Las leyes del Azar

Las Leyes del Azar

Un aparente contrasentido

Un aparente contrasentido: "Las Leyes
del Azar"

Si habláramos de una "heladera calentita", o de
una "rueda cuadrada", o de un "bote terrestre", la falacia
saltaría a la vista.

Sin embargo con alguna frecuencia nos encontramos con la
frase "las leyes del azar". En ella se incluyen los conceptos de
"ley" y de "azar", en apariencia contradictorios.

Trataremos de aclarar este aparente
contrasentido.

Estamos acostumbrados a utilizar, desde la escuela
primaria, "fórmulas" para el cálculo de superficies
y volúmenes para algunas figuras y cuerpos
geométricos.

También la "Física de la escuela
secundaria nos proveyó de otras "fórmulas" para
calcular velocidades, tiempos, aceleraciones, tiempos de
caída, pesos específicos, etc, para nombrar solo el
capítulo que se estudia en forma infaltable.

En éstas y otras muchas situaciones, referidas a
temas variados tales como calor, temperatura, luz, electricidad o
magnetismo, el empleo de "formulas" nos permite obtener un
resultado numérico en base a algunos datos, también
numéricos, con los que efectuamos las operaciones
aritméticas indicadas.

Este tipo de situaciones tales que, dados algunos
valores numéricos, se obtiene por cálculo un
resultado único, se llaman:

En oposición, existen resultados que no pueden
preverse. Son sucesos cuya ocurrencia es consecuencia de una
serie grande de factores no perfectamente conocidos, medidos o
relacionados.

Por ejemplo el número que saldrá en la
siguiente jugada de ruleta podría calcularse conociendo,
la velocidad de giro del tambor, el momento exacto y la velocidad
con que es arrojada la bolilla, el comportamiento elástico
tanto de la bolilla como de la propia ruleta, la temperatura del
ambiente y del sistema mecánico y algunos otros valores
físicos.

Pero, ¿pueden todos estos datos ser conocidos con
exactitud en cada caso?

La respuesta obviamente es: NO.

Por este motivo, los resultados que son consecuencia de
la acción de muchas variables y cuyos valores no
están perfectamente determinados, se dicen que dependen
del "azar".

Estos casos se llaman también:

En lo que sigue trataremos de mostrar la "ley" que rige
el comportamiento de estos últimos.

En primer lugar consideremos una forma teórica de
estudiar un suceso aleatorio. Esto se logra introduciendo el
concepto de "Probabilidad" de ocurrencia del mismo.

Supongamos que una determinada situación se puede
presentar de diferentes maneras y que todas ellas tengan igual
posibilidad de ocurrir.

Se define el cociente:

Esta es la definición clásica de
probabilidad, que se ha objetado afirmando que los
términos "posible" y "probable" aluden a la misma idea.
Conviene suponer, en cambio, que ambas palabras tienen un
significado ligeramente diferente.

Citamos al Dr. Rey Pastor, cuando dice en su libro
"… también es posible aunque poco
probable que un mono, golpeando el teclado de una
máquina, escriba "La Divina Comedia".

Evitamos así definiciones puramente
matemáticas, que nos apartarían de nuestro
propósito.

Apliquemos la definición a un caso concreto:
calculemos la probabilidad (teórica) de que, al arrojar un
dado, salga el número "2"

En este caso la probabilidad es un número
fraccionario (expresado también en forma
decimal).

Y un ejemplo algo mas complicado será:

¿Cuál es la probabilidad de que
encendiendo al azar un receptor de radio, en una estación
que emita la señal de la hora oficial, se escuche al menos
un "pip" en el momento inicial?

Las señales horarias son de " 6 pips ", uno por
segundo, los últimos 5 segundos de las horas y de " 3 pips
" los últimos 2 segundos de las medias horas. En
consecuencia la probabilidad buscada será:

p = 9 segundos con "pip", durante una hora / 3600
segundos en toda la hora

p = 9 / 3600 = 0,0025

La probabilidad tiene como valores extremos, "0"
como mínimo y "1" como máximo.

En efecto, p=0 implica la "imposibilidad", es
decir que el numerador de la fracción valga 0; mientras
que p=1 determina la "certeza" o sea que todos los
resultados posibles sean favorables.

El primer caso ( p=0 ), podría ser la
probabilidad de que al tirar el dado salga "7" (imposible) y el
segundo ( p=1 ) que el resultado fuera "1"; "2"; "3"; "4"; "5"
ó "6" (alguna cara del dado se
presentará).

Así, probabilidades muy bajas serán
valores cercanos a "0" (acertar el premio mayor de la
lotería), mientras que números cercanos a "1"
serán sucesos de muy fácil aparición (por
ej. la extracción al azar, de un maso de 50 cartas, de una
de ellas que no sea el "as de espadas" ).

p = 49 / 50 = 0,98.

