Una propuesta de enseñanza aprendizaje para la construcción de una noción de función lineal

Introducción

Esta unidad didáctica está realizada con
el fin de describir tareas que ayuden a fortalecer algunas
dificultades que tienen los jóvenes de grado noveno de
bachillerato de la Institución Educativa Distrital Paulo
Freire en la jornada de la tarde, con respecto a áreas y
perímetros, plano cartesiano, tabulación y
gráficas, series y sucesiones, modelación
matemática y noción de función lineal. Todos
presentes en el pensamiento variacional.

Para el desarrollo de dichas tareas se tendrá en
cuenta los resultados que se evidenciaron en la aplicación
de la prueba diagnóstico, reflexionando sobre las
dificultades que presentan los estudiantes en reconocer y
caracterizar la noción de función lineal y los
temas con relación a este.

Los temas trabajados durante todo el semestre de 2011
fueron tomados de lo expuesto en los libros de funciones y
gráficas de Azcárate Giménez,
Carmen, iniciación al álgebra de
Socas Robayna, Martín Manuel, lineamientos
curriculares de matemáticas del ministerio de
educación nacional y los estándares
básicos de competencias en matemáticas. Donde
se tomó la sustentación teórica de cada
actividad propuesta y llevada al aula de clase, algunas de las
herramientas usadas y algo de la metodología de
enseñanza.

Al igual durante el transcurso de la práctica se
vieron otros autores que aunque no fueron de nuestra
búsqueda para la enseñanza de la práctica,
fueron presentados como innovadores en la enseñanza de la
matemática, algunos de ellos como Ives Chevallard
y la trasposición didáctica, que en pocas
palabras hace mención a la transformación del
conocimiento científico al escolar por medio de los
documentos vigentes y pertinentes. Otro autor como Valero
P. en su texto consideraciones sobre el contexto y la
educación matemática para la democracia. Nos
muestra la importancia de la contextualización de cada uno
de los conceptos matemáticos con la vida cotidiana del
estudiante, para lograr que los conceptos sean significativos y
sean comprendidos con mayor facilidad y ayude a desarrollar un
pensamiento crítico y reflexivo.

La estructura que tiene la unidad didáctica es la
propuesta por el grupo de investigación DECA, por el poco
tiempo que dura la práctica y porque es una forma de
acercarnos a la mejora de los conocimientos que tienen los
alumnos. Dicha estructura presenta características como:
poner en momentos claramente diferenciados, la
construcción del significado matemático por parte
del profesor y los estudiantes, los roles (compromisos y
responsabilidades del estudiante y el profesor prescritos en el
contrato didáctico), la descripción de la actividad
(informar sobre la intención de la actividad, explicar en
qué consiste), los materiales didácticos o
instrumentos de mediación (materiales tangibles y
manipulables como fichas, palabras escritas o habladas,
gráficos, entre otros), los referentes teóricos de
la actividad (para generar indicadores de evaluación) y
los momentos de gestión del profesor dentro del aula de
clases.

Contexto
institucional

Usme es la localidad número 5 del Distrito
Capital de Bogotá y está ubicada al suroriente de
la cuidad, la población de Usme se encuentra separada del
casco urbano de la cuidad pero incluye varios barrios del sur de
la cuidad, la población está inmersa en extensas
zonas rurales. Fue fundada en 1650 con el nombre de San Pedro de
Usme convirtiéndose en una zona rural dedicada a la
agricultura que proveía de alimentos a Santa Fe. Es
fundada como municipio en el año de 1911 con el nombre
actual, de donde paso de ser una zona agrícola a una zona
de explotación de materiales para la construcción,
se encuentran en los límites con los cerros orientales las
ladrilleras, areneras y canteras que fueron fuente de materiales
para la construcción a Santa Fe y que hoy en día
son cuestionadas por los daños ambientales que se le hace
a uno de los pulmones verdes de Bogotá.

