evariste Galois.
CONCEPTOS BÁSICOS
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es un conjunto de números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y/o radicación, en un número limitado de veces, por ejemplo :
P(x;y;z) = 5x 2 ? 3x 3y ? 2yz ; llamada racional entera o polinomio.
F(x; y) ? 2x ?
? 7 ; llamada racional fraccionaria.
H(x; y; z) ? 2 4 z ?
; llamada irracional.
(*) Magnitud : Todo aquello susceptible a ser medido.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica que no presenta operaciones de adición ni sustracción.
ELEMENTOS DEL TÉRMINO ALGEBRAICO
signo
exponentes
P(x;y) =
– 7 x 5 y 8
coeficiente parte
literal
Parte Literal : Está formada por las letras con sus respectivos exponentes que representan ciertas magnitudes, como por ejemplo:
P(x;y;z) = 6 x 4 y 3 z ; la parte literal es : x 4 y3 z
Coeficiente Numérico : Es el número que generalmente se coloca delante de la parte literal, cuando el coeficiente es entero
positivo indica el número de veces que se repite como sumando la parte literal, así pues tenemos :
y3 ? y3 ? y3 ? …… ? y3 ? 80y3
80 veces
7
3 3
*
*
Álgebra
También se puede tener un coeficiente literal , como por ejemplo :
P(x) = ax 2 ? el coeficiente es "a".
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que presentan la misma parte literal, como por ejemplo :
2y 3 z ; ?
5
y z ;
7 y3 z
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS
Las operaciones de adición o sustracción entre términos algebraicos sólo se puede efectuar entre aquellos
términos que sean semejantes, para lo cual se calcula la suma o resta de los coeficientes numéricos, permaneciendo
invariable la parte literal, veamos algunos ejemplos :
Ejemplo :
9y3z ? 6y3z ? 15 y3z
2×4 y3 ? 4z ? 5x 4 y3 ? 10z ? 7×4 y3 ? 6z
8
1.
4 2
?
?
a m
2.
3.
1.
o o
4.
2.
1
)
3.
5.
n
n
2
2
3
3
3
4 2
8
?
? x 4
?
?
?
4.
1
9
? ?
TRILCE
POTENCIACIÓN
Capítulo
1
LEYES DE EXPONENTES
ECUACIONES EXPONENCIALES
TEOREMAS
Es la operación matemática que tiene por objetivo
encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo
previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y
Multiplicación : bases iguales.
a m . an ? a m ? n
exponente (n).
Ejemplo : x . x ? x
4 ? 2
? x6
?b ? base ; b ? R
bn ? p ; donde ?n ? exp o nente ; n ? Z
?p ? potencia ; p ? R
División : bases iguales.
? am ? n ; a = 0
an
Así pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es
la potencia.
Ejemplo :
x10
x7
? x10 ?7 ? x 3
DEFINICIONES
Potencia de potencia.
Exponente cero
ao ? 1 ; a = 0
Ejemplo : 5o ? 1 ; (?3) ? 1 ; ? 7 ? ?1
Exponente uno
a1 = a
Ejemplo : 4 ? 4
(am )n ? a m.n
Ejemplo : (x 2 )5 ? x 2 . 5 ? x 10
Multiplicación : exponentes iguales.
an bn = (ab)n
Ejemplo :
a3 b3 c3 ? (abc3
(x 2 . y3 )5 ? (x 2 )5 .(y3 )5 ? x10 . y15
Exponente entero positivo
División : exponentes iguales.
an = a.a.a. …… . a ; n ? 2
"n" veces
a n
b
? a ?
? ? ?
? b ?
;b=0
Ejemplo : 73 ? 7 . 7 .7 ? 343
Ejemplo :
Exponente negativo.
a? n ?
1 1
Ejemplo : 2?1 ? 1 ?
1
;a=0
an
1
; 3? 2 ? 2 ?
x 3 ? x ?
? ? ?
y ? y ?
2
? ? ? (x ) ? x
? y3 (y3 )2 y6
9
1.
n
n
3
?
?
a
n
n
a
b
n
3
?
m
4
2.
a)
b)
c)
3.
n
n
*
3
Álgebra
RADICACIÓN
Es una de las operaciones matemáticas inversas a la
potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión
llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones
TEOREMAS :
Multiplicación : índices iguales.
a . b ? n a . b
denominadas radicando (a) e índice (n).
Ejemplo :
x . 3 y ? 3 xy
?
?
a ? b ; donde ? n
? a
?
? b
? signo radical
? Índice ; n ? Z
? Radicando
? Raíz ; b ? R
2.
División : índices iguales.
n
? n
b
;b=0
3
Así pues : en 64 ? 4 : 3 es el índice, 64 el radicando y 4 la
raíz.
Ejemplo :
x
y
?
x
y
DEFINICIONES :
3.
Raíz de raíz.
1.
? a , b ? R , n ? Z
?
m n
a ?
m . n
a
Ejemplos :
n
a ? b ? a ? b
n
Ejemplo :
3
x ?
3? 2
x ?
6
x
a ? b ? a ? bn
PROPIEDADES ADICIONALES
9 ? 3 ? 9 ? 32
? 8 ? ?2 ? ? 8 ? (?2)3
1.
