Introducción corta a las matemáticas

Plan de
elaboración

Campo: CONOCIMIENTOS
MATEMATICOS

Área: MATEMATICAS

Aspecto FUNDAMENTO Y
METODO

TEMA: PROPIEDADES DE LAS
MATEMATICAS

PROBLEMA: ¿COMO HACER QUE LOS
JOVENES TENGAN UN PENSUM DE MATEMATICAS APROPIADO?

DELIMITACION DEL
PROBLEMA:

Tiempo: ACTUALIDAD

Espacio: GUAYAQUIL-ECUADOR.
ALBOHISPANO HIGH SCHOOL

Clasificación: PROBLEMA
CIENTIFICO

Contenido: DIVERSAS PROPIEDADES
MATEMATICAS

OBJETIVO GENERAL

• Determinar los diferentes tipos de
  propiedades matemáticas

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• 1. Estudiar y conocer el proceso
  de los ejercicios

• 2. Conocer los mecanismos
  necesarios para la realización de los
  mismos

Metodología

1.-TIPO DE
INVESTIGACIÓN

Se realizara una investigación
Bibliográfica, es decir,  aquella etapa de la
investigación científica donde se explora
qué se ha escrito en la comunidad científica sobre
un determinado tema o problema.

2.- METODO

Se ha utilizado el método de
análisis. El método de análisis es aquel que
consiste en la descomposición de un todo en sus elementos.
El método analítico consiste en la
separación de las partes de un todo para estudiarlas en
forma individual, por separado, así como las relaciones
que las une. El tema será separado para estudiarlo mejor
en diferentes partes, todas relacionadas entre
sí.

3.- TECNICAS

Las técnicas que se utilizaron
durante esta monografía fueron:

1.- Observación

2.- Fichas

Resumen

La matemática es una actividad humana
y, como tal, no puede ser ajena a las virtudes y los defectos de
los seres que la crean. Aunque no utilizan la palabra, algunos
tratan de presentarla como algo "santo"; quiero decir: limpio y
apartado, pues esto significa la palabra "santo". Pero esa
asepsia que le quieren atribuir es
una imagen irreal.

En realidad, no puede estar apartada de los seres
humanos, porque son ellos los que la engendran y la paren; no es
el producto de una revelación divina ni existe
independientemente del hombre. Tampoco puede ser del todo
"limpia", porque se tiñe inevitablemente de todo lo que
sus creadores creen, sienten; por acción o por
omisión.

El producto de la actividad matemática creativa
de una persona es en parte similar a una obra
de arte; no puede agradar a todos y no es un asunto de
consenso; sale como sale; sale como uno es. Más
allá de que todo matemático debe respetar las
reglas de la lógica, esto resulta análogo a lo
que hace un pintor cuando mezcla azul y amarillo: sabe que
obtiene verde; pero cómo y dónde ubica
ese color es un asunto personales el que nadie
puede intervenir

Argumentación

En el aspecto formativo, la finalidad fundamental de las
matemáticas es el desarrollo de la facultad de
razonamiento y abstracción. Una sólida
formación en Matemáticas contribuye a reflexionar
sobre los distintos aspectos de una situación, a afirmar
el espíritu de análisis y a reforzar el poder de
síntesis.

De esta forma los adolescentes de forma lógica y
razonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las
causas, los medios de los objetivos, etc.

En el aspecto funcional el objetivo de las
Matemáticas ha sido siempre proporcionar un instrumento
eficaz para desenvolverse en la vida cotidiana. Actualmente, en
nuestra sociedad la información se presenta cada vez con
mayor frecuencia en términos matemáticos, por lo
que es necesario en multitud de ocasiones tomar decisiones en los
mismos términos.

Es por ello que se hace necesaria una formación
matemática que facilite la correcta comprensión de
información, potencie el sentido crítico
constructivo y facilite la toma de decisiones.

