Monografías Plus      Agregar a favoritos      Ayuda      Português      Ingles     

Álgebra






Monografias.com
1 y 5x y ????? ???? ? ? Álgebra INTRODUCCIÓN La palabra Álgebra viene de "ilm al-jabr w'al muqabala" título árabe del libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi. Este título se traduce como "Ciencia de la restauración y la reducción". El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones. Por ello, todas las operaciones algebraicas, reglas, fórmulas, definiciones, etc. tienen un sólo objetivo: el cálculo de incógnitas. Una de las características es que utiliza símbolos o letras para representar números. Por ejemplo la letra "x", puede representar el valor de una temperatura, una edad, una velocidad o la medida de un ángulo; pero el Álgebra no estudia estas magnitudes, nos muestra las operaciones en general sin precisar qué tipo de magnitud se está tratando. El Álgebra actual trata con estructuras más complejas que los números y sobre estas estructuras define operaciones similares a las operaciones aritméticas. Esta nueva Álgebra se debe a Evariste Galois. CONCEPTOS BÁSICOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un conjunto de números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación, en un número limitado de veces, por ejemplo : P(x;y;z) = 5x 2 ? 3x 3y ? 2yz ; llamada racional entera o polinomio. F(x; y) ? 2x ? ? 7 ; llamada racional fraccionaria. H(x; y; z) ? 2 4 z ? ; llamada irracional. (*) Magnitud : Todo aquello susceptible a ser medido. TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica que no presenta operaciones de adición ni sustracción. ELEMENTOS DEL TÉRMINO ALGEBRAICO signo exponentes P(x;y) = - 7 x 5 y 8 coeficiente parte literal Parte Literal : Está formada por las letras con sus respectivos exponentes que representan ciertas magnitudes, como por ejemplo: P(x;y;z) = 6 x 4 y 3 z ; la parte literal es : x 4 y3 z Coeficiente Numérico : Es el número que generalmente se coloca delante de la parte literal, cuando el coeficiente es entero positivo indica el número de veces que se repite como sumando la parte literal, así pues tenemos : y3 ? y3 ? y3 ? ...... ? y3 ? 80y3 80 veces 7

Monografias.com
3 3 * * Álgebra También se puede tener un coeficiente literal , como por ejemplo : P(x) = ax 2 ? el coeficiente es "a". TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que presentan la misma parte literal, como por ejemplo : 2y 3 z ; ? 5 y z ; 7 y3 z REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS Las operaciones de adición o sustracción entre términos algebraicos sólo se puede efectuar entre aquellos términos que sean semejantes, para lo cual se calcula la suma o resta de los coeficientes numéricos, permaneciendo invariable la parte literal, veamos algunos ejemplos : Ejemplo : 9y3z ? 6y3z ? 15 y3z 2x4 y3 ? 4z ? 5x 4 y3 ? 10z ? 7x4 y3 ? 6z 8

Monografias.com
1. 4 2 ? ? a m 2. 3. 1. o o 4. 2. 1 ) 3. 5. n n 2 2 3 3 3 4 2 8 ? ? x 4 ? ? ? 4. 1 9 ? ? TRILCE POTENCIACIÓN Capítulo 1 LEYES DE EXPONENTES ECUACIONES EXPONENCIALES TEOREMAS Es la operación matemática que tiene por objetivo encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y Multiplicación : bases iguales. a m . an ? a m ? n exponente (n). Ejemplo : x . x ? x 4 ? 2 ? x6 ?b ? base ; b ? R bn ? p ; donde ?n ? exp o nente ; n ? Z ?p ? potencia ; p ? R División : bases iguales. ? am ? n ; a = 0 an Así pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia. Ejemplo : x10 x7 ? x10 ?7 ? x 3 DEFINICIONES Potencia de potencia. Exponente cero ao ? 1 ; a = 0 Ejemplo : 5o ? 1 ; (?3) ? 1 ; ? 7 ? ?1 Exponente uno a1 = a Ejemplo : 4 ? 4 (am )n ? a m.n Ejemplo : (x 2 )5 ? x 2 . 5 ? x 10 Multiplicación : exponentes iguales. an bn = (ab)n Ejemplo : a3 b3 c3 ? (abc3 (x 2 . y3 )5 ? (x 2 )5 .(y3 )5 ? x10 . y15 Exponente entero positivo División : exponentes iguales. an = a.a.a. ...... . a ; n ? 2 "n" veces a n b ? a ? ? ? ? ? b ? ;b=0 Ejemplo : 73 ? 7 . 7 .7 ? 343 Ejemplo : Exponente negativo. a? n ? 1 1 Ejemplo : 2?1 ? 1 ? 1 ;a=0 an 1 ; 3? 2 ? 2 ? x 3 ? x ? ? ? ? y ? y ? 2 ? ? ? (x ) ? x ? y3 (y3 )2 y6 9