Parte de esta misma historia y preocupación se
observa en lo planteado por Francisco Javier Camelo B.,
en el texto titulado "Conocer el contexto de los estudiantes,
una alternativa indispensable para la formulación de
proyectos bajo un enfoque crítico". Donde hace
mención a una salida de reconocimiento por la localidad
donde participan algunos profesores de la Universidad Distrital,
unos profesores y estudiantes de la Institución Educativa
Distrital Paulo Freire identificando las zonas de alto riesgo
donde están ubicadas las empresas explotadoras de
materiales de construcción, además también
se visualiza la inseguridad de la zona, a tal punto que la
población preferiría perder la riqueza ambiental y
las zonas verdes por la seguridad social, porque las zonas verdes
son foco de personas desechables y ladrones. En parte
también se explica la situación social que persiste
en ésta localidad, debido a que en Usme se encuentran gran
cantidad de desplazados y personas pobres que viven en zonas de
alto riesgo y deslizamiento de tierra, que ante la imposibilidad
de conseguir un trabajo digno se dedican a actividades ilegales,
algunas de estas es la venta de sustancias psicoactivas que es
una gran preocupación en las instituciones de la zona, las
autoridades pertinentes trabajan en el control de estas
actividades pero sin embargo no se puede cubrir toda esa zona tan
amplia.

La Institución Educativa Distrital Paulo Freire
está ubicada en la parte central de las nuevas
construcciones de Usme cerca al portal de Transmilenio, que es
considerada como la mejor zona, ya que cuenta con la presencia de
un centro comercial, el colegio en mención y el portal. Lo
que contrarresta las actividades ilegales que se practiquen.
Dentro del colegio los alumnos generalmente son de estrato
económico 1, muchos provenientes de barrios cercanos que
tienen que vivir la inseguridad social, las zonas de alto riesgo,
la contaminación de las canteras y ladrilleras, y la venta
de drogas. A pesar de esto los alumnos del colegio Paulo Freire
tienen buenos sueños para su futuro, como lo son salir
adelante con una carrera profesional o técnica aunque
muchos otros optan por carreras militares, según se
evidenció en la aplicación de la prueba de
reconocimiento. Lo bueno, es indispensable del camino que tomen,
los chicos tienen el sueño de salir adelante y saben que
la única forma es estudiar.

En sí, y según nuestras experiencias, el
colegio tiene un buen nivel de personas, porque no se presentan
muy a menudo problemas como los mencionados con anterioridad, la
zona en la que está ubicada es buena y ofrece seguridad a
los estudiantes (donde está ubicado el colegio) pero ya
durante el camino del colegio a la casa, los estudiantes se
tienen que defender por sí mismos.

Justificación

Después del resultado arrojado por la prueba
diagnóstico aplicado a este grupo de estudiantes, se
decidió empezar por reforzar los conceptos
matemáticos básicos tales como áreas y
perímetros, plano cartesiano y tabulación y
gráficas; es muy importante trabajar estos temas ya que en
la vida cotidiana siempre encontraremos la necesidad tomar el
perímetro de una casa, el área de un jardín,
organizar y distribuir estructuras y construcciones en un
determinado terreno, y hacer estimaciones y análisis de
datos en gráficas como lo podrían ser las de las
noticias, resultados de alguna copa de futbol, las estimaciones
anuales de lluvias, los costos de vida, entre otros.

Vincular las matemáticas con el contexto
cotidiano es uno de los esfuerzos más grandes que no solo
debe hacer el docente matemático sino el maestro de
cualquier área. Es cómo vincular el trabajo del
docente con el contexto, eso es garantizar que los conocimientos
son significados. Quizás pareciera que el área de
matemáticas no tiene relación con la vida de los
estudiantes y se hagan la falsa idea de que esos conocimientos
solo le serán de utilidad cuando entre a la universidad.
Por eso el docente debe intentar incluir en sus clases la manera
de vincular la matemática con la cotidianidad.

El estudiante comenzara a ver que la matemática
no es solo cosa del colegio y del cuaderno, sino que está
en todo su alrededor. Se trata de que la matemática sea
vista como una herramienta que tiene aplicaciones en el arte, en
la sociedad, en la cultura y en la vida personal. Por
consiguiente es importante que el docente matemático este
siempre relacionando la temática de clase con el contexto
cotidiano, como los diferentes análisis y
estadísticas del noticiero, los problemas de salud que se
miden en porcentaje, las tablas de puntuación y marcadores
del fútbol, etc.

La matemática es cultura, porque la
matemática es una forma de ver el mundo y también
es una forma de transformarlo. Como por ejemplo el cambio de las
dimensiones de las viviendas (la vivienda digna), la
construcción y organización geométrica de
ciudades donde ni si quiera se respeta los limites naturales como
ríos o montañas, la forma de cómo la gente
accede al mundo del mercado, el entendimiento de los sistemas
numéricos. En la televisión, en la calle, en los
periódicos encontramos números, tablas
estadísticas, proporciones, porcentajes que permiten
preguntar y analizar muchas cosas de interés general,
Porque aunque la investigación o el trabajo sea de un
área ajena a la matemática, ahí se encuentra
un gráfico, una explicación matemática o una
frase que lo remite a un contenido matemático.