? a ?
? ?
? b ?
? n
n
? b ?
? ? ? ; ab ? 0
? a ?
Observación : Debemos tener en cuenta que dentro
2.
a m b ?
am b ; a > 0
del conjunto de los números reales no se define a la
radicación cuando el índice es par y el radicando
3.
m
an ?
mk
ank ; k ? Z
?
negativo, como en los ejemplos :
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
2004 existe en R.
? 32 no existe en R.
TRASCENDENTES
Es aquella ecuación donde al menos uno de sus
miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:
Exponente fraccionario.
Formando parte de algún exponente
n
a
m
?
m
a n
x
Ej. 5x?1 ? 125 ; 23 ? 16
Ejemplo :
2
2
(?8) 3 ? 3 ? 8 ? (?2)2 ? 4
? a ? R ? n ? Z?
? a ; n ? # impar
a ? ?
?| a | ; n ? # par
|a| : valor absoluto de "a", significa el valor positi-
vo de "a".
Como base y exponente a la vez
Ej. 2x ? x ? 5 ; xx ? 3
Afectada por algún operador
Ej. Logx2 ? x ? 1 ; Cos(2x) ? 0,5
ECUACIÓN EXPONENCIAL :
Es la ecuación trascendente que presenta a su
incógnita formando parte de algún exponente.
2
Ejemplo : 5x ?1 ? 25
10
Ejemplo :
x3 ? x ;
x 2 ? | x |
x y
5 ?x
3
x
4
TRILCE
Teorema :
Transformando al segundo miembro se tendrá :
Ejemplo : 7
x ?1
a ? a ? x ? y ; a > 0; a = 1
? 7 ? x ? 1 ? 5 ? x
x
x
3
?
3
3
33
3
2x = 6
? x=3
? x ?
3 (representa un valor de "x").
Observación : Para resolver algunas ecuaciones
trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de
comparación comúnmente llamado método de analogía, el
Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía
sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino
veamos el siguiente ejemplo :
cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando
como modelo la otra. Veamos un ejemplo :
En :
x ? 2 se observa que x = 2
Ejemplo :
3
x x ? 3
Pero
2 =
4 , con lo cual tenemos :
x
x ?
4
4 de donde : x = 4.
11
1 0
a 2
1
3
? 1 1 ? 2
.
. 3
4
18
?37
12
? ?
? 1
?? ?
? ? 9 ?
3
?
1
5
3
5
5
?
b 6 .16 . 3
?
3
? ?
x
3
?
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Calcular : A + B; sabiendo que :
A ? ( 2 3 )0 ? ( ) ? 2 ? 6 5 ? 216
2
1
06. Si el exponente de "x" en :
a a
x b x b es 4, entonces el exponente de "x" en :
(x a?1)2b .
B ? ?( )? 2 ? ( )?4 ?
? 3 2 ?
4
d) 16
b) 2
e) 1
c) 8
a) 5
d) 20
b) 10
e) 25
c) 15
07. Sabiendo que : ?n ? ? ? 1 ? 0 .
02. Reducir :
Reducir :
n
?
a
a
24 ?x
? 2x ?1 ?
?3 ?
? ?
3 2? x
? 8 3 x ?
?(3 ) ?
? ?
3 3
a) a0
d) a2
b) a
e) a?1
c) a
08. Simplificar :
a) 1
b) 3
c) 3
d) 3
e) 324
33 33 3
3
…….
33
3
3
3 3 n ? 3
03. Reducir :
"n" radicales
U ? ? ?
? 16 ?
? 4 ?
?32
a) 3 b) 9 c) 27
d) 3 e) 3
09. Hallar el valor de " ?" , si el exponente final de "x" en :
a) 48
d) 64
b) 50
e) 32
c) 16
x? x?
x? es la unidad. Además :
04. Simplificar :
3? ? ? ?
a b a ? 2b
18 a ? b
a) 10
d) 25
b) 15
e) 30
c) 20
a) 2
b) 4
c) 6
10. Hallar el exponente final de :
d) 8
05. Sabiendo que :
e) 12
x x x …… x x
?????????
? x 2 / 3
f(x) ? ? x
? ?
? ?
f
Calcular : M ? f(x) (x ) , para : x = 3.
a) 3?1 / 2 b) 3 c) 3?1
a)
d)
399
390 ? 1
2100 ? 1
2100 ? 1
b)
e)
100 radicales
299
299 ? 1
3100 ? 1
3100
c)
2100 ? 1
2100
12
d) 3?1 / 3
e) 31 / 2
x
.16
7
q
p
.
1 ( )
1
0 ? 2 ?
? 3 ?
? 5 ?
?
? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ?
x
? ?
x 72
e) 3
?5
?
2y ?
? 6
?
?
.
8 2
??
? ?
?
? ?
TRILCE
11. Hallar "x" :
19. Resolver :
4 . 8
x ?1
? 2
2x ?1
3x ? 2
x ?