Monografias.com
1. n n 3 ? ? a n n a b n 3 ? m 4 2. a) b) c) 3. n n * 3 Álgebra RADICACIÓN Es una de las operaciones matemáticas inversas a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones TEOREMAS : Multiplicación : índices iguales. a . b ? n a . b denominadas radicando (a) e índice (n). Ejemplo : x . 3 y ? 3 xy ? ? a ? b ; donde ? n ? a ? ? b ? signo radical ? Índice ; n ? Z ? Radicando ? Raíz ; b ? R 2. División : índices iguales. n ? n b ;b=0 3 Así pues : en 64 ? 4 : 3 es el índice, 64 el radicando y 4 la raíz. Ejemplo : x y ? x y DEFINICIONES : 3. Raíz de raíz. 1. ? a , b ? R , n ? Z ? m n a ? m . n a Ejemplos : n a ? b ? a ? b n Ejemplo : 3 x ? 3? 2 x ? 6 x a ? b ? a ? bn PROPIEDADES ADICIONALES 9 ? 3 ? 9 ? 32 ? 8 ? ?2 ? ? 8 ? (?2)3 1. ? a ? ? ? ? b ? ? n n ? b ? ? ? ? ; ab ? 0 ? a ? Observación : Debemos tener en cuenta que dentro 2. a m b ? am b ; a > 0 del conjunto de los números reales no se define a la radicación cuando el índice es par y el radicando 3. m an ? mk ank ; k ? Z ? negativo, como en los ejemplos : INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES 2004 existe en R. ? 32 no existe en R. TRASCENDENTES Es aquella ecuación donde al menos uno de sus miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos: Exponente fraccionario. Formando parte de algún exponente n a m ? m a n x Ej. 5x?1 ? 125 ; 23 ? 16 Ejemplo : 2 2 (?8) 3 ? 3 ? 8 ? (?2)2 ? 4 ? a ? R ? n ? Z? ? a ; n ? # impar a ? ? ?| a | ; n ? # par |a| : valor absoluto de "a", significa el valor positi- vo de "a". Como base y exponente a la vez Ej. 2x ? x ? 5 ; xx ? 3 Afectada por algún operador Ej. Logx2 ? x ? 1 ; Cos(2x) ? 0,5 ECUACIÓN EXPONENCIAL : Es la ecuación trascendente que presenta a su incógnita formando parte de algún exponente. 2 Ejemplo : 5x ?1 ? 25 10 Ejemplo : x3 ? x ; x 2 ? | x |

Monografias.com
x y 5 ?x 3 x 4 TRILCE Teorema : Transformando al segundo miembro se tendrá : Ejemplo : 7 x ?1 a ? a ? x ? y ; a > 0; a = 1 ? 7 ? x ? 1 ? 5 ? x x x 3 ? 3 3 33 3 2x = 6 ? x=3 ? x ? 3 (representa un valor de "x"). Observación : Para resolver algunas ecuaciones trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de comparación comúnmente llamado método de analogía, el Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino veamos el siguiente ejemplo : cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando como modelo la otra. Veamos un ejemplo : En : x ? 2 se observa que x = 2 Ejemplo : 3 x x ? 3 Pero 2 = 4 , con lo cual tenemos : x x ? 4 4 de donde : x = 4. 11

Monografias.com
1 0 a 2 1 3 ? 1 1 ? 2 . . 3 4 18 ?37 12 ? ? ? 1 ?? ? ? ? 9 ? 3 ? 1 5 3 5 5 ? b 6 .16 . 3 ? 3 ? ? x 3 ? Álgebra EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Calcular : A + B; sabiendo que : A ? ( 2 3 )0 ? ( ) ? 2 ? 6 5 ? 216 2 1 06. Si el exponente de "x" en : a a x b x b es 4, entonces el exponente de "x" en : (x a?1)2b . B ? ?( )? 2 ? ( )?4 ? ? 3 2 ? 4 d) 16 b) 2 e) 1 c) 8 a) 5 d) 20 b) 10 e) 25 c) 15 07. Sabiendo que : ?n ? ? ? 1 ? 0 . 02. Reducir : Reducir : n ? a a 24 ?x ? 2x ?1 ? ?3 ? ? ? 3 2? x ? 8 3 x ? ?(3 ) ? ? ? 3 3 a) a0 d) a2 b) a e) a?1 c) a 08. Simplificar : a) 1 b) 3 c) 3 d) 3 e) 324 33 33 3 3 ....... 33 3 3 3 3 n ? 3 03. Reducir : "n" radicales U ? ? ? ? 16 ? ? 4 ? ?32 a) 3 b) 9 c) 27 d) 3 e) 3 09. Hallar el valor de " ?" , si el exponente final de "x" en : a) 48 d) 64 b) 50 e) 32 c) 16 x? x? x? es la unidad. Además : 04. Simplificar : 3? ? ? ? a b a ? 2b 18 a ? b a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20 a) 2 b) 4 c) 6 10. Hallar el exponente final de : d) 8 05. Sabiendo que : e) 12 x x x ...... x x ????????? ? x 2 / 3 f(x) ? ? x ? ? ? ? f Calcular : M ? f(x) (x ) , para : x = 3. a) 3?1 / 2 b) 3 c) 3?1 a) d) 399 390 ? 1 2100 ? 1 2100 ? 1 b) e) 100 radicales 299 299 ? 1 3100 ? 1 3100 c) 2100 ? 1 2100 12 d) 3?1 / 3 e) 31 / 2

