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Determinantes Álgebra Lineal

Enviado por Mateo Caldas Calle



  1. Objetivos
  2. Introducción biográfica
  3. Definición de la función determinante
  4. Fórmulas para desarrollar determinantes
  5. Aplicaciones de los determinantes: regla de Cramer
  6. Aplicaciones de los determinantes: obtención de áreas, volúmenes y ecuaciones de rectas y planos
  7. Conclusiones
  8. Recomendaciones
  9. Bibliografía

Objetivos

OBJETIVO GENERAL:

Conocer a fondo la determinante de una matriz, entendiendo sus propiedades, aplicaciones, historia bibliográfica de los principales a portadores al estudio de estas y métodos de resolución.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

  • Conocer la definición de la función determinante.

  • Calcular determinantes de matrices de 2x2; 3x3 y de mayor tamaño.

  • Conocer las propiedades para facilitar el cálculo de determinantes de cualquier tipo de matriz cuadrada.

  • Determinar distintas fórmulas para calcular determinantes de cualquier orden.

  • Conocer una forma para multiplicar dos determinantes de manera directa, es decir, sin calcular previamente el determinante de una matriz.

  • Calcular la inversa de una matriz cuadrada por el método de determinantes y adjuntas.

  • Calcular el determinante de una matriz transpuesta

  • Aplicar la Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

  • Utilizar determinantes para facilitar el cálculo de áreas y volúmenes.

Introducción biográfica

Los determinantes se introdujeron en el occidente en el siglo XVI, estos fueron antes que las matrices que no aparecieron hasta el siglo XIX. Algunos de los más grandes matemáticos ayudaron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría dice que el estudio de los determinantes se empezó con Leibniz ya que el empleo los determinantes con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultaneas. Pero las contribuciones más productivas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Augustín-Louis Cauchy (1789-1857), fue un escritor potente ya que publico casi 800 artículos. Sus contribuciones al estudio de las matemáticas fueron revolucionarias, él fue el primero en definir los conceptos de límites y continuidad así como el de convergencia de una serie infinita. Además de fundar la teoría de los números complejos, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de la propagación de ondas; contribuyo a la teoría de determinantes y de ecuaciones diferenciables.

Hay algunos otros matemáticos que deben ser nombrados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).

Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes estando solo Cauchy antes que él fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851).Fue con él con quien la palabra determinante ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleo los determinantes fue en la funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables, Sylvester llamó más tarde jacobiano a este determinante.

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz.

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.1 Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior.2 El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shogun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

Definición de la función determinante

El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos, que veremos a continuación.

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Nota: Es necesario indicar que usaremos los símbolos Det(A) o │A│ para referirnos al determinante de A.

El determinante de una matriz puede ser positivo, negativo o cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir: 

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2. Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

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3. Si  multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número  k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

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Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden  n  por un número  k, su determinante queda multiplicado por  kn, es decir: Det (k. A) = kn. Det (A).

4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det (A. B) = Det (A)* Det (B).

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5. Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.

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 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero.

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7. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero.

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8. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial.

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9. Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

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10. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía.

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11. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número, su determinante no varía.

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4.-CALCULO DE DETERMINANTES POR PROPIEDADES:

1) Comprobar en la siguiente matriz que detA = detAt

Solución:

Desarrollamos por cofactores eliminando la primera columna:

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Estas matrices de 3x3 las resolvemos por el método de sarrus.

detA = 3(0+36-6) + 2(12-30-4-24+12+5) + (36-72)

detA = 90 + 2(-29) – 36 = - 4

De la misma forma aplicamos cofactores para eliminar la segunda columna de la matriz transpuesta.

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Las matrices de 3x3 las resolvemos por sarrus.

detAt = 2( 12 – 30 - 4- 24 + 12 + 5) – 6( 3 + 12 – 18 – 6)

detAt = 2(- 29 ) – 6(-9)

detAt = - 4

Conclusión: Hemos demostrado así que detA = detAt

2) Encuentre el determinante de la matriz transpuesta si:

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3) Por reducción de la segunda fila encuentre el determinante de la matriz transpuesta si:

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4) Demuestre que si intercambiamos dos filas de una matriz su determinante varia en el signo.

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5) Compruebe que si A es una matriz cuadrada con una columna de ceros, su determinante es cero.

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Conclusión: De esta forma hemos llegado a demostrar que si una matriz tiene una fila o columna de ceros su determinante siempre será cero.

6) Compruebe que detA = 0, si A es una matriz cuadrada con dos filas iguales.

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7) Compruebe que detA = 0 si la terceracolumna es proporcional a la primera columna.

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8) Aplicando las propiedades de los determinantes, evaluar el determinante de:

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9) Aplicando las propiedades de los determinantes encuentre el determinante de:

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10) Aplicando las propiedades de los determinantes encontrar el determinante de A.

