La Estática de la partícula aplica en la carrera de Ingeniería Mecánica (página 2)

Partiendo de un punto dado y con las direcciones y
sentidos calculados o asumidos en el diagrama de fuerzas, se
colocan, una a continuación de otra, todas las fuerzas
que componen el sistema, teniendo en cuenta que la
última de ellas debe terminar en el mismo lugar donde
se situó el punto de aplicación de la primera
(ver posterior ejemplo de aplicación en este mismo
problema)

– Una solución grafo-analítica se basa
en la construcción, sin escala, de un polígono
cerrado (similar a la solución gráfica pero
representando las fuerzas sin escala), planteándose
posteriormente un sistema de expresiones matemáticas
que satisfagan la geometría de dicho
polígono.

– En los casos de soluciones analíticas
escalares se plantean las siguientes ecuaciones (Ecuaciones
de Equilibrio para la partícula)

– Si la solución es vectorial, entonces se
debe plantear la siguiente secuencia:

• Expresar vectorialmente cada una de las
  fuerzas.

• Plantear la condición de equilibrio a
  través de la suma vectorial de las
  fuerzas

• Sustituir, en la expresión anterior,
  todas las fuerzas ya expresadas vectorialmente, agrupando
  los términos que estén afectados por cada
  uno de los vectores unitarios y sumando posteriormente
  cada uno de estos grupos

• Igualar a cero cada uno de estos grupos por
  separado.

• 3- Resolver, si es necesario, el sistema de
  ecuaciones.

Veamos cómo aplicar esta
metodología en la solución del
problema.

• 1- Construir el diagrama de fuerzas (DF) de
  la partícula.

Para definir en este problema a cuál
partícula hacerle el diagrama de fuerzas se
realizó el siguiente análisis:

El contacto entre dos superficies cilíndricas
genera una fuerza normal a estas superficies (válido
para todas las superficies en revolución), entonces,
en este problema las fuerzas que se generan entre cada
rodillo y la pieza (una para cada superficie en contacto)
tienen una línea de acción de igual
dirección que la recta que pasa por los centroides de
los cilindros, ver figura19.

Figura 19. Fuerzas sobre los
rodillos

En la figura 19 se muestra gráficamente lo
expresado en el párrafo anterior. En ella se ha
sustituido la pieza por su efecto sobre los dos rodillos, las
fuerzas FB y FC. Observe que ambas, según su
dirección, actúan sobre los apoyos (aplicando
el Principio de Transmisibilidad) que son las
incógnitas del problema.

Aplicando la Tercera Ley de Newton (Principio de
acción y reacción) tendremos que sobre la pieza
cilíndrica actuaran estas mismas fuerzas pero en
sentido contrario, ver figura 20.

El hecho de tener aplicadas sobre la pieza
cilíndrica tanto la fuerza conocida (W), como las
incógnitas FB y FC y siendo estas últimas, en
número (dos), iguales al número de ecuaciones a
plantear (dos), permite elegirla como el elemento adecuado
para el diagrama de fuerzas. En la figura 20 se muestra una
representación de la pieza con todas las fuerzas,
incluido el peso de la pieza W (W=m.g).

Figura 20. Diagrama de fuerzas del
cilindro.

Observe que el sistema de fuerzas aplicado sobre
la pieza es concurrente, por ello, dicho elemento puede ser
considerado como una partícula (centroide del
cuerpo).

Para completar este paso falta por determinar la
inclinación de cada fuerza respecto a un eje. Para
ello formemos un triangulo (figura 21) con las líneas
que pasan por los centro de cada elemento y tracemos una
vertical desde el centro de la pieza (punto A). Se han
formado dos triángulos rectángulo, coincidiendo
el ángulo ? con el formado por FB y FC con la
vertical. Ver figura 21.

Figura 21. Figura
auxiliar.

En esta figura se cumple que:

Para desarrollar esta ecuación, hemos
proyectado imaginariamente las fuerzas sobre el eje "x" (ver
problema 1) y se ha tomado como convenio de signo que las
fuerzas orientadas hacia la derecha son positivas.

Con la solución de la expresión
anterior no obtenemos los módulos de las fuerzas, solo
su igualdad. Apliquemos entonces la sumatoria sobre el eje
"y"

Respuesta: las fueras a que están sometidos
los apoyos de los rodillos tienen un módulo de 28,5N,
una dirección de 30o respecto a la vertical y los
sentidos que se presentan en la figura 20.

Otra posible solución. Método
Vectorial

Lo que estudiaremos a continuación no es la
solución de otro problema, sino otra manera de
resolver el mismo problema. Con ello el lector puede comparar
el grado de complejidad de ambos métodos y decidirse
por el que entienda más simple de aplicar.