Monografias.com
x .16 7 q p . 1 ( ) 1 0 ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? x ? ? x 72 e) 3 ?5 ? 2y ? ? 6 ? ? . 8 2 ?? ? ? ? ? ? TRILCE 11. Hallar "x" : 19. Resolver : 4 . 8 x ?1 ? 2 2x ?1 3x ? 2 x ? 2 . x x 5 25 a) 1/3 b) 2/3 c) 4/5 d) 5/3 e) 4/3 a) 5 5 2 b) 5 2 3 c) 5 5 4 12. Al resolver : 163 2x ? 84 2x d) 5 5 e) 5 se obtiene la fracción irreductible : Indique : p + q. x 20. Resolver : x7 ? 1 77 a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 a) 7 1 b) ( ) 7 7 c) 1 7 13. Resolver : 4 x 2 ?3 x ? 3 5 5 x d) ( )7 7 e) 7 7 21. Calcular : a) 0 d) 3 14. Resolver : b) 1 e) 4 c) 2 ? (?11)0 ? 4 5 ? ? ? ?3 ? 8 ? ? ? ? ?1 9x ? 2 ? 32x ? 240 a) 0 b) 1 c) -1 a) 2 ? d) 0,3 b) 3 e) 6 c) 0,5 d) -6 22. Reducir : e) 2 15. Calcular "x", si : 3 2 ? 9 ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 9 ? ? 3 ? ? 9 ? ? 3 ? ?3 a) -3 b) 4 c) 2 d) 1 2 e) 1 4 a) 9 b) 1 3 c) 1 9 16. Resolver : x ? 6 x ; e indicar : E ? x ? . 4 d) 27 23. Reducir : a) 12 d) 9 b) 15 e) 18 c) 10 ? 4 x ? 3 ? ? ? 4 5 ? x 5 . 52 17. Hallar "x", de : xx ? 9 1 3 ? ? ??5 ? ? 23? y a) 3?1 d) 3?6 b) 3?2 e) 3?9 c) 3?3 a) 1 d) 4 b) 33 e) 324 c) 318 18. Resolver : a) 25 d) 50 x ?13 b) 20 e) 1 x x ? x13 x 37 ? x x 1 x c) 13 24. Calcular : a) 2 ? 5n ? ??10n n?1 ? ? ?? ? ? ? ? b) 8 3?1 c) 64 d) 4 e) 16 13

Monografias.com
? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? a a ab ?c (x ) a 3 6 Álgebra 25. Sabiendo que : a) 6 b) 3 c) 21 ? ?? ?? P(x) ? ??5 ?? x ?? ? P(5) Calcular : N ? P(5) ? 3 ? x 5 ? ? ? 5x 5x d) 8 31. Resolver : a) 4 d) 7 e) 10 34 ? x. 96 ? x . 2710? x ? 814 ? x b) 5 c) 6 e) 8 a) 5?1 / 5 d) 5 b) 51 / 5 e) 5?3 c) 51 / 3 32. Resolver : 813 2x ? 274 2x 26. Si el exponente de "x" en : x b?1. xc es 5, entonces el exponente de "x" en : 5a ?1 a a) 1 b) 2 c) 3 a) 2 1 d) 4 33. Resolver : b) 4 e) 8 c) 1 2 d) 4 27. Reducir : e) 5 n n a a) 0 4 x b) 1 2 ? 2x ? 7 7 x c) 2 n ?1 a d) 3 e) 4 34. Resolver : a) a n b) n 2 a c) n a 4x ?1 ? 48 ? 22x ?3 d) a n ?1 e) an n a) 1 b) 2 c) 3 28. Simplificar : d) 4 35. Calcular "x", si : e) 5 55 55 5 5 5 5 .......... 55 5 5 5 5 n ? 5 6 5 3 x ? 5 "n" radicales a) 5 d) 5 5 b) 10 e) 5 c) 25 a) 1 d) 3 b) e) 1 2 1 4 c) 2 29. Si : aa ? a ? 1 , entonces el equivalente reducido de : aa (a ? 1)(a ?1) es : 36. Hallar "x" : (2x )2 ? 232 . a) 1 b) a c) 1/4 a) 4 b) 8 c)16 d) a2 e) a a d) 2 e) 32 37. Hallar "x" en : 30. En la siguiente ecuación : 3 3 3 x 2 x2 x 2 ....... x2 ? x k 515 ? 5x 5x ?1 ? 54 ? 5 El miembro de la izquierda consta de "n" radicales. Si : a) 9 d) 6 b) 12 e) 10 c) 92 k ? 80 3n y x ? n 2 . Calcular : (n+x). 14

