Monografías Plus      Agregar a favoritos      Ayuda      Português      Ingles     

Comprobación conjetura de Collatz

Enviado por José Mujica



  1. Conjetura de Collatz
  2. Congruencia
  3. Anexo

Monografias.com

Conjetura de Collatz

Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:

  • Si el número es par, se divide entre 2.

  • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

Monografias.com

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos.

Iniciaremos el análisis para un número n de la forma 2a con

Monografias.com

2.1- Se aplicará el primer criterio y habrán divisiones hasta que el cociente es 1; dado que 1 es impar, se aplica el segundo criterio (3n +1) iniciando así el ciclo 4,2,1.

2.2- Si n es un número par, compuesto, admite divisiones por 2, el cociente llegará a ser un número impar, se aplicará el segundo criterio (3n + 1), lo cual inevitablemente genera un número par.

2.3- Si n es un número impar, directamente aplica el segundo criterio (3n + 1)

En consecuencia de lo descrito anteriormente, en proceso de iteraciones sucesivas pasará por el segundo criterio (3n + 1) por lo menos una vez.

Monografias.com

Al sustituir k obtendremos los siguientes valores:

TABLA N° 1

Monografias.com

De los elementos mostrados en la tabla N°1, se desprende que podemos determinar a simple vista cinco progresiones aritméticas de la forma ax + b; donde a será treinta (30) y b será los elementos h(k) menores a treinta (30). Podemos expresar lo siguiente:

Si se define:

Monografias.com

Congruencia

Mostramos en la tabla N° 2, nueve elementos de los conjuntos C,D,E,G y J.

TABLA N° 2

Monografias.com

Queda claro que los elementos del mismo conjunto son congruentes entre sí, y que no hay congruencia entre elementos de conjuntos diferentes.

El conjunto H agrupa a todos los n con clase residual 4,10, 16,22 y 28.

Monografias.com

Los elementos en azul son números perfectos; los elementos resaltados en naranja y verde, identifica el ciclo de la clase residual mod(30): 0,16,6,28.

TABLA N° 3

Monografias.com

5.- Al aplicar CONJETURA DE COLLATZ

Monografias.com

Se cumple que necesaria y obligatoriamente se pasa por determinar el valor de f(n) para un número impar, aplicación del segundo criterio, este valor, cualquiera que sea, es congruente con uno de los cinco elementos b < 30 para x = 0.

Tabla N° 4

Monografias.com

Si n es par, habrá divisiones sucesivas hasta que el cociente sea impar y los cambios de clases residuales se muestran en la siguiente tabla.

TABLA N° 5

Monografias.com

Para validar y explicar en detalle este punto, definamos los conjuntos siguientes de la forma Ca = 30k + a

TABLA N° 6

Monografias.com

Para adelantarnos definiremos lo siguiente:

  • Número Conector, NC:

Dado el desarrollo de la función de Collatz entre dos números, llamaremos Número Conector al último número común entre ambas columnas visto en forma ascendente.

Monografias.com

Figura N° 1

Este número permite unir dos columnas o más. Tienen una ubicación única, pertenecen al conjunto H y por lo tanto, puede poseer una clase residual: cuatro (4), diez (10), dieciséis (16), veintidós (22) o veintiocho (28).

Para dar un ejemplo de esto, veamos la Tabla N° 7.

TABLA N°7

Monografias.com

Se muestra tres elementos desarrollados con la función de Collatz, para el número NC 16, su ubicación es cinco (5), clase residual 16, para el número NC 34, su ubicación es 14, su clase residual es cuatro (4).

  • Número de Transito, NT:

Dado el desarrollo de Collatz de dos números naturales, llamaremos Número de Transito a aquel N cuyos elementos de desarrollo incluyendo N, estén incluidos en el otro. Por ejemplo:

Monografias.com

Figura N°2

El número 28 es un número de transito en relación al número 37.

Para el análisis siguiente se tomaron los primeros 40 elementos de cada uno de los conjuntos definidos en la Tabla N° 5. El detalle por conjunto se hace muy denso, por lo tanto se muestra en el anexo un ejemplo.

Monografias.com

Dicho de otro modo:

H = C4 U C10 U C16 U C22 U C28

Recordemos que los cambios de columnas pueden ser por dos razones, dado un Número Conector NC o Número de Transito NT. Debe coincidir en la misma fila, celdas del mismo color e identificadas con el mismo número.

La función de Collatz, divide por dos a todo número n par, cuando el cociente llega a ser impar o el número de inicio es impar, la función de Collatz para n impar es igual a 3n + 1, transforma a n en un valor par pero restringido en su clase residual.

Elaborando un diagrama de flujo desde los resultados de los cambio de clase residual mostrados en la Tabla 4 y 5, podemos obtener como cambia la clase residual por cada iteración, la decisión depende de la magnitud de n, por ejemplo:

Monografias.com

DIAGRAMA N°1

DIAGRAMA DE FLUJO

CAMBIO DE CLASE RESIDUAL POR ITERACIÓN.

Monografias.com

En el diagrama N° 1, cada clase residual está representada en un círculo y se identifica con un número, de este modo se representa los cambios de clase residual por cada iteración, puede iniciar por cualquiera de los círculos, siempre llegara a la clase residual uno, a la unidad y luego al ciclo 4, 2, 1. Sin duda alguna, la trayectoria dependerá de la magnitud de N pero terminará irremediablemente en uno y en el ciclo 4,2,1.

Adicionalmente, se demuestra en el anexo, que la función de Collatz tiene la propiedad de que cualquier número N sometido a este proceso de iteración, entre los diferentes elementos que se generan están los números NC, este número entrelaza y hace común el camino o desarrollo de estas dos columnas. Este efecto, desplaza, si se quiere, la trayectoria descrita por el elemento en desarrollo a recorridos transitados por elementos menores y congruentes. De forma que cada elemento nuevo a desarrollar se conectará con un elemento anterior a través de números conectores o simplemente, ese nuevo elemento es un número de transito. En cualquier caso, habrá un cambio de columnas, este cambio de columna termina en la columna uno (1) para cada conjunto de elementos congruentes y por lo tanto de la misma clase residual; hasta que son reducidos a la unidad y al ciclo 4, 2, 1.

Monografias.com

Bajo cualquiera de los dos argumentos planteados, la función de Collatz conduce a un número natural hasta la unidad y luego al ciclo 4, 2, 1.

Monografias.com

Anexo

DESARROLLO DE COLLATZ PARA CLASE RESIDUAL 2

Función C 2 = 30k + 2

Monografias.com

Monografias.com

 

 

Autor:

José Mujica

 


Comentarios


Trabajos relacionados

  • Distribución Normal

    Distribución Normal. Función de densidad. La distribución binomial. Esta distribución es frecuentemente utilizada en l...

  • Estructura y funcionamiento del Programa Raíces

    Carlos alberto PérezEl programa esta compuesto por la función principal raices y 9 subfunciones: Raices (principal; Cuad...

  • El poder del Solver

    Ejemplo de cómo usar "SOLVER". En estos tiempos donde se habla de la tecnología, información, sociedad del conocimient...

Ver mas trabajos de Matematicas

 
 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.


Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

Iniciar sesión

Ingrese el e-mail y contraseña con el que está registrado en Monografias.com

   
 

Regístrese gratis

¿Olvidó su contraseña?

Ayuda