Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Ecuación del Calor
Método de Jacobi
Método de Gauss-Seidel
Método de Sobrerrelajación
Problema del Condensador
Métodos directos frente a métodos iterativos
DIRECTOS
Ax =b
x = A b
Tamaño moderado
Modifican la estructura
Error de redondeo
ITERATIVOS
x = Cx + d
x(k+1) = Cx(k) + d
Tamaño grande
Conservan los ceros
Error de truncamiento
Convergencia y número de operaciones
Coste (para matrices densas)
Directos: n3 Iterativos: k.n2
Convergencia
Criterio de parada:
Ecuación del Calor
Sistema de ec. lin.
Matriz asociada
T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1
Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB
function A = mcalor1(n)
v = ones(1,n-1);
A = 2*eye(n) – diag(v,1) – diag(v,-1);
El método de Jacobi
Sistema de ecuaciones lineales
Ecuación de punto fijo
Iteración de Jacobi
Expresión matricialResolución con MATLAB
U = triu(A,1); L = tril(A,-1);
d = diag(A);
x = (b-(L+U)*x)./d
Condición suficiente de convergencia
Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,…,n
Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.
Iteración de Gauss-Seidel
Expresión matricialResolución con MATLAB
d = diag(A); D = diag(d);
U = triu(A,1); L = tril(A,-1);
x = (L + D)(b – U*x)
Método de sobrerrelajación
xik
zi
xik+1
(Gp:) ik+1
Paso de sobrerrelajación
Expresión matricialResolución con MATLAB
D = diag(diag(A));
c = w*b; C = (1-w)*D – w*U
x = (wL + D)(c + C*x)
Condición suficiente de convergencia
Matriz simétrica definida positiva:
AT = A, xTAx > 0
Si A es simétrica definida positiva y 0