Algunas aplicaciones de los números complejos en la
geometría plana – Monografias.com
Algunas aplicaciones de los
números complejos en la geometría
plana
Puesto que
La distancia de de los puntos A y B se calcula por la
fórmula:
Introduciendo las notaciones
, de donde resulta que la tercera propiedad de las
distancias se puede escribir también en la forma
siguiente:
Entonces, según la geometría
analítica,
Así,
En efecto,
Utilizando el lema 1, resulta que:
Teorema 1:
Teorema 2:
Teorema 3 (de Pitágoras):
De los cálculos anteriores resultan todas las
afirmaciones del teorema.
Teorema 4:
Por permutación circular se obtienen las otras
dos igualdades de las fórmulas (19).
Teorema 5 (del coseno):
Las otras igualdades de (20) se obtienen por
permutación circular.
Observación 1:
Teorema 6:
Teorema 7:
Teorema 8:
Observación 2:
Teorema 9:
Observación 3: Las rotaciones conservan
las distancias. En efecto, si
Teorema 10:
Observación 4:
Teorema 11:
Así, según el teorema 3,
De las relaciones (31) se deduce que:
Para demostrar la equivalencia (28), hay que observar
que la fracción siguiente:
La demostración de la relación (29) es
análoga: El cociente
Observación 5:
Observación 6:
Observación 7:
Teorema 12:
Sean
Así, según el teorema 9,
De las relaciones (41) se deduce que:
Finalmente, de las relaciones (42) resulta
que:
La demostración de (38) y (39) es idéntica
con la demostración de (28) y (29).
Observación 8:
Teorema 12 (de Napoleón):
Luego, teniendo en cuenta las relaciones (48), resulta
que
Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal
que
Observación 9: Sumando las igualdades (46)
resulta que
Teorema 13 (de Napoleón): Los centros de
gravedad de los triángulos equiláteros construidos
sobre los lados de un triangulo cualquiera ABC (hacía el
interior) forman un triángulo
equilátero.
Así, según la relación
(24),
Luego, teniendo en cuenta las relaciones (34), resulta
que
Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal
que
A continuación se va a exponer una
demostración del teorema de Napoleón basada en el
teorema del coseno y del seno:
Si R es el radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo ABC, según el teorema del seno y coseno,
respectivamente,
, y el teorema de Napoleón queda
demostrado.
Teorema 14:
Entonces,
Si el sistema de referencia orto-normal se elige tal
que
Luego
Puesto que las translaciones conservan los
ángulos, según la fórmula (63) resulta
que
Las afirmaciones (66) y (67) son equivalentes puesto que
el cociente de dos números complejos de argumentos iguales
tiene el argumento cero, y así es un número real
positivo.
En el segundo caso,
Luego, teniendo en cuenta que si dos números
complejos tienen el mismo módulo y el mismo argumento
entonces son iguales, resulta que (70) y (71) son equivalentes a
las igualdades siguientes:
Observación 10: Los triángulos
directamente semejantes son también semejantes, pero al
revés no.
Ejemplo 1:
, implica solo la semejanza de los triángulos y
son directamente semejantes si y solamente si tienen la misma
orientación.
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Cualquier triángulo ABC es directamente
semejante con sigo mismo, puesto que un determinante con dos
filas iguales es nulo.
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
Observación 11: Si la
transformación t es una composición de traslaciones
rotaciones y homotecias La imagen de un triángulo por t es
directamente semejante con el triángulo
inicial.
Observación12:
, donde x, y, z son números reales o
complejos.
Observación 13: Si
De manera análoga se puede ver que si el segundo
factor es nulo, entonces el primer factor es no nulo.
Teorema 15: Un triángulo ABC es
directamente semejante con el triángulo BCA si, y
solamente si,
, y la propiedad queda demostrada.
Observación 14: En particular, un
triángulo equilátero es siempre directamente
semejante con sí mismo y con aquellos triángulos
que se deducen de el por permutación circular de los
vértices (que conserva la orientación). Por tanto,
si ABC es un triángulo equilátero,
ABC es directamente semejante con cualquiera de los
triángulos ABC , BCA, y CAB, y puesto
que la segunda igualdad de (77) se deduce de la primera por
permutaciones circulares de los vértices, se cumple
siempre la igualdad:
Teorema 16:
Teorema 17:
Tenemos:
Dado que
Observación 15:
Teorema 18 (de Euler):
Teorema 19 (teorema de Napoleón
ampliado):
Sumando las igualdades (90) resulta que
Luego, combinando (94) con (95) se obtiene
que:
Teorema 20: Si ABCD es un
cuadrilátero, entonces los segmentos que unen los puntos
medios de loa lados opuestos y el segmento que une los puntos
medios de las diagonales (cuyo soporte es la recta de
Gauss) son concurrentes en el centro de gravedad del
cuadrilátero. Luego
En efecto,
Por otra parte,
Finalmente,
Utilizando las relaciones anteriores y las igualdades
(101) y (102), y calculando las expresiones
Teorema 21:
Así, teniendo en cuenta las relaciones (105) y
(106), resulta que
Teniendo en cuenta las relaciones (107), (108) y (109),
de (111) resulta (104).
