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Control digital




Enviado por Pablo Turmero



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    Elementos Principales de un sistema de control de Datos
    Discretos. El muestreador es un mecanismo que entrega un tren de
    pulsos cuya amplitud corresponde a los valores de la señal
    análoga a muestrear en el instante que se produce el
    muestreo. (Gp:) Muestreador (Gp:) Filtro (Gp:) Proceso
    Controlado

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    Señal de entrada continua al muestreador t 0 e(t) t 0 e(t)
    Salida discreta del muestreador

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    Ejemplo de Sistema de Control Digital Prefiltro Proceso
    Controlado A/D Control Digital DA + – + – Control
    automático para un eje para el pilotaje automático
    de un avión. Giroscopio Transduct. Posición Comando
    Altitud

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    Prefiltro Proceso Controlado A/D Control Digital DA + – Sistema
    con muestreo múltiple Los muestreadores adquieren muestras
    de la señal con frecuencia constante, se cumple un periodo
    de muestreo. Los retenedores mantienen el valor de la
    señal retenida hasta que llega un nuevo valor
    correspondiente a una nueva muestra. Giroscopio TX
    Posición Retenedor Retenedor Comando Altitud

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    La Bucla Típica de Control Realimentada Computador Digital
    Actuador DA + – Sensor A / D Reloj Planta Proceso

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    Tratamiento (Data Login): Recoger la máxima
    información sobre el funcionamiento del proceso.
    Medición de variables y parámetros. Pretratamiento:
    – Normalizar – Convertir unidades – Linealizar parámetros
    Procesamiento: – Cálculos – Análisis
    estadísticaAlmacenamiento en dispositivos –
    Presentación en plantilla o impresora Funciones de un
    Computador de Proceso

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    Supervisión: – Alarmas: verificar el correcto
    funcionamiento del proceso – aviso de falla. – Asistencia:
    facilitar las operaciones normales del operador. –
    Indicación de acciones a ejecutar. Presentación:
    entrega información importante para la toma de decisiones
    en la operación de mando y control. CUANTIZACIÓN:
    En el proceso de conversión A / D o el proceso de
    representar una señal en un número finito de
    estados discretos, la precisión depende del # de bits de
    la palabra de cuantización.

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    Muestra Cuantización en tiempo Codificación
    Cuantización en amplitud Se define un nivel de
    cuantización Q que corresponde a la distancia entre dos
    niveles adyacentes de decisión. n = # de bits de la
    palabra de cuantización. El error de redondeo es: X =
    señal análoga. Xq = señal digital

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    El teorema del muestreo especifica que una señal de tiempo
    continua con componentes de frecuencia hasta WC rad/seg,
    teóricamente puede ser reconstruida sin distorsión
    si se muestrea a una velocidad mayor de 2WC rad/seg. En procesos
    con constantes de tiempo mayores se podrá utilizar un
    tiempo de muestreo más grande. Debe tenerse en cuenta: El
    equipo de medida: se recomienda diseñarlos con una Wcorte
    = ancho de banda de red cerrada. El rechazo a las perturbaciones:
    Se recomiendan frecuencias de muestreo entre 5 y 20 veces el
    ancho de banda de la respuesta al ruido en red abierta. En la
    medida en que se exijan tiempo de muestreo más altos, se
    requiere de conversores y microprocesadores más
    rápidos. Selección del Periodo de Muestreo.

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    La calidad del control: Generalmente disminuye con periodos de
    muestreos largos. Muestrear entre 8 y 10 veces durante el ciclo
    de oscilación amortiguada en la señal, si el
    sistema es sub-amortiguado. Muestrear de 8 a 10 veces la
    frecuencia del ancho de banda de red cerrada, el límite
    inferior teórico es 2. Muestrear de 8 a 10 veces durante
    el tiempo de subida si es sobreamortiguado.

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    Tipos de Señales Señal de Tiempo Continuo: (a) (b)
    Es una señal que tiene valores para todo instante de
    tiempo. Señal Análoga: Es una señal de
    tiempo continuo con un rango continuo de valores.

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    Señal de Tiempo Discreto: Es una señal definida
    solamente en instantes del tiempo generalmente iguales.
    Señal de datos muestreados Señal Digital Si la
    amplitud asume un rango continuo de valores se denomina
    señal de datos muestreado. Si los posibles valores
    están registrados a un conjunto de valores se denomina
    señal digital.

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    Muestreo y Cuantificación Existen varios tipos de
    muestreo: Muestreo Periódico: es el más usual, los
    instantes de muestreo están igualmente espaciados cada T
    segundos, sea T = KT, T: es el periodo de muestreo, con K
    =0,1,2,3,… Muestreo de Orden Múltiple: El
    patrón de tK`s se repite periódicamente: tK + r- tK
    = constante, para todo tK. Muestreo Múltiple: Sistemas de
    múltiples lazos que debido a la dinámica de cada
    lazo requieren diferentes periodos de muestreo. Muestreo
    Aleatorio: La variable tK es una variable aleatoria.

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    Tipos de Sistemas De acuerdo al tipo de señal: Sistema
    Análogo: Si sólo existen en él
    señales análogas se describen mediante ecuaciones
    diferenciales. Sistema de Tiempo Discreto: Si sólo existen
    en él señales discretas, se describen mediante
    Ecuaciones de diferencias. Sistema de Datos Muestreados: Tienen
    señales discretas (pulsos de amplitud modulada) y
    señales de tiempo continuo Sistema Digital: Si incluye
    señales de tiempo continuo y señales digitales en
    forma de código numérico.

