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Álgebra lineal con Mathcad y hojas electronicas




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¤ IICES CIMES ¤ A. INTRODUCCION Este es un libro de nivelación matemática para los aspirantes a la Maestría Centroamericana en Matemática Aplicada a la Economía. Sin embargo puede ser utilizado en la asignatura de Algebra Lineal I para los estudiantes de ingeniería y ciencias económicas administrativas y contables. Las facilidades que proporciona la tecnología del nuevo milenio para la redacción de libros electrónicos son evidentes y este texto ha sido posible gracias a los software matemáticos Mathcad, Equation Grapher y se incluyen las hojas electrónicas Excell y Quatro Pro. La tecnología de las computadoras evoluciona más rápidamente que los diseños curriculares de las asignaturas de matemática. Pareciera que las reformas curriculares no son suficientes ante el desarrollo continuo de los diversos software aplicados. Es necesario actualizar el sistema educativo con las recientes innovaciones de software de matemática aplicada y de manera permanente. Este texto representa un curso básico de Algebra Lineal con aplicaciones de los software antes comentados. De la manera anterior, en la parte B presentamos el algebra de matrices (operaciones entre matrices) aplicando hojas electrónicas y el Mathcad que son programas de computación que facilitan el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática aplicada. Se presenta el algebra de matrices y se generalizan conceptos de los espacios vectoriales y otras estructuras que conforman los grupos y anillos. En las parte C presentamos diversos métodos para encontrar la inversa de una matriz, y sus propiedades aplicando hojas electrónicas y el software matcad. Se involucran la transpuesta de matrices, matriz de cofactores, matrices adjuntas mesclando con las operaciones descritas en la parte B. Una vez desarrolladas las propiedades y teoremas de las operaciones entre matrices y otros espacios vectoriales se desarrollan los diversos metodos para encontrar las matrices inversas ya sea mediante la adjunta y determinantes de matrices como los metodos de Gauss y Gauss Jordan. Seguidamente en la parte D se desarrollan los diversos metodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales en las reglas diversas ya sean por la regla de krammer, o aplicando los metodos de Gauss y Gauss Jordan. En las aplicaciones del algebra de matrices se realizan con el EXCELL y el MatCad con graficos en tre dimensiones. El Lector puede consultar los libros siguientes publicados en monografías.com entre ellos 18 libros mas el libro de precalculo que esta en tramites su aprobación al igual que este libro del algebra lineal, 1. Matemática del noveno grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-noveno-grado/matematica-del- noveno-grado.shtml

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2. 6. 8. ¤ IICES CIMES ¤ Matemática del octavo grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-octavo-grado/matematica-del- octavo-grado.shtml 3. Matemática del séptimo grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-septimo-grado/matematica-del- septimo-grado.shtml] 4. EL ESPACIO VECTORIAL Y ANLLO DE LOS PLINOMIOS http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios- elementos-geometria-analitica/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios-elementos- geometria-analitica.shtml 5. BACHILLERATO VIRTUAL EN ECONOMIA Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos95/bachillerato-virtual-economia-y- finanzas/bachillerato-virtual-economia-y-finanzas2.shtml MAESTRIA EN MODELOS EN DECISIONES GERENCIALES http://www.monografias.com/trabajos93/modelos-decisiones-gerenciales-grado- maestria/modelos-decisiones-gerenciales-grado-maestria.shtml 7. MAESTRIA EN DIRECCION ESTRATEGICA DE RECURSOS HUMANOS http://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-recursos- humanos/direccion-estrategica-recursos-humanos.shtml http://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-del-recurso-humano- grado-maestria/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado-maestria.shtml MAESTRIA EN ECONOMIAS Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-economia-y-finanzas-propuesta- educatica/maestria-economia-y-finanzas-propuesta-educatica.shtml 9. MAESTRIA EN ESTADISTICA EN INVESTIGACION SOCIOECONOMICA http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-estadistica-e-investigacion-economica- social/maestria-estadistica-e-investigacion-economica-social.shtml