Monografias.com
?4 ?5 p 3 x 9 ? 8 ? ? ? M ? n . x 12 2 ? ? ? TRILCE 38. Hallar "x" de : 44. Reducir : x x ? 625 1 5 E ? mm . nn . p p m p . nm . pn a) 5?1 d) 5 b) 5?2 e) 5 c) 5?3 Sabiendo que : n mx ? nx ? m px ? x 39. Resolver : x ? 6 . 3 x 3 2 3x x 64 a) 2 d) mnp 45. Efectuar : b) 1 e) x mnp c) x a) 7 b) 8 c) 11 M ? x 1? x 1? x x . 1? x 1? x x x x d) 13 e) 15 a) x2 b) x?1 c) xx 40. Resolver : d) x x e) x ? x x ? 3 39 3 46. Calcular : a) d) 1 3 3 3 b) 2 e) 3 c) 9 ? M ? ? ? 8 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 8 ? ? ? ? 2 ?6 41. Simplificar : a) 2 2 b) 2 c) 2 2n?1. 4 ? 2n ?1 ? 8 ? n ? 2 16 . (2n )? 3 d) 8 e) 4 47. Si : m + n = 2mn ; reducir : a) 4,5 d) 3 b) 3,5 e) 2 c) 2,5 4m ? 4n m 2m ? 2n 42. Reducir : 2x ? 3 a) 2?1 d) 2 b) 1 e) -4 c) ? 2?3 2 2 (0,5) 4 x 2 4 ? x x 2 48. Calcular : a) 2 b) ? 2 2 c) 2 ? 2 33 1? 3 3 2 3 9 3 3 1? 3 3 2 39 d) 22 e) ? 23 a) 2 b) 3 2 / 2 c) 1/2 43. Mostrar el equivalente de : d) 8 e) 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2 ? ? 2? 2 ? 2?1 49. Hallar el valor de : x ?1 E ? x 8 x . x ?1 x 8 x . x ?1 ..... ? a) 2 b) 2 c) 4 para : x ? 2 2 d) 2 2 e) 2 2 a) 4 b) 16 c) 1 2 d) 1 4 e) 1 16 15

Monografias.com
? n 7..... 4 7 7 ? ? 3 ? ? n x ? ? ? 4 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? 2 2x x ? y x y ? ? ? ? Álgebra 50. Simplificar : 55. Hallar "x" de : ? ? x ? 2 ? (x ? 2 )2 2 ? ? 2 3 n ? 2 7 2 7 2 7 ..... 2 7 ? ? ? ? ?4 4 2 4 3 ? ? 7 ? ? ? ? n ? . ? 4 7 ? ? ? ? ? ? ? ? a) 2 b) 2 2 2 d) 2 e) 2 56. Resolver ecuación : 2 ?1 c) 4 2 Señale el exponente de 7. 4 x 2 ? 1 2 ? 3 x 2? 1 2 ? 3 x 2 ? 1 2 a) d) 2 2n 1 3n b) 2n ?n e) 2n ?1 c) - 1 2n Entonces el cociente de las soluciones es : a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 57. Calcular "x" en : 51. Hallar "x" en : 2727 x ?1 ? 39 x ? 2 mx n? x ? xx x x , siendo : m ? xx a) 6 d) -8 b) 7 e) -7 c) 8 a) n d) nn b) e) n n n c) n n 52. Indique "x" en : 58. Si : x ? R ? / x ? 1 ; y además : 3 4 a x ?1 . a 2x ?1 . a 2? 3x ? 1 ; a ? 0 x x x x ?1 ? x x ? x Calcular : 2x. a) 1/5 d) -2/5 b) 3/5 e) 1 c) -4/5 a) 1/4 d) 1/2 b) 2 e) 1/8 c) 1 53. Resolver : ? 2 ? ? 3 ? 2x ?3 ? 9 ? . ? ? 9x ?4 ? 2 ? ? ? ? ?19x ? 8 ? ? 27 ? 27 ? 0 59. Hallar "x", en : x ? x 2x 2 ? 2 ; x ? 0 a) 19 2 b) 76 3 c) 8 5 a) 1 4 b) 1 2 c) 2 2 d) 1 9 e) 2 d) 2 4 e) 2 54. Si : 60. Hallar "x" : (x > 0). ? 2 a) -4 2y ? 4 , y 2 b) 4 ? 6 , el valor de 2 ? 2 es : c) 2 ? ? 1? x1? x ? ? x ? 1 / 2 ? x1 / 2? x 1 / 2? x? d) -2 e) 0 a) 2 b) 4 5 c) 5 4 16 d) 2 e) 8

Monografias.com
TRILCE Claves 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. b c d d d c c a b c e b d c b b c a a c c d a d a a b a b a 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. b c c b c c e e b a a d a b d d d a b c d c b b b a c c c c 17

