Circuitos Eléctricos I Esta presentación introduce
el tema del modelado matemático de circuitos
eléctricos lineales. Modelando un circuito
eléctrico se obtiene un sistema implícito de
ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDAs) que se convierten
en un sistema explícito de ecuaciones diferenciales y
algebraicas en el proceso de la ordenación horizontal y
vertical de las ecuaciones. Eliminando las variables algebraicas,
estas EDAs pueden convertirse a un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDOs).
Contenido Elementos y sus modelos La topología de los
circuitos y sus ecuaciones Un ejemplo Ordenación
horizontal Ordenación vertical Representación en el
espacio de estados Transformación al espacio de
estados
Elementos de Circuitos Lineales Resistores Capacidades
Inductancias (Gp:) R (Gp:) i (Gp:) v (Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b
(Gp:) u (Gp:) C (Gp:) i (Gp:) v (Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) u
(Gp:) L (Gp:) i (Gp:) v (Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) u (Gp:) u =
va – vb (Gp:) u = R·i (Gp:) u = va – vb (Gp:)
i = C· (Gp:) du (Gp:) dt (Gp:) u = va – vb (Gp:) u =
L· (Gp:) di (Gp:) dt
Elementos de Circuitos Lineales II Fuentes de voltaje Fuentes de
corriente Tierra (Gp:) U0 = vb – va (Gp:) U0 = f(t) (Gp:) I
(Gp:) 0 (Gp:) I (Gp:) v (Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) u (Gp:) 0
(Gp:) u = vb – va (Gp:) I0 = f(t) (Gp:) V (Gp:) 0 (Gp:) V
(Gp:) 0 (Gp:) V (Gp:) 0 – V0 = 0 (Gp:) U (Gp:) 0 (Gp:) i (Gp:) v
(Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) U (Gp:) 0 (Gp:) | (Gp:) +
La Topología de los Circuitos Nodos Mallas (Gp:) va = vb =
vc (Gp:) ia + ib + ic = 0 (Gp:) v (Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) i
(Gp:) a (Gp:) i (Gp:) b (Gp:) i (Gp:) c (Gp:) v (Gp:) c (Gp:) v
(Gp:) a (Gp:) v (Gp:) b (Gp:) v (Gp:) c (Gp:) u (Gp:) ab (Gp:) u
(Gp:) bc (Gp:) u (Gp:) ca uab + ubc + uca = 0
Un Ejemplo I
Reglas para Sistemas de Ecuaciones I Las ecuaciones de los
elementos y de la topología contienen redundancia. Por
ejemplo es posible eliminar todas las variables de potencial (vi)
sin problemas. La ecuación de corrientes para el nodo de
la tierra es redundante y no se usa. Las ecuaciones de las mallas
solamente se usan si las variables de potencial se eliminan. Si
no es el caso, estas ecuaciones son redundantes.
Reglas para Sistemas de Ecuaciones II Si las variables de
potencial se eliminan, cada elemento del circuito define dos
variables: la corriente (i) a través del elemento y el
voltaje (u) a través del mismo. Por consecuencia se
necesitan dos ecuaciones para obtener los valores de estas dos
variables. Una de las ecuaciones es la ley principal del elemento
mismo, la otra se deriva de la topología.
Un Ejemplo II Ecuaciones principales de los elementos: U0 = f(t)
iC = C· duC/dt u1 = R1· i1 uL = L· diL/dt u2
= R2· i2 Ecuaciones de los nodos: i0 = i1 + iL i1 = i2 +
iC Ecuaciones de las mallas: U0 = u1 + uC uL = u1 + u2 uC = u2 El
circuito contiene 5 elementos ? Se piden 10 ecuaciones en 10
incógnitas
Reglas para la Ordenación Horizontal I La variable
representando el tiempo t puede tratarse como conocida. Las
variables de estado (variables que aparecen en forma
diferenciada) pueden tratarse como conocidas. (Gp:) U0 = f(t) u1
= R1· i1 u2 = R2· i2 iC = C· duC/dt uL =
L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC
= u2 uL = u1 + u2 (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 =
R2· i2 iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:)
i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2
?
Reglas para la Ordenación Horizontal II Ecuaciones que
contienen una sola incógnita deben evaluarse por ella. Las
variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas. (Gp:) U0 =
f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 +
uC uC = u2 uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 =
R2· i2 iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:)
i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2
Reglas para la Ordenación Horizontal III Variables que
aparecen en una sola ecuación todavía no causal
deben evaluarse usando esa ecuación. (Gp:) U0 = f(t) u1 =
R1· i1 u2 = R2· i2 iC = C· duC/dt uL =
L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC
= u2 uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 =
R2· i2 iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:)
i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2
Reglas para la Ordenación Horizontal IV Todas esas reglas
pueden aplicarse múltiples veces. (Gp:) U0 = f(t) u1 =
R1· i1 u2 = R2· i2 iC = C· duC/dt uL =
L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC
= u2 uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 =
R2· i2 iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:)
i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2
(Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 iC =
C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2
+ iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) u1 =
R1· i1 u2 = R2· i2 iC = C· duC/dt uL =
L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC
= u2 uL = u1 + u2 (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 =
R2· i2 iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:)
i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2 ? El
algoritmo se aplica hasta que cada ecuación define
exactamente una sola variable que se evalúa por
ella.
