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Números complejos




Enviado por activo52



    Indice
    1.
    Defina número complejo.

    2. ¿Cómo determinar la forma
    polar de Z?

    3. Parte
    Práctica

    4. Bibliografía

    1. Defina número
    complejo.

    A toda expresión en la forma a + bi donde a y b
    son números reales e i es la unidad imaginaria() recibe el nombre de
    Número Complejo. Se designan a los números
    complejos con la letra Z ; así
    Z = a + bi (a Î
    Â )
    Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de
    esta forma :
    Re(z) = a
    Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE
    IMAGINARIA.
    Im(z) = b
    ż cuando un
    número complejo se dice imaginario puro?
    Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi
    es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un
    Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.
    Ejemplo :
    x2 + 16 = 0

    x2 = – 16
    x= ±

    x= ± 4i
    x1= 4i X2 = – 4i

    Sean Z1 y Z2 números
    complejos. defina:

    1. La adición de números complejos es una
      operación binaria tal, que para todo par de complejos
      (x1 , x2) , (x3 ,
      x4) le hace corresponder el complejo que tiene
      como primera componente la suma de las primeras y como
      segunda componente la suma de las segundas.
      O sea: (x1, x2) + (x3 ,
      x4) = (x1 + x3 ,
      x2 + x4).

      * En Forma Binómica :
      Es decir, se suman algebraicamente entre sí por
      separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
      Ejemplo :
      * Dados Z1 = a1 + b1i y
      Z2 = a2 + b2i
      Z1 + Z2 = ( a1 +
      a2 ) + (b1 + b2)i

    2. Z1 + Z2 (adición de
      complejos)

      Sean Z1, Z2 dos números
      complejos, definimos la operación sustracción
      así :
      Z1 – Z2 = Z1 + (-
      Z2)
      Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo
      que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
      Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
      Entonces :
      Z1 – Z2 = Z1 + ( –
      Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x – a, y –
      b).

      * En forma Binómica :
      Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales
      entre sí y las partes imaginarias entre sí.
      Entonces :
      Z1 – Z2 =(x + yi) – (a + bi) =(x – a) –
      (y – b)i.

    3. Z1 – Z2 (sustracción de
      complejos):

      Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos
      simétricos con respecto al eje real .
      Si se cumple, por tanto, que
      Z = a + bi y

      = a
      – bi

      diremos que es el conjugado del complejo Z. En la
      práctica, para determinar el conjugado de un complejo
      basta cambiar en éste el signo de la parte
      imaginaria.

      * En Forma de pares ordenados:
      Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)

    4. (conjugado de un complejo):

      Se multiplican según la regla ordinaria del
      producto
      de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 .
      Al final se reducen términos semejantes.
      La multiplicación puede hacerse más
      directamente observando que :
      (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
      ac +
      (ad + bc)i + bd(-1)
      = (ac – bd) + (ad + bc)i

      * En forma de pares ordenados :
      Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y)
      dos números complejos, entonces, por
      definición : Z1 × Z2 = (a ,
      b) ×
      (x , y) = (a× x – b× y , a× y+b× x).

    5. Z1 × Z2 (
      multiplicación de complejos ) :
    6. (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo

      Llamaremos el inverso de Z1 =
      a1 + b1 es : =, tal que

      Z1 =(1 , 0).
      Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico :
      Z1 = (x , y).
      Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
      Es decir ; ( ax – by, ay + by) = (1 , 0)

      y también

      Al resolver el sistema
      obtenemos:

      Para dividir expresiones complejas, se expresa el
      cociente en forma de fracción y se racionaliza el
      denominador de esta fracción, multiplicando ambos
      términos de la fracción por la conjugada del
      denominador y se sustituye i2 por -1.

    7. (división de complejos):
    8. ½
      Z1½  ( módulo de un
      complejo ):

    Se llama módulo de un complejo a la longitud del
    vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por
    r. Su valor se
    obtiene por la conocida relación :

    ½
    Z1½ = r =

    que es la relación que nos permite determinar la
    longitud de un vector.
    Sea Z un número complejo. explique como determinar

    Sea Z= a +bi.
    La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro
    complejo que llamaremos x + yi :

    = x + yi

    = x +
    yi (])

    Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo
    términos :
    a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
    a
    + bi = x2 + 2xyi + y2 (-1)
    a + bi = (x2 – y2) + 2xyi

    Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el
    siguiente sistema :

    Despejando "y" en (]]]) :

    Sustituyendo este valor en(]]) :

    Expresando en términos de X2 :

    Tomamos únicamente el valor positivo, pues
    es mayor que "a"
    y x2 no puede ser negativo. Además = S.

    Por lo tanto :

    Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación
    (]) se obtiene lo siguiente :

    • La ecuación (]) queda,
      así :

    En la ecuación (]]]) podemos observar que
    "b" tiene el mismo signo que el producto "xy". Por lo tanto, si
    "b" es positivo "x" e "y" serán de igual signo y tendremos
    que :
    Para b > 0 Para b < 0

    Como los signos que deben tomarse para X e Y deben
    satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las
    siguientes consideraciones :
    Para b > 0 : Las raíces deben ser ; ambas del
    mismo signo : positivas o negativas( + ,+), ( – , – )
    Para b < 0 : Las raíces, se toman con signos
    opuestos :(+,-),(-, +)
    Sea Z un número complejo. explique como graficar z y como
    determinar su forma polar.
    Sea el complejo Z= a + bi = (a,b).
    Representación Gráfica de Z :
    Se conviene en representar los números complejos mediante
    puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real
    "a" del número que representa. La ordenada es igual a la
    parte imaginaria "b". De esta forma, la representación del
    complejo Z= a + bi es el punto M del plano adjunto.
    Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.
    Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a,0) (en
    forma de par ordenado) tiene su afijo sobre el eje horizontal.
    Por esta razón, en la representación de los
    números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre
    de EJE REAL.
    En cambio los
    complejos en la forma Z=bi ó Z=(0,b) tienen su afijo en el
    eje vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas
    recibe el nombre de EJE IMAGINARIO.
    Con estas dos afirmaciones se puede establecer una
    biyección entre el conjunto de los números
    complejos y los puntos del plano : "a todo número
    complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto
    del plano es representación de un número complejo
    determinado".