Monografias.com
? ? ? * 1. * ????? * 1. ? ? ? ? 1. 2. 2. 3. TRILCE Capítulo 2 NOTACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se utiliza para indicar las variables de una expresión. Ejemplos : P(x) ? variable : "x". POLINOMIOS P(?2 ? 7) ? 2 (?2)3 ? 5 (?2) ? 1 ? ?16 ? 10 ? 1 P(5) ? ?27 PROPIEDADES : para un polinomio P(x). Suma de coeficientes = P(1). "P" de x 2. Término independiente = P(0). F(x ; y) ? variables : x, y. ? ?? "F" de xy ?variables ? x ; y ; z Q(x ; y ; z) ? ax ? by ? cz ? ?cons tantes ? a ; b ; c "Q " de xyz VALOR NUMÉRICO (V.N.) Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por valores determinados. CAMBIO DE VARIABLE Así como las variables pueden reemplazarse por números, también pueden ser reemplazadas por otros polinomios, así tenemos: Dado : P(x) = 2x+11 . Obtener P(x+7) Para obtener lo pedido, se reemplaza : x por x ? 7 en P(x). P(x) ? 2 x ? 11 Ejemplo : x ?7 x ? 7 Determinar el V.N. de la siguiente expresión : P(x; y; z) ? x 2 ? 3yz para : x = 5; y = -2; z = 3 Reemplazando : P(5; -2; 3) = 5 2 ? 3 ( ? 2)( 3 ) ? 7 Determinar P(3), si : P(x)? x3 ? 2x?10. En este caso, se pide el V.N. de P (x) para : x = 3. P (3) ? 3 3 ? 2 (3 ) ? 10 P(3) = 23 Determinar P(5), si : P(x ? 7) ? 2x3 ? 5x ? 1 Para este caso, se resuelve la ecuación : x + 7 = 5; de donde : x = -2. Al reemplazar : P(x ? 7) ? 2 (x ? 7) ? 11 P(x ? 7) ? 2x ? 25 Dado : P(x ? 3) ? 3x ? 4 Determinar : P(2x? 5) . Se reemplaza (x + 3) por (2x - 5) previa preparación del polinomio como : P(x+3) = 3(x + 3 - 3)+4 Ahora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+4 Luego : P(2x-5) = 6x - 20 POLINOMIO Es toda expresión algebraica racional y entera. Cuando tiene un término se denomina monomio, con dos se denomina binomio, con tres trinomio, etc. Recordemos que en una expresión Algebraica Racional entera : Ninguna variable está afectada por algún signo radical o exponente fraccionario. 19

Monografias.com
1. 2 ??? ? ? ? ? ? ? 2. 3. 4 Álgebra Ninguna variable se encuentra en el denominador. Ejemplo : P(x; y) ? 3x ? 7y ? 5 polinomio (trinomio). P(x;y;z) = 2 x ? 2y ? z no es polinomio. GRADO : Es la categoría que se asigna a un polinomio; y depende de los exponentes de sus variables. GRADOS DE UN MONOMIO : Grado Absoluto : es la suma de los exponentes de sus variables. Grado Relativo : es el exponente de la variable en referencia. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo : cuando sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo : P(x ; y) ? 2x 4 y 3 ? x 5 y 2 ? 5x 6 y 7 7 7 Homogéneo de grado 7. Polinomio Completo : cuando tiene todos los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido. Ejemplo : "x" tiene Ejemplo : P(x;y) ? 2a3 x4 y 5 G. A. = 5 + 4 exponente "1" 3 2 4 P(x; y) ? 2x y ? 7x y ? 5y "x" tiene exponente cero G.R. (x) = 4 G.R. (y) = 5 GRADOS DE UN POLINOMIO DE DOS Ó MÁS TÉRMINOS : Grado Absoluto : es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios. Grado Relativo : es el mayor exponente de la variable en referencia. completo con respecto a "x" . Propiedad : para un polinomio completo P(x). # términos = Grado + 1 Polinomio Ordenado : es aquel cuyos exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente). Ejemplo : aumenta Ejemplo : mayor mayor 3 7 9 P(x; y) ? 4 x y ? 6x y ? 5xy 20 3 4 5 P(x;y) ? 2x y ? 7x y 6 2 ? 6x y ordenado ascendentemente respecto a "y". Grados G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5 4 9 8 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos términos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo : P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? c POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen igual coeficiente, así pues : P(x) ? ax 3 ? bx ? c Q(x) ? mx 3 ? nx ? p son idénticos, si : a = m; b = n ; c = p. Propiedad : dos polinomios idénticos tienen el mismo valor numérico para cada sistema de valores asignados a sus variables. 20 será idénticamente nulo, si : a = 0; b = 0; c = 0. Propiedad : todo polinomio idénticamente nulo tiene valor numérico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.