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    Sistemas Discretos: Es el que procesa secuencia, es decir recibe
    una secuencia y entrega otra, la cual corresponde a una
    frecuencia preestablecida de la secuencia de entrada. Secuencia
    de salida = f (secuencia de entrada) En bloque funcional: Los
    sistemas discretos se clasifican en: Estática
    Dinámicos Causales No causales SISTEMA DISCRETO

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    Sistema Discreto Estática Sistema discreto
    estático: La salida en un instante de muestreo depende de
    la entrada en ese instante de muestreo Sistema Discreto
    Dinámico: La salida puede ser función de la entrada
    y la salida de índices de diferente orden al actuar
    Sistema Discreto Dinámico

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    Sistema Discreto Dinámico Causal: El elemento de salida
    puede estar influenciada por las salidas anteriores y por las
    entradas hasta el instante de muestreo en que se produce la
    salida. Sistema no causal: Este sistema puede generar elementos
    de índice superior al elemento de entrada, realizar una
    función a través de un algoritmo considerando los
    elementos generados y entregar una secuencia de salida Sistema
    Discreto Dinámico Casual Sistema Discreto Dinámico
    no casual

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    Secuencias: Definición: Un conjunto numerado de elementos
    en donde se hace corresponder a cada número entero el
    valor de modelos elementos del conjunto de valores de la
    señal de tiempo discreto. Una secuencia se representa como
    {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el
    orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la
    secuencia, K puede ser positiva o negativa. Se escoge el
    índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado
    en el origen de referencia y que define la frontera entre los
    valores positivos y negativos del índice K. Ejemplo:

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    De igual forma también se puede expresar colocando los
    elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia. Puede
    también especificarse

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    Secuencia impulso unitario: Secuencia escalón
    unitario:

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    Secuencia exponencial:

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    Secuencia Sinosoidad

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    Muestreo de Señales Continuas: El muestreador es un
    dispositivo lineal, cumple con el principio de
    superposición

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    Durante el instante del muestreo el muestreador toma la
    señal continua y toma la forma de la Fig. (a) para el
    desarrollo matemático el muestreador actúa en un ,
    el área bajo el impulso es igual al valor o magnitud de la
    señal continua en el instante del muestreo, el impulso en
    el punto del muestreo es dado por: Donde es el impulso
    muestrario. Un muestreador con salida como la ecuación es
    como muestreador impulso ideal. La secuencia de impulsos a la
    salida del muestreador es:

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    Nota: Tomando TL a ambos lados de la ecuación

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    Reconstrucción de señales continuas a partir de
    señales discretas Considere la señal de control
    producida intermitentemente cada T segundos por un computador
    expresado por una serie de impulsos:

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    Retenedor de orden cero Ideal Retenedor de primer orden

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    Una simple manera de convertir una señal discreta en una
    señal continua es sostener la señal discreta en el
    valor constante ___________ hasta que el siguiente valor llegue.
    Entonces si es el resultado de la señal continua, para En
    particular, para y para para La ecuación anterior
    corresponde al retenedor de orden cero

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    Considerando dos valores discretos sucesivos, y se asume que el
    siguiente periodo , la señal continua puede ser dada por
    una extrapolación lineal de los dos valores previos para y
    La ecuación anterior corresponde al retenedor de primer
    orden. El retenedor de primer orden requiere al menos de dos
    valores para hacerlo. Construcción de la señal
    continua, en tanto que el de orden cero requiere de un solo
    valor. Nota: 1. El fundamento matemático del retenedor
    independiente del orden es:

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    Considere una señal continua , el cual debe ser constante
    de valores discretos La serie de Taylor alrededor del valor
    muestreado es dado por: Si consideramos solo el término de
    orden cero, entonces el retenedor de orden cero es: , Si
    consideramos el término constante y el de primer
    orden:

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    La derivada de , puede ser aproximada por: Entonces el elemento
    retenedor de primer orden: 2. La salida del elemento retenedor de
    orden cero es un pulso con una altura constante igual a y una
    duración La transformación de Laplace del retenedor
    es:

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    La F. de T. del retenedor de orden cero es: 3. De igual forma la
    F. de T. del retenedor de primer orden es:

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    Conversión de modelos continuos o modelos discretos
    Control Digital D/A Convert. retenedor proceso A/D Convert. Ref.
    + –

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    Caso modelo discreto del retenedor digital PID Sea el valor
    muestreado en el instante de muestreo, al compararlo con el valor
    del resulta en: , la acción central proporcional es: La
    acción de control integral es basado en la
    integración del ERROR sobre un periodo de tiempo como los
    valores del ERROR son variables en modo discreto, entonces la
    Puede ser aproximado por integración numérica
    (usando integración rectángular) Área
    =

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    Entonces la acción de control en modo integral está
    dado por: Para el modo derivativo necesitamos una
    evaluación numérica de la derivada

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    La aproximación de primer orden para la derivada es:
    Entonces la acción de control en el modo derivado es: La
    acción de control para el PID digital es modulada: La
    ecuación anterior es conocida como ecuación de
    diferencias Ejemplo: modelo en tiempo discreto de un proceso de
    primer orden.

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    Dado un proceso no lineal de primer orden: Aproximando la
    derivada por diferencia de primer orden ; entonces en un instante
    de tiempo dado Para un sistema lineal de primer orden

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    Usando la aproximación de la derivada, entonces resulta
    en: Ejemplo: modelo discreto para un proceso de segundo orden
    Dado el sistema lineal La aproximación de la derivada de
    primer orden ;

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    Para la segunda derivada Entonces al reemplazar en la
    ecuación del modelo

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