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Algunas aplicaciones de los números complejos en la geometría plana




Enviado por Aladar Peter Santha




    Algunas aplicaciones de los números complejos en la
    geometría plana – Monografias.com

    Algunas aplicaciones de los
    números complejos en la geometría
    plana

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    Puesto que

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    La distancia de de los puntos A y B se calcula por la
    fórmula:

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    Introduciendo las notaciones

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    , de donde resulta que la tercera propiedad de las
    distancias se puede escribir también en la forma
    siguiente:

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    Entonces, según la geometría
    analítica,

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    Así,

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    En efecto,

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    Utilizando el lema 1, resulta que:

    Teorema 1:

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    Teorema 2:

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    Teorema 3 (de Pitágoras):

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    De los cálculos anteriores resultan todas las
    afirmaciones del teorema.

    Teorema 4:

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    Por permutación circular se obtienen las otras
    dos igualdades de las fórmulas (19).

    Teorema 5 (del coseno):

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    Las otras igualdades de (20) se obtienen por
    permutación circular.

    Observación 1:

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    Teorema 6:

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    Teorema 7:

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    Teorema 8:

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    Observación 2:

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    Teorema 9:

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    Observación 3: Las rotaciones conservan
    las distancias. En efecto, si

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    Teorema 10:

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    Observación 4:

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    Teorema 11:

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    Así, según el teorema 3,

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    De las relaciones (31) se deduce que:

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    Para demostrar la equivalencia (28), hay que observar
    que la fracción siguiente:

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    La demostración de la relación (29) es
    análoga: El cociente

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    Observación 5:

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    Observación 6:

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    Observación 7:

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    Teorema 12:

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    Sean

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    Así, según el teorema 9,

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    De las relaciones (41) se deduce que:

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    Finalmente, de las relaciones (42) resulta
    que:

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    La demostración de (38) y (39) es idéntica
    con la demostración de (28) y (29).

    Observación 8:

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    Teorema 12 (de Napoleón):

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    Luego, teniendo en cuenta las relaciones (48), resulta
    que

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    Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal
    que

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    Observación 9: Sumando las igualdades (46)
    resulta que

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    Teorema 13 (de Napoleón): Los centros de
    gravedad de los triángulos equiláteros construidos
    sobre los lados de un triangulo cualquiera ABC (hacía el
    interior) forman un triángulo
    equilátero.

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    Así, según la relación
    (24),

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    Luego, teniendo en cuenta las relaciones (34), resulta
    que

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    Eligiendo el sistema de referencia en el plano tal
    que

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    A continuación se va a exponer una
    demostración del teorema de Napoleón basada en el
    teorema del coseno y del seno:

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    Si R es el radio de la circunferencia circunscrita al
    triángulo ABC, según el teorema del seno y coseno,
    respectivamente,

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    , y el teorema de Napoleón queda
    demostrado.

    Teorema 14:

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    Entonces,

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    Si el sistema de referencia orto-normal se elige tal
    que

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    Luego

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    Puesto que las translaciones conservan los
    ángulos, según la fórmula (63) resulta
    que

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    Las afirmaciones (66) y (67) son equivalentes puesto que
    el cociente de dos números complejos de argumentos iguales
    tiene el argumento cero, y así es un número real
    positivo.

    En el segundo caso,

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    Luego, teniendo en cuenta que si dos números
    complejos tienen el mismo módulo y el mismo argumento
    entonces son iguales, resulta que (70) y (71) son equivalentes a
    las igualdades siguientes:

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    Observación 10: Los triángulos
    directamente semejantes son también semejantes, pero al
    revés no.

    Ejemplo 1:

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    , implica solo la semejanza de los triángulos y
    son directamente semejantes si y solamente si tienen la misma
    orientación.

    Ejemplo 2:

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    Ejemplo 3:

    Cualquier triángulo ABC es directamente
    semejante con sigo mismo, puesto que un determinante con dos
    filas iguales es nulo.