2 . x
x
5
25
a) 1/3
b) 2/3
c) 4/5
d) 5/3
e) 4/3
a)
5
5
2
b)
5
2
3
c)
5
5
4
12. Al resolver : 163
2x
? 84
2x
d)
5
5
e) 5
se obtiene la fracción irreductible :
Indique : p + q.
x
20. Resolver : x7 ?
1
77
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
a) 7
1
b) ( ) 7
7
c)
1
7
13. Resolver :
4
x 2 ?3 x
?
3
5
5
x
d) ( )7
7
e)
7
7
21. Calcular :
a) 0
d) 3
14. Resolver :
b) 1
e) 4
c) 2
? (?11)0 ? 4 5 ? ? ?
?3
? 8 ?
? ? ?
?1
9x ? 2 ? 32x ? 240
a) 0
b) 1
c) -1
a) 2
?
d) 0,3
b) 3
e) 6
c) 0,5
d) -6
22. Reducir :
e) 2
15. Calcular "x", si :
3
2
? 9
? 1 ?
? 3 ?
? 1 ? ? 1 ?
? ? ? ? ? ? 9 ? ? 3 ?
? 9 ? ? 3 ?
?3
a) -3
b) 4
c) 2
d)
1
2
e)
1
4
a) 9
b)
1
3
c)
1
9
16. Resolver : x ? 6
x
; e indicar : E ? x ? .
4
d) 27
23. Reducir :
a) 12
d) 9
b) 15
e) 18
c) 10
? 4 x ? 3 ?
? ?
4 5 ? x
5
. 52
17. Hallar "x", de : xx ? 9
1
3
? ?
??5 ? ?
23? y
a) 3?1
d) 3?6
b) 3?2
e) 3?9
c) 3?3
a) 1
d) 4
b) 33
e) 324
c) 318
18. Resolver :
a) 25
d) 50
x ?13
b) 20
e) 1
x x ? x13
x 37 ? x x
1
x
c) 13
24. Calcular :
a) 2
? 5n ?
??10n n?1 ? ?
?? ? ?
? ?
b) 8
3?1
c) 64
d) 4
e) 16
13
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
?
a a
ab ?c
(x
)
a
3
6
Álgebra
25. Sabiendo que :
a) 6
b) 3
c) 21
?
??
??
P(x) ? ??5
?? x
??
?
P(5)
Calcular : N ? P(5)
?
3
? x 5 ?
?
?
5x
5x
d) 8
31. Resolver :
a) 4
d) 7
e) 10
34 ? x. 96 ? x . 2710? x ? 814 ? x
b) 5 c) 6
e) 8
a) 5?1 / 5
d) 5
b) 51 / 5
e) 5?3
c) 51 / 3
32. Resolver :
813
2x
? 274
2x
26. Si el exponente de "x" en :
x b?1. xc es 5, entonces el exponente de "x" en :
5a ?1 a
a) 1
b) 2
c) 3
a) 2
1
d)
4
33. Resolver :
b) 4
e) 8
c)
1
2
d) 4
27. Reducir :
e) 5
n
n
a
a) 0
4 x
b) 1
2 ? 2x
?
7
7
x
c) 2
n ?1
a
d) 3
e) 4
34. Resolver :
a) a
n
b)
n 2
a
c)
n
a
4x ?1 ? 48 ? 22x ?3
d) a n ?1
e) an
n
a) 1
b) 2
c) 3
28. Simplificar :
d) 4
35. Calcular "x", si :
e) 5
55 55 5 5 5 5
……….
55
5
5
5 5 n ? 5
6
5
3
x
? 5
"n" radicales
a) 5
d) 5 5
b) 10
e)
5
c) 25
a) 1
d) 3
b)
e)
1
2
1
4
c) 2
29. Si : aa ? a ? 1 , entonces el equivalente reducido de :
aa
(a ? 1)(a ?1) es :
36. Hallar "x" : (2x )2 ? 232 .
a) 1
b) a
c) 1/4
a) 4
b) 8
c)16
d) a2
e)
a
a
d) 2
e) 32
37. Hallar "x" en :
30. En la siguiente ecuación :
3 3 3
x 2 x2 x 2 …….
x2 ? x k
515 ? 5x
5x ?1 ? 54
? 5
El miembro de la izquierda consta de "n" radicales. Si :
a) 9
d) 6
b) 12
e) 10
c) 92
k ?
80
3n
y x ?
n
2
. Calcular : (n+x).
14
?4
?5
p
3
x
9
? 8
?
?
?
M ?
n
.
x
12
2 ?
?
?
TRILCE
38. Hallar "x" de :
44. Reducir :
x x ?
625
1
5
E ?
mm . nn . p p
m p . nm . pn
a) 5?1
d) 5
b) 5?2
e) 5
c) 5?3
Sabiendo que :
n
mx ?
nx ? m px ? x
39. Resolver :
x ?
6 . 3 x
3 2
3x x
64
a) 2
d) mnp
45. Efectuar :
b) 1
e) x
mnp
c) x
a)
7
b)
8
c)
11
M ?
x 1? x 1? x
x
. 1? x
1? x
x x
x
d)
13
e)
15
a) x2
b) x?1
c) xx
40. Resolver :
d)
x
x
e) x
?
x x ? 3
39
3
46. Calcular :
a)
d)
1
3
3
3
b) 2
e)
3
c) 9
?