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11) Evalúe el determinante de la siguiente matriz, aplicando las propiedades de los determinantes

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12) Aplicando las propiedades de los determinantes reduzca los siguientes determinantes a determinantes de menor orden y resuélvalos.

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13) Encuentre los determinantes de las siguientes matrices:

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14) Encontrar el determinante si:

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15) Encontrar el determinante de las siguientes matrices aplicando la propiedad #4

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16) Encontrar el determinante de la matriz y de su transpuesta si A es una matriz formada por números complejos.

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17) Desarrollar aplicando la propiedad 3

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18) Desarrollar aplicando la propiedad 4.

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19) Aplicar la propiedad 5.

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20) Aplicar la propiedad 7.

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La tercera fila es combinación lineal de la primera entonces |A|=0

21)Aplicando la propiedad 8 y 6 obtenemos la propiedad 9

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22) Resolver aplicando la propiedad 7.

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23) Resolver aplicando la propiedad 6.

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24) Encontrar el determinante aplicando la propiedad 8.

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Fórmulas para desarrollar determinantes

5.1.- DETERMINANTES DE PRIMER ORDEN:

El determinante de una matriz de primer orden se define simplemente como el elemento de la matriz. Por ejemplo, si A=[3] , entonces det(A)= 3

[a11]=a11

5.2.- DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN:

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Una matriz de orden 2x2 está dada por la diferencia de los productos de las dos diagonales de la matriz.

  • EJEMPLO 1:

Encuentre el determinante de la matriz siguiente:

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  • EJEMPLO 2:

Encuentre el determinante de la siguiente matriz:

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  • EJEMPLO 3:

Encuentre el determinante de la siguiente matriz:

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5.3.- DETERMINANTES DE TERCER ORDEN:

Para resolver determinantes de tercer orden aplicaremos dos procesos que seconocen como: La Regla de Sarrus y el Método de la Estrella:

5.3.1.- REGLA DE SARRUS:

La regla de sarrus es de fácil memorización para calcular el determinante de una matriz de 3x3. Lleva este nombre en honor a su inventor el matemático francés Pierre Frederic Sarrus.

Ahora consideremos la siguiente matriz:

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Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

  • 1) Aumentamos las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de esta matriz y asi ahora quedaran cinco columnas.

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  • 2) Sumamos el producto de las diagonales descendientes, y restamos el producto de las diagonales ascendiente estas son:

(a11x a22 a33) + (a12 x a23x a31) + (a13 x a21 xa32) – (a12 x a21 x a33) – (a11 x a23 x a32) – (a13 x a22 x a31)

También podemos resolvereste determinante por el método de la estrella:

5.3.2.- METODO DE LA ESTRELLA:

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

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5.4.- DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN:

5.4.1.-METODO DE GAUSS:

Para calcular con este método primero definiremos lo siguiente:

  • Determinante de una matriz triangular:

Si A es una matriz triangular de orden n, entonces su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir;

detA = a11 x a22 x a33…….xann

Ahora continuamos con el concepto anterior:

Se conoce como método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando la propiedad de estos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, caso que es fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangulizar el determinante se puede aplicar las siguientes operaciones:

1.- Permutar do filas o columnas.

2.- Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

3.- Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Aplicando todas estas operaciones llegamos a la siguiente matriz:

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5.4.2.- METODO DE MENORES Y COFACTORES:

DEFINICION DE LOS MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ:

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A. El numero (–1)i+jMij se denota por Cij y se denomina cofactor del elemento aij.

  • EJEMPLO 1:

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Observemos que

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  • EJEMPLO 2:

Encuentre todos los menores y cofactores de:

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Solución:

Para encontrar el menor M11, se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se evalúa el determinante de la matriz resultante.

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El determinante de una matriz Anxn es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando los elementos decualquier fila o columna por sus respectivos cofactores respetando las reglas ya vista anteriormente.

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En este caso está desarrollada la primera columna, pero puede ampliarse este método para cualquier fila o columna, siempre y cuando se respeten el patrón de signos de los cofactores.

  • EJEMPLO 2:

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Evaluar det (A) por desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna de A.

Solución:

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5.4.3.- ELIMINACION CONTINUA:

Este método fue visto en clases, y consiste que en cada matriz que se vaya obteniendo al reducir una variable se la debe ir dividiendo para el elementoprincipal elevado a la(n-2) donde n es el orden de cada matriz que se vaya obteniendo.