Monografias.com
? TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar : P[P(3)]. Si : P(x) = 2x - 5. 08. Dado el polinomio : a) 1 d) -1 b) 3 e) 5 c) -3 P(x ; y) ? (a ? 4)xy2 ? (20 ? b) x2y ? ax 2y Si : P(x ; y) ? 0 . Calcular : 02. Si se cumple : P(x) ? P(x ?1) ? x a ? b ? ab para algún polinomio no constante. Calcular : P(4) ? P(0) . a) 8 d) 14 b) 18 e) 28 c) 20 a) 9 d) 0 b) 10 e) 15 c) 20 09. Sea el polinomio : P(x) ? (2x ? 1)n ? nx 03. Sean los polinomios : P(x) ? ax ? b ? Q(x) ? bx ? a con "n" impar, si la suma de sus coeficientes aumentado en el duplo de su término independiente resulta 16, entonces "n" es : siendo : (a ? b) . Además : P(Q( x) ) ? Q (P(x )) a) 15 d) 21 b) 19 e) 13 c) 17 Hallar : P(Q(1)) . 10. Dado el polinomio : a) b d) -b b) a e) ab c) 1 R(x) ? (2x 4 ? 3)m (mx5 ? 1)5 (2xm ? x ? m)3 04. Dado el polinomio : Indique el coeficiente principal, si el término P(x ; y) ? 4mnx2m?3ny5n?m independiente es 72. a) 1024 b) 243 c) 624 Si : GA(P) = 10 ? GR(x) = 7. Calcular su coeficiente. d) 512 11. Si : e) 64 a) 5 d) 8 b) 64 e) 2 c) 16 P(x) ? (n ? 2) x n ?9 y ? (n ? 3) x n? 8 y 2 ? ? (n ? 4) x n ?7 y 3 ? ...... 05. Dado el polinomio : P(x, y) ? 7x 2 y m? 3 ? 4 x 5 y m ? 4 ? 3x 4 y m ? 5 ? x 6 y m ? 2 es ordenado y completo. Hallar el número de términos. Si : GR(x) + GR(y) + G.A. = 32. Entoces el valor de "m" es : a) 7 d) 5 b)9 c) 13 c) 11 12. Si : a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 P(x ? 2) ? 6x ? 1 06. Si el polinomio : b a R(x ; y ; z) ? x a ? x7 y b ? x 20 z12 P(F(x) ) ? 12x ? 17 Obtener : F(10) . es homogéneo. Calcular : (a ? b)2 . a) 23 d) 21 b) 20 e) 19 c) 22 a) 16 d) 3 b) 9 e) 1 c) 5 13. Dada la expresión : P(x) , tal que : 07. Determinar cuál es la suma de los coeficientes "m" y "n", de modo que para cualquier valor de "x", se cumple: 7 ? x ? m (x ? 1) ? n (x ? 2) P(x) ? P(x ?1) ? P(x ? 2) , además : P(1) ? 3 ; P(2) ? 4 . Calcular : P(P(P(0))). a) 7 b) 4 c) 3 a) -1 b) 1 c) -2 d) 1 e) 14 d) 0 e) 2 21

Monografias.com
a ?5 a ?1 7 ?a F(?5) Hallar : a b c Álgebra 14. Dado el polinomio : 21. Si : H (x ?1) ? f(x) ? g (x) P(x) ? x ? 3x ? 5x ? 7 Hallar la suma de valores que puede asumir "a". Donde : f(x ? 2) ? 2x ? 4 a) 6 d) 18 b) 11 e) 21 c) 13 g(x ? 2) ? 3x 2 ? 6x ? 1 Hallar : H(5). 15. En el polinomio homogéneo : b?a P(x, y, z) ? (xy)3a Calcular : a + b + c. ? y b a ? b ? 2z c a) 62 d) 93 22. Si : b) 78 e) 99 c) 87 P(x) ? ax 2 ? b y P(P(x)) ? 8x 4 ? 24x2 ? c a) 3 d) 9 b) 5 e) 15 c) 7 El valor de : a + b + c, es : 16. Si se cumple : P(x) ? x 2 ? 3x ? (x ? 2) q(x) a) 28 d) 31 b) 32 e) 26 c) 30 R (x) ? 5x ? 2 ? P(x ? 1) 23. Indique el grado de : Hallar la suma de coeficientes del polinomio R (x) . a R(x ; y) ? xa ? 5 y 2 ?1 a ? xa ? 4 y 4 ?1 ? x11?a a) 11 b) 9 c) -7 d) 13 e) -6 a) 7 b) 8 c) 4 d) 6 e) 3 17. Si : F(x) ? x 3 (x18 ? 125x15 ) ? 2(x ? 5) K ? [F(1) ? F(2) ? F(3) ? ... ? F(99) ] 24. Si el polinomio : P(x; y) ? nxn ? m y ? x r ?1y ? mym? 5x 3 es homogéneo y con grado relativo respecto a "y" igual a 3. Hallar el grado relativo de "x". a) 0 d) 23 499 b) 243 e) 1 c) 1024 a) 3 d) 9 b) 5 e) 11 c) 7 18. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio: Q(x) ? x m ?10 ? x m ?n ? 5 ? x p ? n ?6 es completo y ordenado en forma decreciente. 25. Sean los polinomios : P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ; Q(x) ? ax 2 ? d ; a) 8 d) 10 b) 2 e) 4 c) 6 R(x) ? ax ? b . Si : P(0) ? 2 ; Q(1) ? R (2) ? 1 . 19. Si la siguiente expresión matemática se reduce a un polinomio : Hallar "x", tal que : R(x) ? 0 . P(x, y, z) ? a x b ? b xc ? c xa a) -3 d) 1 b) -1 e) 3 c) 0 Hallar el valor de : a - 2c + b. 26. Determinar en cuanto difieren "p" y "q" para que con a) -1 d) 2 b) -2 e) 0 c) 1 cualquier valor de "x" se cumpla que : 27 ? 8x ? p (x ? 4) ? q (2x ? 3) 20. Sea "f" una función definida en el conjunto de los números reales tal que verifica las siguientes propiedades : a) 7 d) 3 b) 5 e) 2 c) 1 f(x ? y) ? f(x) ? f(y) ; f(1) ? 2 27. Hallar : m . n, si el polinomio es homogéneo. Calcular : f(1? 2?...?10) . P(x ; y) ? x n? 3 y7 ? (x 2 y2 )4 ? xmy4 a) 220 b) 20 c) 40 d) 55 e) 110 a) 100 b) 124 c) 144 22 d) 140 e) 70