El hecho de que hoy la Matemática sea una ciencia
en sí misma no debe olvidar que el pensamiento
matemático se ha desarrollado, debido a las necesidades de
otras ciencias para explicar los diferentes fenómenos
(tanto físicos como sociales) del medio en que nos
movemos.

Por esta razón las Matemáticas
proporcionan la base necesaria de estructurar y comprender otras
ramas de la Ciencia y profundizar en el desarrollo de nuestra
Cultura.

CAPITULO I

El conjunto de
números

1.1.- Números reales

El conjunto formado por los números racionales e
irracionales es el conjunto de los números reales, se
designa por R:

1.2.- La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la
recta y a todo punto de la recta un número
real.

1.3.-Números naturales

Con los números naturales contamos los elementos
de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la
posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto
(ordinal).

El conjunto de los números naturales está
formado por:

La suma y el producto de dos números
naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números
naturales no siempre es un número natural,
sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que
sustraendo.

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada
de escribir un producto formado por varios factores
iguales.

La raíz de un número
natural no siempre es un número
natural, sólo ocurre cuando la raíz es
exacta.

1.4.-Números enteros

Los números enteros son del tipo:

Nos permiten expresar: el dinero adeudado,
la temperatura bajo cero, las profundidades con
respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos
números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números
enteros no siempre es un número entero
, sólo ocurre cuando la división es
exacta.

1.5.-Números racionales

Se llama número racional a todo número que
puede representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal
exacto, periódico puro y periódico mixto)
son números racionales; pero los números decimales
ilimitados no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos
números racionales es otro número
racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene
que ser un número entero.

La raíz de un número
racional no siempre es un número
racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si
el índice es par el radicando ha de ser
positivo.

1.6.-Regla de los signos para la
multiplicación y la división

+ Por – = – 2 · (-5) = – 10

– Por + = – = (-2) · 5 = – 10

+ Por + = + = 2 · 5 = 10

– Por – = + = (-2) · (-5) = 10

1.7.-Signo de una potencia

Las potencias de exponente par son siempre
positivas.

Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de
la base.

1.8.-Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras
decimales no periódicas, por tanto no se
pueden expresar en forma de fracción.

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de
crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la
fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459…

CAPITULO II

Trigonometría

2. 1.-Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un
triángulo con un ángulo recto)

2.2-Área de un Triángulo

El área de un triángulo es la mitad del
producto de una base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es igual
a base por altura partido por 2.

La altura es la recta
perpendicular trazada desde un vértice al lado
opuesto (o su prolongación).

2.2.1.-Área de un Triángulo
Rectángulo

El área de un triángulo
rectángulo es igual al producto de los
catetos partido por 2.

2.2.2.-Semiperímetro

El semiperímetro de un
triángulo es igual a la suma de sus lados
partido por 2.

Se nombra con la letra p.

2.2.3.-Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza
para hallar el área de un
triángulo conociendo sus tres
lados.

2.3.-Ley de senos

La ley de los Senos es una relación de tres
igualdades que siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de
triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la
longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a
él en todo triángulo es constante. Si observamos la
figura 1, la ley de senos se escribirá como
sigue:

2.3.1.-Resolución de Triángulos por la
Ley de los Senos

Resolver un triángulo significa obtener el valor
de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres
ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son
rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de
cosenos. Todo dependerá de los valores
conocidos.

2.3.2.-Usando la Ley de Senos para conseguir los
lados de un Triángulo

Ejemplo 1:

Resolver el triángulo si se sabe que las medidas
de los ángulos son las siguientes: A=52°, B=58°,
B=70° y que el lado opuesto al ángulo C mide 26.7
unidades.

Solución:

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de
todo triángulo es 180°, por lo tanto para hallar el
ángulo C, utilizamos los ángulos A y B .