Ejemplo:

Encontrar el determinante por medio de eliminación continua:

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5.5.- EJERCICIOS:

1) Calcular el determinante de la siguiente matriz:

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Det(A) = 5 x 6 = 30

2) Por el método de Gauss hallar el siguiente determinante:

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Det F = 275

  • 3)  Por la regla de sarrus hallar el determinante de la siguiente matriz:

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  • 4)  Por el método de la estrella hallar el siguiente determinante:

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Det(A) = [(8x4x2) + (-3x7x-1) + (2x-6x1) – (1x4x-1) – (-3x2x2) – (7x-6x8)]

Det(A) = 64 + 21 – 12 +4 + 12 +336

Det(A) = 425

  • 5)  Calcular el determinante de B.

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Det(B) = 0

  • 6)  Encontrar el determinante por medio de eliminación continua:

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  • 7) Use el método de los cofactores para encontrar el determinante de la siguiente matriz:

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  • 9) Por reducción de la segunda fila resuelva el siguiente determinante:

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  • 10) En el ejercicio anterior encuentre el determinante eliminando la segunda columna.

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6.-PRODUCTO DE DETERMINANTES.

Teorema de Cauchy: El producto de dos determinantes semejantes se puede poner en forma de una determinante semejante a los factores y cuyos elementos sean las sumas de los productos de los elementos de una línea de un factor, por los elementos correspondientes de otra línea del otro factor.

Sean para la sencillez del segundo grado sabiendo que lo que se demuestre en este caso es general para todos; lo que se quiere probar es que:

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6.1.- EJERCICIOS:

  • 1) Multiplicar filas por filas, y filas por columnas, comprobar el resultado.

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  • 2) Dividir las siguientes matrices:

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  • 3) Elevar al cuadrado la siguiente determinante:

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  • 4) Elevar al cubo la siguiente determinante:

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  • 5) Halle el producto de:

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  • 6) Hallar 3A+2C2 si se sabe que:

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7.-DETERMINANTES DE ORDEN N-SIMO

El símbolo:

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Este símbolo es una forma abreviada de expresar el polinomio construido por la suma algebraica de todos los productos posibles, cada uno de n factores de manera que:

1)En cada producto figura solamente un elemento de cada fila y uno solo de cada columna habrá por lo tanto n! productos.

2)El signo de cada producto es positivo o negativo ,según que el numero de inversiones de los subíndices sea par o impar, después de haber colocado las letras en el orden en el que figuran en la primera fila.

La suma algebraica así obtenida se denomina desarrollo o valor del determinante. Cada producto, con su signo, recibe el nombre de término del desarrollo del determinante.

Un determinante de orden n se representa también por

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Con esta notación cada elemento se caracteriza por dos subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece o donde se encuentra. Así, pues a23 es el elemento de la segunda fila y la tercera columna.

La diagonal principal de un determinante está formado por los elementos de la matriz situados sobre la recta que une el primer elemento de la primera fila con el último de la ultima fila.

CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN N-ESIMO

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Para esto haremos lo siguiente:

  • 1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

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2. En caso negativo:

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8.- DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ NOSINGULAR:

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8.1.- EJERCICIOS:

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  • 11)  Encuentre la inversa de la siguiente matriz:

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  • 12)  Encuentre la inversa de la siguiente matriz:

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La matriz no es inversible

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  • 14) Encuentre el determinante de B(inversa)

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  • 15) Hallar la matriz inversa de:

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9.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TRANSPUESTA

Si A es una matriz cuadrada entonces es cierto que:

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9.1.- EJERCICIOS:

En los siguientes ejercicios encuentre el determinante de la matriz y de su transpuesta.

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  • 1) Hallar w(transpuesta) y su determinante y demostrar que W=a su transpuesta volviéndola a transponer.

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10.- ADJUNTO DE UNA MATRIZ

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Ejemplo:

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La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

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Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

 Ejemplo:

 Consideremos la matriz

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Ejercicio:

 Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

 

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a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

 

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El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de son:

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La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

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APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES: OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ:

Si A es una matriz invertible de nxn, entonces es cierto que:

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A continuación daremos a conocer como se obtiene la adjunta de una matriz:

Al inicio de este capítulo ya dimos a conocer como se obtiene los cofactores de una matriz, ya que necesitamos este concepto para definir la adjunta de una matriz, y está definida por:

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La adjunta de una matriz es igual a los cofactores transpuestos de la matriz.

10.1.- EJERCICIOS:

1) Obtenga la inversa de una matriz aplicando determinantes:

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  • 7) Hallar la matriz inversa:

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Aplicaciones de los determinantes: regla de Cramer

La regla de Cramer llamada así por su inventor Gabriel Cramer (1704-1752), matemático suizo, aunque Cramer no está considerado al lado de los grandes matemáticos de su tiempo, sus contribuciones como diseminador de las ideas matemáticas le ganaron un bien merecido lugar en la historia de las matemáticas.

