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Álgebra de Boole. Fundamentos y aplicaciones básicas en la electrónica digital moderna (Presentación PowerPoint)

Enviado por Arturo Gustavo Tajani





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2 • La profundización teórica del tema “Algebra de Boole” puede ser consultada en una extensa bibliografía, a la que no se pretende reemplazar. Simplemente entrando en “Internet”, en un “buscador” como “Google”, “Algebra de Boole” permite acceder a muchos artículos de gran calidad. • Solo daremos una definición y mencionaremos los enunciados de algunas leyes básicas (sin discriminar entre “postulados” y “teoremas”), como para iniciarnos en este tema. • La idea fundamental es empezar a entender el Álgebra de Boole en el contexto de las aplicaciones en la electrónica digital moderna. • Con los ejemplos que se verán, se pretende tener una idea razonablemente clara sobre los principios elementales de funcionamiento que rigen los sistemas de cálculo de máquinas ariméticas y computadoras electrónicas. Algebra de Boole - Aplicaciones

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• o * • • 3 Definición del Álgebra de Boole Es toda clase o conjunto de elementos que: 1. pueden tomar dos valores estados claramente distintos (o perfectamente diferenciados ) 2. están relacionados entre sí por dos operaciones binarias*, llamadas suma lógica (+) y producto lógico (·). operación binaria es aquella que, definida entre elementos de un conjunto, da por resultado un elemento del mismo conjunto. Se incorpora también la negación ( ´ ), aunque no entre en la definición. Son ejemplos de álgebras de Boole: el álgebra de proposiciones o de juicios formales y el álgebra de redes eléctricas o de conmutación, vistos anteriormente. Algebra de Boole - Aplicaciones

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4 • Las variables o elementos, se indican con letras mayúsculas: A, B, C, D, etc. .(aunque en “Álgebra Proposicional”, como se acostumbra, se hayan utilizado letras minúsculas). También se pueden utilizar números o nombres representativos. • Los dos estados posibles se anotan: “0” y “1”. • De igual manera que en el álgebra convencional, la suma lógica se indica con (+) y el producto lógico con (·) o simplemente se elimina. • Así el producto a·b se puede poner ab . La negación puede señalarse con: - , ~, con un guión superior o simplemente con ´. Por ejemplo la función lógica: puede escribirse: F = A+B+(B·(-C)) · ( (~D)+E) F = A+B+(BC)(D+E) Algebra de Boole - Aplicaciones

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5 • Definidas las cuatro Compuertas Lógicas básicas, es oportuno agregar a las anteriores, otras cuatro compuertas, que se obtienen respectivamente, conectando un inversor (negación), a continuación de cada una de las compuertas básicas. • Esto, lejos de ser una complicación y gracias a la tecnología del “circuito integrado”, permite simplificar y abaratar las cosas. Y negada ó “NOY” ( NAND ) O negada ó “NOO” ( NOR ) O negada ó “NOO” ( EXNOR ) Doble negación ( Búfer ) Algebra de Boole - Aplicaciones

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6 • En la tabla se indican los símbolos gráficos de las nuevas compuertas, que se forman agregándole en la salida de las básicas, un pequeño circulo que indica la inversión. • También en cada caso está la “tabla de verdad” y la correspondiente “Expresión Booleana”. Algebra de Boole - Aplicaciones

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7 • Existen compuertas de hasta ocho entradas. Ejemplos de símbolos y Tablas de Verdad, se dan a continuación, para tres y cuatro entradas, tanto para NAND como para NOR. Algebra de Boole - Aplicaciones

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8 • Habiendo definido : las “proposiciones” los “conectivos lógicos” las “compuertas lógicas” y sus correspondientes “símbolos gráficos”, podemos a partir de ahora operar con estos conceptos a través del: “Algebra de Boole”. • En nuestros razonamientos nos independizaremos de los elementos materiales, aunque a título informativo mencionaremos, cuando corresponda, los componentes reales existentes. Algebra de Boole - Aplicaciones

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9 Enunciados, teoremas, propiedades, leyes ó reglas del Algebra de Boole. En cada caso, se da a continuación del nombre de la propiedad, la expresión matemática Booleana, la materialización en forma de circuito de compuertas simples y una breve explicación. Para mayor claridad, se presenta la misma tabla en dos secciones. Algebra de Boole - Aplicaciones

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10 Leyes Básicas del Algebra de Boole ( 1 a 11 ) Algebra de Boole - Aplicaciones

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11 ( 12 a 22 ) Algebra de Boole - Aplicaciones

