El estudio de las funciones representa un argumento muy importante en los fenómenos físicos aplicados a la ingeniería.

Un reto pedagógico para el docente universitario, consiste en transmitir conocimientos a través del gráfico, y si a este gráfico se le conocen sus asíntotas, todo su estudio se facilita. En este trabajo presentaremos de forma clara y pedagógica la obtención de asíntotas funcionales para una curva.

Consideremos la función . Observando lo siguiente:

El comportamiento asintótico por la derecha es , respectivamente por la izquierda

La función , tiene dos asíntotas funcionales no rectilíneas.

Si se conoce las asíntotas de una función en estudio se facilita.

Sea una función real de variable real definida en el intervalo o respectivamente , tal que:

1. , que satisface:
2. , o respectivamente:
3. 

Entonces se dice que, para (respectivamente: ), la curva es una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva .

Por ejemplo, la función , definida en . Se puede escribir:

, con:

, .

La curva de ecuación: , es una asíntota parabólica para la función racional .

Se define la distancia del punto a la curva de la siguiente manera:

Si F, es una recta es la medida del segmento perpendicular desde p hasta la recta.

1. TEOREMA: Si , es una asíntota para la curva para (respectivamente: ), entonces se tiene : ,

Como es una asíntota para se tiene que: , con si el punto y por lo tanto el punto es de la forma .

Por otra parte:

1. .

Como .

2. 

De (i) y (ii) se tiene:

3. 

Como . Entonces , las curvas , se pegan asintóticamente .

De particular importancia es el caso en el cual la curva presenta asíntotas rectilíneas. En tal caso se tiene:

con , respectivamente: .

La recta es una asíntota para (asíntota rectilínea derecha) o respectivamente: (asíntota rectilínea izquierda). Cuando L, es una asíntota rectilínea derecha e izquierda simultáneamente se dice que L es una asíntota rectilínea.

2. TEOREMA: La curva F, representada por la función

Supongamos que F tiene una asíntota rectilínea derecha de ecuación . Por (1) se tiene:

1. con .

Supongamos que F admite otra curva asintótica derecha, de ecuación:

2. con . De (i) y (ii) se tiene:
3. .

Y se deduce que :

4. 

Garantizando la unicidad de la asíntota. La unicidad de la asíntota izquierda se demuestra de forma análoga.

Consideremos la función racional . Donde y son polinomios con coeficientes reales en la variable "x", sí y son respectivamente los polinomios cociente y resto de división de y , se tiene:

1. .

Como el grado del polinomio es inferior al grado del polinomio se tiene:

2. 

La ecuación es una curva asintótica para la función , tanto derecha como izquierda, es decir: es una asíntota.

Si es de grado "n" y de grado "n+1", entonces es de grado 1, y por lo tanto es una asíntota rectilínea.

Ejemplo:

La recta es una asíntota rectilínea para la función .

3. TEOREMA: Toda función racional

Sea n = grado del polinomio ; m = grado del polinomio :

• Si , por (1) se tiene que el grado del polinomio es , y como se cumple (2) se tiene que el polinomio de grado , es una asíntota para la función .
• Sí

• Si . La recta es una asíntota para la función . Con y

Cuando , no es una función racional las cosas se complican al tratar de hacer la descomposición (1), pero existe un criterio para la búsqueda de asíntotas rectilíneas (derechas e izquierdas) para la función .

• Supongamos:

, (Respectivamente ).

La curva , admite una asíntota rectilínea derecha (respectivamente izquierda) de ecuación , basta observar que:

y hay que notar solamente que:

(respectivamente ).

EJEMPLO:

La función , tiene asíntota rectilínea derecha: y asíntota rectilínea izquierda: .

EJEMPLO:

La recta es una asíntota rectilínea derecha.

La recta es una asíntota rectilínea izquierda.

• Supongamos:

y . (respectivamente para ).

La curva , tiene una asíntota rectilínea derecha y dicha asíntota tiene por ecuación: , donde:

En efecto: Si la curva admite asíntota derecha, ésta tiene por ecuación: y se tiene:

con .

Por lo tanto tenemos:

tomando límite:

y por lo tanto: .

Por otra parte se tiene:

y como , se tiene:

Este resultado constituye un método de cálculo para la asíntota.

EJEMPLO:

. Las rectas y son las asíntotas rectilíneas derechas e izquierdas respectivamente.

• Supongamos:

(respectivamente para )

La curva no admite asíntota rectilínea derecha. De hecho, si la admitiera debería ser:

, con y , y esto es una contradicción ya que se tendría y .

Sí , se dice que la recta es una asíntota vertical derecha.

Sí , la recta es una asíntota vertical izquierda.

Sí , es una asíntota vertical derecha e izquierda simultáneamente, se dice que es una asíntota vertical.

4. TEOREMA: Sea

o

(respectivamente ó )

Entonces, la recta L de ecuación , satisface:

(respectivamente: ); con .

Demostremos el teorema en el caso cuando y análogamente se razona cuando .

Sabemos que: y por lo tanto el punto es de la forma: .

En particular tomando el punto , se tiene:

; y por lo tanto se tiene:

.

Sí (respectivamente ), se tiene: , y se concluye que:

l.q.q.d.

Una función puede admitir infinitas asíntotas verticales. Por ejemplo:

, ya que:

y

Las rectas: , , son asíntotas verticales para .

1. Cipriano Cruz. Elementos de funciones Reales. U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.995.
2. Arcos Robinson – Cruz Cipriano. ¿Qué puede decirse acerca del gráfico de una función?. U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.986.
3. Hernández Angela. Estudio de una Función "Ejercicios de Análisis I". U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.988.
4. Spivak M. Cálculo Infinitesimal.

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