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12. 13. 14. 17. ¤ IICES CIMES ¤ 10. ADMINISTRACION E INCUBACION DE EMPRESAS http://www.monografias.com/trabajos96/administracion-e-incubacion- empresas/administracion-e-incubacion-empresas.shtml 11. APERTURA COMERCIAL MODERNISMO Y DESARROLLO ECONOMICO http://www.monografias.com/trabajos95/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo- economico/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo-economico.shtml ESTRATEGIA DE REDUCCION DE LA POBREZA http://www.monografias.com/trabajos97/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas- del-tercer-milenio/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas-del-tercer-milenio.shtml Modelos de Econometría. Modelos para el teorema de Prebisch Uribe Llopis. Caso Honduras http://www.monografias.com/trabajos93/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe- llopis/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml Honduras: Restricción externa, mercados financieros y empleo. Una aplicación del Teorema de Prebisch Uribe http://www.monografias.com/trabajos93/honduras-restriccion-externa-y-empleo/honduras- restriccion-externa-y-empleo.shtml 15. Hacia la demostración del teorema de PREBISCH_URIBE_LLOPIS http://www.monografias.com/trabajos93/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe- llopis/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml 16. MODELOS DE ECONOMETRIA DE LA ALCALDIA DE SAN PEDRO SULA http://www.monografias.com/trabajos97/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro- sula/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro-sula.shtml EL FINANCIAMIENTO AL SECTOR AGROPECUARIO DE HONDURAS 1970 2006 PERSPECTIVAS

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¤ IICES CIMES ¤ http://www.monografias.com/trabajos93/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006- y-perspectivas/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006-y-perspectivas.shtml 18. MODELOS DE ECONOMETRIA APLICADA ALCAMARON Y TILAPIA http://www.monografias.com/trabajos96/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol- del-estado/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol-del-estado.shtml El programa Equation Grapher se utiliza para los graficos en dos dimensiones. Finalizamos el texto con las aplicaciones del LINDO para resolver problemas de la programación matematica en base a los puntos de silla y las soluciones del primal y dual en aplicaciones a la economia, finanzas y proyectos. En la bibliografía se presentan los fundamentos teoricos del algebra lineal superior, para el desarrollo de modelos lineales de toma de decisiones.

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B I ¤ IICES CIMES ¤ EL ALGEBRA DE MATRICES CONCEPTOS GENERALES Una matriz cuadrada A=[aij] de tamaño nxn con elementos en Rnxn es una "colección" de nxn números aij ? R, organizados en n filas y n columnas. Si el número de filas es mayor que el número de columnas diremos que la Matriz A no es cuadrada (el número columnas es mayor que el número de filas), y matriz cuadrada tiene la siguiente forma El elemento aij, que ocupa el lugar (i,j), recibe el nombre de elemento genérico de la matriz A. En la hoja electrónica Excell mostramos una matriz de cinco filas y cinco columnas y observe la diferencia entre ambas notaciones. Por ejemplo el elemento a35 (elemento de la tercer fila y quinta columna) representa a la celda a3e que se encuentra ubicada en la tercera fila y en la columna E. Si las matrices son cuadradas es decir tienen el mismo número de filas y columnas, podemos establecer una correspondencia entre matrices cuadradas con la notación tradicional y las matrices cuadradas que se generan en el excell.

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una ¤ IICES Podemos trasladar matrices en el excell CIMES ¤ pero se sigue encontrando correspondencia entre ambas notaciones. La matriz del cuadro anterior en elemento a11 de la matriz A representa el elemento a4d que se encuentra ubicada en el excell en la cuarta fila y columna D. La casilla a34 representa a la celda tercera fila y cuarta columna y en el excell se denota por a6g ubicada en la 6 fila del excell de la columna G. Cualquier desplazamiento que tenga esta matriz, se modificará su posición de celda en el Excel. Y seguirá siendo una matriz denotada por A5*5 ( 5*5 cinco filas y cinco columnas) y se dentará por A . Podemos generalizar a cualquier matriz cuadrada n*n (igual número de filas y columnas) se denota por An*n o Bn*n o Cn*n . Ejemplo: A5*5 representa la siguiente situación de una encuesta Si recolectamos la información obtenemos la siguiente matriz si obtenemos información de otras cinco aldeas formamos la matriz B