Reglas para la Ordenación Horizontal V La
ordenación horizontal puede ser ejecutada ahora usando
técnicas simbólicas de la manipulación de
formulas. (Gp:) U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt uL = L· diL/dt (Gp:) i0 = i1 + iL i1
= i2 + iC U0 = u1 + uC uC = u2 uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) i1
= u1 /R1 i2 = u2 /R2 duC/dt = iC /C diL/dt = uL /L (Gp:) i0 = i1
+ iL iC = i1 – i2 u1 = U0 – uC u2 = uC uL = u1 + u2
Reglas para la Ordenación Vertical Entre tanto las
ecuaciones se convirtieron en asignaciones. Pueden ser ordenadas
verticalmente de tal manera que ninguna de las variables se use
antes de que esté definida. (Gp:) U0 = f(t) i1 = u1 /R1 i2
= u2 /R2 duC/dt = iC /C diL/dt = uL /L (Gp:) i0 = i1 + iL iC = i1
– i2 u1 = U0 – uC u2 = uC uL = u1 + u2 ? (Gp:) U0 = f(t) u1 = U0
– uC i1 = u1 /R1 i0 = i1 + iL u2 = uC (Gp:) i2 = u2 /R2 iC = i1 –
i2 uL = u1 + u2 duC/dt = iC /C diL/dt = uL /L
Reglas para Sistemas de Ecuaciones III Alternativamente es
posible trabajar con voltajes y potenciales. En ese caso
ecuaciones adicionales definiendo los potenciales de los nodos
deben encontrarse. Se trata de las ecuaciones que relacionan los
voltajes a través de elementos con los potenciales en sus
terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora. Las ecuaciones de
las mallas son redundantes y deben eliminarse.
Un Ejemplo III El circuito contiene 5 elementos y además 3
nodos. ? Se piden 13 ecuaciones en 13 incógnitas.
Ecuaciones principales de los elementos: U0 = f(t) U0 = v1
– v0 u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2 u2 = R2·
i2 u2 = v2 – v0 iC = C· duC/dt uC = v2 – v0 uL
= L· diL/dt uL = v1 – v0 v0 = 0 Ecuaciones de los
nodos: i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC v1 v2 v0
Ordenación El algoritmo de la ordenación de
ecuaciones puede aplicarse exactamente como antes. El algoritmo
de la ordenación ya se había reducido a una
estructura puramente matemática (de información)
que no mantiene ningún conocimiento de la teoría de
circuitos eléctricos. Por consecuencia la tarea del
modelado puede reducirse a dos problemas parciales:
Transformación de la topología del sistema
físico a un sistema implícito de DAEs.
Conversión del sistema DAE a una estructura de
programación ejecutable.
Representación en el Espacio de Estados Sistemas lineales:
Sistemas no lineales: (Gp:) dx (Gp:) dt (Gp:) = A · x + B
· u (Gp:) y = C · x + D · u x(t0) = x0 ;
(Gp:) dx (Gp:) dt (Gp:) = f(x,u,t) (Gp:) y = g(x,u,t) ; x(t0) =
x0 x ???n u ???m y ???p x = Vector de variables de estado u =
Vector de variables de entrada y = Vector de variables de salida
n = Número de variables de estado m = Número de
entradas p = Número de salidas A ???n ? n B ???n ? m C
???p ? n D ???p ? m
Transformación al Espacio de Estados I (Gp:) U0 = f(t) u1
= U0 – uC i1 = u1 /R1 i0 = i1 + iL u2 = uC (Gp:) i2 = u2 /R2 iC =
i1 – i2 uL = u1 + u2 duC/dt = iC /C diL/dt = uL /L duC/dt = iC /C
= (i1 – i2 ) /C = i1 /C – i2 /C = u1 /(R1 · C) – u2
/(R2 · C) = (U0 – uC) /(R1 · C) – uC /(R2
· C) diL/dt = uL /L = (u1 + u2) /L = u1 /L + u2 /L = (U0 –
uC) /L + uC /L = U0 /L ? Para cada ecuación que define una
derivada se substituyen las variables de la derecha por las
ecuaciones que definen ellas hasta que las derivadas dependan
solamente de variables de estado y de entradas.
Transformación al Espacio de Estados II x1 = uC x2 = iL u
= U0 y = uC Definiendo: ? x1 = – . R1 · C 1 R2 · C
1 + [ ] x1 R1 · C 1 . . u + x2 = . 1 L . u y = x1
Un Ejemplo IV
Referencias Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 3. Cellier, F.E. (2001),
Código de Matlab del circuito eléctrico.