Se debe apostar tanto al desarrollo
lógico-matemático como crítico, se debe
hacer pensar y reflexionar al estudiante sobre su estado, sobre
los problemas de país, que entienda el porqué de su
situación y consiga los elementos para transformarlo. La
matemática al igual que las otras áreas debe
colaborar con la construcción de un mundo diferente donde
se respete la justicia, la igualdad y la verdad.

Para finalizar y como se habló con
relación a Valero P. la contextualización de los
ejercicios y situaciones problemas llevados al aula de clases
durante el primer semestre del año 2011 intentaba
concientizar y hacer reflexionar a los estudiantes sobre los
problemas sociales y sobre el uso de los conceptos y
conocimientos matemáticos aprendidos. Al igual que
intentar mejorar la comprensión y la retención del
conocimiento matemático mediante situaciones de la vida
real.

OBJETIVOS

• Objetivo General:

Elaborar una propuesta de enseñanza aprendizaje
que posea determinadas fases de aplicación de actividades,
que nos permitan construir una noción de función
lineal, en estudiantes de noveno grado del colegio Paulo
Freire.

• Objetivos Específicos:

• Presentar diversas actividades en los que el
  estudiante logre reconocer la congruencia y la semejanza
  entre el área de determinadas figuras
  geométricas básicas, estableciendo de manera
  correcta la relación entre áreas.

• Inducir a los alumnos hacia situaciones en las que
  puedan describir, observar y construir, diferentes
  expresiones algebraicas, que les permitan representar un
  determinado ente, ya sea como la representación de la
  longitud de una figura o como representación de una
  regularidad numérica.

• Promover problemas en los que los estudiantes
  realicen y describan procesos de regularidad numérica,
  frente a determinadas sucesiones
  aritméticas.

• Generar por medio de diferentes situaciones
  problema, el reconocimiento variables independientes y
  dependientes, a la hora de realizar una tabulación de
  datos en una tabla.

• Mostrar el plano cartesiano como la herramienta para
  realizar una representación gráfica, de
  diferentes datos ya tabulados, en el que se haga
  énfasis en el reconocimiento de sus ejes, en la
  ubicación de sus variables y puntos (coordenadas), en
  el que se respete la escala.

• Dirigir al estudiante, a la construcción y
  realización de una expresión algebraica, que
  modele una determinada situación problema que se
  presente.

Planeación
inicial

Planeación
final

¿Qué y por qué cambio la
planeación inicial al final?

En el curso de práctica intermedia III el enfoque
está en al gestión. Donde se debe ver a nivel
general y particular los procesos pertinentes para un buen
desarrollo de las actividades en clase, incluyendo tanto el
aspecto teórico (conocimiento) como el práctico
(metodología, materiales didácticos, etc) con una
buena relación entre estos. La importancia de una
estructuración del trabajo (introducción,
justificación, objetivos, marco teórico, secuencia,
organización, metodología, criterios, conclusiones,
bibliografía) garantiza el éxito de la unidad
didáctica.

Durante todo nuestro proceso de enseñanza sobre
los acercamientos de la noción de función,
paulatinamente saldrán diferentes dificultades, ya sea en
la planeación; porque el tiempo y días de clase
están sujetos a cambios inesperados, donde se
adoptarán estrategias de abordaje de temas en diferentes
tiempos. Y en el diseño; donde se tendrán presentes
las actividades anteriores para la pertinencia de los siguientes,
abarcando diferentes situaciones aprendizaje para observar el
funcionamiento del grupo. La unidad didáctica que
será resultado del proceso general llevado en el aula de
clase tendrá que tener tales problemáticas, es de
suma importancia que aborde y solucione los diferentes problemas
de orden cronológico, metódico y reestructurativo
de actividades.

Las dificultades pueden surgir en diversos aspectos, ya
sea en lo teórico o lo práctico, donde se
deberá acudir al respectivo sustento en busca de
respuestas (documentación didáctica, legal o
histórica) además de los procesos que halla a lugar
(introducción y objetivos).

El establecimiento de una planeación desde el
inicio de la práctica ayuda a enfocar las temáticas
y autores pertinentes para las actividades en clase, cabe decir
que no todo es perfecto y siempre nos encontraremos con problemas
de orden cronológico, ya sea por parte de la
institución (como que no haya clase, una salida
pedagógica, una reunión emergente, refrigerios o
almuerzo de los estudiantes) o por parte de los practicantes (que
el diseño de la clase previa no haya sido autorizado, que
el profesor este enfermo, que tenga algún contra tiempo)
siempre existirá alguna clase que no se podrá
hacer.