    2. ¿Cómo
    determinar la forma polar de Z?

    Un Complejo Z= a + bi tiene su representación
    geométrica como un punto en el plano y también
    puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la
    siguiente forma :
    b (a,b)
    ó
    b Z= a + bi

    Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las
    coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las
    coordenadas r y j
    (polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real
    positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta
    el punto (a , b) ó Z.
    Los números complejos pueden representarse, por lo tanto,
    con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas
    rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son
    las mismas que las coordenadas del punto.
    a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y

    Las coordenadas polares se representan en un
    círculo, considerando que 0 es el origen y el eje
    X+ es el eje polar.
    Del triángulo rectángulo formado, se
    obtiene :
    a = r cos j y
    b=r senj
    Z= a + bi = r cos j
    + i sen j
    = r (cosj
    + isenj )
    = r cisj =
    rej
    i

    Donde : es el módulo del número Complejo.

    es el
    ARGUMENTO del número complejo.

    Z=a + bi = r cis j

    En forma desarrollada :
    Z= a + bi = r (cosj
    + isenj
    )
    Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2=
    r2 (Cosq
    2 + iSenq 2)

    Definir :

    1. Z1 × Z2 :
    2. Z1 = r1 (Cosq 1 +
      iSenq
      1) = r1 Cisq 1 y
      Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) =
      r2 Cisq
      2
      Se efectúa el producto de Z1
      ×
      Z2
      Z1 × Z2 =
      r1 Cisq
      1 × r2 Cisq 2
      En Forma
      desarrollada : = r1(Cosq 1 +
      iSenq
      1)× r2(Cosq 2 +
      iSenq
      2)
      Ordenando : = r1×
      r2(Cosq 1 + iSenq
      1)× (Cosq 2 + iSenq 2)

      Efectuando el producto de los factores que
      están entre paréntesis :

      Ordenando y sustituyendo i2 por
      (-1) :

      Sacando factor común "i" en los
      últimos términos :

      Por lo tanto, sustituyendo :

      y, en la forma abreviada :

      En resumen :

      En palabras :
      "El producto de dos números complejos en forma
      trigonométrica tiene como módulo el producto de
      los módulos y como argumento, la suma de los
      argumentos."

    Sean Z1 = r1
    (Cosq
    1 + iSenq 1) = r1 Cis
    q 1 y
    Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2
    Cis q
    2
    Se efectúa el cociente
    Z1
    Z2

    Descomponemos así el segundo
    miembro :

    Expresión equivalente a la que sigue :

    Aplicando la fórmula de Moivre :

    Y por último, multiplicando :

    En definitiva :

    En palabras : " El cociente de dos números
    complejos en forma trigonométrica tiene como módulo
    el cociente de los módulos y como argumento, la diferencia
    de los argumentos."

    C) Z1n (formula de
    moivre)
    Z1n = (r1 Cis
    q
    1)n = (r Cis
    q )(r Cis
    q )(r Cis
    q
    )………………… (r Cis q )

    =

    Z1n = (r1
    Cis q
    1)n = r n
    Cis(q
    1 × n)

    O sea :
    El módulo de la potencia n-sima
    de un complejo z es la potencia n-sima del módulo y el
    argumento es el de Z multiplicado por n.
    LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número
    complejo en forma trigonométrica a un exponente entero
    cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se
    multiplica el argumento por
    n.

    3. Parte Práctica

    1. Efectuar :
    2. resolver : Z2 = 21 – 6i
    3. Sean Z1 = -2 + 3i ;
      Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i .
      calcular
    1. calcular :

     ;
    ;

    1. Expresar Z1 , Z2 y
      Z3 en forma polar y calcular :

     ;

    1. resolver en

     :

    ( Z – 1 – i) ( Z – 1 + i) ( Z + 1 + i) ( Z + 1 – i ) =
    5

    4.
    Bibliografía

    • Mendiola, Esteban. " MATEMÁTICAS 4to. Año." . Editorial
      Biosfera
      S.R.L. Página 287. Capítulo VII
    • Guía de Números complejos para Cálculo
      10. Universidad
      de los Andes.
    • Baldor, A. "ÁLGEBRA
      ".Distribuidora Cultural Venezolana S.A. Página.
      435.
    • "MATEMÁTICAS 1er. AÑO". Editorial
      Natura, S.R.L. Sociedad De
      Ciencias
      Naturales, La Salle. Página 180. Capítulo
      IV.
    • Jiménez, Jofre y Salazar, Jorge. "
      MATEMÁTICAS PRIMER AÑO, CICLO DIVERSIFICADO.".
      Ediciones CO-BO . Caracas.
    • Jiménez Romero, J. " MATEMÁTICA 1er. AÑO. CICLO
      DIVERSIFICADO.". Ediciones ENEVA. Caracas. Página
      261.

     

     

     

     

     

     

    Autor:

    carlos veliz

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