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• 12 • Una primera aplicación de los conceptos anteriores es proponerse sintetizar una “Disyunción Excluyente O (EXOR)”, utilizando solo compuertas básicas O, Y y NO (OR, AND y NOT). A 0 B 0 Y 0 Recordemos el símbolo y su tabla de verdad: 0 1 1 1 0 1 1 1 0 La tabla se puede describir con palabras, de varias formas, por ejemplo: 1. La salida toma el estado “1”, si una y solo una de las entradas está en “1”. 2. La salida es “1”, si A = 1 ó B = 1, pero no ambas a la vez. Esta expresión nos llevaría a : A O B = (A+B) . (AB) 3. La salida es “0”, si A y B son ambas iguales a “1” ó ambas iguales a “0”. La función Booleana sería: A O B = (A B) + (A B) 4. La salida es “0”, si ambas entradas son iguales entre sí. Algebra de Boole - Aplicaciones Etc. Etc. Etc.

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) 13 • De esta manera en forma intuitiva, se puede encontrar la expresión Booleana conveniente. Pero cuando el problema se complica porque el enunciado que se plantea es mas avanzado, se requiere entonces tener alguna forma sistemática para expresar la función lógica correspondiente. • El método que se propone, entre otros, se llama “Suma de Productos” y consiste en: 1º Crear la tabla de verdad del enunciado planteado. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 2º Disponer de una suma de tantos paréntesis como “unos” haya en la tabla de verdad, en la proposición de salida. En nuestro caso: dos. AOB = ( ) + ( 3º Dentro de cada paréntesis irá un producto lógico entre todas las variables de la entrada, tomándolas directas cuando valgan “1” y negadas cuando su valor sea “0”: A O B = ( A. B ) + ( A . B ) Algebra de Boole - Aplicaciones

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14 • Cada producto formado se llama “minitérmino” y resulta claro que su valor será “1”, solo cuando se dé la combinación de “0s y 1s” correspondiente. A O B = ( AB ) + ( A B) • Finalmente el circuito de compuertas lógicas para el O excluyente, será: Algebra de Boole - Aplicaciones

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15 • Para continuar con aplicaciones significativas, se propone tomar como objeto, el funcionamiento macroscópico de una simple calculadora digital de cuatro operaciones. • Recordemos que en la vida diaria se utiliza la familiar numeración decimal, pero toda máquina que realice operaciones aritméticas, desde una simple calculadora hasta la mas compleja computadora, opera internamente, sin ninguna excepción, en el sistema de numeración binaria. • Se crea entonces la necesidad de introducir un “sistema codificador” en la entrada de la máquina, que vincule el teclado numérico exterior con los elementos internos de cálculo. • Enunciado: Codificador Decimal a Binario: Se trata de convertir al sistema binario natural, un dígito expresado en forma decimal. Tendrá evidentemente diez entradas vinculadas a las teclas, de forma tal que cuando solo una de ellas es oprimida, aparezca en cuatro puntos internos, el conjunto de ceros y unos de la combinación binaria natural correspondiente. Algebra de Boole - Aplicaciones

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16 • Planteo Lógico: Llamaremos con los dígitos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, a las diez proposiciones de entrada (cada tecla tiene dos estados: oprimida o no). • Las proposiciones de salida serán D; C; B y A y estarán en correspondencia con los valores de cada posición binaria 8; 4; 2 y 1. las entradas, se toma como “tecla oprimida”. El valor lógico “1” para 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 D 0 0 0 C 0 0 0 B 0 0 1 A 0 1 0 • Tabla de Verdad: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 Algebra de Boole - Aplicaciones

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17 • Con la observación de la tabla se deducen, en forma intuitiva, las correspondientes “Funciones Booleanas”: A = 1+3+5+7+9 B = 2+3+6+7 Entradas desde el C = 4+5+6+7 D = 8+9 Que se materializan con el circuito de compuertas lógicas “ O “, de varias entradas. A B C D teclado. Algebra de Boole - Aplicaciones

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18 • La siguiente aplicación nos lleva a la operación inversa de la anterior, es decir el órgano de cálculo arroja un resultado numérico binario, y debe interpretarse como un número decimal. • La necesidad ahora es de crear un sistema “decodificador” en el interior de la máquina. • Enunciado: Decodificador Binario a Decimal . Se trata de convertir un binario natural en un dígito decimal. El sistema tendrá cuatro proposiciones de entrada, diez de salida y estarán vinculadas de manera tal que para cada combinación de los estados binarios, se excite solo la salida decimal correspondiente. • Planteo Lógico: En forma semejante al caso anterior, esta vez las proposiciones de entrada serán las letras D; C; B; y A , mientras que con los dígitos 0; 1; 2; . . .9 se nombran las diez proposiciones de salida. Algebra de Boole - Aplicaciones