C=180°-(52°+70°)

C = (180°-122)° =58°

 Encontrar el lado opuesto al
ángulo A, llamémoslo " a ":

sen ( 58° ) 26.7 = sen ( 52° ) a a = 26.7 sen ( 52° ) sen ( 58° ) a = 24.8

Encontrar el lado opuesto al ángulo B,
llamémoslo " b ":

sen ( 70° ) b = sen ( 58° ) 26.7 b = 26.7 sen ( 70° ) sen ( 58° ) b = 29.6

Solucion

sen ( 30° ) 11 = sen ( A ) 20 sen ( A ) = 20 ( 1 2 ) ( 1 11 ) sen ( A ) = 10 11 A = arcsen ( 10 11) A = 65.38°

La función seno tiene el mismo valor para el
ángulo 180°-65.38°=114.2°, por lo tanto A
tiene dos posibles valores: 65.38° o 114.2°

Entonces, para el ángulo B también tenemos
dos posibles soluciones:

2.4.-Ley de Cosenos

La ley de cosenos se puede considerar como una
extensión del teorema de
Pitágoras aplicable a todos los triángulos.
Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un
triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado
por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este
teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres
ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor
de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres
ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son
rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley
de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

2.4.1.-Usando la Ley de Cosenos
para Conseguir un lado de un Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud
del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo
entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos,
así:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

x 2 = 10 2 + 6 2 - 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x 2 = 100 + 36 - 120 - 1 2

x 2 = 100 + 36 - 120 - 1 2

x 2 = 100 + 36 + 60

x 2 = 196

x = 14

Ejemplo 2:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud
del lado rotulado con x

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo
entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos,
así:

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos B

x 2 = 6 2 + 10 2 - 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x 2 = 36 + 100 - 120 2 2

x 2 = 136 - 602

x 2 = 136 - 602

x 2 = 136 - 602

"Cuando conocemos dos lados del
triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es
posible encontrar el tercer lado aplicando la Ley de
Cosenos."

Es importante notar que cuando aplicamos la ley de
cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo.
Como sabemos, un ángulo de un triángulo puede medir
a lo más 180°. Así, si el coseno del
ángulo es positivo sabemos que está en el primer
cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del
ángulo es negativo sabemos que está en el segundo
cuadrante, es decir, entre 90° y 180°.

2.4.2.-Usando la Ley de Cosenos
para Conseguir los Ángulos del
Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar los
ángulos x y y

Solución:

Como conocemos los tres lados del triángulo,
podemos aplicar la ley de cosenos, así:

Hallando x

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A

12 2 = 6 2 + 14 2 - 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x

144 = 36 + 196 - 168 cos x

168 cos x = 36 + 196 - 144

cos x = 88168

x ˜ 58.41°

Hallando y

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos C

14 2 = 12 2 + 6 2 - 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y

196 = 144 + 36 - 144 cos y

144 cos y = 144 + 36 - 196

cos y = -16144

2.5.-Razones Trigonométricas en un
Triángulo Rectángulo

2.5.1.-Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el
cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

2.5.2.-Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre
el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. La
función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente
de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa. En
un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del
producto de ambos por el coseno del ángulo que
forman.

2.5.3.-Tángente

La tangente del ángulo B es la razón entre
el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al
ángulo.

Se denota por tg B.

2.5.4.-Secante

La secante del ángulo B es la razón
inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

2.5.5.-Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón
inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

2.5.6.-Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón
inversa de la tangente de B. Se denota por cotg
B.

2.6.-FÓRMULAS DE ÁNGULOS

2.7.-FUNCIONES MATEMÁTICAS

Una función, en matemáticas, es el
término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El
término función fue usado por primera vez en 1637
por el matemático francés
René Descartes para designar
una potencia xn de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried
Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta
recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido
en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una
variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de
tal forma que al asignar un valor a X entonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente
un valor a Y, se dice que Y es una función
(unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan
libremente valores, se llama variable independiente,
mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de
X constituyen el dominio de definición de la
función y los valores que toma Y constituye su
recorrido".

2.7.1.-Función

Una función es una regla de correspondencia entre
dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del
primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del
segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de
dominio. 

Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre
de contradominio o imagen.

Una función se puede concebir también como
un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los
cálculos que haga el aparato con la entrada son en
sí la función y la salida sería el
contradominio.

