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Álgebra y matemática discreta






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1 1.1 1.1 1.1 1.1 ÁLGEBRA Y MATEMÁTICA DISCRETA TEMA 1 LÓGICA PROPOSICIONAL DEFINICIONES BÁSICAS Término cada una de las partes que constituyen un enunciado o discurso Términos categoremáticos tienen significado propio e independiente Términos sincategoremáticos se utilizan para enlazar y modificar los términos categoremáticos DEFINICIONES BÁSICAS Proposición atómica no se puede descomponer en partes que sean a su vez proposiciones y está en afirmativo. Proposición molecular LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1. Definiciones básicas 1.2. Operaciones lógicas y tablas de verdad 1.3. Implicación y equivalencia lógicas 1.4. Métodos lógicos de demostración DEFINICIONES BÁSICAS Proposición lógica agrupación de términos de la que se puede afirmar si su contenido es cierto o falso. DEFINICIONES BÁSICAS Conectores proposicionales términos sincategoremáticos que se utilizan para modificar o enlazar proposiciones. formada por una o más proposiciones atómicas modificadas o enlazadas por términos sincategoremáticos. 1

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1.1 1.1 1.1 1.1 ? ? ? ? ? 1.1 1.2 DEFINICIONES BÁSICAS Conectores Proposicionales Monádicos se aplican a una sola proposición DEFINICIONES BÁSICAS Conectores Proposicionales Diádicos se aplican a dos proposiciones Negación (no...) Conjunción Disyunción no exclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional (...y...) (...o...) (o...o...) (si...entonces...) (...si y sólo si...) DEFINICIONES BÁSICAS Variable Proposicional símbolo que sustituye a una proposición atómica. DEFINICIONES BÁSICAS Signo conectivo o constante lógica símbolo que sustituye a un conector proposicional. negación conjunción disyunción no exclusiva disyunción exclusiva condicional o implicador bicondicional o coimplicador ¬ DEFINICIONES BÁSICAS OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD NEGACIÓN Fórmula lógica Expresión simbólica que sustituye a una proposición molecular p 0 1 ¬p 1 0 2

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1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.3 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD CONJUNCIÓN OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD DISYUNCIÓN NO EXCLUSIVA p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ? q 0 0 0 1 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ? q 0 1 1 1 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD DISYUNCIÓN EXCLUSIVA OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD CONDICIONAL p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ? q 0 1 1 0 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ? q 1 1 0 1 OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD BICONDICIONAL IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS p q p ? q TAUTOLOGÍAS 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 PROPOSICIONES CONTRADICCIONES PROPOSICIONES CONTINGENTES 3

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1.3 1.3 ? 1.3 1.3 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 1.3 1.4 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS EQUIVALENCIA LÓGICA A?B IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS SUFICIENCIA DE LA NEGACIÓN Y LA DISYUNCIÓN p?q ? ¬(¬p?¬q) A?B es tautología IMPLICACIÓN LÓGICA A?B A?B es tautología p?q p?q p?q ? ? ¬p?q ¬(¬p?q)?¬(p?¬q) ¬(¬(¬p?q)?¬(p?¬q)) IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS ¬p ¬q p?q ¬p?¬q 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ¬(¬p?¬q) 0 0 0 1 p?q?¬(¬p?¬q) 1 1 1 1 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN p q ¬p p?q ¬p?q p?q?¬p?q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 REGLAS BÁSICAS DE INFERENCIA 4

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1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CONJUNCIÓN MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN DISYUNCIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN A A ? B A ? B A B A ? B B A A ? B A B A ? B A ? B C B C C producto simplificación adición prueba por casos MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN NEGACIÓN MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CONDICIONAL INTRODUCCIÓN A B ? ¬B ¬ A absurdo ELIMINACIÓN ¬¬ A A doble negación INTRODUCCIÓN A B A ? B teorema de deducción ELIMINACIÓN A ? B A B modus ponens MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN BICONDICIONAL MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN A ? B A ? B A ? B REGLAS DE INFERENCIA DERIVADAS B ? A A ? B A ? B B ? A 5

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1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN SILOGISMO HIPOTÉTICO A ? B B ? C A ? C MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN IDENTIDAD A A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN MUTACIÓN DE PREMISAS A ? (B ?C) B ? (A ?C) MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CARGA DE PREMISAS A B? A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PROPIEDAD ASOCIATIVA PROPIEDAD CONMUTATIVA A ? B B ? A A ? B B ? A (A ? B) ? C A ? (B ? C) (A ? B) ? C A ? (B ? C) 6

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1.4 1.4 A A 1.4 1.4 1.4 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA (A ? B) ? C (A ? C) ? (B ? C) (A ? B) ? C (A ? C) ? (B ? C) A ? A A ? A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN LEY DE ABSORCIÓN MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN CONTRAPOSICIÓN A ? (A ? B) A A ? (A ? B) A A ? B ¬ B ?¬ A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN MODUS TOLLENS A ? B ¬ B ¬ A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN INTRODUCCIÓN DE LA DOBLE NEGACIÓN A ¬¬ A 7

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1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN EX CONTRADICTIONE QUODLIBET A ?¬ A B MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUSO A ?¬ A MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN SILOGISMO DISYUNTIVO MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN ¬ (A ? ¬ A) MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN EXPORTACIÓN-IMPORTACIÓN DE PREMISAS A ? (B ? C) (A ? B) ? C MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN DILEMAS Constructivos Destructivos A ? B ¬ A B A ? B ¬ B A simple A ? B A ? C B ? C C compuesto A ? B A ? C B ? D C ? D simple ¬ A ?¬ B C ? A C ? B ¬ C compuesto ¬ A ?¬ B C ? A D ? B ¬ C ?¬ D 8

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1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN LEYES DE DE MORGAN ¬ (A ? B) ¬ A ?¬ B ¬ (A ? B) ¬ A ?¬ B 9

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