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¤ IICES CIMES ¤ tendría sentido plantearse el concepto de suma para preparar otros resultados. y podríamos encontrar la poblaciones que se encuentran en las aldeas de código 1. o las aldeas de código 2. Podíamos interesarnos en la tasa de mortalidad promedio de las aldeas de código 3 y las demás. Podríamos obtener un promedio de la esperanza de vidas por aldeas con la misma estructura 1 o de cualquier código. Observar que la suma se realiza con el elemento aij de la matriz con el elemento bij de la matriz B. La nueva matriz la denotaremos por C = A + B elemento aij + bij de la matriz A + B cuyo elemento cij de la matriz C representa el ( cij = aij + bij ) Cuando el número de filas de una matriz es mayor o menor que el número de columnas la matriz genera un rectángulo. Las matrices mx1 reciben el nombre de matrices columna por ejemplo y las matrices fila denotadas por Una matriz A se puede representar mediante particiones A las matrices particionadas ya sea por columnas o por filas. Los "elementos" de la matriz particionada A son matrices. Las matrices se llaman reales o complejas según sean sus elementos reales o complejos, respectivamente. Una matriz de tamaño mxn con todos sus elementos iguales a cero recibe el nombre de matriz nula y se denota por Omxn; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o no es necesario especificarlo. Los elementos aii, i=1,2,...,min{m,n} constituyen la diagonal principal de la matriz A=[aij] de tamaño mxn. Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero los elementos que no pertenecen a su diagonal principal, utilizándose en su caso la notación más compacta A = diag(a11,a22,...,ann).

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1. ¤ IICES CIMES ¤ Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es diagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará la notación In, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notación abreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo. Las columnas de la matriz identidad In juegan un papel especial y se denotan por e1,e2,...,en. Nótese que la columna ei está formada por ceros, excepto un uno en el lugar i- ésimo. En notación particionada por columnas In=[e1 e2 ... en] Se denotará con Eij una matriz general formada por ceros, excepto un uno en el lugar (i,j). El tamaño de Eij no se suele indicar, pues se sobreentiende en las expresiones donde se utiliza. Está claro que existen mxn matrices distintas Eij de tamaño mxn. LA SUMA DE MATRICES DE DOS FILAS Y DOS COLUMNAS R2x2, el conjunto de matrices de tamaño 2x2 con elementos aij en R, ?(i, j) i = 1, 2 j = 1, 2 y la operación multiplicación por escalar en la estructura de cuerpo en R.

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y ¤ IICES CIMES ¤ con a11, a12, a21, a22, b11, b12, b21, b22 número reales La suma de matrices en R2x2 se define de la manera siguiente. En este espacio la matriz O2x2 es el elemento nulo y la matriz -A es el elemento opuesto respecto a la suma. Si queremos compatibilizar con la notación del Excell tenemos lo siguiente: En donde las filas se representan por números con Letras. Por ejemplo las columnas se representan

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la ¤ IICES CIMES ¤ la celda a1 se encuentra en la primera fila (1) de la columna A La celda d5 se encuentra en la fila quinta (5) y la columna D La celda f3 se encuentra en la tercera fila (3) y columna F La celda b4 se encuentra en la cuarta fila (4) y en la columna B y así sucesivamente para todas las celdas se representa las filas por números y las columnas por letras de acuerdo al orden del Excell Esta matriz la denotaremos por Aa1f6 y nos dice que la matriz se inicia en la celda a1 y finaliza en la celda f6. La matriz Bb3e6 se inicia en la tercera fila y columna B y finaliza en la fila sexta fila y columna E. Bb3e6 se representa con el rectángulo que contiene 4 filas y 4 columna y se le llama martiz cuadrada de orden 4*4 esto es tiene 4 filas y 4 columnas este cuadrado se inicia en la fila 3 y comlumna B y finalize en la Sexta fila y columna E. Utlizando números Utlizando números Bb3e6 = se observaría matriz Bb3e6 se observaría de la manera siguiente. En el Excell podemos sumar matrices que tienen igual número de filas con igual número de columnas. Se les llama natrices compatibles con la suma. La matriz Nula de cuatro filas y cuatro columnas por ejemplo la denotaremos por 0h3k6