M ? ?
?
8
? ?
? 2 ?
? ? 2 ?
8 ? ?
?
?
2 ?6
41. Simplificar :
a) 2 2
b)
2
c) 2
2n?1. 4 ? 2n ?1 ? 8 ? n ? 2
16 . (2n )? 3
d) 8 e) 4
47. Si : m + n = 2mn ; reducir :
a) 4,5
d) 3
b) 3,5
e) 2
c) 2,5
4m ? 4n
m
2m ? 2n
42. Reducir :
2x ? 3
a) 2?1
d) 2
b) 1
e) -4
c) ? 2?3
2
2
(0,5)
4 x
2
4 ? x
x 2
48. Calcular :
a) 2
b) ? 2
2
c) 2
? 2
33
1? 3 3
2
3 9 3 3 1? 3 3
2
39
d) 22
e) ? 23
a) 2
b)
3
2 / 2
c) 1/2
43. Mostrar el equivalente de :
d) 8
e)
2
?
?
?
?
2
2
2
2
?
2 ?
?
2? 2
? 2?1
49. Hallar el valor de :
x ?1
E ? x
8 x
.
x ?1
x
8 x
.
x ?1
….. ?
a) 2
b)
2
c) 4
para : x ? 2
2
d)
2
2
e) 2
2
a) 4
b) 16
c)
1
2
d)
1
4
e)
1
16
15
?
n
7….. 4 7
7
? ?
3
? ?
n
x
?
?
? 4 ?
? 3 ?
2
? ?
? ?
2
2x
x ? y
x y
? ?
?
?
Álgebra
50. Simplificar :
55. Hallar "x" de :
?
?
x ? 2 ?
(x ? 2 )2
2
?
?
2 3 n
? 2 7 2 7 2 7 ….. 2 7
?
? ?
? ?4 4 2 4 3
? ? 7
? ?
?
? n
? . ? 4 7
? ?
? ?
? ?
? ?
a) 2 b) 2 2
2
d) 2 e) 2
56. Resolver ecuación :
2 ?1
c) 4 2
Señale el exponente de 7.
4
x 2 ?
1
2
? 3
x 2?
1
2
? 3
x 2 ?
1
2
a)
d)
2
2n
1
3n
b) 2n
?n
e)
2n ?1
c) –
1
2n
Entonces el cociente de las soluciones es :
a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
57. Calcular "x" en :
51. Hallar "x" en :
2727
x ?1
? 39
x ? 2
mx
n? x
? xx
x x
, siendo : m ? xx
a) 6
d) -8
b) 7
e) -7
c) 8
a) n
d) nn
b)
e)
n
n
n
c)
n
n
52. Indique "x" en :
58. Si : x ? R ? / x ? 1 ; y además :
3 4
a x ?1 . a 2x ?1 . a 2? 3x ? 1 ; a ? 0
x
x
x
x ?1
? x
x
? x
Calcular : 2x.
a) 1/5
d) -2/5
b) 3/5
e) 1
c) -4/5
a) 1/4
d) 1/2
b) 2
e) 1/8
c) 1
53. Resolver :
? 2 ?
? 3 ?
2x ?3
? 9 ?
. ? ?
9x ?4
? 2 ?
? ? ?
?19x
? 8 ?
? 27 ?
27
? 0
59. Hallar "x", en :
x ? x
2x 2
?
2 ; x ? 0
a)
19
2
b)
76
3
c)
8
5
a)
1
4
b)
1
2
c)
2
2
d)
1
9
e) 2
d)
2
4
e)
2
54. Si :
60. Hallar "x" : (x > 0).
? 2
a) -4
2y
? 4 , y 2
b) 4
? 6 , el valor de 2 ? 2 es :
c) 2
?
? 1? x1? x ?
? x ?
1 / 2
? x1 / 2? x
1 / 2? x?
d) -2
e) 0
a) 2
b) 4 5
c)
5
4
16
d) 2
e) 8
TRILCE
Claves
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
b
c
d
d
d
c
c
a
b
c
e
b
d
c
b
b
c
a
a
c
c
d
a
d
a
a
b
a
b
a
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
b
c
c
b
c
c
e
e
b
a
a
d
a
b
d
d
d
a
b
c
d
c
b
b
b
a
c
c
c
c
17
? ?
?
*
1.
*
?????
*
1.
?
?
? ?
1.
2.
2.
3.
TRILCE
Capítulo
2
NOTACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se utiliza para indicar las variables de una expresión.
Ejemplos :
P(x) ? variable : "x".
POLINOMIOS
P(?2 ? 7) ? 2 (?2)3 ? 5 (?2) ? 1 ? ?16 ? 10 ? 1
P(5) ? ?27
PROPIEDADES : para un polinomio P(x).
Suma de coeficientes = P(1).
"P" de x
2.
Término independiente = P(0).
F(x ; y) ? variables : x, y.
? ??
"F" de xy
?variables ? x ; y ; z
Q(x ; y ; z) ? ax ? by ? cz ?
?cons tantes ? a ; b ; c
"Q " de xyz
VALOR NUMÉRICO (V.N.)
