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Calculo diferencial e integral con MathCad y Equation Grapher




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A 1 1. INTRODUCCION El presente libro es para ser utilizado en la Maestría en Matemática Aplicada1 a la Economía en lo concerniente a la nivelación matemática. Sin embargo puede ayudar a estudiantes de ingeniería y ciencias económicas a una mejor comprensión del calculo desde la perspectiva del nuevo milenio, en el sentido de las aplicaciones de software matemático como una herramienta de aprendizaje . La aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo. La Maestría en Matemática Aplicada a la Economía pertenece a los PIMACS (Postgrados en Investigación y Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales) iniciativa reconocida por la UNESCO IESALC (Instituto Internacional de Educación Superior de América Latina y del Caribe) vea el enlace Postgrados en Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales www.iesalc.unesco.org.ve/enlaces iniciativas@unesco.org.ve http://www.iesalc.unesco.org.ve/index.php?option=com_fabrik&c=form&view=details&Ite mid=499&fabrik=3&rowid=195&tableid=3&lang=es Consulte los diseños curriculares siguientes publicados en monografías.com MAESTRIA EN MODELOS EN DECISIONES GERENCIALES http://www.monografias.com/trabajos93/modelos-decisiones-gerenciales-grado- maestria/modelos-decisiones-gerenciales-grado-maestria.shtml 2. MAESTRIA EN DIRECCION ESTRATEGICA DE RECURSOS HUMANOS http://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado- maestria/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado-maestria.shtml 3. MAESTRIA EN ECONOMIAS Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-economia-y-finanzas-propuesta- educatica/maestria-economia-y-finanzas-propuesta-educatica.shtml 4. MAESTRIA EN ESTADISTICA EN INVESTIGACION SOCIOECONOMICA http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-estadistica-e-investigacion-economica- social/maestria-estadistica-e-investigacion-economica-social.shtml

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El ¤ IICES CIMES ¤ 1 Una parte interesante de escribir un libro de calculo, radica en la simbología. Mathcad facilita la escritura y edición de textos de matemática. “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” en una variable ha sido elaborado con el Mathcad en la solución cuantitativa de problemas relacionados a limites, derivadas e integrales en una variable. Presenta ademas matemática superior, y soluciones graficas de funciones en una y dos variables independientes, etc. Se utilizó el editor del Mathcad cuyos archivos fueron salvados en formato htlm para luego ser trasladado al Word para la redacción del texto. Otro programa que ha sido utilizado en la elaboración de este texto es el “Equation Grapher” que facilita gráficos en el plano cartesiano xy. .. En el sentido anterior, el libro “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” presenta la solución de problemas sobre limites, continuidad, derivadas de funciones polinomiales, algebraicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las funciones inversas trigonometricas. También se incluye el teorema fundamental del calculo y técnicas de integración por cambio de variable de las diversas funciones antes comentadas. Es un texto que no pierde el formalismo matemático a pesar de que

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Textos ¤ IICES CIMES ¤ 2 algunos teoremas no son demostrados, pero en las aplicaciones practicas de problemas resueltos mediante el análisis matemático ayuda a consolidar el aprendizaje teórico y practico del estudiante de calculo con el respaldo de importantes software de matemática. Las aplicaciones del mathcad y equation grapher exige un cambio de la enseñanza de la matemática aplicada de la educación media y superior de Centroamérica. En el sentido antes descritos el libro en la parte B se presenta la teoría de limites con ejercicios resueltos sobre las aplicaciones de los teoremas, se incluyen los fundamentos de las sucesiones y series. En la parte C estudiamos la continuidad cuyos teoremas se respaldan con ejercicios resueltos de análisis matemático. En la parte CH hacemos una introducción de las sucesiones y series con el objetivo de preparar al Lector hacia el concepto del calculo integral. D presentamos el concepto de derivada y sus teoremas respaldados con aplicaciones del Mathcad y el software equation grapher, presentamos la regla de la cadena y sus aplicaciones en el calculo diferencial. Seguidamente en la sección E cubrimos las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las inversas; se presentan ejercicios resueltos sobre diferenciabilidad, continuidad, el teorema del valor medio, el teorema Rolle, el teorema de Bolzano y el teorema de Lhospital. En la parte F analizamos la teoría de la optimización clásica en una variable con los conceptos de funciones crecientes o decrecientes, máximos o mínimos, concavidades y puntos de inflexión. En la parte G estudiamos algunas aplicaciones del calculo a la microeconomía en lo relacionado a la optimización económica. En la parte H presentamos el concepto de diferencial, y de antiderivadas con ejercicios resueltos, presentamos el operador sumatoria y la integral definida y sus propiedades y ejercicios resueltos. Seguidamente presentamos el teorema fundamental del calculo con ejercicios de análisis matemático resueltos. El concepto de integral indefinida la presentamos con ejercicios resueltos en integración que presentan funciones exponenciales, logarítmicas y la técnica de integración de cambio de variable; también desarrollamos una extensión hacia las ecuaciones diferenciales. En la parte I concluimos con una introducción de funciones de varias variables y el concepto de derivada parcial. En la parte J presentamos un anexo de formulas del calculo integral y finalmente presentamos la Bibliografía. Vale mencionar mi agradecimiento a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir a nivel de libros electrónicos los 35 libros que conforman la colección de libros de matemática, estadística, economía, econometría y finanzas aplicadas. disponibles en el CD del IICES e CIMES. 1. Matemática del noveno grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-noveno-grado/matematica-del- noveno-grado.shtml