Para expresar vectorialmente cada una de las fuerzas
(ver solución vectorial del problema anterior) deben
calcularse primeramente los módulos de cada una de sus
componentes (ya determinados en la solución escalar y
por lo tanto se utilizarán sus valores para no repetir
los cálculos) y multiplicar cada una de ellas por los
vectores unitarios correspondientes.

Observe en las expresiones que acabamos de
plantear, que inicialmente las fuerzas se sumaron (todas con
signo positivo), pero sus componentes, a la hora de
sustituirlas, mantuvieron sus respectivos
signos.

Agrupando los términos que están
afectados por cada uno de los vectores unitarios se tiene
que:

En la primera de ellas, el signo negativo indica que
la componente de FC sobre el eje de las "x" está
orientada hacia la izquierda (parte asumida como negativa
para este eje).

Otra posible solución. Método
Grafo-analítico.

Sobre la partícula solo actúan tres
fuerzas, con ellas se puede construir un polígono como
el mostrado en la figura 22. Para la representación de
este triángulo se partió desde un punto
cualquiera del plano con la fuerza W,
manteniéndose la dirección y el sentido que
ella muestra en el diagrama de fuerzas (vertical y orientada
hacia abajo). En su extremo se representó a FC y en el
extremo de esta otra a FB, ambas con iguales direcciones y
sentidos que en la figura 20, garantizándose con la
última el cierre del polígono. Debe recordar
que la condición gráfica del equilibrio es que
el polígono de fueras es cerrado..

En este ejercicio se comenzó la
construcción del polígono con W, pero pudo
haberse seleccionado cualquier otra fuerza para ello. En ese
caso las posiciones de las fuerzas variarán pero sus
relaciones geométricas no.

Figura 22. Polígono de fuerzas
cerrado.

Resolvamos ahora analíticamente el
polígono. La figura es un triángulo, pero no
rectángulo, por lo tanto solo se pueden plantear las
relaciones geométricas generales, Ley de los Cosenos y
la de los Senos. Aplicando esta última:

Las direcciones y los sentidos de cada fuerza se
obtienen del propio polígono.

Es probable que para el lector esta
última sea la solución más sencilla, sin
embargo no debe olvidar que el polígono formado es un
triangulo (tres fuerzas), y que en la misma medida que
aumente el número de fuerzas del sistema se
incrementarán los lados del polígono y por lo
tanto la complejidad en la solución geométrica
del mismo.

3- Fuerzas en el espacio.

Los problemas considerados en esta primera parte
encerraban solo problemas en dos dimensiones, podían
formularse y resolverse en un plano. En esta sección
se discutirán problemas que contemplan las tres
dimensiones del espacio.

• a- Componentes rectangulares de una fuerza
  en el espacio.

Considere una fuerza F actuando en el origen O del
sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z, ver figura
23b.

Figura 23

Para definir la dirección de F se ha
dibujado, en la figura 23b, el plano OBAC que contiene a la
fuerza. Este plano pasa a través del eje vertical y su
orientación está definida por el ángulo
f. La dirección de F dentro del plano está
precisada por el ángulo ?y que la fuerza forma con el
eje vertical. Bajo estas consideraciones, F se puede
descomponer en una componente vertical Fy, ver figura 23c, y
una componente horizontal Fh; las componentes escalares
correspondiente son:

La fuerza F dada se ha descompuesto en 3 componentes
rectangulares Fx, Fy , Fz que pueden ser calculadas mediante
las ecuaciones 12, 13 y 14.

Las relaciones existente entre la fuerza F y sus
tres componentes Fx, Fy y Fz se visualizan más
fácilmente si, como se muestra en la figura 24, se
dibuja una caja que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces,
la fuerza F se representa por la diagonal OA de dicha
caja.

Figura 24

La figura 24a muestra el triángulo
rectángulo OAD empleado para derivar primera de las
fórmulas Fx = F cos.?x. En las figuras 24b y c,
también se han dibujado otros dos triángulos
rectángulos. OAB y OAE. Se observa que estos
triángulos ocupan en la caja posiciones comparables
con la del los triángulos OAD. Al enunciar fy y fz,
como los ángulos que F forma con los ejes x y z,
respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas
similares a la anterior, entonces se escribe:

Los tres ángulos ?x,?y y ?z definen la
dirección de fuerza F; éstos se utilizan con
mayor frecuencia para dicho propósito, más
comúnmente que los ángulos ?y y f introducidos
al principio de esta sección. Los cosenos de ?x, ?y y
?z se conocen como los cosenos directores de la fuerza
F.