Supongamos ahora que se quisiera estudiar la
probabilidad de que la siguiente persona que aparezca, tenga una
altura menor que 1,50 m, o bien la probabilidad de que el tiempo
que demorará el colectivo en pasar por la parada, sea
mayor que 3 minutos o sino la de que un producto sea defectuoso,
a la salida de una línea de fabricación.

Estos enunciados y la gran mayoría de las
situaciones reales, si bien son de naturaleza aleatoria, sus
probabilidades no son calculables en forma teórica por la
aplicación de la expresión vista.

En estos casos, la producción de un suceso puede
estudiarse en forma experimental.

Para ello se realiza un cierto número de pruebas
reales y se cuenta la cantidad de veces que se presenta en forma
favorable.

Se define así el cociente empírico o
experimental llamado "frecuencia relativa (fr) del
suceso:

En el caso de nuestro dado, (donde p = 0,1666…en
forma teórica), puede ocurrir que experimentalmente se
efectúen por ejemplo 10 tiradas y el número "2" se
presente 3 veces.

En este caso será:

Resulta obvio que la probabilidad teórica ( p =
o.1666…) y la frecuencia relativa ( fr = 0,3 ) son valores
diferentes.

Pero si se realiza el ensayo un número grande de
veces y se calcula en cada caso la correspondiente frecuencia
relativa tendremos:

Observando la tabla se puede apreciar que conforme
aumenta el número de ensayos, el valor de la frecuencia
relativa se va pareciendo cada vez mas al valor expresado por la
probabilidad.

Pese a que el ejemplo del dado ha sido descripto para un
caso particular, el comportamiento es semejante para todo
fenómeno aleatorio, cualquiera sea la situación
planteada.

Este tema se viene estudiando desde hace mas de 300
años por Jaques Bernouilli (1654-1705); Abrahan de Moivre
(1665-1754); Piere Simón Laplace ( 1749-1827); Karl
Friedrich Gauss ( 1777-1827) y otros grandes
matemáticos.

La experiencia acumulada nos permite pensar que, cuando
la cantidad de ensayos es un número pequeño, el
"azar" desordena los resultados.

En cambio en la medida que el número de pruebas
se incrementa, el resultado aparece como protegido por las
misteriosas leyes del "azar".

Un enunciado que permite resumir todo lo anterior, es la
llamada :

"Ley de los Grandes Números" que
expresa:

Cuando el número de ensayos es grande, la
frecuencia relativa de aparición de un suceso, tiende al
valor de su probabilidad.

Matemáticamente se puede escribir:

Es decir que el límite de la frecuencia
relativa, cuando el número de ensayos (n) tiende a
infinito, es igual al valor de la probabilidad.

Existe actualmente una muy desarrollada teoría
matemática alrededor del concepto de probabilidad, por lo
que es deseable conocer su valor numérico.

Pero cuando no exista forma natural o matemática
de calcularla, se puede realizar una serie de experiencias o
determinaciones empíricas y calcular la frecuencia
relativa para un número grande de casos.

Se puede tomar así el valor de "probabilidad"
teórica, como el de la "frecuencia relativa" experimental
obtenida.

Por otra parte recordemos que la "Estadística" es
la ciencia encargada de recoger, analizar e interpretar los datos
numéricos relativos a una situación o conjunto
cualquiera.

Pero para que las conclusiones estadísticas
tengan validez deben apoyarse en una masa de datos
suficientemente grande para que los valores de frecuencias
relativas que maneja, puedan ser tomados como valores de
probabilidad.

Intuitivamente a nadie se le ocurriría obtener la
altura media de los habitantes de una ciudad, promediando las
alturas de las tres primeras personas que encontrara.

Ellos podrían ser los enanos de un circo cercano,
o los jugadores de basket de un equipo visitante .

Para acercarnos a la verdadera altura media
deberíamos en realidad considerar el promedio de las
alturas de un número grande de habitantes.

Es clásico el jugador de ruleta que dice: "al
principio gané, pero seguí jugando y perdí
todo".

Naturalmente, tiene en su contra la ley de los grandes
números ya que ese juego está pensado con una
probabilidad de ganancia que favorece al "casino". Si bien en
alguna jugada acertó, en muchas jugadas necesariamente
habrá perdido.

Cabe destacar que el "casino" tiene todas las jugadas de
la noche, todas las "mesas" y toda la "temporada", es así
que su ganancia está asegurada por la ley de los grandes
números.

Como conclusión se señala que existe una
abundante y excelente bibliografía, tanto en el tema
"Probabilidades" como en "Estadística", por lo que el
presente artículo solo pretende destacar tres frases
aplicables a cualquier suceso aleatorio:

• Nadie puede predecir el resultado del siguiente
  ensayo.

• Ninguna conclusión puede obtenerse de un
  solo resultado.

• Es la Ley de los Grandes Números la que
  aclara el significado de la frase:

Autor:

Arturo Gustavo Tajani