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¤ IICES CIMES ¤ Vamos a demostrar que se cumplen ocho propiedades en la estructura de matrices en el caso de matrices 2x2 Y formamos las matrices de dos por dos (dos filas y dos columnas) cada matriz la representamos con rectángulos a colores y formamos las matrices: Las matrices A y B son iguales y se denota por A = B si todas las casillas de la Matriz A corresponden valores iguales a las casillas de la matriz B. Esto es, A = B si a1=c1 y b1=d1 y a2 = c2 y b2 = d2 La suma de dos matrices cuadradas de dos por dos se define de la manera siguiente: La suma matricial es una operación binaria definida sobre el conjunto K2x2 de matrices de tamaño 2x2 con elementos en K mediante

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2. e1) 3. ¤ IICES CIMES ¤ LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE MATRICES DE 2*2 C = A + B si cij = aij + bij ?(i, j) (para toda fila i y columna j) Para sumar tres matrices aplicamos la ley asociativa, sumando primero los elementos del paréntesis y a este se le suma el siguiente, por ejemplo: Dados que los elementos de la nuevas matriz son números reales y se cumple la ley asociativa de los números reales, podemos por ejemplo que (a1+c1)+e1 = a1+(c1+ esta igualdad se verifica en las diversas casillas o celdas marcada y que definen cada matriz. Por lo que (A + B) + C = A + (B + C) se verifica la propiedad asociativa de la suma de matrices de orden dos por dos. Demostraremos Las ocho propiedades que se deben de cumplir para que el conjunto de todas las matrices cuadradas de 2 filas y 2 columnas se considere un espacio vectorial. La segunda propiedad es demostrar que cualquier matriz A sumada a la nula (matriz cuyas celdas están representadas por ceros, el resultado es la misma matriz A. EL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA A+ 0 = 0 + A PROPIEDAD DEL NEUTRO ADITIVO DE LA SUMA Dado que cada casilla de la matriz resultante son números reales, y el cero es el neutro de la suma, tenemos que todas las casillas sumadas a cero conservan el mismo valor. Toda Matiz sumada a la matriz nula resulta la misma matriz A + 0 = 0 + A = A Volveremos a la notación tradicional de matrices, recordando que tanto la notación en Excell y la notación tradicional son equivalentes o representan arreglos rectangulares de números. Ejemplo:

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4. = ¤ IICES CIMES ¤ EL ELEMENTO SIMETRICO RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES DE 2*2 La tercer propiedad es demostrar que A + ( - A ) = -A + A = 0 A + ( -A ) -A + A A + ( -A ) -A + A y cada una de las casillas de las matrices A y -A corresponden a números reales cuyo elemento neutro aditivo en la suma es el cero y el elemento simétrico de x es - x. Ejemplo:

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5. 1: 2: 3: II ¤ IICES CIMES ¤ LA PROPIEDAD COMUTATIVA DE LA SUMA DE MATRICES A+B=B+A Considerando que las operaciones con celdas son operaciones en con números reales R y la suma de números reales es conmutatitiva. Ejemplo En resumen la suma matricial es una operación binaria definida sobre el conjunto K 2x2 de matrices de tamaño 2x2 con elementos en R mediante C = A + B si cij = aij + bij ?(i, j) (para toda fila i y columna j), los cij, bij y cij son números reales. Nótese que sólo se pueden sumar matrices de igual tamaño y que el resultado mantiene el tamaño matricial. Para sumar matrices se suman los elementos que ocupan el mismo lugar. Propiedades de la suma matricial (A + B) + C = A + ( B + C ) A + O mx n = O mx n + A = A A + ( -A ) = -A + A = O mx n 4: A + B = B + A, siendo A, B y C matrices de K m* n cualesquiera, Omxn=[0] la matriz nula de tamaño mxn y -A = [-aij] la matriz opuesta de A. Obsérvese que el conjunto de todas las matrices Rmxn es un grupo abeliano respecto de la suma de matrices PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ El producto por escalares es una operación que permite multiplicar números en R por matrices que pertenecen a R2*2, sin alterar el tamaño matricial, obteniéndose como resultado una nueva matriz en R2*2. Esta operación se obtiene al multiplicar un número