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19 D C B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • Tabla de Verdad: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 Los espacios en blanco son obviamente “ceros”, que no se 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 colocan para mayor claridad de la tabla. 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Funciones Booleanas: Aplicando el método de Suma de productos se tendrá para cada proposición de salida, un único producto lógico entre las variables de entrada. Se toman directas si valen “1” y serán negadas si valen “0”. Algebra de Boole - Aplicaciones

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0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 Circuito de Compuertas Lógicas: 1 Los inversores colocados en cada entrada, proveen al sistema la posibilidad de elegir la proposición directa o negada según la tabla. Es muy utilizado el recurso de generar barras con las proposiciones directas y negadas. No solo se ahorran inversores, sino que se hace mas sencilla la interpretación del gráfico y se simplifica el cableado. Se utilizan solo compuertas Y (AND). Algebra de Boole - Aplicaciones

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8 21 A 0 • En este segundo circuito hay algunas simplificaciones. B 1 2 • Como vemos solo hay dos 3 compuertas NAND de cuatro entradas, seis de tres entradas y dos de dos entradas, en vez de utilizar diez compuertas de cuatro entradas. C D 4 5 6 7 • Las compuertas NAND proveen simplificaciones en los sistemas posteriores. Algebra de Boole - Aplicaciones 9

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A B C 22 • Siguiendo con la calculadora elemental, observemos que la indicación numérica del visor, se realiza mediante una representación llamada de “ Siete segmentos “ ó de “Siete Barras”. Todos estamos familiarizados con esta indicación, que también se utiliza en ascensores, indicadores numéricos, relojes digitales, etc. • Los segmentos luminosos pueden ser “cristales líquidos (LCD) en calculadoras y relojes, ó diodos LED, lámparas comunes o hasta tubos fluorescentes en otros sistemas . Pero la denominacion de los segmentos generalmente aceptada es la que se indica. • Decodificador ABCD a 7 segmentos. • El enunciado y el planteo lógico de este circuito, resulta claro con el gráfico que se agrega. D Algebra de Boole - Aplicaciones

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23 • Tabla de Verdad del decodificador BCD a 7 Seg. Nº 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 A 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 a 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 c 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 d 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 e 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 f 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 g 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 • Para expresar las funciones Booleanas se puede aplicar el método de la Suma de Productos. Por ejemplo para reconocer el segmento “a”se tendría una suma lógica de ocho productos; para el segmento “e” solo cuatro productos; etc. • Inmediatamente se comprueba que las expresiones son muy largas. Algebra de Boole - Aplicaciones

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24 Algebra de Boole - Aplicaciones

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1 2 3 4 7 9 25 • Cabe hacer varias simplificaciones Booleanas y algunas experimentales, pero por sencillez no daremos el detalle. A B C D 0 • El circuito de Compuertas Lógicas ya simplificado, pero razonablemente entendible se muestra a continuación: 5 6 • Se puede reconocer a la izquierda del dibujo, una versión del decodificador binario a decimal anterior. a b c d e f g Algebra de Boole - Aplicaciones

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26 • De los Circuitos Lógicos anteriores vimos que, aún cuando se han simplificado bastante, la implementación práctica de los mismos requirió el empleo de muchas compuertas elementales. • Si se tiene en cuenta que la solución encontrada fue para un solo dígito decimal y normalmente su manejan como mínimo ocho dígitos, empezamos a vislumbrar el crecimiento de la cantidad de “compuertas lógicas” que son necesarias disponer en cuanto se avanza en el diseño de un dispositivo tan “simple” como una sencilla calculadora. • Nos ocuparemos ahora, en forma muy somera, de lo relativo a los elementos de cálculo, que naturalmente también serán resueltos con compuertas lógicas elementales. • Mostraremos primero, como funciona un circuito “Sumador Digital”. Algebra de Boole - Aplicaciones

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27 • Se considera necesario hacer un esquema en bloques que permita fijar conceptualmente lo que todos sabemos: como se realiza una “Suma”. Por supuesto que se describe en términos de una adición entre dos números binarios de cuatro dígitos cada uno. D1 D2 C1 C2 B1 B2 A1 A2 Sumador AcD SD AcC SC AcB SB AcA SA • Distinguimos entre el primer bloque de la derecha, que recibe dos entradas y genera dos salidas y que se lo llama “Semisumador” y los siguientes bloques que reciben tres entradas y tienen también dos salidas y son nombrados como “Sumador Total”. Algebra de Boole - Aplicaciones