Lema de Ptolomeo:
Teorema 22 (de Ptolomeo)
Si el cuadrilátero convexo ABCD es
cíclico entonces el producto de las diagonales es igual a
la suma de los productos de los lados opuestos:
Así de (110) y (112) resulta que
Observación 17:
Teorema 23 (de Ptolomeo): Si el
cuadrilátero convexo ABCD es cíclico,
entonces
En efecto, conservando el sistema de referencia y las
notaciones del teorema 19, se considera la identidad
siguiente:
Observación 18:
Si el cuadrilátero cíclico es cruzado (ver
figura 13), aplicando el segundo teorema de Ptolomeo en el
cuadrilátero cíclico convexo CADE se
obtiene que
Si se conocen los lados del cuadrilátero
cíclico cruzado y tiene sentido la fórmula (124),
las fórmulas (114) y (124) permiten calcular los
diagonales externos.
Teorema 24:
Según lo visto en los teoremas 17 y 18, los
afijos de los centros de estas cuatro circunferencias de Euler
son
Teorema 25: Si ABCD es un
cuadrilátero cíclico entonces las rectas que pasan
por el punto medio de un lado y son perpendiculares sobre el lado
opuesto, son concurrentes en un punto E. Las
perpendiculares sobre una diagonal que pasan por el punto medio
de otro, también pasan por el mismo punto E.
De la misma manera, las rectas que pasan por los puntos
medios de los lados BC, CD, y DA y son ortogonales sobre
los lados opuestos, tienen las ecuaciones:
En el aparatado (86) ya se ha visto que la
ecuación de una circunferencia. Las ecuaciones de las
rectas y todos los problemas afines, también se pueden
transcribir utilizando los números complejos. En la
geometría analítica se establece que la
ecuación general de la recta es:
, y así, la ecuación de la recta se puede
escribir de la manera siguiente:
Dos rectas, de ecuaciones
En efecto, si las dos rectas de las ecuaciones (132)
corresponden a las ecuaciones cartesianas siguientes:
La condición del paralelismo de las rectas (132)
queda demostrada.
Las rectas (132) son perpendiculares si
, la condición (133) queda demostrada.
Por consiguiente la ecuación (137) se transforma
en:
Teorema 26 (de Simpson):
Las proyecciones ortogonales de un punto M de la
circunferencia circunscrita al triángulo ABC
sobre los lados, están alineados (Ver [1]).
La justificación se dará solo en el caso
de la recta (AB).
Por otra parte la ecuación de la recta que pasa
por los puntos X e Y se puede escribir de las dos
siguientes maneras equivalentes:
Por tanto, la ecuación de la recta de Simpson se
puede escribir de la manera siguiente:
Así la ecuación (151) se transforma
en:
Observación 19:
Observación 20:
Teorema 27 de [3]:
Por permutación circular se obtienen las otras
tres rectas de Simpson:
Por definición,
Por tanto,
Cuando el punto U es interior a la
circunferencia (figura 15)
Teorema 28:
Así los puntos que tienen la misma potencia
respecto a las circunferencias mencionadas es la recta
Según la relación (135), las rectas (162)
y (164) son ortogonales, puesto que:
Si las dos circunferencias son tangentes (externas o
internas) el punto de tangencia y los centros de las
circunferencias están alineados (en cada circunferencia
los radios que unen el centro con el punto de tangencia son
perpendiculares al tangente común y hay una sola recta
perpendicular a la tangente en el punto de tangencia). La
tangente común es el eje radical puesto que contiene un
punto del eje radical (el punto de tangencia, que tiene potencia
nula respecto a las dos circunferencias) y es ortogonal a la
recta determinada por los centros.
Para hallar el afijo de la intersección entre el
eje radical y la recta determinada de los centros hay que
resolver el sistema formado por las ecuaciones (162) y
(164):
Restando de la primera ecuación la segunda,
resulta que:
Luego,
Observación 21:
Si las ecuaciones de dos circunferencias son
Observación 22:
Teorema 29:
Por tanto,
Así, restando de (170) a (171) resulta
que:
Teorema 30 (de Newton):
De manera análoga resulta que:
Luego,
Teorema 31:
Los afijos de los puntos medios de las diagonales del
cuadrilátero ABCD, siendo:
Teorema 32 (de Newton):
Puesto que,
, y teniendo en cuenta las factorizaciones
, se obtiene que:
De manera análoga,
, y teniendo en cuenta las factorizaciones
Teorema 33:
Primero se escriben las ecuaciones de los lados (ver
fórmulas (142)- (144))
Las ecuaciones de las tangentes en los vértices
del cuadrilátero son:
Luego,
Para averiguar si F , H, G están
alineados, los cálculos son las siguientes:
Bibliografía
[1] N. Mihaileanu: Utilizarea numerelor complexe
in geometrie, Editura Technica, Bucure?ti, 1968
[2] Betuker János ?i Veres Zoltán,
Gaz. Mat. Fiz.B, 14, 1963, p.1
[3] I. Iaglom Números Complejos, Moscova,
1963
[4] D. Pompeiu, Revista Matematica, Timisoara,22,
1942, pagina 67
[5] N.N. Mihailenu, Complemente de geometrie sintetica,
Editura Didactica si Pedagogica, 1965
Autor:
Aladar Peter Santha