Por tal motivo es que la planeación inicial
recibe el cambio ya que habrá que alterarla y ajustar los
tiempos para el cumplimiento de los objetivos en el tiempo
estimado. Se intenta sintetizar las actividades para que incluyan
todos los temas, así las sesiones de clase son de manera
equilibradas incluyendo un poco de todos los temas y pensamientos
a trabajar durante el semestre.

Los cambios más fuertes fueron en el sentido que
algunas actividades no eran pertinentes con los objetivos
generales, quizás algunas incluían temas que
estaban fuera de lo contemplado por la planeación, otras
quizás no cumplían con los objetivos necesarios
como para llevarlas al aula, y otras se adjuntaron o repartieron
en otras sesiones debido a la falta de tiempo. Se podría
decir que los cambios fueron a nivel temático, por la
misma reestructuración de la planeación.

Marco
teórico

PREGUNTA ORIENTADORA:

¿Cómo debe gestionar el maestro una
secuencia de actividades haciendo uso del algebra
geométrica como recurso didáctico para lograr que
los estudiantes de grado noveno lleguen a la noción de
función?

REFERENTES BÁSICOS:

Dentro de la enseñanza de las matemáticas,
el docente debe llevar a cabo una ardua labor de
documentación, valiéndose de referentes
teóricos que le puedan proporcionar al menos un punto de
partida para idear la planeación y el diseño de una
secuencia de actividades que genere un aprendizaje de las
matemáticas de tipo significativo, que sea coherente, y
pueda ser gestionada en determinado nivel de
formación.

Por lo tanto, en la medida que debemos presentar una
propuesta de enseñanza para el grado noveno de
educación básica, nos hemos remitido a los
Estándares Curriculares[1]de
educación para el área de matemáticas, para
poder llevar a cabo la elaboración y construcción
de una propuesta de enseñanza como tal para este grado
escolar, donde allí hace mención a diferentes
pensamientos matemáticos y dentro de ellos se encuentra el
pensamiento variacional y sistemas algebraicos y
analíticos; en el que hemos decido enfocar nuestra
propuesta de trabajo, para la construcción de una
noción de función lineal.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, en esta
unidad didáctica se presenta una propuesta de aula propia
del grupo de trabajo, que se obtuvo a partir de la
planeación y diseño de una secuencia de
actividades, que planteamos para la comprensión y
entendimiento del concepto de la función lineal. Estas
actividades cumplían con un orden secuencial propuesto por
el grupo DECA que son: "Actividades de reconocimiento,
diagnostico, desarrollo y reestructuración,
aplicación y profundización, y por ultimo
actividades de evaluación"[2]; en
donde a partir de las dificultades y logros evidenciados con la
presentación y aplicación de una determinada
actividad, se iba planeando y elaborando las próximas
actividades, que nos permitieran la adecuada construcción
de la temática que pretendíamos
trabajar.

En este orden de ideas, respecto al proceso de
enseñanza aprendizaje que queríamos llevar a cabo
con esta propuesta, se debe tener muy en cuenta los diferentes
aspectos que se involucran dentro del mismo, y más
específicamente al aprendizaje que debe realizar cada uno
de los estudiantes; ya que según Valero (2002) "El
aprendizaje es un proceso en donde el individuo se pone en
contacto con el mundo social no solo cuando interactúa con
otros en un espacio contextual cerrado; sino cuando dicha
práctica social se realiza colectivamente adquiriendo
significado en relación con los acuerdos sobre normas,
valores y formas de actuar"[3]. En esta
medida, se busca entonces mirar referentes teóricos que
nos permitan dirigirnos al aspecto matemático a trabajar,
en donde a través del planteamiento de diferentes
actividades, involucremos a los estudiantes dentro de un espacio
contextual, que logren desenvolverse adecuadamente para la puesta
en escena de sus ideas y conocimientos de la temática en
desarrollo.

Por lo cual, haciendo énfasis a los
Estándares nos permiten delimitar lo que cada estudiante
debe construir según el grado escolar, respecto al
conocimiento o contenido que se pretende trabajar. Por lo cual,
los estándares curriculares (MEN 2006), un alumno de grado
noveno de educación básica segundaria, debe estar
en capacidad de plantear representaciones geométricas para
resolver y formular problemas en las matemáticas y en
otras disciplinas; y hacer uso de procesos inductivos y lenguaje
algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. Dentro de
la planeación se centra la mirada en la
construcción e identificación de expresiones
algebraicas y la manera en que establecen relaciones
numéricas y geométricas.