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30 • Tabla de verdad del Semisumador: Llamaremos A1 y A2 a los dígitos de entrada; SA a la suma directa y AcA al acarreo, arrastre o el simple “me llevo”. • En la tabla, podemos ver que la suma equivale a un “o excluyente” (O), mientras que el acarreo es claramente equivalente a la “conjunción” (Y). • Estas observaciones nos llevan directamente a las funciones Booleanas: A1 0 0 1 1 A2 0 1 0 1 AcA 0 0 0 1 SA 0 1 1 0 SA = A1 O A2 = (A 1 . A2) + (A1 . A2) AcA = A1 . A2 • El circuito de compuertas lógicas muestra una compuerta Y y un O excluyente (O) que por supuesto puede ser reemplazado por el diagrama ya visto. Algebra de Boole - Aplicaciones A1 A2 SumaA AcA

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31 • Tabla de verdad del Sumador Total: En este caso las entradas son tres, no solo los dos dígitos a sumar B! Y B2 , sino también el arrastre anterior AcA. Las salidas son solo dos, una la suma SB y la segunda el acarreo AcB. AcA B2 B1 AcB SB Acarreo Suma 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Algebra de Boole - Aplicaciones

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34 • Ecuaciones Booleanas: Aplicamos a la tabla precedente el método de la “suma de productos”. Tenemos en cada caso cuatro unos, que originan la suma lógica de cuatro productos, respectivamente para cada salida. SB = (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) 1 2 3 4 AcB = (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) + (AcA B1 B2) 5 6 7 8 Se pueden simplificar sacando factor común AcA de 1 y 2 y luego AcA de 3 y 4. Se obtiene que: SB = AcA (B1 O B2) + AcA (B1 O B2) Y además de 5 y 8 y de 6 y 7 : AcB = B1 B2 + AcA ( B1 O B2) Algebra de Boole - Aplicaciones

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35 • Circuito de compuertas lógicas debidamente simplificado. Responde a las expresiones recuadradas anteriores. El O entre las entradas B1 y B2, aparece en ambas ecuaciones, pero no se repite en el esquema. AcA B2 B1 Algebra de Boole - Aplicaciones Acarreo o arrastre AcB Suma SB

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36 • Se demuestra que la “Resta” puede ser efectuada, en numeración binaria, mediante una suma, por supuesto que utilizando un cierto artificio de electrónica digital que no merece llamarse operación, pero donde también se usan compuertas lógicas. (Se demuestra en el apéndice). • La Multiplicación, sabemos que por definición es una suma reiterada. • La División también puede verse como la repetición de una resta, que a su vez se puede convertir en sumas. • Por lo tanto, aún sin demostración, se puede afirmar que con “sumadores” y algunos “artilugios” adecuados, concebimos con relativa facilidad la idea de que, las operaciones aritméticas elementales, se realizan en los sistemas de cálculo actuales, respaldados por las ideas que aquí se han desarrollado. Algebra de Boole - Aplicaciones

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1º 37 • Para finalizar, es útil mostrar como se puede concebir un elemento de “memoria” de un “bit”, empleando solamente dos inversores. Se trata de “retener” un “0” ó un “1”, cuando éste se aplique durante un corto período de tiempo. • Un “0” de corta duración en la entrada A, impone un “1” en B a través del 1º inversor; a A B la vez que el 2º inversor coloca un “0” permanente en A, aunque el valor original en la entrada haya desaparecido. B 2º A • En igual forma un “1” de corta duración en A, es retenido o memorizado con una consideración complementaria de la anterior. • Existen muchas variantes de memoria, basadas en otras compuertas lógicas, pero esta es significativa por su simpleza. Algebra de Boole - Aplicaciones

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38 • Se puede continuar con la síntesis de muchos circuitos que cumplan diferentes tareas en los sistemas de computación, pero creemos que el objetivo de fundamentar las bases “Lógico-matemáticas” de esta moderna técnica, ha sido cumplido. • Gracias por su atención. • Se sugiere comentar el tema. FIN Algebra de Boole - Aplicaciones

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• 39 APÉNDICES: 1. “Decodificador o Selector de 16 Direcciones”. 2. Código ASCII . 3. Familia TTL de compuertas lógicas integradas. 4. Multiplexor y Demultiplexor 5. Varios. Algebra de Boole - Aplicaciones

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40 Decodificador “ Binario a Decimal o a Hexadecimal(16 salidas)” (4 : 16), tambien llamado “Selector de Direcciones”. Algebra de Boole - Aplicaciones

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