Esta forma de concebir la función facilita el
encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la
máquina usualmente lo denotamos con una letra,
digamos o o cualquier otra.

2.7.2.-Diferencias entre Función y
Relación

Una relación es cualquier conjunto de pares
ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una
función es la que da exactamente un valor a la variable
dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x)
en el dominio.

Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier
subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el
vacío. Una función de A en B debe cumplir que para
todo elemento de A exista un único elemento de B (que se
suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de
clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es
reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la
relación. Se dice que es simétrica si cada vez que
(a, b) está en la relación, (b, a) está en
la relación, anti simétrica si cada vez que (a, b)
y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si
cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación,
(a, c) está en la relación.

Si una relación es reflexiva, simétrica y
transitiva, se dice que es de equivalencia. Si una
relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva
se dice que es de orden.

No se puede decir que una relación es creciente o
decreciente, porque cada elemento puede estar relacionado con
varios o con ningún elemento. De
las funciones (si son de R en R) si se pueden decir si
son crecientes o decrecientes (o ninguno de los 2 casos, como
pasa con la función sen x).

En cuanto a la continuidad, hay que recordar que una
función puede ser continua en un punto y no en
otro.

La definición de función continua en un
punto es la siguiente: para todo epsilon positivo existe un delta
>0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0,
la distancia de (f(x)a f(x0) es menor que epsilon y una
función se dice continua a secas si es continua en todo a
una función se dice discontinua si existe al menos un
punto donde no es continua.

2.7.3.-Dominio

En matemáticas,
el dominio (conjunto de definición o conjunto de
partida) de una función es el conjunto de existencia de la
misma, es decir, los valores para los cuales la
función está definida. Es el conjunto de todos los
objetos que puede transformar, se denota o bien.

2.7.4.-Rango

Son todos los valores posibles de f(x) o sea
de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a
+1.

Si F(X) = una parábola cóncava en forma de
U. El rango va del vértice da la parábola hacia
arriba hasta + infinito.

2.8.- ¿Para qué se representa
una Gráfica?

Una gráfica es la representación
de datos, generalmente numéricos, mediante
líneas, superficies o símbolos, para ver la
relación que esos datos guardan entre sí.
También se representan para plasmar coordenadas
cartesianas, y sirven para analizar
el comportamiento de un proceso, o un conjunto de
elementos o signos que permiten
la interpretación de un
fenómeno.

La representación gráfica también
es una ayuda para el estudio de una función. Una
función con una variable dependiente y otra independiente
se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y
abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la
posición en los ejes.

2.9.-Tipos de funciones

2.9.1.-Función Constante

Se llama función constante a la que no depende de
ninguna variable, y la podemos representar como una
función matemática de la
forma:

F(x)=a donde a pertenece a
los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x
y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero,
como se puede ver la función no depende de x, si
hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene
un valor constante, en la gráfica tenemos
representadas:

para valores
de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio
en x es de la forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a
cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual
siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan
solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la
función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje
X.

2.9.2.-Función lineal

Es aquella que satisface las siguientes dos
propiedades:

• Propiedad aditiva (también
  llamada propiedad de superposición): Si
  existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice
  que f es un grupo isomorfista con respecto a la
  adición.

• Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para
  todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga
  a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es
  racional. En el caso de que la función lineal sea
  continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para
  establecer si la propiedad aditiva esta
  establecida.

En esta definición x no es necesariamente un
número real, pero es en general miembro de algún
espacio vectorial.

El concepto de linealidad puede ser extendido
al operador lineal. Ejemplos importantes
de operaciones lineales incluyen a la derivada
considerada un operador diferencial y muchos construidos de
él, tal como el La placiano. Cuando una ecuación
diferencial puede ser expresada en forma lineal, es
particularmente fácil de resolver al romper la
ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una
de estas piezas y juntando las soluciones.

