Inductancia mutua Autoinductancia i1 L1 L2 v2 i2 L1 L2 v1 M M La
corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en
L2. La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto
v1 en L1. La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas
están lo suficientemente cerca como para que el flujo
magnético de una influya sobre la otra.
Convención de los puntos Una corriente que entra por la
terminal punteada de una bobina produce un voltaje de circuito
abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido
es el de la dirección indicada por una referencia de
voltaje positiva en la terminal punteada en esta segunda bobina.
i1 L1 L2 M + _ i1 L1 L2 M + _ i1 L1 L2 M + _ i1 L1 L2 M + _
Voltaje mutuo i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _ i2 M i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _
i2 M Para frecuencia compleja V1 = –sL1I1 + sMI2 V2 =
–sL2I2 + sMI1 Para estado senoidal V1 = –jwL1I1 +
jwMI2 V2 = –jwL2I2 + jwMI1
Estructura de bobinas acopladas i1 i2 Flujos magnéticos
aditivos i1 i2 Flujos magnéticos sustractivos
Ejemplo I1 100 H V2 + _ M = 9 H I2 V1 = 10/_0° w = 10 rad/s 1
H 400 W 1 W + _ I1(1 + j10) – j90I2 = 10 I2(400 + j1000)
– j90I1 = 0
Gráfico de respuesta en frecuencia
Ejemplo I1 6 H M = 2 H I3 V1 7 H 3 W 5 W + _ (5 + 7s)I1 –
9sI2 + 2sI3 = V1 – 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0
2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0 I2 1 F
Consideraciones de energía i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _ i2 M
Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y
haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I1 en t = t1. La
energía almacenada es. Ahora haciendo crecer la corriente
i2 desde 0 hasta I2 de t = t1 a t = t2. manteniendo i1 constante
La energía entregada del lado derecho es. Sin embargo se
entrega energía a la red del lado izquierdo. La
energía total es. Haciendo el proceso inverso, se tiene
Por tanto
Consideraciones de energía (cont) El límite
superior para el valor de M es El Coeficiente de acoplamiento se
define como
Ejemplo Sea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20
cos(500t – 20°) mA. Evalue las siguientes cantidades en
t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en
el sistema. i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _ i2 M a) i2(0) = 20 cos(500(0)
– 20°) mA = 4.698 mA b) Para v1 hay que evaluar M =
k?L1L2 = 0.6 H v1(0) = 0.4[–10 sen(–20°)] +
0.6[–2.5sen(–20°)] = 1.881 V c) La energía
es w(t) = ½L1[i1(t)]2 + ½L2[i2(t)]2 + M[i1(t)]
[i2(t)] w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]
w(0) = 151.2 mJ
El transformador lineal I1 VL + _ M I2 Vs R1 + _ Vs = I1Z11
– I2sM 0 = –I1sM + I2Z22 = 0 donde Z11 = R1 + sL1 Z22
= R2 + sL2 + ZL ZL L1 L2 R2 En un transformador lineal el
coeficiente de acoplamiento es de algunas décimas.
Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el
secundario Impedancia reflejada: La reactancia reflejada tiene el
signo contrario al de reactancia X22
ejemplo Los valores de los elementos de cierto transformador
lineal son: R1 = 3W, R2 = 6W, L1 = 2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w
= 5,000 rad/s, determine Zent para ZL igual a a) 10W, b) j20W, c)
10 + j20W, d) -j20W. a) Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c)
4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 – 2.8205i Z11 = R1 + sL1 = 3 +
j(5000)(0.002) = 3 + j10 Z22 = R2 + sL2 + ZL = 6 + j(5000)(0.010)
+ 10 = 16 + j50 = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 +
2.7431i
Red equivalente T i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _ i2 M Ecuaciones de malla
para el transformador lineal Pueden rescribirse como Las cuales
corresponden a la red i1 + _ v2 v1 + _ i2 M L1 – M L2
– M
Ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura
i1 30 mH 60 mH i2 40 mH i1 -10 mH 20 mH 40 mH L1 – M =
–10 mH L2 – M = 20 mH
Red equivalente P A partir de la ecs. de malla Se puede despejar
i1 e i2, obteniendo Estas ecs. representan ecs. de nodos de la
red de la figura donde i1 + _ v2 v1 + _ i2 LB LC LA i1(0)u(t)
i2(0)u(t)
ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura
i1 30 mH 60 mH i2 40 mH i1 i2 5 mH = 2×10–4/20×10–3 =
10mH = 2×10–4/(–10×10–3)= -20mH =
2×10–4/40×10–3 = 5mH 10 mH –20 mH
El transformador Ideal Es una aproximación de un
transformador fuertemente acoplado. Las reactancias inductivas
del primario y del secundario son muy grandes comparadas con las
impedancias de la terminación.
Relación de vueltas Se cumple la siguiente
relación: I1 V2 + _ k = 1 I2 V1 + _ ZL L1 L2 1: a a =
razón del número de vuelas del secundario al
primario = N2 / N1 V1 = jwL1I1 – jwMI2 0 = – jwMI1 +
(ZL + wL2) I2 Despejando V1:
Relación de vueltas (continuación) Si dejamos que
L1 tienda a infinito Dado que L2 = a2L1
Acoplamiento de impedancias Suponga un amplificador con 4000 W de
impedancia de salida y una bocina con 8 W de impedancia.
Relación de corrientes Si suponemos que L2 se hace muy
grande. N1I1 = N2I2 Entonces Para el ejemplo anterior, si el
amplificador produce una corriente de 50 mA en el primario, en
ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12
A. La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W. La potencia
suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W
Relación de tensiones La relación para tensiones es
Si a > 1, en transformador es elevador Si a < 1, en
transformador es reductor V1I1 = V2I2 Se cumple
Ejemplo I1 I2 V1 _ 10 kW 1: 10 + V2 + _ + _ 100 W 50 V rms
Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K,
La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2 La impedancia que
“se ve” en la entrada es ZL/a2 = 100 W I1 = 50/(100 +
100) = 250 mA rms I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P =
6.25 W.
Relaciones de tensión en el tiempo i1 L1 L2 + _ v2 v1 + _
i2 M Ecuaciones de malla para el transformador ideal Despejando
la derivada de i2 en la segunda ec. y sustituyendo en la primera
y ya que M2 = L1L2 Dividiendo la primera ec. entre L1 y
suponiéndola muy grande