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y 1 ¤ IICES CIMES ¤ por una matriz. Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar. Y el producto se define mediante: Ejemplo si B = c*A si y solo si bij = c*aij ?(i, j) (para toda fila i números reales. PROPIEDAD 1 columna j), los cij, bij y cij son a(bC)=(ab)C con , a, b, números reales y matriz C en R2*2 Ejemplo Ejemplo verifique que 4*5*A = 4*(5*A) = (4*5)*A (4*5)*A

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¤ IICES CIMES ¤ Debemos demostrar que a(bC)=(ab)C con , a, b, números reales y matriz C en R2*2 Los números ubicados en las celdas son reales y cumplen con la propiedad asociativa de la multiplicación de números reales. 2. PROPIEDAD 2 a(B+C)=aB+aC con a ? R y B? R2*2 C ? R2*2 primero sumamos las matrices B + C Seguidamente multiplicamos el escalar a por la suma de A mas B Una vez aplicada la propiedad distributiva de la suma respecto a la multiplicación en cada una de las celdas respectivas de la matriz, aplicamos la definición de suma de matrices y nos queda Por lo tanto se cumple a(B+C)=aB+aC con a ? R y B? R2*2 C ? R2*2

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y y 2*2 ¤ IICES CIMES ¤ 3. PROPIEDAD 3 (a+b)C=aC+bC a ? R b ?R C ? R2*2 Efectuando el cálculo de matrices Las celdas de las matrices corresponden a números reales y estos cumplen con la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. 4. PROPIEDAD 4 1A=A, 1 ? R A ? R2*2 Las celdas de la matriz A corresponden a números reales y 1 es el neutro de la multiplicación de los números reales. Por lo que finalmente 1A=A siendo A, B y C matrices de Km* n, y a, b escalares de K cualesquiera. Con las ocho propiedades 1-4 propiedades de la suma 1-4 propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz. resulta que R al verificarse las o propiedades posee estructura de espacio vectorial sobre R respecto de las operaciones suma matricial y producto por escalares. En esta perspectiva, los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores, una matriz es un vector en el

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R III ¤ IICES CIMES ¤ espacio vectorial R2*2 sobre LA SUMA DE MATRICES EN HOJAS ELECTRONICAS La matriz A en el rectángulo amarillo, La matriz B en el rectángulo verde y la matriz C en el rectángulo azul. Para la operación C = A + B el Excell requiere se marque el rango de la matriz A (a1 .. . b2) y el rango de la matriz B (d1 . . . e2) y se requiere marcar el rango de la matriz resultante C en donde se asignará la suma. (g1 . . . h2) Sumar las matrices A y B su respuesta es En el Excell puedes establecer la suma mediante una fórmula, la respuesta es:

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IV ¤ IICES CIMES ¤ DEFINICION DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES Se define el producto matricial de la matriz B, de tamaño 2*2, por la matriz A , de tamaño 2*2, como la matriz C, de tamaño 2*2, dada por Quedando la siguiente representación Es decir queda la siguiente situación Consideremos el siguiente ejemplo Observar que se multiplica las filas de A con las columnas de B de la manera siguiente.

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El ¤ IICES CIMES ¤ el segundo elemento de la fila (c12) se obtiene de multiplicar la primera fila de A (primeros componentes) con la segunda columna de B (segundos componentes. tercer elemento (c21) resulta de multiplicar la segunda fila de A (se multipliocan los primeros componentes) por la primer columna de B (se se suma el producto de los segundos componentes) etcétera. Los algoritmos de las hojas electrónicas requieren de la definición de ambas matrices, buscamos en herramientas y seleccionamos herramientas numéricas y de estoos escogemos multiplicar Una vez obtenido la operación multiplicar matrices escogemos el rango de la matriz A y seguidamente el rango de la matriz B y finalmente escogemos donde ubicamos el rango donde queremos se ubique la multiplicación de matrices A*B

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