Introduciendo los vectores unitarios i,
j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo
de los x, y, z, la fuerza F puede expresarse de la siguiente
forma:

Figura 25.

Como en el caso de los problemas bidimensionales, un
signo positivo indica que la componente tiene el mismo
sentido que el eje que le corresponde y un signo negativo
indica que esta tiene un sentido opuesto al del
eje.

Fuerza definida por su magnitud y dos puntos sobre
su línea de acción.

En muchas aplicaciones, la dirección de la
fuerza F está definida por las coordenadas de dos
puntos, M(x1,y1,z1) y N(X2,y2,z2), localizados sobre su
línea de acción (figura 26). Consideremos el
vector MN que va de M a N, en el mismo sentido de
F; podemos designar sus componentes escalares por dx,
dy y dz respectivamente, escribimos

Figura 26.

Las relaciones (20) simplifican considerablemente la
determinación de las componentes de F, cuando
la línea de acción está definida por dos
puntos M y N.

Restando las componentes de M de las de N puede
escribirse

Reemplazando los valores de F, dx, dy, dz y d en
(20), pueden obtenerse las componentes Fx, Fy, Fz de
F. Si sustituye estas componentes en (16) queda
expresada F de forma vectorial.

• b- Suma de fuerzas concurrentes en el
  espacio.

La resultante R de dos o más fuerzas
en el espacio puede obtenerse mediante la suma de sus
componentes rectangulares. Los métodos gráficos
o trigonométricos no son, en estos casos, generalmente
prácticos.

La secuencia de trabajo que se sugiere es similar a
la planteada para los problemas en el plano pero
desarrollando todo el análisis de forma
vectorial.

• Tomando la resultante, como la suma vectorial de
  todas las fuerzas actuantes

• Expresar vectorialmente cada una de las fuerzas.
  Para expresar vectorialmente una fuerza usted debe
  obtener, primeramente, sus componentes rectangulares Fx,
  Fy y Fz; multiplicándolas, posteriormente, por los
  vectores unitarios i, j y k,
  respectivamente.

• Obtenidas las componentes de las fuerzas
  actuantes escribir:

• Calcular el módulo de
  R mediante:

• c- Equilibrio de una partícula en el
  espacio.

De acuerdo con la definición de equilibrio,
una partícula A está en equilibrio si la
resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es
cero.

Las ecuaciones (24) representan las condiciones
necesarias y suficientes para el equilibrio de la
partícula en el espacio

Para resolver los problemas de equilibrio de la
partícula en el espacio le proponemos la siguiente
secuencia de trabajo:

• 1- Construir el diagrama de fuerzas de la
  partícula.

• 2- Plantear la condición de
  equilibrio.

• Expresar vectorialmente cada una de las
  fuerzas.

• Plantear la condición de equilibrio a
  través de la suma vectorial de las
  fuerzas

• Sustituir, en la expresión anterior,
  todas las fuerzas ya expresadas vectorialmente, agrupando
  los términos que estén afectados por cada
  uno de los vectores unitarios y sumando posteriormente
  cada uno de estos grupos

• Igualar a cero cada uno de estos grupos por
  separado.

• 3- Resolver el sistema de
  ecuaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5. El sistema que se muestra en la
figura 27 está formado por la barra BD y los cables o
tirantes BC y BA. Si en la posición indicada en la
figura dicho sistema se encuentra soportando una carga de
10kN, calcular la tensión en cada cable y la fuerza de
compresión en BD. Considere que la barra tiene peso
despreciable y que la fuerza que se ejerce sobre ella tiene
igual dirección que la línea que une los puntos
B y D.

Figura 27 Esquema del ejemplo
5

Nota. La fuerza de compresión está
dirigida a lo largo de la barra (tiene la misma
dirección que la barra) y tiende a disminuir su
longitud (compresión)

Solución.

Por ser un problema de equilibrio es aplicable la
metodología planteada anteriormente. La diferencia,
con respecto a los ejemplos 3 y 4 radica en que no todas las
fuerzas están dispuestas en un mismo plano (equilibrio
tridimensional), por ello la solución aconsejada es la
vectorial. Apliquemos la metodología:

• 1- Construir el diagrama de fuerzas de la
  partícula.

Para la selección de la partícula
adecuada tendremos en cuenta que las direcciones de las
fuerzas TAB, TCB son coincidentes con la
dirección de los cables respectivos. Observe que las
líneas de acción de ambas fuerzas, así
como la compresión sobre la barra (FDB) y la
carga (peso W), pasan todas por el punto B, por tal
razón debemos seleccionar este punto como la
partícula a analizar. En figura 28 se ha representado
a la partícula B con todas las fuerzas
aplicadas.

