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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

Enviado por Pablo Turmero





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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Introducción Ecuación del Calor Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de Sobrerrelajación Problema del Condensador

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Métodos directos frente a métodos iterativos DIRECTOS Ax =b x = A\ b Tamaño moderado Modifican la estructura Error de redondeo ITERATIVOS x = Cx + d x(k+1) = Cx(k) + d Tamaño grande Conservan los ceros Error de truncamiento

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Convergencia y número de operaciones Coste (para matrices densas) Directos: n3 Iterativos: k.n2 Convergencia Criterio de parada:

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Ecuación del Calor Sistema de ec. lin. Matriz asociada T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1

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Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB function A = mcalor1(n) v = ones(1,n-1); A = 2*eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1);

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El método de Jacobi Sistema de ecuaciones lineales

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Iteración de Jacobi

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Expresión matricial Resolución con MATLAB U = triu(A,1); L = tril(A,-1); d = diag(A); x = (b-(L+U)*x)./d

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Condición suficiente de convergencia Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,...,n Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.

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Expresión matricial Resolución con MATLAB d = diag(A); D = diag(d); U = triu(A,1); L = tril(A,-1); x = (L + D)\(b - U*x)

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Método de sobrerrelajación xik zi xik+1 (Gp:) ik+1

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Paso de sobrerrelajación

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Expresión matricial Resolución con MATLAB D = diag(diag(A)); c = w*b; C = (1-w)*D - w*U x = (wL + D)\(c + C*x)

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Condición suficiente de convergencia Matriz simétrica definida positiva: AT = A, xTAx > 0 Si A es simétrica definida positiva y 0

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