Las ecuaciones no lineales y las funciones no
lineales son de interés en
la física y matemáticas debido a que son
difíciles de resolver y dan lugar a interesantes
fenómenos como la teoría del
caos.

2.9.3.-Función
Cuadrática

La función cuadrática responde a la
fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica
es una curva llamada parábola cuyas características
son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un
mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un
máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la
función alcanza el máximo o el
mínimo.

Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la
ecuación de segundo grado.

2.9.4.-Función
Logarítmica

Se llama función logarítmica a la
función real de variable real:

La función logarítmica es una
aplicación biyectiva definida de R*+ en
R :

• La función logarítmica solo
  está definida sobre los números
  positivos.

• Los números negativos y el cero no tienen
  logaritmo

• La función logarítmica de base a es la
  recíproca de la función exponencial de base
  a.

• Las funciones logarítmicas más usuales
  son la de base 10 y la de base e =
  2"718281…

Debido a la continuidad de la función
logarítmica, los límites de la
forma

Se hallan por medio de la fórmula:

2.9.5.-Función
Exponencial

La función exponencial (de base e)
es una función real que tiene la propiedad de que al ser
derivada se obtiene la misma función. Toda función
exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de
los números reales. Además la función
exponencial es la función inversa del logaritmo
natural.

2.9.6-Cuadro Comparativo entre las
Funciones

2.9.7.-Función Ramificada

Es aquella que sirve para encontrar los puntos
límites de los intervalos en los cuales se divide el
dominio.

Ejemplo:

Respuesta:

Observemos que el dominio de esta función
está dividido, y el punto de división es x =
1.

2.9.8.-Relevancia de las Funciones en el
Cálculo

Las funciones juegan un papel esencial en
el desarrollo del cálculo, las funciones
son generalmente del tipo:

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra
variable, y el valor que tome "y" depende del valor que
esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x =
y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor
de 10 (porque 2*5 es 10).

Las funciones son importantes para realizar
fórmulas simplificadas de las operaciones que se realizan
comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es
decir, de manera más sencilla.

2.9.9.-Diferencia y Semejanza entre Dominio
y Rango

CAPITULO III

Casos de
factorización 

3.1.-Regla de Ruffini (división algebraica)

Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como
dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los
posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que
salga la división exacta (es decir de residuo
cero).

Se puede notar que al probar con menos dos, la
división salió exacta.

Dos términos

Ahora, nuestra respuesta consta de 2
términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0,
saldría x=-2 . Eso quiere decir que nuestro primer
término es x+2

Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los
primeros términos son de la forma x+a .

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra
división por Ruffini, es decir, el segundo término
es x2-x-3

Nota: En el segundo término, a veces
todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el
caso, se debe descomponer.

Resultado final

El resultado final es el el siguiente:

Nota: Se debe dejar así, no se debe
multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los
pasos.

3.2.-Factor común (CASO I)

Sacar el factor común es extraer la
literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el
menor exponente y el divisor común de sus
coeficientes. 3.2.1.-Factor común por
agrupación de términos 

ab + ac+ ad = a (b + c + d) 

ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y) 56

3.2.2.-Factor común
polinomio 

Primero hay que sacar el factor común de los
coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor
exponente) para luego operar; ejemplo: 

ab-bc=b(a-c) 3.3.-Factor común por
agrupación de términos (Caso
II) 

Para trabajar un polinomio por agrupación de
términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque
es un número par de términos. Para resolverlo, se
agrupan cada una de las características, y se le aplica el
primer caso, es decir: 

ab+ac+bd+dc=(ab+ac)+(bd+dc) =a(b+c)+d(b+c) =(a+d)(b+c) 

3.4.-Trinomio cuadrado perfecto (Caso
III)

Se identifica por tener tres términos, de los
cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale
al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P.
debemos organizar los términos dejando de primero y de
tercero los términos que tengan raíz cuadrada,
luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer
término y los escribimos en un paréntesis,
separándolos por el signos que acompaña al segundo
término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el
binomio al cuadrado. Ejemplo: 

EJEMPLO 1: (Con los tres términos
positivos)

Busco dos términos que sean "cuadrado" de
algo.

Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las
bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero
por el segundo"). Dió igual que el otro término. El
polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la
factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado:
(x + 3)2

3.4.1.-EXPLICACIÓN:

1) ENCONTRAR DOS TÉRMINOS QUE SEAN
"CUADRADO":

Los términos de este trinomio que son "cuadrado"
de algo son la x2 y el 9 (¿qué es un
"cuadrado"?). Ya que x2 "es el cuadrado" de x. Y 9 "es
el cuadrado" de 3 (ya que 32 es igual a 9).
(¿Por qué?) 

El término "6x" nunca podría ser cuadrado
de algo, ya que 6 no tiene raíz cuadrada, y x no es una
potencia par. (más explicación sobre
esto).

2) "BAJAR" LAS BASES: (¿a qué se llama
las "bases"?)

Bajo la "x" y el "3", ya que son "las bases" de los
cuadrados de ese polinomio, como dice en el paso
anterior.

Nota: Las bases se suelen poner debajo de sus cuadrados
respectivos, a modo de anotación, más que nada para
guiarse uno mismo, o como planteo para que el profesor vea lo que
quisimos hacer. Pero en realidad no es parte del resultado, y no
sería obligación ponerlo en caso de que no nos
estén evaluando (serviría como
"justificación" en ese caso).

3) VERIFICAR EL "DOBLE PRODUCTO DE LAS
BASES": 

Una vez que tengo las bases (x y 3), multiplico de esta
manera:

2.x.3      ("Dos por x por
3")

Eso es "el doble producto de las bases" (¿"doble
producto"?). Y el resultado es: "6x"

2.x.3 = 6x      (¿por
qué?). 

Ahora miro el polinomio y veo que en él
"está 6x".  (x2 + 6x + 9). Es
decir, que el término que no es cuadrado, es 6x. Coincide
con el doble producto de las bases. Esto tiene que ser así
para que se pueda factorizar con este Caso.Acabo de verificar que
el polinomio que me dieron es un Trinomio Cuadrado Perfecto,
porque cumple con lo que tiene que tener un Trinomio Cuadrado
Perfecto: "dos cuadrados", y "el doble producto de las bases". Y
eso viene de la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b +
b2. Pero en esta parte sólo trato de explicar "cómo
se hace" y no "de dónde viene". (Si les interesa saber
más acerca de esto, pueden consultar en
los CONCEPTOS)

4) EL RESULTADO DE LA
FACTORIZACIÓN:

(x+3)2

El resultado es "la suma de las bases, elevada al
cuadrado". Es decir, pongo "x" y "3" sumando entre
paréntesis, y elevado a la potencia 2.

Más ejercicios resueltos,  parecidos al
Ejemplo 1:

3.5.-Diferencia de cuadrados (Caso
IV)

Se identifica por tener dos términos elevados al
cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de
dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma),
uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben
colocarse las raíces. Ejemplo: 

(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x – 3)

x     3 

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x
y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la
"resta de las bases".

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 - y2 = (x + y).(x –
y)

x     y

Las dos bases son letras 

EJEMPLO 3: (Con el "1")

b2 - 1 = (b + 1).(b – 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un
cuadrado.

EJEMPLO 4: (Con fracciones) 

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x –
3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25
también (de 5)

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de
2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 -
2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de
x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

EJEMPLO 6: (Con términos
"compuestos")

36×2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x –
a3b2) 

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios
factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben
ser cuadrados.

EJEMPLO 7: (Con números
decimales)

x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x –
0,4)

x     0,4

También se puede hacer pasando los números
decimales a fracción (Ver en la
EXPLICACIÓN) 

EJEMPLO 8: (Con la resta "al
revés")

-x2 + 4 = 4 – x2 = (2 + x).(2 –
x)

x       2 El
primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero
puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta
que necesito.

EJEMPLO 9: (Uno "con todo")