Monografias.com
? ? ? a) b) 3 TRILCE 28. El grado de homogeneidad del polinomio : P(x; y) ? x a y 2b? c ? x a ? by 2c ? x a ? 2c ya ? 2b es 6. Calcular el valor de : E = a + b + c. 34. Dado el monomio : M(x; y) ? 4a b x 2a ? 3 b y5 b? a se tiene : GA(M) = 10; GR(x) = 7. Señalar su coeficiente. a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 11 a) 2 b) 4 c) 8 29. Sea el polinomio : d) 16 e) 64 P(2x) ? a0x ? 2a1x 2 ? 22 a 2x3 ? ... ? 25 a5 x6 Hallar la suma de coeficientes de P(x) , si su término 35. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x) es 13. P(x) ? a(2 ? x)10 ? b(3 ? 2x)8 ? 5 Hallar : a + b. independiente es a5 ? 2 y además: a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 8 ; a0 ? 0 a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 a) 3 d) 2 b) 5 e) 1 c) 7 36. Definimos un polinomio P(x) x ? R. P(x) ? (x ? n ? 2)4 ? (x ? n ? 3)3 ? 2 30. Dados los polinomios : en el cual el término independiente es 17. Calcular "n". f(x ) ? a (x ? 1)(x ? 2) ? b (x ? 2)(x ? 3) ? c (x ? 1)(x ? 3) a) 1 d) 5 b) 4 e) 3 c) 2 g(x) ? x 2 ? 2x ? 9 Si : f(x) ? g (x) ; ? x ? R Determine el valor de : a+b+c. 37. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio: Q(x) ? x m ?10 ? x m ?n ? 5 ? x p ? n ?6 es completo y ordenado en forma decreciente. a) -1 d) 2 b) 0 e) 1/2 c) 1 a) 8 d) 10 b) 2 e) 4 c) 6 38. Sabiendo que el polinomio : x ? c 31. Si : f(x) ? x ? 1 f(f(x)) será : x ? 1; c ? 1 . A(x; y) ? 7x a ? 2 y b? 3 ? 8 x c y d ?1 ? 5x 2a ? 3 y b ?1 es homogéneo. Hallar "a". a) 0 b) 2 c) 1 c x ? 1 d) 1 x x ? 1 e) x c) c d) -3 39. Si el polinomio : e) -4 R(x) ? (a ? b ? 2) x 2 ? (a ? c ? 3) x ? (b ? c ? 5) 32. Si : f(x ? 2) ? x2 ? 1 y h(x ?1) ? 3x ? 1 , se tiene que h(f(0)) ? h(?5) es : se anula para : x = 2001; x = 2002; x = 2003; x = 2004. Hallar : a-b+c. a) 82 b) -17 c) 193 d) 28 e) -4 a) -1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2001 33. Hallar "n", si el grado de : 40. Sea P(x) un polinomio mónico de grado 3; halle la suma de coeficientes del término cuadrático y lineal, x xn x es 5 siendo su término independiente igual a 5. Además : P(x ?1) ? P(x) ? nx ? 2 a) 5/3 d) 56/5 b) 56 e) 5/6 c) 56/3 a) 1 d) 3 b) 0 e) 4 c) 2 23

