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Números primos y su relación con potencia de la forma 2n

Enviado por José Mujica



Números primos y su relación con 2n - Monografias.com

Números primos y su relación con 2n

Dada la progresión aritmética de la forma Monografias.comJohann Dirichlet (1805-1859); donde a y b son primos entre sí. Adicionalmente, se tiene que b será de la forma p1xp2xp3x….xpn y a serán todos los primos respecto de b desde 1 hasta b, sin incluir b.

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Notemos dos características importantes entre estos dos números:

  • 1. Son complemento respecto a b

  • 2. Su diferencia es un número par de la forma 2n

Examinemos los siguientes ejemplos:

Ahora utilizaremos la siguiente expresión f(m)= Tm + a; b=T

T= 30

Tabla 1

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Este caso es muy interesante dado que la diferencia del primer par complementario es el número perfecto 28. Los tres pares complementarios restantes son potencia de 2 y su suma es 28.

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Entendamos que llegamos a esta conclusión, partiendo desde los números primos y que estos, a su vez, no guardan relación aparente con la forma 2n.

Tomemos ahora el caso para T=1x2x3x5x7= T = 210

Tabla 2

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Tomemos ahora el caso para T=1x2x3x5x7x11= T = 2310

Tabla 3

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Es importante señalar que para fines de la simplificación de la información, no se colocan todos los valores de a, estos valores van desde 1 hasta 209. Desde esta Tabla 2 en adelante, se colocan los valores de a que ilustren o expliquen el objetivo que deseamos en el presente trabajo.

Nótese que respecto a la Tabla 1, se elimina el 28 y se encuentra ahora el 32, siendo 32 = 25. Observemos que entre el 64 y el 32 se encuentran dos elementos, el 44 y el 52.

En la Tabla 3, observamos que el 44 ya no está y tenemos seis elementos entre el 64 y el 128.

Tomemos ahora el caso para T=1x2x3x5x7x11x13= T = 30030

Tabla 4

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Tomemos ahora el caso para T=1x2x3x5x7x11x13x17 T = 510510

Tabla 5

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Observamos que el elemento 52 de la Tabla 3, que separaba el 32 del 64 desaparece y se disminuye en uno, los elementos entre el 128 y el 64

Observamos que el elemento 68 de la Tabla 4, que separaba el 64 del 128 desaparece. Ahora sólo hay 4 elementos entre el 128 y el 64.

Tomemos ahora el caso para T=1x2x3x5x7x11x13x17x19

T = 510510

Tabla 6

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Observamos que el elemento 76 de la Tabla 5, que separaba el 64 del 128 desaparece. Ahora sólo hay 3 elementos entre el 128 y el 64.

Tabla 7

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Para p= 23 implica que T= 223.092.870, este valor es bastante grande, para tener una idea de lo grande que es, pensemos en lo siguiente: El Excel (2007) maneja aproximadamente 1.050.000 filas, dicho de otro modo, tendría que manejar una matriz de 200 columnas por 1.000.000 de filas, lo que claramente es una limitación importante para seguir en la demostración. Aún así, con los casos vistos afirmaremos que:

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Autor:

José Mujica


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