La siguiente regla proporciona una forma útil para la solución de ciertos sistemas lineales den ecuaciones con n incógnitas. Esta fórmula, denominada Regla de Cramer es de interés marginal para efectos de cómputo, aunque es útil para estudiar las propiedades matemáticas de una solución sin necesidad de resolver el sistema.

Regla de Cramer:

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12.1.- EJERCICIOS:

Aplicar la regla de Cramer para resolver los siguientes ejercicios:

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Como la tercera fila es combinación lineal de las otras dos entonces la solución de este sistema es infinitas soluciones porque el determinante es cero.

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La solución de este sistema es infinitas soluciones por tener el determinante igual a 0.

Aplicaciones de los determinantes: obtención de áreas, volúmenes y ecuaciones de rectas y planos

13.1.- ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO XY:

El área de un triangulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) está dada por:

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El signo (±) se obtiene para obtener un área positiva.

13.1.2.- PRUEBA PARA DETERMINAR SI TRES PUNTOS EN EL PLANO XY SON COLONIALES:

Tres puntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) son colineales si y solo si:

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13.2.- ÁREA DE LOS POLÍGONOS:

Con el resto de polígonos primero tenemos que dividirlos en varios triángulos, crear el determinante y sumar todos los resultados parciales de los determinantes.

13.2.1.- ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (X1, Y1) Y (X2, Y2) EN EL PLANO XY:

La ecuación de la recta que pasa por los puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

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  • Ejemplo:

Encuentre la solución de la recta que pasa por los puntos (2, 4), (-1, 3)

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13.3.- VOLUMEN DE UN TETRAEDRO:

El volumen de un tetraedro cuyos vértices son (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) y (x4, y4, z4) está dado por:

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13.3.1.- PRUEBA PARA DETERMINAR PUNTOS COPLANARES EN EL ESPACIO:

Cuatro puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) y (x4, y4, z4) son coplanares si y solo si:

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13.4.- EVALUACIÓN DE UN PLANO FORMADO POR TRES PUNTOS:

La ecuación del plano que pasapor los puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) está dada por:

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13.5.- EJERCICIOS: 1) Encuentre el área del triangulo que tiene como vértices A(-3,2) B(5,-1) C(2,4) Solución: Monografias.com 2)Compruebe que estos puntos son colineales: A(1,2) B(3,4) C(5,6) Monografias.com Como el determinante es cero entonces los tres puntos si son colineales. 3) Encuentre la solución de la recta que pasa por los puntos dados: A(-2,3) B(-2,-4) Monografias.com 4) Encuentre el volumen del tetraedro que tiene los vértices dados: (0,4,1) (4,0,0) (3,5,2) (2,2,5) Monografias.com 5)Determine si los puntos dados son coplanares: (0,0,-1); (0,-1,0); (1,1,0); (2,1,2) Monografias.com 6)Encuentre una ecuación del plano que pase por los puntos dados: (1,2,7); (4,4,2); (3,3,4) Monografias.com

Conclusiones

En el primer punto del trabajo tuvimos un concepto general de lo que son los determinantes y varios conceptos y aplicaciones previas para determinarlos como son los menores, los cofactores, entre otros.

Demostramos también todas las propiedades de los determinantes con los cuales nos facilitan mucho el trabajo y nos ayuda a terminar más rápido el proceso aplicado.

Las diferentes formas de resolución nos llevó a un enfoque mucho más amplio en la resolución del determinante, por ejemplo el método de cofactores se usa mucho en la resolución de el determinante de 2 x 2, el método de Sarus y el método de la estrella nos permite trabajar de una manera muy rápida en determinantes de 3x3 y el método de Gauss que es un proceso muy fácil y conocido nos permite resolver determinantes de cualquier orden.

En el punto de las aplicaciones se pudo ver formas mucho más simples que podemos usar para la resolución de la inversa, la adjunta, en geometría analítica la obtención del área de un triángulo, la determinación de colinealidad de dos puntos, así como la ecuación de la recta entre dos puntos, etc.

Recomendaciones

Reconocer las distintas maneras de resolver una determinante para encontrar una manera sencilla y rápida.

Reconocer los conceptos básicos de una determinante y aplicarlos para evitar confusiones.

Si después de revisado todo el trabajo queda alguna duda recomiendo revisar la bibliografía que esta al final.Bibliografía

  • Introduccion al algebra lineal: Larson- Edwards

  • Introduccion al algebra lineal: Howard Anton, tercera edición

  • Algebra lineal y sus aplicaciones, David C. Lay, segunda edicion

  • Teoria y problemas de Matrices: Frank Ayres

  • Geometria Analitica de Lehmann

  • Algebra Superior Spiegel Murray

webgrafia

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_determinantes.htm

• http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap4/cap4s2.html

• http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm

 

 

Autor:

Mateo Caldas Calle


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