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5. 6. 8. ¤ IICES CIMES ¤ 3 2. Matemática del octavo grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-octavo-grado/matematica-del- octavo-grado.shtml 3. Matemática del séptimo grado http://www.monografias.com/trabajos93/matematica-del-septimo-grado/matematica-del- septimo-grado.shtml] 4. EL ESPACIO VECTORIAL Y ANLLO DE LOS PLINOMIOS http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios- elementos-geometria-analitica/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios-elementos- geometria-analitica.shtml PRECALCULO YLINITES CON EL EQUATION GTAPHER. http://www.monografias.com/trabajos99/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation- grapher/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation-grapher.shtml ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES DEL NATHCAD Y HOJAS ELECTRONOCAS EN TRAMITE SUPUBLICACION EN MONOFGRAFIAS.COM 7. BACHILLERATO VIRTUAL EN ECONOMIA Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos95/bachillerato-virtual-economia-y- finanzas/bachillerato-virtual-economia-y-finanzas2.shtml MAESTRIA EN MODELOS EN DECISIONES GERENCIALES http://www.monografias.com/trabajos93/modelos-decisiones-gerenciales-grado- maestria/modelos-decisiones-gerenciales-grado-maestria.shtml 9. MAESTRIA EN DIRECCION ESTRATEGICA DE RECURSOS HUMANOS http://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-recursos- humanos/direccion-estrategica-recursos-humanos.shtml http://www.monografias.com/trabajos93/direccion-estrategica-del-recurso-humano- grado-maestria/direccion-estrategica-del-recurso-humano-grado-maestria.shtml

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10. 14. 15. 16. ¤ IICES CIMES ¤ 4 MAESTRIA EN ECONOMIAS Y FINANZAS http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-economia-y-finanzas-propuesta- educatica/maestria-economia-y-finanzas-propuesta-educatica.shtml 11. MAESTRIA EN ESTADISTICA EN INVESTIGACION SOCIOECONOMICA http://www.monografias.com/trabajos96/maestria-estadistica-e-investigacion-economica- social/maestria-estadistica-e-investigacion-economica-social.shtml 12. ADMINISTRACION E INCUBACION DE EMPRESAS http://www.monografias.com/trabajos96/administracion-e-incubacion- empresas/administracion-e-incubacion-empresas.shtml 13.APERTURA COMERCIAL MODERNISMO Y DESARROLLO ECONOMICO http://www.monografias.com/trabajos95/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo- economico/apertura-comercial-modernismo-y-desarrollo-economico.shtml ESTRATEGIA DE REDUCCION DE LA POBREZA http://www.monografias.com/trabajos97/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas- del-tercer-milenio/estrategia-reduccion-pobreza-erp-perspectivas-del-tercer-milenio.shtml Modelos de Econometría. Modelos para el teorema de Prebisch Uribe Llopis. Caso Honduras http://www.monografias.com/trabajos93/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe- llopis/econometria-modelos-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml Honduras: Restricción externa, mercados financieros y empleo. Una aplicación del Teorema de Prebisch Uribe http://www.monografias.com/trabajos93/honduras-restriccion-externa-y-empleo/honduras- restriccion-externa-y-empleo.shtml