    Ejemplo 4:

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    Ejemplo 5:

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    Ejemplo 6:

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    Observación 11: Si la
    transformación t es una composición de traslaciones
    rotaciones y homotecias La imagen de un triángulo por t es
    directamente semejante con el triángulo
    inicial.

    Observación12:

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    , donde x, y, z son números reales o
    complejos.

    Observación 13: Si

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    De manera análoga se puede ver que si el segundo
    factor es nulo, entonces el primer factor es no nulo.

    Teorema 15: Un triángulo ABC es
    directamente semejante con el triángulo BCA si, y
    solamente si,

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    , y la propiedad queda demostrada.

    Observación 14: En particular, un
    triángulo equilátero es siempre directamente
    semejante con sí mismo y con aquellos triángulos
    que se deducen de el por permutación circular de los
    vértices (que conserva la orientación). Por tanto,
    si ABC es un triángulo equilátero,
    ABC es directamente semejante con cualquiera de los
    triángulos ABC , BCA, y CAB, y puesto
    que la segunda igualdad de (77) se deduce de la primera por
    permutaciones circulares de los vértices, se cumple
    siempre la igualdad:

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    Teorema 16:

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    Teorema 17:

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    Tenemos:

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    Dado que

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    Observación 15:

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    Teorema 18 (de Euler):

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    Teorema 19 (teorema de Napoleón
    ampliado):

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    Sumando las igualdades (90) resulta que

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    Luego, combinando (94) con (95) se obtiene
    que:

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    Teorema 20: Si ABCD es un
    cuadrilátero, entonces los segmentos que unen los puntos
    medios de loa lados opuestos y el segmento que une los puntos
    medios de las diagonales (cuyo soporte es la recta de
    Gauss) son concurrentes en el centro de gravedad del
    cuadrilátero. Luego

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    En efecto,

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    Por otra parte,

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    Finalmente,

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    Utilizando las relaciones anteriores y las igualdades
    (101) y (102), y calculando las expresiones

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    Teorema 21:

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    Así, teniendo en cuenta las relaciones (105) y
    (106), resulta que

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    Teniendo en cuenta las relaciones (107), (108) y (109),
    de (111) resulta (104).

    Lema de Ptolomeo:

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    Teorema 22 (de Ptolomeo)

    Si el cuadrilátero convexo ABCD es
    cíclico entonces el producto de las diagonales es igual a
    la suma de los productos de los lados opuestos:

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    Así de (110) y (112) resulta que

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    Observación 17:

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    Teorema 23 (de Ptolomeo): Si el
    cuadrilátero convexo ABCD es cíclico,
    entonces

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    En efecto, conservando el sistema de referencia y las
    notaciones del teorema 19, se considera la identidad
    siguiente:

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    Observación 18:

    Si el cuadrilátero cíclico es cruzado (ver
    figura 13), aplicando el segundo teorema de Ptolomeo en el
    cuadrilátero cíclico convexo CADE se
    obtiene que

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    Si se conocen los lados del cuadrilátero
    cíclico cruzado y tiene sentido la fórmula (124),
    las fórmulas (114) y (124) permiten calcular los
    diagonales externos.

    Teorema 24:

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    Según lo visto en los teoremas 17 y 18, los
    afijos de los centros de estas cuatro circunferencias de Euler
    son

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    Teorema 25: Si ABCD es un
    cuadrilátero cíclico entonces las rectas que pasan
    por el punto medio de un lado y son perpendiculares sobre el lado
    opuesto, son concurrentes en un punto E. Las
    perpendiculares sobre una diagonal que pasan por el punto medio
    de otro, también pasan por el mismo punto E.