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las
variables de una expresión algebraica por valores
determinados.
CAMBIO DE VARIABLE
Así como las variables pueden reemplazarse por
números, también pueden ser reemplazadas por otros
polinomios, así tenemos:
Dado : P(x) = 2x+11 . Obtener P(x+7)
Para obtener lo pedido, se reemplaza :
x por x ? 7 en P(x).
P(x) ? 2 x ? 11
Ejemplo :
x ?7
x ? 7
Determinar el V.N. de la siguiente expresión :
P(x; y; z) ? x 2 ? 3yz para : x = 5;
y = -2; z = 3
Reemplazando :
P(5; -2; 3) = 5 2 ? 3 ( ? 2)( 3 ) ? 7
Determinar P(3), si :
P(x)? x3 ? 2x?10.
En este caso, se pide el V.N. de P (x) para :
x = 3.
P (3) ? 3 3 ? 2 (3 ) ? 10
P(3) = 23
Determinar P(5), si :
P(x ? 7) ? 2×3 ? 5x ? 1
Para este caso, se resuelve la ecuación :
x + 7 = 5; de donde : x = -2.
Al reemplazar :
P(x ? 7) ? 2 (x ? 7) ? 11
P(x ? 7) ? 2x ? 25
Dado : P(x ? 3) ? 3x ? 4
Determinar : P(2x? 5) .
Se reemplaza (x + 3) por (2x – 5) previa preparación
del polinomio como :
P(x+3) = 3(x + 3 – 3)+4
Ahora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+4
Luego : P(2x-5) = 6x – 20
POLINOMIO
Es toda expresión algebraica racional y
entera. Cuando tiene un término se denomina
monomio, con dos se denomina binomio, con tres
trinomio, etc.
Recordemos que en una expresión Algebraica
Racional entera :
Ninguna variable está afectada por algún signo radical o
exponente fraccionario.
19
1.
2
??? ? ? ? ?
?
?
2.
3.
4
Álgebra
Ninguna variable se encuentra en el denominador.
Ejemplo :
P(x; y) ? 3x ? 7y ? 5 polinomio (trinomio).
P(x;y;z) = 2 x ? 2y ? z no es polinomio.
GRADO :
Es la categoría que se asigna a un polinomio; y
depende de los exponentes de sus variables.
GRADOS DE UN MONOMIO :
Grado Absoluto : es la suma de los exponentes de sus
variables.
Grado Relativo : es el exponente de la variable en
referencia.
POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio Homogéneo : cuando sus términos son
de igual grado absoluto.
Ejemplo :
P(x ; y) ? 2x 4 y 3 ? x 5 y 2 ? 5x 6 y
7 7 7
Homogéneo de grado 7.
Polinomio Completo : cuando tiene todos los
exponentes de la variable en referencia, desde el mayor
hasta el cero incluido.
Ejemplo :
"x" tiene
Ejemplo : P(x;y) ? 2a3 x4 y 5
G. A. = 5 + 4
exponente "1"
3 2 4
P(x; y) ? 2x y ? 7x y ? 5y
"x" tiene
exponente cero
G.R. (x) = 4
G.R. (y) = 5
GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS Ó MÁS
TÉRMINOS :
Grado Absoluto : es el mayor grado absoluto de uno de
sus monomios.
Grado Relativo : es el mayor exponente de la variable en
referencia.
completo con respecto a "x" .
Propiedad : para un polinomio completo P(x).
# términos = Grado + 1
Polinomio Ordenado : es aquel cuyos exponentes
de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado
(orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente).
Ejemplo :
aumenta
Ejemplo :
mayor
mayor
3 7 9
P(x; y) ? 4 x y ? 6x y ? 5xy
20
3 4 5
P(x;y) ? 2x y ? 7x y
6 2
? 6x y
ordenado ascendentemente respecto a "y".
Grados
G.A. = 9
G.R. (x) = 6
G.R. (y) = 5
4
9
8
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Es aquel polinomio cuyos términos presentan
coeficientes iguales a cero, como por ejemplo :
P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? c
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si sus términos
semejantes tienen igual coeficiente, así pues :
P(x) ? ax 3 ? bx ? c
Q(x) ? mx 3 ? nx ? p
son idénticos, si : a = m; b = n ; c = p.
Propiedad : dos polinomios idénticos tienen el mismo valor
numérico para cada sistema de valores asignados a sus
variables.
20
será idénticamente nulo, si :
a = 0; b = 0; c = 0.
Propiedad : todo polinomio idénticamente nulo tiene valor
numérico igual a cero para cualquier sistema de valores
asignados a sus variables.
?
TRILCE
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar : P[P(3)]. Si : P(x) = 2x – 5.
08. Dado el polinomio :
a) 1
d) -1
b) 3
e) 5
c) -3
P(x ; y) ? (a ? 4)xy2 ? (20 ? b) x2y ? ax 2y
Si : P(x ; y) ? 0 . Calcular :
02. Si se cumple : P(x) ? P(x ?1) ? x
a ? b ? ab
para algún polinomio no constante.