Observe en el diagrama el sentido de la fuerza FBD
¿Cuál será el sentido de esta fuerza
sobre la barra?

Para completar el diagrama solo faltarían
obtener los ángulos que forman las fuerzas con los
ejes y/o planos cartesianos (con la excepción de la
fuerza W), para con ellos descomponer las fuerzas.
Generalmente estos ángulos son fáciles de
determinar basándonos en construcciones
geométricas auxiliares, pero en este caso, por ser
conocidas las coordenadas de dos puntos por donde pasan las
líneas de acción de cada fuerza, utilizaremos
otra forma relativamente simple de obtener las componentes
(por su relación con el siguiente paso esta secuencia
se detallará posteriormente).

Figura 28. Diagrama de fuerzas de la
partícula B.

• 2- Plantear las condiciones de
  equilibrio.

• Expresar vectorialmente cada una de las
  fuerzas.

Es evidente que el vector que caracteriza al peso
tiene un módulo W, una dirección vertical
(vector unitario J) y orientado hacia abajo (signo negativo)
por lo tanto:

En las fuerzas restantes, TAB, TCB y
FDB, no coinciden sus direcciones con las de los ejes,
por lo tanto, para expresarlas vectorialmente es necesario
obtener primeramente sus componentes. En párrafos
anteriores ya habíamos destacado el hecho de conocer
las coordenadas de dos puntos por donde pasan,
respectivamente, cada una de las líneas de
acción. En estos casos la secuencia a seguir para
expresar vectorialmente una fuerza puede ser la
siguiente:

Siendo (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) las coordenadas
de los dos puntos por donde pasa la línea de
acción de la fuerza. Se considera punto 2 al lugar
geométrico hacia donde está orientada la punta
de la saeta, mientras que el 1 es el más cercano al
punto de aplicación de la fuerza.

Apliquemos esta secuencia:

Entonces:

Sustituyendo:

Sustituyendo 5.4, 5.5 y 5.6 en 5.1, 5.2 y 5.3
respectivamente

Recuerde que en esta expresión no se
tiene en cuenta el sentido de cada fuerza para signarle un
signo. Siempre se plantea como una suma.

• Sustituir en la expresión anterior las
  fuerzas ya expresadas en forma de vector.

Agrupamos ahora los términos que están
afectados por cada vector unitario. Este efecto de agrupar
los términos, para después sumar, se facilita
mediante la construcción de una tabla. Ver tabla
I

Tabla I

Ahora se suman e igualan a cero, de forma
independiente, las columnas 2, 3 y 4 de la tabla. Debemos
comenzar por la tercera columna ya que en ella solo aparece
una incógnita, FDB.

Sumando e igualando a cero cualquiera de las
restantes columnas nos dará como resultado que cada
ecuación presentará dos incógnita, por
lo tanto no hay prioridad para continuar la
operación.

Si usted trata de resolver este problema por los
métodos escalares se dará cuenta de lo
engorroso del trabajo. Una de las ventajas del método
vectorial es que siempre puede aplicar la misma forma de
trabajo, pero debe ser mucho más cuidadoso a la hora
de resolver el producto vectorial ya que un error en los
signos, o del vector unitario que se obtiene, trae como
resultado errores trascendentales.

Bibliografía

• 1- Bela I.S Ingeniería
  Mecánica. Estática, México 1989,
  ISBN 968-880-169-0

• 2- Beer F. P, Johnston E. R.
  Mecánica vectorial para Ingenieros, Mc Graw-Hill,
  1984, tercera edición.

• 3- Mendoza Díaz I, Campos
  Pérez Y, Fernández Castañeda F,
  Hidalgo Reina P. P, Métodos de trabajo en la
  solución de problemas de estática,
  Editorial Feijóo, 2005, ISBN:
  959-250-182-3

• 4- Russell C.H Mecánica para
  Ingenieros. Estática. México 2004, sexta
  edición.

• 5- Targ S.M. Curso breve de Mecánica
  Teórica, Editorial MIR, Moscu, 1976.

• 6- Mecánica Clásica
  htp\:es.wikipedia.org/Wiki/Mecánica_clásica.

Autor:

Dr.C Idalberto de la Caridad Mendoza
Díaz.

Dr.C. Kirenia Abreu
González.

Ing. Eduardo Miguel Fírvida
Donéstevez

Ing. Reniel Estrada
Yanes.