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17. 19. ¤ IICES CIMES ¤ 5 Hacia la demostración del teorema de PREBISCH_URIBE_LLOPIS http://www.monografias.com/trabajos93/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe- llopis/demostracion-del-teorema-prebisch-uribe-llopis.shtml 18. MODELOS DE ECONOMETRIA DE LA ALCALDIA DE SAN PEDRO SULA http://www.monografias.com/trabajos97/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro- sula/modelos-econometria-alcaldia-san-pedro-sula.shtml EL FINANCIAMIENTO AL SECTOR AGROPECUARIO DE HONDURAS 1970 2006 PERSPECTIVAS http://www.monografias.com/trabajos93/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006- y-perspectivas/financiamiento-al-sector-agropecuario-1970-2006-y-perspectivas.shtml 20. MODELOS DE ECONOMETRIA APLICADA ALCAMARON Y TILAPIA http://www.monografias.com/trabajos96/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol- del-estado/modelos-econometria-aplicada-al-camaron-rol-del-estado.shtml

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B. I ¤ IICES CIMES ¤ 6 EL CALCULO DE LIMITES EL ORIGEN DEL CALCULO La matemática obtuvo su mayor aporte de la cultura Greco Romana. Fue en Grecia, donde se hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores de la época daban resolución a los problemas más populares de geometría, algebra y trigonometría. En el campo de la geometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, a demás que fue hallado el método para conseguir la serie indefinida de ternas de números pitagóricos. Importantes aportes se dieron en la resolución y demostración de distintos problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva. Esto conllevó a al avance en él calculo del número p y a la creación del método de exaución o método de agotamiento (predecesor del cálculo de limites), creado por Euxodo. El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y la geometría, los llevó a la constricción de una nueva rama de las matemáticas, llamada, álgebra geométrica. En Grecia, no se hicieron esperar los problemas que implicaban la construcción de limites, por lo que en su época, Demócrito y otros grandes pensadores intentan darles respuesta con la unificación de las matemáticas y la teoría filosófica atomicista, generando la primera concepción del método del límite. En el siglo XX los adelantos de sistemas numéricos compactos ha permitido consolidar los estudios y análisis del calculo. Volvemos al tercer milenio. Si Repasamos el precalculo diremos que una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real... La regla que asigna a todo número su cuadrado: Ejemplo 1. para todo x. Ejemplo 2. para todo y. Ejemplo 4. Ejemplo 5. Debe quedar claro que una función es una regla cualquiera que hace corresponder números de un conjunto a elementos de otro, es posible que la regla no presente aplicaciones practicas. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función. El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función.

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y . 2 ¤ IICES CIMES ¤ 7 La práctica corriente consiste en designar una función mediante una letra. Se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier símbolo razonable) sin excluir la variable x la variable y, si bien estas letras suelen reservarse para designar números. Si f es la función, entonces el número que f asocia con {el número} x se designa por f(x); este símbolo se lee ' f de x', se le da con frecuencia el nombre de valor de f en x. De manera formal una función es una colección de parejas ordenadas con la siguiente propiedad: Si las parejas ordenadas (a, b) y (a, c) pertenecen ambos a la colección, entonces b = c; en otras palabras, la colección generada por f es un conjunto de parejas ordenadas que no debe contener dos pares distintos con el mismo primer componente de la parejas ordenadas. La variable (dependiente) y, es función de la variable (independiente) x, denotamos esta relación por y = f (x) que significa que la variable y depende de la variable x o y es una funcion de x2. El conjunto de los valores x que aparece en esta definición se llama dominio de la función. Se dice que una variable y es función de otra x, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de x perteneciente a su campo de variación le corresponde un {uno sólo} valor de y. La variable y, cuyo valor depende del que tome x, recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x es una variable independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., una tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación. La gráfica de una función es una colección de pares de números, el trazado de una función se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo así obtenido recibe el nombre de gráfica de la función. En otros términos, la gráfica contiene todos los puntos correspondientes a pares (x, f (x)). Una de las ideas más fructíferas y brillantes de la segunda mitad del siglo XVII fue la de la conexión entre el concepto de función y la representación geométrica de una curva. Esta conexión puede realizarse, por ejemplo, por medio de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es el más importante, y quizás el más difícil. Vamos a definir la noción de función que tiende hacia un límite. Según Michael Spivak en su libro de calculo, la función f tiende hacia el límite l en a significa: para todo numero ? numero d todo x, si ? Consultar el libro de PRECALCULO elaborado y editado por el IICES. Textos de nivelación matemática para las carreras educativas de Educación Superior del IICES. El Autor del Libro de “PRECALCULO” es José Salomón Perdomo Mejia.