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    De la misma manera, las rectas que pasan por los puntos
    medios de los lados BC, CD, y DA y son ortogonales sobre
    los lados opuestos, tienen las ecuaciones:

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    En el aparatado (86) ya se ha visto que la
    ecuación de una circunferencia. Las ecuaciones de las
    rectas y todos los problemas afines, también se pueden
    transcribir utilizando los números complejos. En la
    geometría analítica se establece que la
    ecuación general de la recta es:

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    , y así, la ecuación de la recta se puede
    escribir de la manera siguiente:

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    Dos rectas, de ecuaciones

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    En efecto, si las dos rectas de las ecuaciones (132)
    corresponden a las ecuaciones cartesianas siguientes:

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    La condición del paralelismo de las rectas (132)
    queda demostrada.

    Las rectas (132) son perpendiculares si

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    , la condición (133) queda demostrada.

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    Por consiguiente la ecuación (137) se transforma
    en:

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    Teorema 26 (de Simpson):

    Las proyecciones ortogonales de un punto M de la
    circunferencia circunscrita al triángulo ABC
    sobre los lados, están alineados (Ver [1]).

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    La justificación se dará solo en el caso
    de la recta (AB).

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    Por otra parte la ecuación de la recta que pasa
    por los puntos X e Y se puede escribir de las dos
    siguientes maneras equivalentes:

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    Por tanto, la ecuación de la recta de Simpson se
    puede escribir de la manera siguiente:

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    Así la ecuación (151) se transforma
    en:

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    Observación 19:

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    Observación 20:

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    Teorema 27 de [3]:

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    Por permutación circular se obtienen las otras
    tres rectas de Simpson:

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    Por definición,

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    Por tanto,

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    Cuando el punto U es interior a la
    circunferencia (figura 15)

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    Teorema 28:

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    Así los puntos que tienen la misma potencia
    respecto a las circunferencias mencionadas es la recta

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    Según la relación (135), las rectas (162)
    y (164) son ortogonales, puesto que:

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    Si las dos circunferencias son tangentes (externas o
    internas) el punto de tangencia y los centros de las
    circunferencias están alineados (en cada circunferencia
    los radios que unen el centro con el punto de tangencia son
    perpendiculares al tangente común y hay una sola recta
    perpendicular a la tangente en el punto de tangencia). La
    tangente común es el eje radical puesto que contiene un
    punto del eje radical (el punto de tangencia, que tiene potencia
    nula respecto a las dos circunferencias) y es ortogonal a la
    recta determinada por los centros.

    Para hallar el afijo de la intersección entre el
    eje radical y la recta determinada de los centros hay que
    resolver el sistema formado por las ecuaciones (162) y
    (164):

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    Restando de la primera ecuación la segunda,
    resulta que:

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    Luego,

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    Observación 21:

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    Si las ecuaciones de dos circunferencias son

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    Observación 22:

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    Teorema 29:

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    Por tanto,

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    Así, restando de (170) a (171) resulta
    que:

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    Teorema 30 (de Newton):

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    De manera análoga resulta que:

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    Luego,

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    Teorema 31:

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    Los afijos de los puntos medios de las diagonales del
    cuadrilátero ABCD, siendo:

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    Teorema 32 (de Newton):

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    Puesto que,

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    , y teniendo en cuenta las factorizaciones

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    , se obtiene que:

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    De manera análoga,

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    , y teniendo en cuenta las factorizaciones

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    Teorema 33:

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    Primero se escriben las ecuaciones de los lados (ver
    fórmulas (142)- (144))

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    Las ecuaciones de las tangentes en los vértices
    del cuadrilátero son:

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    Luego,

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    Para averiguar si F , H, G están
    alineados, los cálculos son las siguientes:

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    Bibliografía

    [1] N. Mihaileanu: Utilizarea numerelor complexe
    in geometrie, Editura Technica, Bucure?ti, 1968

    [2] Betuker János ?i Veres Zoltán,
    Gaz. Mat. Fiz.B, 14, 1963, p.1

    [3] I. Iaglom Números Complejos, Moscova,
    1963

    [4] D. Pompeiu, Revista Matematica, Timisoara,22,
    1942, pagina 67

    [5] N.N. Mihailenu, Complemente de geometrie sintetica,
    Editura Didactica si Pedagogica, 1965

     

     

    Autor:

    Aladar Peter Santha

     

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