Calcular : P(4) ? P(0) .
a) 8
d) 14
b) 18
e) 28
c) 20
a) 9
d) 0
b) 10
e) 15
c) 20
09. Sea el polinomio :
P(x) ? (2x ? 1)n ? nx
03. Sean los polinomios :
P(x) ? ax ? b ? Q(x) ? bx ? a
con "n" impar, si la suma de sus coeficientes aumentado
en el duplo de su término independiente resulta 16,
entonces "n" es :
siendo : (a ? b) . Además :
P(Q( x) ) ? Q (P(x ))
a) 15
d) 21
b) 19
e) 13
c) 17
Hallar : P(Q(1)) .
10. Dado el polinomio :
a) b
d) -b
b) a
e) ab
c) 1
R(x) ? (2x 4 ? 3)m (mx5 ? 1)5 (2xm ? x ? m)3
04. Dado el polinomio :
Indique el coeficiente principal, si el término
P(x ; y) ? 4mnx2m?3ny5n?m
independiente es 72.
a) 1024
b) 243
c) 624
Si : GA(P) = 10 ? GR(x) = 7.
Calcular su coeficiente.
d) 512
11. Si :
e) 64
a) 5
d) 8
b) 64
e) 2
c) 16
P(x) ? (n ? 2) x n ?9 y ? (n ? 3) x n? 8 y 2 ?
? (n ? 4) x n ?7 y 3 ? ……
05. Dado el polinomio :
P(x, y) ? 7x 2 y m? 3 ? 4 x 5 y m ? 4 ? 3x 4 y m ? 5 ? x 6 y m ? 2
es ordenado y completo. Hallar el número de términos.
Si : GR(x) + GR(y) + G.A. = 32.
Entoces el valor de "m" es :
a) 7
d) 5
b)9
c) 13
c) 11
12. Si :
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
P(x ? 2) ? 6x ? 1
06. Si el polinomio :
b a
R(x ; y ; z) ? x a ? x7 y b ? x 20 z12
P(F(x) ) ? 12x ? 17
Obtener : F(10) .
es homogéneo. Calcular : (a ? b)2 .
a) 23
d) 21
b) 20
e) 19
c) 22
a) 16
d) 3
b) 9
e) 1
c) 5
13. Dada la expresión : P(x) , tal que :
07. Determinar cuál es la suma de los coeficientes "m" y
"n", de modo que para cualquier valor de "x", se cumple:
7 ? x ? m (x ? 1) ? n (x ? 2)
P(x) ? P(x ?1) ? P(x ? 2) , además : P(1) ? 3 ;
P(2) ? 4 . Calcular : P(P(P(0))).
a) 7
b) 4
c) 3
a) -1
b) 1
c) -2
d) 1
e) 14
d) 0
e) 2
21
a ?5 a ?1 7 ?a
F(?5)
Hallar :
a b c
Álgebra
14. Dado el polinomio :
21. Si :
H (x ?1) ? f(x) ? g (x)
P(x) ? x ? 3x ? 5x ? 7
Hallar la suma de valores que puede asumir "a".
Donde : f(x ? 2) ? 2x ? 4
a) 6
d) 18
b) 11
e) 21
c) 13
g(x ? 2) ? 3x 2 ? 6x ? 1
Hallar : H(5).
15. En el polinomio homogéneo :
b?a
P(x, y, z) ? (xy)3a
Calcular : a + b + c.
? y b
a ? b
? 2z c
a) 62
d) 93
22. Si :
b) 78
e) 99
c) 87
P(x) ? ax 2 ? b y P(P(x)) ? 8x 4 ? 24×2 ? c
a) 3
d) 9
b) 5
e) 15
c) 7
El valor de : a + b + c, es :
16. Si se cumple :
P(x) ? x 2 ? 3x ? (x ? 2) q(x)
a) 28
d) 31
b) 32
e) 26
c) 30
R (x) ? 5x ? 2 ? P(x ? 1)
23. Indique el grado de :
Hallar la suma de coeficientes del polinomio R (x) .
a
R(x ; y) ? xa ? 5 y 2
?1
a
? xa ? 4 y 4
?1
? x11?a
a) 11
b) 9
c) -7
d) 13
e) -6
a) 7
b) 8
c) 4
d) 6
e) 3
17. Si : F(x) ? x 3 (x18 ? 125×15 ) ? 2(x ? 5)
K ? [F(1) ? F(2) ? F(3) ? … ? F(99) ]
24. Si el polinomio :
P(x; y) ? nxn ? m y ? x r ?1y ? mym? 5x 3
es homogéneo y con grado relativo respecto a "y" igual
a 3. Hallar el grado relativo de "x".
a) 0
d) 23 499
b) 243
e) 1
c) 1024
a) 3
d) 9
b) 5
e) 11
c) 7
18. Hallar : m – n + p; si se sabe que el polinomio:
Q(x) ? x m ?10 ? x m ?n ? 5 ? x p ? n ?6
es completo y ordenado en forma decreciente.
25. Sean los polinomios :
P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ; Q(x) ? ax 2 ? d ;
a) 8
d) 10
b) 2
e) 4
c) 6
R(x) ? ax ? b .
Si : P(0) ? 2 ; Q(1) ? R (2) ? 1 .