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1 3 ¤ IICES CIMES ¤ 8 En el libro “PRECALCULO Y LIMITES” anterior hemos desarrollado las definiciones de limites con ejercicios resueltos con el Equation Grapher y el MathCad3. Continuaremos con el concepto intuitivo de los límites como un repaso. REPASO DE LIMITES Límites de Funciones Lim f (x ) = L x c Vamos a interpretar la expresión anterior, donde f(x) es una función y “c” y “l” son números reales El punto “c” puede pertenecer al dominio de f(x) o no pertenecer, lo que interesa a que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c. Consulte PRECALCULO Y LIMITES CON EL EQUATION GTAPHER. http://www.monografias.com/trabajos99/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation- grapher/pre-calculo-y-limites-aplicaciones-del-equation-grapher.shtml Consulte: EL ESPACIO VECTORIAL Y ANLLO DE LOS PLINOMIOS http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios- elementos-geometria-analitica/espacio-vectorial-y-anillo-polinomios-elementos- geometria-analitica.shtml Consulte: ALGEBRA LINEAL CON EL MATHCAD Y HOJAS ELECTRONICAS por publicarse en monografias.com

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2. ¤ IICES CIMES ¤ 9 Si nos acercamos a c por la derecha, también las imágenes se acercan a L por arriba Si nos acercamos a c por la izquierda, también las imágenes se acercan a L por abajo. El limite también puede no existir como en el siguiente caso ver gráficos siguientes. Cuando x se aproxima a c por la izquierda ver la figura de arriba el valor de f(x) ) es constantemente -1, mientras que cuando x se aproxima a c por la derecha, el valor de f(x) es constantemente 1. No existe un número al que se aproxime f(x) cuando x se aproxima a c por ambos lados; es decir, lim f(x) no existe. X c DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Hemos tratado de explicar la idea de límite de una forma intuitiva. No obstante, nuestras presentaciones requieren de un poco de rigurosidad y en este sentido seremos un poco mas formales. Decir que lim f (x) = L x c es decir que la diferencia entre f(x) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña (menor que cualquier número positivo arbitrario) requiriendo simplemente que x sea suficientemente próximo a c.

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f ( x) l . l x c x c ¤ IICES CIMES ¤ 10 Pensemos en un número positivo y llamémosle s, (epsilon). Si es cierto que lim f(x) = L x c podemos estar seguros de que para todo x suficientemente próximo a c. es decir, podemos estar seguros de que existe un número positivo d (delta) tal que: si 0 x c entonces f ( x ) l Definición formal de limite. f (x) l f ( x) l por el teorema de valor absoluto esto significa f ( x) l (l ) f ( x) (l ) f ( x) l , l f ( x ) , l significa que f(x) esta en el intervalo abierto ] l-e , l+e [ Ahora afirmar que 0 lim f (x) = 1 si y solo si significa que x ] c-d , c + d [ por lo tanto para todo numero pequeño e>0 existe otro numero pequeño d> 0 tal que si x ]c-d, c+d [ entonces f(x) ]l-e, l+ e[ Ejemplo. Lim (3*x - 2) = 4 x 2 e > 0 >0 tal que si |x - 2| < |(3x-2) - 4|< Probar lo anterior

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= y e =1 ¤ IICES CIMES ¤ 11 Queremos que |( 3x - 2 ) - 4|< siempre que | x - 2 | < Sabemos que |(3 x - 2 ) - 4| = | 3x - 6| = 3 ( x -2) = 3| x- 2| 0 d(e) > 0 tal que, para todo x, 0< x-a < d entonces |f(x) - L| < d ? e >0 d(e) > 0 tal que ?x, 0< a - x < d ? |f(x) - L| < e (Observación: las barra de valor absoluto para (a - x) desaparecen porque x < a. Observación: se cumplen para los limites unilaterales los teoremas anteriores, la forma de evaluación es idéntica. Teorema 8 Dados los siguientes Límites por la izquierda y la derecha del número a Este se interpreta: f(x) se aproxima a un número N a Este se interpreta: f(x) se aproxima a un número M a

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V y ¤ IICES CIMES ¤ 20 medida que x se aproxima a un número por la derecha de a. medida que x se aproxima a un número por la izquierda de a. Si N = M diremos que el límite de f(x) cuando x se aproxima al número a, existe. Si ambos limites unilaterales son diferentes diremos que el limite no existe. PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES Observar en el grafico que cuando x se aproxima a cero sus limites unilaterales existen y son distintos, en tal caso diremos que el limite general no existe cuando x se aproxima a cero. Lim f(x) = -1 x?0- lim f(x) = 1 x?0+ Formalmente tenemos: Ejemplo Sea f(x) = |x2 - 1|/(x-1) después de levantar la forma indeterminada 0/0 volvemos a evaluar el límite y encontramos su valor.

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