Por otro lado, teniendo en cuenta los Lineamientos
Curriculares (1998) para el área de matemáticas,
establecen unos tipos de pensamientos[4]dentro de
esta propuesta de enseñanza como anteriormente se ha
dicho, se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento
variacional y sistemas algebraicos y analíticos, en el
cual de manera general, enmarca diferentes consideraciones
conceptuales matemáticas, en las que está
involucrada la variación, dentro de estas tenemos: "La
función como dependencia y modelos de función; las
magnitudes; el algebra en su sentido simbólico, liberada
de su significación geométrica, particularmente la
noción y significado de la variable, es determinante en
este campo[5]

Ahora teniendo en cuenta todo lo anteriormente dicho,
nuestra propuesta de enseñanza surge con la
intención de permitir y propender por la adecuada
construcción de una noción de función lineal
en estudiantes de grado noveno, donde hemos querido presentar una
propuesta que genere una comprensión e
interiorización de dicha temática; ya que
según Rey y Otros (2009): "Las limitaciones de nuestros
alumnos están relacionadas, muchas veces, con la ausencia
del potencial modelizador de la noción de función,
el excesivo hincapié en el registro algebraico, la falta
de articulación entre registros, el oscurecimiento de los
elementos fundamentales de variabilidad y dependencia, y el
trabajo descontextualizado, tan frecuente en matemática".
Por lo cual nuestra propuesta se ha planteado a partir del
álgebra geométrica, con la presentación de
situaciones relacionadas al contexto social de los estudiantes,
que involucren el uso de materiales de tipo manipulativo, que
permitan el óptimo entendimiento de los contendidos que se
irán desarrollando.

Para esto se ha de tener en cuenta a Rey y Otros (2009),
en donde hacen mención a que "Los principales
elementos que integran la noción de función, son
entonces, la variación, la dependencia, la
correspondencia, la simbolización y expresión de la
dependencia, y sus distintas formas de
representación[6]por ello se ha de
trabajar en la construcción de expresiones algebraicas, la
relación entre variables, con el fin que se logre
evidenciar la dependencia de variables, que permitan entonces,
realizar una mejor tabulación de diferentes datos y
posteriormente la representación gráfica de los
mismos, dentro de determinadas situaciones que se propongan para
lograr encaminarnos hacia la función lineal, ya que
según Rey y Otros (2009), "Para que las funciones
puedan ser una verdadera herramienta de modelación, es
necesario que no se oscurezca su esencial significado de
dependencia entre variables, perdiendo su carácter
dinámico, para transformarse en algo puramente
estático".

En esta medida haciendo referencia a Rey y Otros (2009),
"El concepto de función puede admitir representaciones
en diferentes registros, con diversos alcances y limitaciones. Un
registro no está ligado ni a objetos ni a conceptos
particulares; está constituido por los signos, en el
sentido más amplio del término: trazos,
símbolos, iconos. Los registros son medios de
expresión y de representación y se caracterizan
precisamente por las posibilidades ligadas a su sistema
semiótico. Un registro da la posibilidad de representar un
objeto, una idea o un concepto, no necesariamente
matemático." En esta medida es de reconocer que la
noción de función puede representarse en diversos
registros: un registro verbal, un registro de tablas, un registro
gráfico, un registro algebraico y un registro
algorítmico, que es lo que en verdad nos interesa para
llegar a la construcción del concepto de función en
los estudiantes; a continuación se muestra una
visión más clara de cada uno de estos
registros:

Registro Verbal:

En este registro la función admite como
representación una descripción en lenguaje normal y
común que las personas utilizan.

Registro Tabla:

En relación a este registro la función se
representa con una tabla de valores, en donde se determina la
relación de correspondencia entre dos determinadas
variables, tanto la variable independiente como la variable
dependiente.

Registro Gráfico:

Respecto al registro gráfico, una función
se puede representar por medio de una recta (continua o no) en el
plano cartesiano, donde aquí se pone en juego la
noción de grafo de una función; presentando
limitaciones, ya que como en el caso de la tabla, es necesario
imaginar que continúa más allá de lo que es
posible observar.

Registro Algebraico:

Dentro de este registro, una función se puede
representar por medio de una expresión algebraica o
fórmula, que permite calcular la imagen f(x) para toda x
perteneciente al dominio de la función, por lo tanto esta
representación tiene pocas limitaciones y son aquellas que
provienen del cálculo.