19. Si la siguiente expresión matemática se reduce a un
polinomio :
Hallar "x", tal que : R(x) ? 0 .
P(x, y, z) ? a x b ? b xc ? c xa
a) -3
d) 1
b) -1
e) 3
c) 0
Hallar el valor de : a – 2c + b.
26. Determinar en cuanto difieren "p" y "q" para que con
a) -1
d) 2
b) -2
e) 0
c) 1
cualquier valor de "x" se cumpla que :
27 ? 8x ? p (x ? 4) ? q (2x ? 3)
20. Sea "f" una función definida en el conjunto de los
números reales tal que verifica las siguientes
propiedades :
a) 7
d) 3
b) 5
e) 2
c) 1
f(x ? y) ? f(x) ? f(y) ; f(1) ? 2
27. Hallar : m . n, si el polinomio es homogéneo.
Calcular : f(1? 2?…?10) .
P(x ; y) ? x n? 3 y7 ? (x 2 y2 )4 ? xmy4
a) 220
b) 20
c) 40
d) 55
e) 110
a) 100
b) 124
c) 144
22
d) 140
e) 70
?
? ?
a)
b)
3
TRILCE
28. El grado de homogeneidad del polinomio :
P(x; y) ? x a y 2b? c ? x a ? by 2c ? x a ? 2c ya ? 2b
es 6. Calcular el valor de : E = a + b + c.
34. Dado el monomio :
M(x; y) ? 4a b x 2a ? 3 b y5 b? a
se tiene : GA(M) = 10; GR(x) = 7.
Señalar su coeficiente.
a) 9
b) 7
c) 5
d) 3
e) 11
a) 2
b) 4
c) 8
29. Sea el polinomio :
d) 16
e) 64
P(2x) ? a0x ? 2a1x 2 ? 22 a 2×3 ? … ? 25 a5 x6
Hallar la suma de coeficientes de P(x) , si su término
35. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x) es 13.
P(x) ? a(2 ? x)10 ? b(3 ? 2x)8 ? 5
Hallar : a + b.
independiente es a5 ? 2 y además:
a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 8 ; a0 ? 0
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
a) 3
d) 2
b) 5
e) 1
c) 7
36. Definimos un polinomio P(x) x ? R.
P(x) ? (x ? n ? 2)4 ? (x ? n ? 3)3 ? 2
30. Dados los polinomios :
en el cual el término independiente es 17. Calcular "n".
f(x ) ? a (x ? 1)(x ? 2) ? b (x ? 2)(x ? 3) ? c (x ? 1)(x ? 3)
a) 1
d) 5
b) 4
e) 3
c) 2
g(x) ? x 2 ? 2x ? 9
Si : f(x) ? g (x) ; ? x ? R
Determine el valor de : a+b+c.
37. Hallar : m – n + p; si se sabe que el polinomio:
Q(x) ? x m ?10 ? x m ?n ? 5 ? x p ? n ?6
es completo y ordenado en forma decreciente.
a) -1
d) 2
b) 0
e) 1/2
c) 1
a) 8
d) 10
b) 2
e) 4
c) 6
38. Sabiendo que el polinomio :
x ? c
31. Si : f(x) ?
x ? 1
f(f(x)) será :
x ? 1; c ? 1 .
A(x; y) ? 7x a ? 2 y b? 3 ? 8 x c y d ?1 ? 5x 2a ? 3 y b ?1
es homogéneo. Hallar "a".
a) 0
b) 2
c) 1
c
x ? 1
d) 1
x
x ? 1
e) x
c) c
d) -3
39. Si el polinomio :
e) -4
R(x) ? (a ? b ? 2) x 2 ? (a ? c ? 3) x ? (b ? c ? 5)
32. Si : f(x ? 2) ? x2 ? 1 y h(x ?1) ? 3x ? 1 , se tiene que
h(f(0)) ? h(?5) es :
se anula para :
x = 2001; x = 2002; x = 2003; x = 2004.
Hallar : a-b+c.
a) 82
b) -17
c) 193
d) 28
e) -4
a) -1
b) 2
c) 1
d) 0
e) 2001
33. Hallar "n", si el grado de :
40. Sea P(x) un polinomio mónico de grado 3; halle la
suma de coeficientes del término cuadrático y lineal,
x xn
x
es 5
siendo su término independiente igual a 5.
Además :
P(x ?1) ? P(x) ? nx ? 2
a) 5/3
d) 56/5
b) 56
e) 5/6
c) 56/3
a) 1
d) 3
b) 0
e) 4
c) 2
23
x
f ?
?
?
?
?
?
?
m
n ?8 2
n ?7 3
Álgebra
41. Dado un polinomio lineal P(x) , que presenta resultados
mostrados en el cuadro :
a) 7
d) 5
b) 9
c) 13
c) 11
1 2
48. Dada la función "f", tal que :
Calcule : P(5) ? P(0) .