Monografias.com
x f ? ? ? ? ? ? ? m n ?8 2 n ?7 3 Álgebra 41. Dado un polinomio lineal P(x) , que presenta resultados mostrados en el cuadro : a) 7 d) 5 b) 9 c) 13 c) 11 1 2 48. Dada la función "f", tal que : Calcule : P(5) ? P(0) . P(x) 4 6 ? 3 x ? 3 2 ? 2 x 2 ? 18 x ? R a) 18 b) 16 c) 12 Calcular : f(1) ? f(?1) 2 d)14 e) 8 a) 11 b) 7 c) 10 2 42. Si : f(x 2 ? 2x ?1) ? x ? 3 , entonces f(x ?2) es: d) 9 e) 8 49. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente a) x 2 ? 2x ? 2 c) x ? 2 x ? 2 ? 4 b) x 2 ? 2 x ? 2 d) (x ? 2 )2 ? 1 trinomio : P(x; y) ? (m ? 3)x 9? m ? mx m ? 2.y 3 ? y17 ? 2m e) x ? 2 x ? 2 ? 4 43. ¿Para cuántos valores de "b" el polinomio : P(x ; y) ? ab xa ? bya ? b ? b2y4 es homogéneo? a) 4 d) 10 50. Siendo : b) 6 e) 12 P? 1 ? ? ? ? ax ?1 ? c) 8 ? a 2x ? 3a ? 1 a) 1 d) 4 b) 2 e) Más de 4 c) 3 Obtener : P? 1 ? ? ? ? ? 2 ? 44. Calcular : m - n, si el polinomio : P(x; y) ? 3x2m? n? 4 .ym?n ? 2 ? 7x2m? n? 3ym? n?1 ? a) 1 d) -2 b) 2 e) 0 c) -3 7x2m? n? 2.ym? n es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 4. 51. Si : f(x ?1) ? f(x ) ? 2x ? 4 ; y f(0) = 2, entonces f(1) ? f(?1) vale : a) 6 d) 15 b) 9 e) 18 c) 14 a) 0 d) -2 b) 2 e) -6 c) 6 45. Si el polinomio P(x;y) es idéntiamente nulo. Hallar : ab. P(x; y) ? (a ? b)x 3 y ? 2x 4 y5 ? 18 x 3y ? (b ? a)x 4 y5 52. Si : f(x x ) ? x x ?1 xx 2x ? 2 a) 10 d) 60 b) 20 e) 80 c) 40 Además : f(x x ?1) ? 3125 . Calcular : P ? f(x ? 2) . 46. En el polinomio : P(x ? 1) ? (2x ? 1)n ? (x ? 2)n ? 128(2x ? 3) donde "n" es impar, la suma de coeficientes y el término a) 16 d) 14 b) 10 e) 12 c) 18 independiente suman 1, luego el valor de "n" es : 53. Q(x) es un polinomio que cumple las siguientes a) 5 d) 11 47. Si : b) 7 e) 13 c) 9 condiciones : I. Q(3) = Q(5) = 0 II. Grado mínimo III. Suma de coeficientes 16. Calcular el término independiente de Q(x). P(x) ? (n ? 2) x n ? 9 y ? (n ? 3) x y ? (n ? 4) x y ? ... a) 18 b) 15 c) 30 24 es ordenado y completo. Hallar el número de términos. d) 45 e) 32

Monografias.com
? ? ? ? ? a) ? ? ? ? ? x ? 2 a b c 2 c) a b 2 , ? ? ) TRILCE 54. Sabiendo que : P(x; y) ? (5x ? 3y)n ?1 ? 5n es tal que la suma de coeficiente es igual al término independiente aumentado en 1024. Hallar "n". 58. Si : f(x ?1) ? x 2 Hallar : f? x 2 ?1 ? , x ? 0 x ? ? a) 6 d) 9 55. Si el trinomio : b) 7 e) 10 c) 8 ? x 2 ? 1 ? ? x ? ? x ? 1 ? b) ? 2 ? F(x) ? xa ? b ? x b? c ? xa ? c es homogéneo de grado (10), de qué grado es el 1 x (x2 ? x ? 1)2 d) (x 2 ? x ? 1)2 monomio. S(x; y; z) ? x b . c ya . z c e) 1 x (x2 ? x ? 1)2 a) 7 d) 33 b) 13 e) 30 c) 27 59. Sean : P Q dos polinomios dados por : P(x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 56. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo : P(x) ? c(xa ? x b ) ? a(x b ? x c ) ? b(x a ? x c ) ? abc Si : a ? b ? c . Q(x) ? 2x 3 ? x 2 ? 3x ? 1 Si : P(x) ? Q (x ?1) , determinar el valor de : a+ b + c + d a) 6 d) 15 b) 9 e) 18 c) 12 a) 0 d) 3 b) 1 e) 5 c) 2 57. El polinomio : A(x) ? ax m ? bx n ? cx p ? dx q ? mp 60. Si : R( x ? 3) ? x ? 1 5 es completo y ordenado, con suma de coeficientes igual a 13. Indicar : a + b + c + d. Además : R(F 2 x ( 9 ? 7) ? 20 x ? 1 Calcular : F(x) . a) 5 b)10 c) 8 d) 6 e) 9 a) 15x - 9 b) 8x - 129 c) 18x - 129 d) 18x - 29 e) -18x + 129 25

Monografias.com
Álgebra Claves 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. c b c d c b a d c a a e a d c d e c e e d e b b e b c c b c 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c e c c e b c c c a d c c c e c b e d a c a c d c e a e b c 26

Monografias.com

Comentarios


Trabajos relacionados

  • Distribución Normal

    Distribución Normal. Función de densidad. La distribución binomial. Esta distribución es frecuentemente utilizada en l...

  • Estructura y funcionamiento del Programa Raíces

    Carlos alberto PérezEl programa esta compuesto por la función principal raices y 9 subfunciones: Raices (principal; Cuad...

  • El poder del Solver

    Ejemplo de cómo usar "SOLVER". En estos tiempos donde se habla de la tecnología, información, sociedad del conocimient...

Ver mas trabajos de Matematicas

 
 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.


Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

Iniciar sesión

Ingrese el e-mail y contraseña con el que está registrado en Monografias.com

   
 

Regístrese gratis

¿Olvidó su contraseña?

Ayuda