Registro Algorítmico:

Este último registro hace referencia a la
representación de una función mediante un programa
o un procedimiento, como los que utilizan las calculadoras o
computadoras; donde se representa el proceso para calcular la
imagen a partir de los valores del dominio.

En este orden de ideas, partiendo de manera general de
las anteriores consideraciones hechas sobre la noción de
función lineal, y de manera más específica,
teniendo en cuenta por un lado, diferentes aspectos relevantes
dentro de un proceso de enseñanza aprendizaje, que
según Valero (2002), dentro de dicho proceso se debe tener
en cuenta un contexto situacional donde se logre percibir las
relaciones históricas, sociales y culturales que
están presentes dentro del entorno del alumno, que
contribuyan al aprendizaje de la temática que se pretende
trabajar. Y por otro lado, resaltando la importancia de la
posibilidad de reconocer los desarrollos intelectuales que puedan
llegar a realizar los estudiantes, representado cada uno de ellos
por un modo característico de razonamiento y por unas
tareas especificas de matemáticas que los alumnos son
capaces de hacer, y haciendo referencia a Socas (1996),
"Constituye lo anteriormente dicho, una información
valiosa para los profesores a la hora de diseñar el
material de enseñanza y permite conocer el nivel de
realizaciones y respuestas a cuestiones esperadas de los
alumnos".

En esta medida, se inicia entonces por realizar un
trabajo puntual sobre las expresiones algebraicas, en donde el
estudiante reconozca la importancia de la simbología en el
momento de representar una determinada situación, e
identificando el uso de las mismas, ya que según el grupo
Azarquiel (1993), propone que para poder comprender el sentido de
los símbolos es necesario interiorizar la doble
relación entre las situaciones concretas y las expresiones
algebraicas. Por lo cual, con el fin de que al estudiante se le
facilite una comprensión de una idea algebraica, se
comienza por mostrarle la importancia de la existencia de la
letras en este contenido, al ser las variables que se presentan
dentro de las expresiones algebraicas; aquí hacemos
mención a Socas (1996), donde nos aclara que el uso de las
letras como variables procede de la geometría griega,
donde la comunicación escrita del conocimiento
geométrico requería el uso de figuras, en el cual
lo puntos eran señalados con las letras del alfabeto;
inclusive en textos numéricos las letras son aún
usadas como numerales. De manera similar, las líneas o
lados de figuras, triángulos, cuadriláteros, son
designados por letras o combinaciones de letras que en el fondo
indican puntos.

Al respecto es importante hacer énfasis a las
distintas interpretaciones de la letra, ya que existe una gran
variedad de cómo los estudiantes pueden interpretar la
letra en el contexto algebraico, y debe ser trabajo del profesor
hacer una buena introducción a este tema antes de entrar
en él. De acuerdo a Gutiérrez (1998) y
Küchemann (1978), señalan que existen seis formas
diferentes de interpretar la letra en una expresión
algebraica, siendo las siguientes:

• 1. Letras evaluadas: presente en los
  estudiantes que comienzan a tener contacto con el
  álgebra, se ve la letra como un número
  determinado para poder ejecutar una operación. Por
  ejemplo: ¿Cuánto vale "a" en 3 + a =
  8?

• 2. Letras ignoradas: Se puede llegar a una
  situación del uso de las letras sin dotarlas de
  ningún significado.

• 3. Letras como objetos: Consiste en considerar
  las letras como la abreviatura del nombre de un objeto,
  cuando se enseña por familias que en realidad es
  operar letras similares. Por ejemplo: 2x + 3y + 4x – y.
  donde 6x + 2y.

• 4. Letras como incógnitas
  específicas: La letras representa un número
  particular pero desconocido y se puede operar directamente
  con ella. Ejemplo: calcular un polígono de n lados si
  cada lado mide 2 cm.

• 5. Letra como números generalizados: las
  letras representan varios valores numéricos y no
  solamente 1. por ejemplo: calcula los valores de n para que
  se cumpla 3n + 1 < 19.

• 6. Letras como variables: es el significado
  estándar en las matemáticas donde las letras
  representan conjuntos indeterminados de números. Por
  ejemplo: ¿Qué es mayor 2 + n ó2n?
  (Pág. 14 y 15).