P(x) 4 6
? 3 x ? 3
2
? 2 x 2 ? 18
x ? R
a) 18
b) 16
c) 12
Calcular :
f(1) ? f(?1)
2
d)14
e) 8
a) 11
b) 7
c) 10
2
42. Si : f(x 2 ? 2x ?1) ? x ? 3 , entonces f(x ?2) es:
d) 9
e) 8
49. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente
a) x 2 ? 2x ? 2
c) x ? 2 x ? 2 ? 4
b) x 2 ? 2 x ? 2
d) (x ? 2 )2 ? 1
trinomio :
P(x; y) ? (m ? 3)x 9? m ? mx m ? 2.y 3 ? y17 ? 2m
e) x ? 2 x ? 2 ? 4
43. ¿Para cuántos valores de "b" el polinomio :
P(x ; y) ? ab xa ? bya ? b ? b2y4
es homogéneo?
a) 4
d) 10
50. Siendo :
b) 6
e) 12
P? 1 ?
? ?
? ax ?1 ?
c) 8
? a 2x ? 3a ? 1
a) 1
d) 4
b) 2
e) Más de 4
c) 3
Obtener : P? 1 ?
? ? ?
? 2 ?
44. Calcular : m – n, si el polinomio :
P(x; y) ? 3x2m? n? 4 .ym?n ? 2 ? 7x2m? n? 3ym? n?1 ?
a) 1
d) -2
b) 2
e) 0
c) -3
7x2m? n? 2.ym? n
es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos
a "x" e "y" es 4.
51. Si : f(x ?1) ? f(x ) ? 2x ? 4 ; y f(0) = 2,
entonces f(1) ? f(?1) vale :
a) 6
d) 15
b) 9
e) 18
c) 14
a) 0
d) -2
b) 2
e) -6
c) 6
45. Si el polinomio P(x;y) es idéntiamente nulo. Hallar : ab.
P(x; y) ? (a ? b)x 3 y ? 2x 4 y5 ? 18 x 3y ? (b ? a)x 4 y5
52. Si : f(x x ) ?
x x ?1
xx
2x ? 2
a) 10
d) 60
b) 20
e) 80
c) 40
Además : f(x x ?1) ? 3125 .
Calcular : P ? f(x ? 2) .
46. En el polinomio :
P(x ? 1) ? (2x ? 1)n ? (x ? 2)n ? 128(2x ? 3)
donde "n" es impar, la suma de coeficientes y el término
a) 16
d) 14
b) 10
e) 12
c) 18
independiente suman 1, luego el valor de "n" es :
53. Q(x) es un polinomio que cumple las siguientes
a) 5
d) 11
47. Si :
b) 7
e) 13
c) 9
condiciones :
I. Q(3) = Q(5) = 0
II. Grado mínimo
III. Suma de coeficientes 16.
Calcular el término independiente de Q(x).
P(x) ? (n ? 2) x
n ? 9
y ? (n ? 3) x
y ? (n ? 4) x
y ? …
a) 18
b) 15
c) 30
24
es ordenado y completo. Hallar el número de términos.
d) 45
e) 32
?
? ?
? ?
a) ?
?
?
?
? x ?
2
a b c
2
c)
a b
2
,
? ?
)
TRILCE
54. Sabiendo que :
P(x; y) ? (5x ? 3y)n ?1 ? 5n
es tal que la suma de coeficiente es igual al término
independiente aumentado en 1024. Hallar "n".
58. Si : f(x ?1) ? x 2
Hallar : f? x 2 ?1 ? , x ? 0
x
? ?
a) 6
d) 9
55. Si el trinomio :
b) 7
e) 10
c) 8
? x 2 ? 1 ?
? x ?
? x ? 1 ?
b) ? 2 ?
F(x) ? xa ? b ? x b? c ? xa ? c
es homogéneo de grado (10), de qué grado es el
1
x
(x2 ? x ? 1)2
d) (x 2 ? x ? 1)2
monomio.
S(x; y; z) ? x b . c ya . z c
e)
1
x
(x2 ? x ? 1)2
a) 7
d) 33
b) 13
e) 30
c) 27
59. Sean : P Q dos polinomios dados por :
P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d
56. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio
completo :
P(x) ? c(xa ? x b ) ? a(x b ? x c ) ? b(x a ? x c ) ? abc
Si : a ? b ? c .
Q(x) ? 2x 3 ? x 2 ? 3x ? 1
Si : P(x) ? Q (x ?1) , determinar el valor de :
a+ b + c + d
a) 6
d) 15
b) 9
e) 18
c) 12
a) 0
d) 3
b) 1
e) 5
c) 2
57. El polinomio :
A(x) ? ax m ? bx n ? cx p ? dx q ? mp
60. Si : R( x ? 3) ? x ? 1
5
es completo y ordenado, con suma de coeficientes igual
a 13.
Indicar : a + b + c + d.
Además : R(F 2 x
(
9
? 7)
? 20 x ? 1
Calcular : F(x) .
a) 5
b)10
c) 8
d) 6
e) 9
a) 15x – 9
b) 8x – 129
c) 18x – 129
d) 18x – 29
e) -18x + 129
25
Álgebra
Claves
01.
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07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
c
b
c
d
c
b
a
d
c
a
a
e
a
d
c
d
e
c
e
e
d
e
b
b
e
b
c
c
b
c
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
e
c
c
e
b
c
c
c
a
d
c
c
c
e
c
b
e
d
a
c
a
c
d
c
e
a
e
b
c
26
