Estudio de las asintotas de una funcion

1. Resumen:
2. Asintotas de una funcion
   racional.
3. Bibliografias.

RESUMEN:

El estudio de las funciones
representa un argumento muy importante en los fenómenos
físicos aplicados a la ingeniería.

Un reto pedagógico para el docente universitario,
consiste en transmitir conocimientos a través del
gráfico, y si a este gráfico se le conocen sus
asíntotas, todo su estudio se facilita. En este trabajo
presentaremos de forma clara y pedagógica la
obtención de asíntotas funcionales para una
curva.

Consideremos la función
. Observando lo
siguiente:

El comportamiento
asintótico por la derecha es , respectivamente por la izquierda

La función , tiene dos asíntotas funcionales no
rectilíneas.

Si se conoce las asíntotas de una función
en estudio se facilita.

Definición:

Sea una
función real de variable real definida en el intervalo
o respectivamente
, tal
que:

1. , que
   satisface:
2. , o
   respectivamente:
3. 

.

Entonces se dice que, para (respectivamente: ), la curva es una curva asintótica, o
simplemente una asíntota para la curva .

Por ejemplo, la función , definida en . Se puede escribir:

,
con:

,
.

La curva de ecuación: , es una asíntota parabólica
para la función racional .

Se define la distancia del punto a la curva de la siguiente manera:

Si F, es una recta es la medida del segmento perpendicular desde p
hasta la recta.

1. TEOREMA: Si , es una asíntota para la curva para (respectivamente:
   ), entonces se
   tiene : ,
   

.

Demostración:

Como es
una asíntota para se tiene que: , con
si el punto
y por lo tanto
el punto es de la
forma .

Por otra parte:

1. Como .

2. .

   De (i) y (ii) se tiene:

3. 
4. 

Como .
Entonces , las
curvas , se pegan
asintóticamente .

De particular importancia es el caso en el cual la curva
presenta
asíntotas rectilíneas. En tal caso se
tiene:

con
, respectivamente:
.

La recta
es una asíntota para (asíntota rectilínea derecha) o
respectivamente:
(asíntota rectilínea izquierda). Cuando L, es una
asíntota rectilínea derecha e izquierda
simultáneamente se dice que L es una asíntota
rectilínea.

2. TEOREMA: La curva F, representada por
   la función

. Tiene a lo más una asíntota
rectilínea derecha (respectivamente izquierda).

Demostración:

Supongamos que F tiene una asíntota
rectilínea derecha de ecuación . Por (1) se
tiene:

1. Supongamos que F admite otra curva
   asintótica derecha, de ecuación:

2. con
   .
3. con
   . De (i) y
   (ii) se tiene:

   Y se deduce que :

4. .
5. 

Garantizando la unicidad de la asíntota. La
unicidad de la asíntota izquierda se demuestra de forma
análoga.

ASINTOTAS DE UNA FUNCION
RACIONAL.

Consideremos la función racional . Donde y son polinomios con coeficientes reales en
la variable "x", sí y son respectivamente los polinomios cociente y resto de
división de y , se tiene:

1. Como el grado del polinomio es inferior al grado del polinomio
   se
   tiene:

2. .
3. 

.

La ecuación es una curva asintótica para la
función ,
tanto derecha como izquierda, es decir: es una asíntota.

Si es de
grado "n" y de grado "n+1", entonces es de grado 1, y por lo
tanto es una
asíntota rectilínea.

Ejemplo:

La recta es una asíntota rectilínea
para la función .

3. TEOREMA: Toda función racional
   

tiene asíntota.

Demostración:

Sea n = grado del polinomio ; m = grado del polinomio :

• Si ,
  por (1) se tiene que el grado del polinomio es , y como se cumple (2) se
  tiene que el polinomio de grado , es una asíntota para la función .
• Sí

:

,
Respectivamente:

La recta es una asíntota rectilínea para la
función

• Si .
  La recta es una
  asíntota para la función . Con y

coeficientes principales de los polinomios.

Cuando ,
no es una función racional las cosas se complican al
tratar de hacer la descomposición (1), pero existe un
criterio para la búsqueda de asíntotas
rectilíneas (derechas e izquierdas) para la función
.

• Supongamos:

,
(Respectivamente ).

La curva , admite una asíntota rectilínea derecha
(respectivamente izquierda) de ecuación , basta observar
que:

y hay que notar solamente que:

(respectivamente ).

EJEMPLO:

La función , tiene asíntota rectilínea derecha:
y asíntota
rectilínea izquierda: .

EJEMPLO:

La recta es una asíntota rectilínea derecha.

La recta es una asíntota rectilínea
izquierda.

• Supongamos:

y
. (respectivamente para
).

La curva , tiene una asíntota rectilínea derecha y
dicha asíntota tiene por ecuación: , donde:

.

En efecto: Si la curva admite asíntota derecha, ésta
tiene por ecuación: y se tiene:

con
.

Por lo tanto tenemos:

tomando límite:

y por lo tanto: .

Por otra parte se tiene:

y como
, se tiene:

Este resultado constituye un método de
cálculo
para la asíntota.

EJEMPLO:

. Las
rectas y
son las
asíntotas rectilíneas derechas e izquierdas
respectivamente.

• Supongamos:

y

(respectivamente para )

La curva
no admite asíntota rectilínea derecha. De hecho, si
la admitiera debería ser:

, con
y , y esto es una
contradicción ya que se tendría y .

Definición:

Sí , se dice que la recta es una asíntota vertical derecha.

Sí , la recta es
una asíntota vertical izquierda.

Sí , es una asíntota vertical derecha e izquierda
simultáneamente, se dice que es una asíntota
vertical.

4. TEOREMA: Sea

una curva que satisface:

o

(respectivamente ó )

Entonces, la recta L de ecuación , satisface:

(respectivamente: ); con .

Demostración:

Demostremos el teorema en el caso cuando y análogamente se
razona cuando .

Sabemos que: y por lo tanto el punto es de la forma: .

En particular tomando el punto , se tiene:

; y por
lo tanto se tiene:

.

Sí (respectivamente ), se tiene:
, y se concluye
que:

l.q.q.d.

Una función puede admitir infinitas
asíntotas verticales. Por ejemplo:

, ya
que:

y

Las rectas: , , son
asíntotas verticales para .

BIBLIOGRAFIAS.

1. Cipriano Cruz. Elementos de funciones Reales.
   U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.995.
2. Arcos Robinson – Cruz Cipriano.
   ¿Qué puede decirse acerca del gráfico
   de una función?. U.C.V. Facultad de
   Ingeniería 1.986.
3. Hernández Angela. Estudio de una
   Función "Ejercicios de Análisis I". U.C.V. Facultad de
   Ingeniería 1.988.
4. Spivak M. Cálculo
   Infinitesimal.

sabas juan