De estas interpretaciones solo acogeremos la
interpretación de la letra como número generalizado
y variable, ya que desde la mirada de socas (1989), cuando un
estudiante comprende la letra como numero generalizado,
está en la capacidad de verla como una
representación de varios valores numéricos antes
que de uno exactamente, y con relación a la
interpretación de la letra como variable, son consideradas
como una representación de un conjunto de valores no
especificados y se observa una relación sistemática
entre dos conjuntos de valores.

También el grupo pretexto (1997) al referirse a
la interpretación de la letra como variable, exponen que
como en las distintas ciencias y en la cotidianidad, existen
muchos fenómenos en los cuales una o varias magnitudes
cambian o varían y el manejo de ésta por parte de
los estudiantes, constituye a la vez el uso del simbolismo
algebraico, además, de la posibilidad de representar no
solo números, sino magnitudes, vectores, etc.
Además, Godino (2003) reconoce el uso de la variable como
herramienta para hacer la comparación sistemática
entre estos conjuntos de valores no especificados.

Por lo cual, debido a que las letras son primeramente
usadas para indicar números arbitrarios y también
para funciones arbitrarias, se ha de trabajar en la
asignación de varias letras sobre figuras
geométricas, y los estudiantes deberán a partir de
estas encontrar expresiones algebraicas que representen tanto los
lados de las figuras, como el perímetro y el área
de las mismas, a través de procesos algebraicos;
aquí el álgebra desde una perspectiva
métrica y geométrica, permite que el estudiante
dote de sentido a los objetos y procesos algebraicos, siendo una
forma conveniente en el momento de trabajar situaciones de
variación, ya que posibilita establecer relaciones, hacer
operaciones y observar regularidades.

Desde el aspecto métrico como herramienta de
desarrollo de nociones algebraicas, se hace uso del concepto de
conservación de longitudes y la comparación de
áreas. Según Godino (2003), la conservación
de longitudes se refiere a la capacidad que tienen algunas
características de los cuerpos, de no cambiar aunque se
les manipule y se produzcan cambios de situación en los
mismos, que perceptivamente puede llevar a engaño. La
comparación de áreas en este sentido será
susceptible de los cambios de disposición o de
situación del contorno. Ya que haciendo énfasis
específicamente al término de área y a
autores como Godino, Batanero y Roa (2002), definen el
área de una región plana como el número de
unidades requeridas para cubrirla. Cabe aclarar que se usa por lo
general los cuadrados (por su fácil manipulación)
como unidad de área, pero se pueden utilizar otras figuras
como los triángulos; lo esencial es que recubra totalmente
la región.

Existen dos propiedades básicas en el proceso de
medición de áreas:

• Propiedad de congruencia: Cuando una
  región es congruente con otra entonces tienen la misma
  área. Por ejemplo un cuadrado de 4cm de lado es
  congruente con otro de la misma medida y por lo tanto tienen
  la misma área.

• Propiedad de disección: Cuando una
  región se descompone en varias subregiones disjuntas
  (o sea que no tienen partes en común), el área
  de la región es igual a la suma de las subregiones.
  Por ejemplo un rectángulo de 20 cm2 se puede
  descomponer en cuadrados de 4 cm2 y entonces su área
  va a ser igual a la suma de los cinco cuadrados de 4
  cm2.

Implícitamente, se hace uso del algebra
geométrica como herramienta para que los alumnos operen
expresiones algebraicas y adquieran una noción de
área y perímetro, de igual manera identificaran en
cierta medida el teorema de Pitágoras, ya que según
Socas M.(1996), menciona que "los griegos para la
resolución de ecuaciones desarrollaron métodos
geométricos; por ejemplo, en el libro II de los elementos
de Euclides (300 a. de C.), hay 14 proposiciones que permiten
resolver problemas algebraicos, y ecuaciones cuadráticas
con un procedimiento llamado aplicación de
áreas[7]

Este trabajo puntual sobre la variable, nos conduce a
revisar de manera más puntual, la determinación de
variables, haciendo énfasis a la variable dependiente e
independiente, y debido a que en esta unidad didáctica se
ha tomado la definición de función dada por
Lombardo Radice – Mancini Proia (1977), citado por Azcarate
(1996) Pág. 20, que menciona de manera general que dentro
de la función, "y" está en función de "x" y
lo escribiremos y=f(x) cuando, para "x" variable de un
determinado conjunto, a cada valor de "x" le corresponde un solo
valor de "y"; los valores de "y" constituyen otro conjunto, y se
le da el nombre de variable dependiente, porque depende de los
valores que toma la "x"; en cambio "x" es variable
independiente." Por tal razón al hablar de variable
independiente y dependiente hacemos referencia al conjunto de
cada variable, caracterizando sus respectivos valores.

