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GEOMETRÍA




Enviado por zfrankalejandro



     

    Indice
    1.
    Poliedro

    2. Prisma
    3. Poliedros
    Regulares

    4. Buckminsterfullereno o Fullereno
    C60

    5. Pirámide
    6. Triángulo
    7. Teorema De Euler
    8. Teorema de
    Pitágoras

    9. Formula De
    Herón

    1.
    Poliedro

    Porción de espacio limitada por polígonos
    planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas
    y los vértices:
    Las caras son los polígonos que la limitan.
    Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras
    contiguas.
    Los vértices son los de las caras. En cada vértice
    de un poliedro concurren tres o más caras.
    Un poliedro se llama convexo si todo él está en el
    mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.
    Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano
    atraviesa a la figura.
    Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen.
    En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler

    2. Prisma

    Poliedro limitado por dos polígonos iguales,
    llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios
    paralelogramos, llamados caras laterales.

    Se llama altura del prisma a la distancia entre los
    planos en que se sitúan sus bases.
    Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal…
    según que sus bases sean triángulos,
    cuadriláteros, pentágonos…
    Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales
    perpendiculares a las bases:

    En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas
    rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares,
    el prisma se llama regular.
    Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas
    a los planos de las bases.
    Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman
    paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis
    caras son paralelogramos.

    Se llama área lateral de un prisma al área
    de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma
    recto es:
    Alat = perímetro de la base · altura
    El área total es la suma del área lateral con las
    áreas de las bases:
    Atot = área lateral + 2 · área de la
    base
    El volumen de un
    prisma cualquiera es igual al área de la base por la
    altura:
    V = área de la base · altura
    Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al
    partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas
    laterales se llama tronco de prisma.

    3. Poliedros
    Regulares

    Un poliedro regular es aquel cuyas caras son
    polígonos regulares iguales y en cada uno de sus
    vértices concurren el mismo número de caras.
    Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
    Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en
    cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
    Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada
    vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
    Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada
    vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
    Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres
    en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30
    aristas.
    Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada
    vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
    Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos
    se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos
    medios de cada
    dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de
    sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el
    cubo lo es del octaedro:

    Tetraedro
    Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser
    triángulos. Es, por tanto, una pirámide
    triangular:

    Si las cuatro caras de un tetraedro son
    triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro
    regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente,
    al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro
    regular.
    El área de un tetraedro regular en función de
    su arista es:
    A= a2 Ö 3
    Su volumen es:
    V = a3  /12

    Cubo
    Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

    El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares)
    con todas las aristas iguales.
    El área total de un cubo de arista a es
    A = 6a2
    Su volumen es
    V = a3
    La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
    El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente,
    hexaedro.

    Octaedro
    Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente
    así al octaedro regular, poliedro formado por ocho
    triángulos equiláteros idénticos:

    El área de las caras de un octaedro en
    función de su arista, a, es:
    A= 2a2 Ö 3
    Su volumen es:
    V = a3/3

    Dodecaedro
    Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:

    El área de un dodecaedro de arista a
    es:

    Su volumen es:
    V = a3(15 + 7)/4

    Icosaedro
    Poliedro regular formado por veinte caras
    triangulares:

    El área de un icosaedro es:

    Su volumen es:
    V = 5a3(3 + )/12

    4. Buckminsterfullereno o
    Fullereno C60

    Una forma natural o alotrópica del carbono.
    Durante muchos años se pensó que el elemento
    carbono existía en dos formas alotrópicas (o
    distribuciones distintas de los átomos), el diamante y el
    grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de
    carbono se une a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el
    cristal dando lugar a un sólido rígido y duro. En
    el grafito, los átomos de carbono se unen formando anillos
    hexagonales en láminas planas superpuestas, y el resultado
    es un sólido escurridizo. El carbono es uno de los
    elementos más investigados, por lo que fue una gran
    sorpresa el descubrimiento en 1985 de una familia entera de
    formas alotrópicas distintas, los fullereros. Este
    descubrimiento fue el resultado de las investigaciones
    sobre la formación de compuestos de carbono en el interior
    de las estrellas realizadas por el británico Harold W.
    Kroto, en colaboración con los estadounidenses Robert F.
    Curl y Richard E. Smalley; por ello, los tres científicos
    recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.
    El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más
    conocida del grupo de los
    fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para
    formar una molécula C60 de hexágonos y
    pentágonos dispuestos en forma casi esférica, como
    la envoltura de una pelota de fútbol. La molécula
    recibe ese nombre porque su estructura se
    parece a las elaboradas estructuras
    geométricas inventadas por el arquitecto estadounidense
    Richard Buckminster Fuller. Existen otros fullerenos que poseen
    más átomos de carbono y sus formas son versiones
    alargadas del buckminsterfullereno inicial (en forma de pelota).
    Con el aumento en la producción de buckminsterfullereno, se
    llegó a obtener una forma sólida, la fullerita. En
    este sólido amarillo transparente, las moléculas
    forman una especie de conjunto de balas de cañón en
    una distribución compacta. Ahora existen también
    versiones tubulares de fullerenos en forma sólida.
    Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz
    molecular y sólo podían conseguirse pequeñas
    cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían
    obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco
    eléctrico entre dos electrodos de carbono en atmósfera de helio.
    Actualmente se sabe que es probable que el buckminsterfullereno
    se forme en llamas tiznadas, y existe incluso la posibilidad de
    que abunde en el Universo,
    particularmente cerca de las estrellas rojas gigantes.
    Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los
    químicos comenzaron a investigar sus propiedades. Se
    piensa que los fullerenos podrían dar origen a un nuevo
    campo de la química, del mismo modo que la química
    orgánica aromática surgió a raíz del
    descubrimiento del benceno 150 años atrás. Una de
    las propiedades más sorprendentes de los fullerenos es que
    se pueden introducir átomos de elementos en el hueco
    existente en la 'jaula' de átomos de carbono; así
    se puede obtener una versión de 'envoltura
    contraída' de cada elemento del sistema periódico.
    Cuando se introducen átomos de metal en los tubos tipo
    fullereno mencionados anteriormente, el material resultante es
    como un alambre aislado unidimensional. Otra propiedad
    importante es que ciertos compuestos de buckminsterfullereno (en
    especial el K3C60) son superconductores a bajas temperaturas. Se
    ha averiguado que los derivados del buckminsterfullereno son
    biológicamente activos y se
    están utilizando para atacar el cáncer:
    se cree que las moléculas en forma de pelota de
    fútbol pueden introducirse en los emplazamientos activos
    de las enzimas y
    bloquear su acción.

    5.
    Pirámide

    Poliedro limitado por una base, que es un
    polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son
    triángulos con un vértice común llamado
    vértice de la pirámide.

    La altura de la pirámide es la distancia del
    vértice a la base. Una pirámide se llama
    triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su
    base sea un triángulo, un cuadrilátero, un
    pentágono…
    Una pirámide es regular si su base es un polígono
    regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente)
    sobre el centro de la base. En una pirámide regular las
    caras laterales son triángulos isósceles cuyas
    alturas se llaman apotemas de la pirámide.

    El área lateral de una pirámide regular
    (suma de las áreas de las caras laterales) es:

    y el área total:
    Atot = Alat + Abase
    El volumen de una pirámide es la tercera parte del
    producto del
    área de la base por la altura:

    Tronco De Pirámide
    Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la
    base de la pirámide y un plano que corta a todas las
    aristas laterales.

    Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que
    el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es
    la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una
    pirámide regular está formado por dos bases,
    polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales
    que son trapecios isósceles. Las alturas de estos
    trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

    El área lateral de un tronco de pirámide
    de bases paralelas es:
    Alat = semisuma de los perímetros de las bases ·
    apotema
    El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son
    paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h,
    se obtiene mediante la fórmula siguiente:

    6.
    Triángulo

    Polígono de tres lados. Según la longitud
    de sus lados, los triángulos se clasifican en
    equiláteros, si sus tres lados son iguales,
    isósceles, si tienen dos lados iguales, y
    escálenos, si los tres lados son distintos.

    La suma de los tres ángulos de un
    triángulo es 180º. Dos de los ángulos son,
    necesariamente, agudos. El tercero puede ser también
    agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son
    agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene
    una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo
    si el mayor de sus ángulos es obtuso.

    Triángulos Rectángulos  
    Los triángulos rectángulos cumplen una serie de
    relaciones métricas importantes entre sus lados.
    Los lados de un triángulo rectángulo que forman el
    ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado,
    a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema
    de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en
    un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
    hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
    catetos:
    a2 = b2 + c2
    Otra relación importante que se cumple en un
    triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el
    cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por
    su proyección sobre ella, es decir,
    c2 = a · m, b2 = a · n

    Alturas De Un Triángulo  
    Se llama
    base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El
    segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta
    o a su prolongación se llama altura. Un triángulo
    tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas
    correspondientes, ha, hb y hc.
    En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura
    sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en
    que la divide:
    h2 = m · n
    Esta relación se conoce como teorema de la altura.
    Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se
    cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es
    acutángulo, el ortocentro es interior al
    triángulo.

    En un triángulo rectángulo, cada cateto
    puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es,
    por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el
    triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene,
    prolongando las alturas, fuera del triángulo.

    Medianas De Un Triángulo  
    Se
    llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres
    segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado
    opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
    punto que se llama baricentro.

    El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno
    de ellos la mitad del otro:

    Circunferencia Inscrita  
    Las bisectrices
    de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un
    punto que se llama incentro porque es el centro de la
    circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del
    triángulo. Ésta es la mayor circunferencia
    contenida en el triángulo.

     

    Circunferencias Exinscritas
    La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos
    bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un
    punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia
    (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los
    otros dos.
    Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias
    exinscritas.

    Circunferencia Circunscrita
    Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en
    un punto llamado circuncentro porque es centro de la
    circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices
    del triángulo. Esta es la menor circunferencia que
    contiene al triángulo.

    Área De Un Triángulo  
    El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas
    correspondientes ha, hb y hc es:
    A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c ·
    hc
    Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el
    área se puede calcular mediante la siguiente
    fórmula, llamada fórmula de
    Herón:

    en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro
    del triángulo.

    7. Teorema De
    Euler

    Teorema que relaciona el número de caras,
    vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios)
    cualquiera.
    Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número
    de caras, C, más el número de vértices, V,
    es igual al número de aristas, A, más dos. Es
    decir:
    C + V = A + 2

    8. Teorema de
    Pitágoras

    Teorema que relaciona los tres lados de un
    triángulo rectángulo, y que establece que el
    cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los
    cuadrados de los otros dos lados (catetos).
    El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados
    de un triángulo rectángulo si se conocen los otros
    dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los
    dos catetos:

    o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el
    otro cateto:

    9. Formula De
    Herón

    Fórmula que sirve para calcular el área,
    A, de un triángulo en función de sus lados, a, b,
    c:

    siendo p el semiperímetro: p = (a + b +
    c)/2.
    Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden
    a = 7 cm, b = 11 cm,
    c = 8 cm, entonces el semiperímetro es
    p = (7 + 11 + 8)/2 = 13 cm y su área
    es:

     

     

     

     

    Autor:

    Frank Alejandro Zapata Mesa

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