Por lo cual se busca por medio de un lenguaje algebraico
expresar la relación entre dos variables dadas en lenguaje
habitual, o en lenguaje aritmético (mediante una tabla);
ya que el concepto de características como dependencia de
variables, determinación de la expresión, o
naturaleza numérica de los elementos de los conjuntos,
permite que las características esenciales de la
función como el dominio, codominio y regla de univalencia
se perfilen y adquieran su verdadero valor. De la misma forma el
concepto se presenta dinámicamente a través de la
variación de magnitudes, la transformación de las
mismas y la dependencia entre variables.

Este trabajo se movilizará a través de
determinadas situaciones contextualizadas que contienen diversos
datos que se organizaran en una tabla, permitiendo que se haga un
mejor entendimiento de la dependencia entre variables y de paso a
el reconocimiento de la variación; puesto que según
el MEN (2006), el significado que es la utilidad que le da el
estudiante al conocimiento y el sentido que es como aplica esos
conocimientos a su entorno acerca de la variación puede
establecerse a partir de las situaciones problemáticas
cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio
y variación de la vida práctica. La
organización de la variación en tablas, puede
usarse para iniciar en los estudiantes el desarrollo del
pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas
que involucren procesos aritméticos, inicia también
la comprensión de la variable y de las fórmulas. En
estos problemas los números usados deben ser controlados y
los procesos aritméticos también se deben ajustar a
la aritmética que se estudia. Igualmente, la
aproximación numérica y la estimación deben
ser argumentos usados en la solución de los
problemas.

Ya que solamente la anterior idea básica que se
ha expuesto de función no sería suficiente,
tendremos que valernos de los otros aspectos que incluyen la
función, tales como sus representaciones que hace
referencia Duval (1995), como las tabulaciones y las
gráficas. En ésta misma medida según
Chávez (1984), hace alusión a que "El uso de
tabulaciones y gráficas tempranas en el estudio de la
función ayuda de gran forma a que los estudiantes se
integren y relacionen mejor con los conceptos venideros, como
función y sus tipos".

Además para constatar y perfilar dichas
características de la función Chevallard, Y.,
Bosch, M. y Gascón, J. (1997) afirman, que se deben ver
las formas de representación como lo son: en primera
instancia la representación gráfica cartesiana la
cual globaliza y permite encontrar características
puntuales y dinámicas de la función, tales como el
crecimiento y la continuidad, la representación algebraica
que atiende a la concepción estática referida a la
función como una fórmula y = f(x), y la
concepción dinámica, la cual se puede calcular como
una variable dependiente a partir de la independiente. Esto en
esencia responde a lo que establece el Ministerio de
Educación Nacional (1998), cuando habla de la
variación como algo que se encuentra en enunciados
verbales, representaciones tabulares, gráficas de tipo
cartesiano, fórmulas y expresiones analíticas.
Respecto a ello este último recalca además la
importancia de la tabulación puesto que es un elemento
para introducir al estudiante en el tema de la función
observando así fenómenos de cambio y
variación.

La tabla de una función consta de dos filas o dos
columnas, en la primera se escriben los elementos del dominio y
en la segunda los elementos de llegada. Por consiguiente en la
tabla aparecen explícitamente el dominio y el conjunto de
llegada, y la regla viene dada por los pares origen-imagen que se
simbolizan con "x" e "y". Siendo la tabla de gran utilidad cuando
se recogen datos experimentales tanto para verificar una regla
como para averiguarla.

Respecto a la representación grafica de una
función, en primera instancia se debe hacer referencia a
Azcárate (1996), que nos menciona que el lenguaje
gráfico, constituye en nuestro mundo una de las
principales formas de transmitir la información y dentro
de este lenguaje, entran a jugar las gráficas cartesianas
que son excelentes para expresar la dependencia entre dos
variables. Para establecer la relación entre las dos
magnitudes es necesario que el sujeto adquiera la habilidad y
capacidad de leer, interpretar, y construir gráficas
cartesianas. Pero además permite construir nuevos
conceptos como la variación, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, y constantes que pueden ser de gran ayuda para el
estudiante al momento de entrar al estudio de función. Al
abordar el plano cartesiano entra a jugar una serie de
conocimientos o conceptos que el estudiante debe tener claros
para poder trabajar correctamente; en el siguiente cuadro se
mostrarán los conceptos a tener en cuenta y posteriormente
una explicación del mismo:

La designación de números en la
recta: